2025年高考数学选填题解题技巧攻略（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题00高考选填题解题技巧全攻略

•----------选填题•解法大全-----------O

方法一直接法..........................................................1

方法二排除法..........................................................4

方法三特例法..........................................................7

方法四构造法..........................................................9

方法五数形结合法......................................................12

方法六建系法..........................................................16

多选题方法攻略..........................................................21

选填题高考通关..........................................................30

♦>----------选填题•解法探究-----------♦>

方法一直接法

直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、

公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对

照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用题或证明

题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解.

由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填

空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简

化运算过程，快速准确得到结果.

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）设等比数列的各项均为正数，J为其前“项和，若

a-2taaa^a,则S产（）

A.6B.8C.12D.14

【答案】D

【分析】结合等比数列的性质可计算出公比夕，由等比数列前项和的定义即可求得

【详解】设等比数列;a.；的公比为q,贝jaaqna?'

又因为贝"V,所以q=4

又等比数列S1的各项均为正数，故9=二

故选：D.

2.（24-25高三上•河北沧州•期中）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学

中，常用PH值来表示溶液的酸碱度.PH的计算公式为PH=其中”H，）表示溶液中氢离子的

浓度，单位是摩尔/升.已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的PH值约为（参考数据：

Igj-0301,183-04'?）

A.0.268B.0.87C.1.13D.1.87

【答案】B

【分析】由PH的计算公式及对数的基本运算求解即可.

【详解】解：由题意得

pH--lgO135

--lg（135xlD'）

•-]gl35+3

-电3-»+3.

--31g3-lg5+3

=-3!g3-（l-lg2）+3

=-31g3+lg2+2

*087.

故选：B

3.（2024高三・全国•专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日.某高校计划在这一天开展

有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排

法总数为（）

A.540B.120C.90D.60

【答案】C

【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可.

【详解】将6位老师平均分成三组，共有八种可能，

三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲，

cy；A；=90

则有A；种排法.

故选：C.

/（x）-2coi|>0）、

4.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知函数I6）在有且仅有2个极小值点，

且在（于9上单调递增，则e的取值范围为（）

［5291F5ill（YT_291<£7H'

A..：6.B.P3.C.v66-ID.V63.

【答案】D

【分析】'eg"）,求出的范围，对应极小值点时，区间的右端点在。工5可上，’1寸了）对应单

调递增，包含在区间In.：*］上，分别得出3的范围后取交集可得.

&K+-W（一J

【详解】—Q,*）时，666,

,17「9

JX<dMC4—<5Z__<Q<__

在（O.Q有且仅有2个极小值点，则6~,6~6,

,11X、K,的CX5CX、rX吟

32,则6V3626J,又人外在U上单调递增,

17,11

一<0S-

所以63

故选：D.

二、填空题

（"丽1,则Z卜

5.（24-25高三上•江西南昌•阶段练习）已知向量乙。的夹角为了.

【答案】"

•标即可求解.

【分析】利用向量的数量积的定义，求得再根据15TRTF,

［详解］因为小I肥所丁。的

5.同月8$@,5”2、卜8$咛・

所以

卜-。卜\■也方+庐■■后

所以।丫

故答案为：J.

6.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知抛物线厂.IPNP>°）,经过抛物线上一点（L>的切线截圆。：

gfl）'0）的弦长为4,则a的值为.

【答案】1

【分析】由题意可得：尸・八，设切线方程'''"'『-‘Hl,结合相切可得根据垂径定理结合弦

长关系列式求解即可.

【详解】因为抛物线尸—2p\p>0）过点4•‘，则》=4,得到尸=2,所以_r'4r,

显然切线斜率不为0,设切线方程为K-刑I』-2）+1・E+J%•

v»w+l-2m

联立方程&,消去*得.

则■叫加■］）■（］整理得到肝->».1・0,解得m・l,

所以切线方程为“J-l,即工一.r“・0,

又因为圆°口-⑺+「-4ia>0）的圆心C（aO）,半径；•=?,

d，+lq〉Q

则圆心aw到直线I-J+I=O的距离.下■‘，

+6「

由题意可得整理得到a：+%-3=0,解得或a--3（舍）.

故答案为：1.

