2025年高考数学热点专练：不等式与复数（8题型+高分技法+限时提升练）（原卷版）

热点1-2不等式与复数

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

1、近三年高考中，不等式是一个重点考查的知识复数的运算与不等式是常考点，预计在2025年的

点，主要涉及大小判断、求最值和求最值范围等问高考中仍将保持其重要地位，考查形式和难度可能

题。而基本不等式求最值是高考中的常考点，通常会与近几年的趋势保持一致.

出现在选择题和填空题中，难度不大.（1）不等式主要考查基本不等式求最值、大小判

2、复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高断，求取值范围问题；

考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5（2）复数主要考查基本概念以及复数的代数运算，

分，考题难度为低档.其中复数的除法运算、共轨复数及复数的几何意义

是最可能出现的命题角度.

热点题型解读

题型1不等式性质及应用6、题型5基本不等式求最值

题型2—元二次不等式的解法题型6基本不等式恒成立问题

不等式与复数

题型3一元二次函数根的分布问题o-/\题型7复数的四则混合运算

题型4一元二次不等式恒成立问题题型8复数的几何意义及应用

题型1不等式性质及应用

明确各个性质（对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性）中结；

i

论成立的前提条件，另外在使用不等式的性质时还需注意与作差法、作商法的结合使用.

1.（24-25高三上•陕西西安・月考）下列命题中，真命题的是（）

A.若a<b,贝U—>—B.若a>b,则

ab

__i_p_frClQ+C

C.右1Q>Z?>C>0,则----D.若0<a<b<c,则logc〃<logcb

bb+c

2.（24-25高三上•福建泉州•模拟预测）若实数a>>>0,则下列不等式不一定成立的是（）

11

A.0.3"<0.3"B.lg«>lgZ?C.------<------D.y/a>y[b

a-\b-1

3.（24-25高三上•河北石家庄•模拟预测）（多选）已知实数。，b,c满足则下列选项正确的是

()

a+cabc

A.----->一B.lg—>0C.---->----D.〃+8H—।>25/2

b+cbb-ca-ba—cy/ab

4.（24-25高三上•湖北武汉•期中）若实数。"满足-l<〃+b<3,2va-Z?v4,贝！J3〃+Z?的取值范围为

题型2一元二次不等式的解法

1、解一元二次不等式的一般步骤

（1）化为标准式；（2）计算相应的判别式；（3）根据相应的一元二次方程的根的情况写出解集.

2、解含参数的一元二次不等式，要把握好讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数

的符号进行分类，其次根据根是否存在，即△的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类.

1.（23-24高三下•河北沧州•模拟预测）已知集合4={-1,1,2,3,5},8={也;"3彳-2>0},则AB=（）

A.{-1,3,5}B.{-1,2,3,5}C.{3,5}D.{2,3,5}

2.（24-25高三上•山东枣庄•月考）（多选）已知关于x的不等式加+6x+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},

则下列选项中正确的是（）

A.a<0B.不等式bx+c>0的解集是{尤|尤<-6}

C.a+b+c>0D.不等式ex?+a<0的解集为卜Ix<或%>1

3.（24-25高三上•甘肃天水・月考）关于x的不等式d-（l+2a）x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数。的

取值范围是.

4.（24-25高三上•广东广州•月考）（多选）已知不等式ox?+云+。<0的解集为（x：vx<>11,贝U（）

A.a>c>0B.b<—2。<0

—ci~\—Z?+c-2>-+t

42

题型3一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题主要有两种：零分布与非零分布，零分布指的是方程的根相对于零的关系，非

；零分布指的是方程的两根相对于左的关系，解决这类问题可根据方程的系数和判别式来确定方程根的性

:质和分布情况.

1.（24-25高三上•上海浦东新•期中）若关于x的一元二次方程2/一4》+m+3=0有两个同号实根，则实数

加的取值范围是.

2.（24-25高三上•北京・月考）已知方程呼+（2=-l）x+4-2m=0的两根一个比2大另一个比2小,则实数加

的范围是.