方法二排除法

排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求

的选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选

项，逐一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速

排除，比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话

就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（。之1）、B,你就可以选取1这个数看

是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B,如果1不符合题意，你就排除A,这样就能快速找到正

确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根

据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握

的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两

可得到错误选项.

而历年高考的选择题都采用的是“四选一''型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解

决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果

你已经

求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我

们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充

足的时间！

【典例训练】

1.下面四个命题：

Pi：命题“V"e>2a”的否定是“X<2*

P）：向量a=则力=»是。，6的充分且必要条件；

JC2JT2

九已知双曲线'"的一条渐近线经过点（L”,则该双曲线的离心率为6

P，：在等比数列；入；中，若〜=2,%=8,则4

其中为真命题的是

A.B.Pi-Pi

c.D.A-PJ

【答案】B

【解析】方法一：

对于Pl：命题“2》6风/>1,,的否定是“丸€风5'：!’,,，所以必是假命题，排除A,D；

JT*b、

对于外：双曲线亍一丁°"的一条渐近线经过点0二），则有。.一，则离心率

9--=jl+^y=y/5

。。，所以「J是真命题，排除C,故选B.

2.已知w*为数列14；的前，?项和，且I”；区+卜=”+1,则数列；”的通项公式为

3,72=1

【解析】由l°g2（S・+l）="l,得S*+1=）■",

当”=1时，%=3=3；（解题时，到这一步就可以进行排除，得出正确选项，因为公=耳=3,A、

C、D中的勺均不为3,故可排除，选B.）

当”“时，a.=S.-S.T=Y

3,n=1

=<

所以数列的通项公式为"故选B.

335高三上天津•阶段练习）函数的大致图象为，）

【分析】结合函数的定义域，零点，1>。时函数值的符号，对各个选项进行分析判断，即可求解.

（r+l£_nn?

【详解】由2-2知，R-D-O,所以选项C不合题意；

又T-0时，2-2=2"-2"=0,所以故选项B不合题意，

因为T>0时，i>-\,根据指数函数的单调性可知，2>2,

又】弧度是第二象限角，故an?>0,于是T>O时，所以选项D不合题意，

故选:A.

4.若不等式娘、2a丁-4<2/+4》对任意实数.>:均成立，则实数a的取值范围是

A（—?，?）R—2）U（+°01

A.D.

【答案】C

【解析】当a=?时，不等式为-4<0,恒成立，符合题意，排除A、B；

当a=-2时，不等式为F+?*+】=（x+1/之°,不恒成立，不符合题意，排除D,故选C.

5.（2024高三•全国・专题练习）设a-3e”：,c-[4,贝|]（）

A.a<b<cB.b<c<ac.c<a<bD.C<O<a

【答案】D

【分析】设利用导数求得函数单调性，得到得出e，>x+l,进而求得

管-<1

b>c,再利用作商法，将㈠1的商的结果与1进行比较，从而可求得a,得到即可求解.

2-e-£_-1'=0■>+!

【详解】由题意，得2,2'".

令T>o,则"（x）・e,-l>0,

所以/D在04）上单调递增,

所以〃力>八01-0,即e・>K+“x>0）,

bc

—>—I

所以？2,贝山》C,故排除A,B.

⑶平―I£>i

所以⑴739，所以八,

所以a>b.

故选：D.

方法三特例法

特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍

条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择.特别是对于一些比较棘手的高考选

择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.

常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例法

是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取

值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列

或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短

轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.

近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地

赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法!

【典例训练】

门T।=卜/GIn-...

1.若.2、+】为偶函数，则。=().

1_

A.-1B.0C.TD.1

【答案】B

/(1)=/(-!)«(l+a)ln^=(-l+o)ln3A

【详解】/⑸为偶函数，则.'3，得a=0

2.已知曲线C：、’+】,=16（.r>0）,从C上任意一点尸向x轴作垂线段PP,P为垂足，则线段

PP的中点M的轨迹方程为（）

,y*>

二+匚1

A164一（》>0）B.168(》＞。)

,V3X3

C.164（》>0）D.168(》＞0)

【答案】A

【详解】曲线C上取一点（0,4）,向x轴作垂线段，中点坐标为（0,2）,代入ABCD知，只有A符

合

3.（2024.河南.模拟预测）若则使成立的一个充分不必要条件为（）

A.abB.abC.a：+加SSD.a

【答案】c

【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确.

【详解】对于A,易知当。=4/=4时满足。o,但此时a+b£4不成立，可知A错误;

对于B,当a=4,b=4,可知ab成立，但a+b44不成立，可知B错误；

”乜­8

对于C,由a'+148可得2-,即可得a+b«4,即充分性成立；

当。=3。=1时，满足a+/4,但此时a：+2>Y8不成立，即必要性不成立，可得C正确;

对于D,当a=4.o=l时，易知。0成立，此时a+b44不成立，可得D错误.

故选:C

4.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数乙，都

有/（*）+/（rjW的是（）

A./(^)=v+anvB./(x)=4x-x'

C./(x)--Wx+DD./(X)='ITI

【答案】C

【分析】利用赋值法可判断ABD,令利用导数可得匿"，可判

断C.

【详解】对于A,令x「r,"3,则/")+/(rJ=-丐2%.工・3,不满足条件，故A错

误；

对于B,令1=0.\=【，则"、；卜〃口・3,21+21=2,不满足条件，故B错误；对于C,因为

glx)•皿*1T3>。求导得g(n=77T-=77T,

当-1<K<0时,g'(K)>。,函数gm在・L0)单调递增，

当T>0时，g'lC<0,函数gN在伊.+<»)单调递减，

所以期*)㈠◎,期加("1)-加(U+l)-hO-D,所以炯x.l)SX

即73・加("1)42K所以/(4)+/(0)4%+过,满足条件，故c正确；

对于D,令I=°,I.=3,则r"+力工”9，乂+4・6,不满足条件，故D错误.

故选：C.

6.(24-25高三上•四川•期中)已知"】')、d:是函数图象上不同的两点，则()

力<Fi+力<X|*x

.”二〈log,——-..二>lor——-3

A.22B.2

.X,♦X..5♦L

八+厂<】。取「^『,+『：

i_z.■L).一

【答案】A

【分析】设0<%<工，利用对数的运算、对数函数的单调性以及基本不等式，特殊值法逐项判断即可.

【详解】由题意不妨设°<1<：,因为J=lQgJ是增函数，所以抽,、1咀「，即J<人.

10&X,+10g,X；-logjxjJ^og,

r,+r：<21og-~;<log-~—

则.62,即22,A正确，B错误;

取*7"2,则口。，Jg,阿?，c错误.

1,■113<x.♦x,

X、,一.*J1+J1=-3=log-<lD5g,-=10g,-——

取,2,则J，-I,88"2,D错误.

故选：A.

方法四构造法

构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息,

把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法

【典例训练】

一、单选题

1.（2024.广东.二模）函数了门的定义域为R/>=3,若SeRJ'ccl,则'一的解集为

()

Dl-co.+col

A.B.—IC

【答案】B

【分析】构造函数了门・"“，解不等式即可得出答案.

【详解】构造函数满足力了’2—>1,

贝岫/（D>xN可得，+解得：T>2.

故选:B.

2.（2024・广东广州•模拟预测）已知定义在R上的函数'的导函数为且+门-'3°.对于

r（x）it

任意的实数1‘均有「“'F一成立，若/一3”-16,则不等式八ii>>的解集为（）

A.(-8,-3IB.flC(-3,-KOID.(2

【答案】D

、/（"―/|x）

I=------gIK=------

【分析】构造函数丁，然后由已知可得52的单调性，最后将不等式转化为

即可得到答案.

/Ur)〜

-/x|ln2>0Ir

【详解】In?，令

g,亦现二生里■生与晔〉o

则，则在上单调递增.

由小3…叱/⑴为奇函数，得了"叱贝卢⑶二丁》

/叭/⑶

从而原不等式',可化为丁“，即〒’丁，此即为gz>g⑶.

由于gi”在140.上单调递增，故这等价于x>3,所以不等式的解集为凸•*°i.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.

3.（2024•辽宁•模拟预测）已知a,^R,^2<a<b,a・>,则6的可能值为（）

A.2.5B.3.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】构造函数x,求导确定其单调性，结合rc）・f（4）可得答案.