3.（23-24高三上・四川・月考）若关于x的方程/一2依+a+2=0在区间（-2,1）上有两个不相等的实数解，则

。的取值范围是（）

4.（23-24高三上.贵州・月考）（多选）已知一元二次方程尤加+3=0有两个实数根三，％，且

0<x1<2<x2<4,则机的可能值为（）

A.-4B.-4.5C.-4.6D.-5

题型4一元二次不等式恒成立问题

100与j（

1、一元二次不等式在实数集上的恒成立

a=b=Ofa>0

（1）不等式。「一人+「.（I对任意实数l恒成立=或4

c>0|A<0

a=b=0fa<0

（2）不等式心一/，v十「（）对任意实数K恒成立=或1

Lc<0IA<0

2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法

:方法一：若八外>0在集合/中恒成立，即集合/是不等式/（n>o的解集的子集，可以先求解集，再

由子集的含义求解参数的值（或范围）；

;方法二：转化为函数值域问题，即已知函数/（"的值域为

则।\"恒成立=>MM2it,即〃）上u；/（r）“恒成立=•।',।_u,即〃二u.

3、不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理

（1）若存在*e[见，“，u>/（."有解今。n'I.,；

若对任意["7,，1<1>/（V）无解，，■，（，I.

（2）若存在.J。V./（K）有解=>,（、）一、；

\右对任意av/（x）无解/（K）z.

1.（24-25高三上•陕西咸阳・月考）若关于x的不等式尤2一公+2>。在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是（）

A.（2^^,+8）B.（-co,2后）C.（-oo,3）27、

D.

一8司

2.（24-25高三上•四川成都・月考）已知关于x的不等式加-2x+3a<0在（0,2]上有解，则实数。的取值范

围是（）

A.（-ool）B/一哼C.（-oo,0]D.（-00,0）

3.（24-25高三上•天津•开学考试）若不等式/+办+120对任意xe（0,；恒成立，贝匹的取值范围是（）

A.[0,+oo）B.（-QO,-2]C.-J+00]D.（-oo,-3]

3

4.（24-25高三上•甘肃兰州・月考）若不等式2履2+丘-3<0对一切实数x都成立，则左的取值范围为

O

题型5基本不等式求最值

0O后❾

在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三相等：含变数的各项均相等，取得最值.

L⑵-24高三下海南•模拟预测）若正数a,6满足加2.+力3,则仍的最小值为（）

A.3B.6C.9D.12

3?

2.（23-24高三下•湖北黄冈•一模）若机且淅+2〃-1=0,则一+—的最小值为（）

mn

A.20B.12C.16D.25

1213

3.（23-24高三下•河南信阳•模拟预测）a>0,b>0-+-=l则一\+1三的最小值为（）

ab9a—1b—2

A.6B.2上C.76D.6

4.（23-24高三下•湖南邵阳•三模）（多选）若正数%,>满足2x+y=孙，则（）

A.xy<8B.8x+y>18

C-31>巫

x2厂2D-hQ

题型6基本不等式恒成立问题

\

;不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参1

:数分离出来.常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即yN相恒成立0ym1n2〃?；yV加恒j

成立oy1mxWm.但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

1.（24-25高三上•江西上饶・月考）若不等式。在区间［0』上恒成立，则实数。的取值范围是（）

4/-1

A.a<yp2—B.a<\C.a<—D.a<2\/2—

232

41

2.（24-25高三上•河北承德・月考）已知%>0,y>0,且％+y=5,若--+—1恒成立，则实数

x+1y+2

加的取值范围是（）

（21（11（11z，

A.I-Q0,-B.1-00,—C.I-°o,-D.（一8,4|

3.（24-25高三上•湖南长沙・月考）已知九，>,a>0,且xH——H>8恒成立，则a的取值范围是________.

xxy

4.（23-24高三下・浙江・二模）（多选）已知正实数。力,。，且1>。>。,羽丁/为自然数，则满足

--+—।---->。恒成立的％，y*可以是（）

a—Db—cc—a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

题型7复数的四则混合运算

解决复数四则运算问题的思路：

ii

1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部.把i看作字母，

II

’类比多项式加减法中的合并同类项；

.2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成-1,并将实部、虚部分别合并.多;

II

:项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有（。+历）（a-历）=/+尸，

ii

（a±bi）2-a2-b~+2abi,（a±bi）3=a3-3ab2+（2a2b—b3）i.

；2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即

将分子、分母同乘分母的共辗复数，使分母成为实数，再计算.