InaInbftax

【详解】由a得设””■丁，则/（。）=的，

当。<x<e时，/，（r）>0,"D单调递增，

当x>e时，八力<0,&r）单调递减.

f（y\_出---_出4_f（A\

因为,二4r-/（\所以24a<eOW4.

结合选项可知B正确，ACD错误.

故选：B.

4.（2023・河北・三模）已知函数+"」一°巾在区间，16；，上恰有2个零点，则实数°的取值

范围是（）

；n#

A.2B.2c.\-）D.（U,e）

【答案】A

【分析】根据题意，令。n=e"+L转化为g（x）=g（aln、j在区间（l.e：）上恰有2个实根，进而转化为

a■"上、*

r-aInT即,'-启在区间（Ie1上恰有2个实根，得到'""=m与J=。的图象在区间Le：）上恰有个

交点，利用导数求得函数八（x）的单调区间和极值，进而得到答案.

【详解】由函数人工）=e'+\-\-akn在区间（l,ej上恰有2个零点，

令f（K）・。，可得。+i=1,+a】nt=e+alnx,

令=+】，则8仆）=虱川111）在区间（12：）上恰有2个实根,

因为虱x）在R上单调递增，所以r-aki.T即一京在区间0，。;,上恰有？个实根,

所以函数'=族与『=a的图象在区间Q,e；，上恰有2个交点，

皿、hix-1

刀（机----r

又由（tox）,当T€（l.e）时，玳K）<0；当X€（e，C时，玳K）>0,

所以函数八（X）在区间U♦e）上单调递减，在区间（e，e〕上单调递增，

当-「时,"⑶”,且小…'）吟,所以一《，

所以实数a的取值范围是2

故选:A.

5.(23-24高三上•山西运城•阶段练习)已知a,1+sin01,b-ltlnl1,=101",则()

A.a<b<CB.b〈a<c

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】根据二项式展开式，得到CI1,设gcs'Tnx,利用导数得到gz在［。.尔）上单调递增,

根据gHi>g|O|・O,得到a<c,令/(D・®K-ta(l+DK€(Q.D,得到a>b,即可求解.

【详解】由0=1旷=(1+01广'=1+。001+0001+-+或00严>1+(：10m+=11

设别口・工_皿1,可得g,ll.1-8八20恒成立，函数g（K）在（“m）上单调递增,

所以g|x）>g|0|・。，所以r>smr在在（0,+8）上恒成立，

所以。所以“<c,

:

f|x）-cosr-l+^.x€（O.l）^u）--anx+i>D

攻-，口J骨

,1!

所以用）”（。2。,所以8—~2X

设〃JT)-sinr-ta(l+RK€(。.D

/,(x)-cosx--L>|-lxJ〉o

可得.l+T1+rR+x)

所以〃x）在9D上单调递增，所以可得sm（M>hil1,即a>b,

所以F<c.

故选:B.

方法五数形结合法

数形结合法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过

对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的

斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上・北京•期中）已知定点3°-41,若点<?在圆°、+厂=4上运动，则

21a卜阳的最小值为（）

A.2MB.6

C.?+邛D.>-713

【答案】A

【分析】设点De#,且四卜5「回，由此可求得°«°川，利用三角形两边之和大于第三边的性质可确

定当ACD三点共线时取得最小值.

【详解】设点门5,则阴=+=3-*

设点DIM,且印卜卡回，JT+1J-以=j4+f-协=斤,

解得：I,存在点a。」），使得「必-#同，

4）-（倒♦加阳阳（当且仅当/CD

2RI+F4

三点共线时取等号），

（半d+|C5|LN-|^=1^3-0f+（0-ir-：Vio

故选:A.

【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗

尼斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解.

2.（23-24高三上.江西南昌.开学考试）已知函数『-e和J的图象与直线J交点的横坐标分

别为。，则（）

A.e>bB.c.D.a:+i）:>2

【答案】D

【分析】作出函数J'=e和J=kn的图象以及直线j=的图象，即可判断口。大小没判断A；利用反

函数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C,D.

【详解】作出函数J=e和J=Im的图象以及直线的图象，如图，

由函数J="和.r=kw的图象与直线j交点的横坐标分别为。，b,

结合图象可知。<。<》，A错误；

由题意知也即4（心・。）&瓦2・b）,

由于函数『"e、和J=Im互为反函数，

二者图象关于直线J'=i对称，而AB为j=e和J=lnx的图象与直线J=?-'的交点，

故AB关于J=i对称，故。="九。+方=二B错误；

由03—,故,C错误;

:

因为0<a<b,故a>［而，2（a+i）>（a+h）>

结合a+b=2,即得a：+b：>2,D正确，

故选：D

3.（24-25高三上•湖南・阶段练习）已知&是单位向量，向量3满足则Fl的最大值为（）

A.2B.4C.3D.1

【答案】B

【分析】设丽由卜一°卜L可得点B在以A为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几

何意义，可得K的最大值.

【详解】

故画最大值为阿嗣…艮4,即目的最大值为4.

故选：B.

（*、

+伊）a>>0.|^|<--

4.（2024・广东•模拟预测）已知I其中相邻的两条对称轴的距离为3,且

经过点则关于1的方程,“.”山在[0.K]上的不同解的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.

1txT2«

【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为X,可得$22H,又a>。，可得@-3,

由函数'经过点则？"中=-1,即示HF,

同J/<r）-2sn[3r«^]

又叫：!，可得6,所以I6九

因为函数』=am的最小正周期为7-1,

/<r）-2s>nf3x-^lT=—

所以函数'6J的最小正周期为3,

所以在凹-叫函数I6J有三个周期的图象,

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点,

5.（24-25高三上•辽宁沈阳•期中）已知a>0,i>«R,若关于'的不等式’6"吐°在

b+6

上恒成立，贝/+£的最小值是（）

A.4B.40C.8D.8#

【答案】C

【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点£,由此得£是方程

:r+”-8・0的根，可得的关系，消b再利用基本不等式求解最值可得.

【详解】设“1）•衣c，g（n・x、"-8,

又a>0,所以“"在0「〜单调递增，

当时，小）<°；当时，小）>0,

由票簿1图象开口向上，可知方程g（x）=°有一正根一负根，

即函数giG在0•…有且仅有一个零点，且为异号零点；

由题意知''贝！］当°'£时，gd°；当'=时，g”10O,

所以a是方程T—"-8=0的根，

42boe

,十—8=口0s4a——

则a：a，即a,且a>0,

户幺4加工+工4a+士“、仁

所以aaaa\a

a・l

当且仅当7<

即2.2时，等号成立,

b+—

则。的最小值是8,

故选：C

方法六建系法

建立平面直角或空间直角坐标系，这样相对直观，易把题中条件转化，把代数与几何有机结合.

【典例训练】

一、单选题

1.（2024.广东梅州.模拟预测）直三棱柱45c-4BC中，Z2UC-120*,AB-AC-AA则异面直线

.与4c所成角的余弦值为（）

2.二更立

A.4B.4C.~D.4

【答案】A

【分析】由题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线射与月°所在直线的方向向量，由

空间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可.

【详解】以A为原点，在平面4发•中过A作4°的垂线交友¥于D,

以所在直线为1轴，彳。所在直线为F轴，儿4所在直线为二轴，建立空间直角坐标系，

因为直三棱柱45c-QC中，㈤

设AB■AC,AA1-1

所以"Q40（M）,>1（0,0,0）,

CJO.1,1）

Iq-（D.u）

设异面直线5A与所成角为e，

3

3

cos^-

则

所以异面直线M与所成角的余弦值为了.

2.（24-25高二上•贵州贵阳・期中）图，已知圆柱°。的轴截面ABCD是边长为2的正方形，g为下底面

圆周上一点，满足三？=则异面直线AE与R所成角的正弦值为()

一

E

屏或正理

A.1b-B.10C.10D.*lo-

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】

因为应=示，所以乙QMGtr,所以/ojE=6（r,

如图所示，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则1--人

_俾瓦T0T2）

所以力小--）,

|8"&5Q卜1r1

■3心

.方10

所以异面直线”与5」所成角的余弦值为।

「闺二叵

则异面直线AE与我」所成角的正弦值为丫UL10.

故选:A.