1.（23-24高三下•江苏南京•期中）已知i为虚数单位，则（2+后）（2-/）=（）

A.5B.-1C.1D.7

2.（23-24高三下•浙江杭州•期中）已知复数2=鲁，则同=（）

A.2B.1C.非D.与

3.⑵-24高三下•黑龙江哈尔滨•模拟预测汨知l-2i是关于复数z的方程z2-mz+n=O（m,neR）的一个根，

贝|〃1+九=（）

A.5B.6C.7D.8

4.（23-24高三下.江西新余.模拟预测）（多选）已知ZEC,1为z的共轨复数，则下列条件可判定zwR的

是：（）

Z_Z_

A.讨=同B.z-z=O

2222

C.z-zD.z'Z=Z'Z

题型8复数的几何意义及应用

1-4

1、复数的几何意义

（1）任一个复数z=a+5（a,》GR）与复平面内的点Z（a,切是---对应的.

II

（2）一个复数2=。+历（°,bGR）与复平面内的向量应=（a,b）是---■对应的.

2、与复数模有关的最值问题

（1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式：

ii

或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状.

II

（2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式,若2=X+yi,则|z-（a+儿）|表示复平面内点（x,y）

与点（a,b）之间的距离，则|z-（a+6i）|=?•"表示以（a,b）为圆心，以r为半径的圆上的点.

1.（24-25高三上•天津・月考）已知复数z=i（l+i）（其中i为虚数单位），则复数z的点的坐标所在象限为（）

A.-B.二C.三D.四

21

2.（23-24高三下•陕西铜川•模拟预测）若复数z=i*+29i，则复数z在复平面内对应的点位于（）

1+i23

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（23-24高三下.安徽.模拟预测）若zeC,i为虚数单位，|z+2i-l|=l,则|z-i|的最大值为（）

A.2B.J1Q-1C.4D.V10+1

4.（23-24高三下•广西・模拟预测）（多选）复数z=x+yi（尤,yeR,i为虚数单位）在复平面内内对应点Z（x,y）,

则下列为真命题的是（）

A.若|z+l|=|z-1],则点Z在圆上

B.若|z-l|+|z+l|=4,则点Z在椭圆上

C.若|z+l|-|z-1=2,则点Z在双曲线上

D.若k+l|=|z-l|,则点Z在抛物线上

限时提升练

（建议用时：60分钟）

1.（23-24高三下•浙江温州•模拟预测）设集合4={无力龙2-3》-440},B={x||x+l|<1},则A|B=（）

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{0,1,2}D.{0,1}

2.（23-24高三上•湖北荆门・月考）已知复数z在复平面内的对应点为（1,1）,贝Uz+工的虚部为（）

Z

A.-iB.一C.；D.—i

2222

3.（23-24高三下•山东•二模）若则下列不等式成立的是（）

1111

A.01VbiB.a+b<b+cC.—<-D.rr<777

ab\a\例

4.（23-24高三下•新疆•二模）已知复数z满足z+彳=4,且z—2=2i,则|z|=（）

A.72B.73C.2D.百

5.（23-24高三下•安徽•三模）已知x>0,>>0,且2x+y=l,则工±1的最小值为（）

xy

A.4B.4^/2C.4A/2+1D.2V2+I

6.（23-24高三下.山东烟台.三模）若复数z满足忖=|z-2-2i|,则忖的最小值为（）

A.1B.亚C.百D.2

7.（24-25高三上•福建厦门•月考）对任意的实数机e[。,2],不等式（x-2）（x-3+〃z）>0恒成立，则x的取值

范围是（）

A.x<l或光>3B.%<1或x>2C.xv2或x>3D.R

19

8.（24-25高三上•湖南平江•开学考试）设正数。，b满足一+：=1,若不等式〃+。之—/+4%+18—相对任意

ab

实数%恒成立，则实数机的取值范围是（）

A.m>3B.m<3C.m<6D.m>6

9.（24-25高三上•云南德宏・月考）（多选）设4，Z2为复数，则下列说法中正确的有（）

A.若马=4+为，z2=c+di,其中。，b,c,JGR,且b>d,则zpz2

B.若疗-3帆+2+（疗-l）i（meR）为纯虚数，则根=2

C.若关于龙的方程f+px+q=。，p,"R的一个虚根为2i—1,则p+q=-5

D.若Z]=-l+2i,Z2=3+4i,则复数4-Z2在复平面内对应的点位于第三象限

10.（23-24高三下•辽宁•模拟预测）（多选）已知。>0,b>0,a+b=2f贝!J