^.BAD^—

3.(23-24高一下•湖北武汉•期末)在平行四边形儿炎］中，3,乂石=1,41=2,P是以为

圆心，占为半径的圆上一动点，且左二।态'+"石，则"”的最大值为()

A,"SB.6+忑C.?+"D.

【答案】C

【分析】先利用余弦定理求出易得4cL8,以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设

R声ACbaM),根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解.

Z4DC=-

【详解】由题意3,

在一月CD中，由余弦定理得4C：+DCcotZADC~3,

所以4。=/,

贝！+。。：・AD：,故4cJ.CD,

如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，

则N-1.0),X(0,V3),/.⑨，设

AP-(6co$仇后sme■用,府=(1,0),石=(T-5,

故

又AP=iAB+fiAD^4(1.0)+X-l-V3),

„(V3cos^.-J3sui^-V3)=I

即19

［后8$夕H-l473cos^-an^

所以,所以

万2万

所以4+♦百8$6・2iind-24"8s|6*a，2+Q其中63・"^"司”

当且仅当8sle时，4+4取最大值，且它的最大值为入户.

故选：c.

【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.

二、填空题

4.(24-25高三上•北京•阶段练习)已知正方形儿皮的边长为2,以B为圆心的圆与直线月C相切.若点

P是圆S上的动点，则诟中的最大值是.

【答案】8

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设用坐标表示向量的数量积，由p在圆上可求得最

大值.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则4二，°),AQO),

易知圆B的半径为"，圆方程为I=?,

设RIJ),贝IJ丽・(二二).后・2J),

则而泰=Xr+D-U=4+?(■/)，

设贝妙・x-r,代入圆方程并整理得才2・0,

此方程有实数解，所以△-4广-&「-：:)2°,解得-24,42,

所以'一『的最大值是2,

所以砺淳=4+”一『)的最大值是8.

故答案为：8.

••••|a|=4,|<|=1Jb-d|=k<>=^―

5.(24-25高三上•上海•期中)已知平面向量•满足3,且对任意的

实数均有k件叫则1，一句的最小值为

【答案】3

【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.

【详解】

1Ml沁屋＞上”网.爪；里

因为厂3,所以点V-

^OB-b,设其坐标为bf）,因为回向回=F/=I,

所以点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，即门-4+厂々

因为对任意的实数t,均有I，-"曰

所以IMv-2.10r.42。，

由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立,

则△=(-“"-16?5+l640=C『-k40,gpc；-2-0,

__ci-（Y.y）斗

设OC=c,又设？一（匕门，贝IJ

整理得：豆/+4・0,所以可知点。在直线/一逸『'+4-（］上，

又因为点5在以点A为圆心，1为半径的圆上,且2卜声网•网,

所以可以把|c-b|看成两动点R和。的距离，

显然距离最小值为圆心A到直线T'-符'+4=°的距离减去半径1,

区d=a=4

而点A到直线T-曲'+4”的距离,

所以罔"T=4-l=3即I；-亩的最小值为3,

故答案为：3.

【点睛】关键点点睛：确定B,C点轨迹解决问题的关键.

多选题方法攻略

1）直接法

在多项选择题中，有很多时候只能将题干直接转化以达到求解问题。

2）先易后难法

在多个正确选项当中，经过仔细分析，可以找到一个非常好选的选项，先选上这个选项，可以保证

拿到2分，如果其他选项没有把握的话，就赶紧去做下一个题，等把其他的题都做完了，再回来看没有

把握的多选题。一定要根据自己的真实水平从多选题中拿分，切忌不可贪心。

3）排除法

在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。特别是从

近年的高考试题中发现一个规律：四道多选题至少两道是只有两个选项对的。

4）对立法

对立的选项中必定有一个是错误的。例如选项中，AB互相对立，CD互相对立，则AB或CD不能

同时出现的答案中。在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他两项不存在内容对立

的情况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立

项中分别选择一个选项作为正确选项。

5）分类统一法

在多项选择题中，如果存在两对内容互近选项或类似选项，而这两对选项内容对立，则其中一对互

近或类似选项应该为正确选项。例如，ABCD四个待选项中，AB两项内容相近、类似，CD两项内容相

近、类似，而AB组与CD组内容对立，如果判断A项正确，那么AB组都正确：如果判断C项正确，

那么CD组都正确。

6