2025年高考数学一轮复习讲义：直线与双曲线的位置关系

第2课时直线与双曲线的位置关系

课标解读考向预测

1.掌握直线与双曲线的位置关系及从近三年高考来看，直线与双曲线的综合问题是高考

其判定方法.的热点，题型以解答题为主，难度偏大.预计2025年

2.会求直线和双曲线相交的弦长.高考可能会与渐近线、离心率等综合考查，选择题、

3.能够解决弦中点问题.填空题、解答题都有可能出现.

必备知识——强基础

知识梳理

1.直线与双曲线的位置关系

将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程b>0）联立组成方程组，消元转化为

关于X的方程（"一次廿）/一2次小丘一根2—〃2b2=o

（1）若"一a2F=0（"z/））,即人=±%寸，直线与双曲线的渐近线画壬红，直线与双曲线画相

交于一点.

（2）若b2—足支■丰0,即际士（时，/=（—2a2mk）2—4（Z72—a2吩）（-erm2—erb2）.

①/>00直线和双曲线相交o直线和双曲线有两个交点；

②/=00直线和双曲线相切Q直线和双曲线有一个公共点；

③/<00直线和双曲线相离=直线和双曲线无公共点.

2.直线与双曲线的相交弦

12

设直线>=区+相交双曲线”一方=1（〃>0,Z?>0）于尸1（%1,yi）,尸2（X2,丁2）两点，则

|尸网=7（阳―X2）」+（%一y2）2

同理，可得|尸1尸2|='J1+/6一丝|（厚0）.

这里山一为|，|为一及|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：

|为一刈=\]（Xl+%2）2—4X1X2，

2

lyi-y?\=N（州+及）—4JI^2.

结£3

1.与双曲线只有一个公共点的直线有两种:一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线;

另一种是与双曲线相切的直线.

2.同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为亍；异支的弦中最短的

弦为实轴，其长为2a

诊断自测

1.概念辨析（正确的打“位,错误的打“x”）

（1）直线与双曲线相交一定有两个公共点.（）

y2,_

（2）直线y=x与双曲线了一>2=1一定不相切.（）

⑶过双曲线上两点A（xi,力），Bg>2）的直线的斜率左=/二看.（）

（4）直线y=x-l被双曲线弓一V=1截得的弦长为也.（）

答案（l）x（2）4（3）x（4）x

2.小题热身

22

⑴直线尸会3+x2与v双曲线方一》=1的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.无法确定

答案B

卜=1-2，*2俣+2）B

解析由If2得方一整理，得6x=—13.所以x=—看，故直线和双曲线

jp-«33

只有一个交点，又双曲线彳一，=1的渐近线方程为y=士]x,所以直线y=1x+2与双曲线的

一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线与双曲线的位置关系为相交.故选B.

（2）（人教A选择性必修第一册复习参考题3T4改编）已知直线丫=履一1与双曲线x2—>2=1没

有公共点，则上的取值范围是.

答案（-00,一陋）U（也，+co）

fykx1>

解析由0得（1—S）f+2丘-2=0,当1一右=0时，方程有解，即直线>=自-1

[£一—9=1,

与双曲线V—Vnl有公共点；当1一合9时，由/=4出+8（1一3）<0,解得上一位或上叩.

故上的取值范围是（一00,一也）U（、「，+oo）.

（3）（人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编）直线I交双曲线>弓=1于A,8两点，且P（4,

1）为AB的中点，则/的斜率为.

答案2

fxi+X2~~8，

解析设点A（xi，巾），8（X2,J2），因为P（4,1）为AB的中点，所以有,又点A,B

\y\-ry2=2.

[才—2才=4,、Vi—Y2

在双曲线上，贝M2c24即（%1+%2）（X1—X2）=2（jl+y2）（_yi一p2），贝II的斜率k=一二一=

[坊一2於=4,xi~X2

X}Sfy=2x-7,

2（：+；）=是=2,此时直线/的方程为y—l=2（x—4）,由jf_2y2=4消去）并整理，

得7——56x+102=0,J=562-4X7X102=280>0,即直线I与双曲线交于两点，所以I的斜

率为2.

考点探究——提素养

考点一直线与双曲线的位置关系

例1若过点P（0,1）的直线/与双曲线E：x2—y2=l的右支交于不同的两点，则直线/的斜

率的取值范围为（）

A.（1,也）B.[—也，-1]

C.[1,^2]D.（—巾,-1）

答案D

解析由题意可得直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=fcc+l,设交点A（xi，%）,B（x2,

。一记加，

/=4R+8（l—R）>0,

[ykx~\~1,0k

y2），联立2_]得（1一—2日一2=0,由题意，得<为+%2=]_严>0,解得

一2

X\X2="\72>0，

V1—K7

—*\[2<k<—1.故选D.

【通性通法】

通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax1+bx+c=Q的形式.

⑴在存0的情况下考察方程的判别式

①/>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；

②/=0时，直线与双曲线只有一个公共点；

③/<0时，直线与双曲线没有公共点.

⑵当。=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.

【巩固迁移】

1.（2024•重庆第二次联合诊断）已知点P（l,2）和双曲线C：X2—]=1,过点尸且与双曲线C

只有一个公共点的直线/有（）

A.2条B.3条

C.4条D.无数条

答案A

解析由题意可得，双曲线C：N—9=1的渐近线方程为〉=±2心点(1,0)是双曲线的顶点.若

直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=l,此时直线/与双曲线C只有一个公共点，符

合题意；若直线/的斜率存在，则当直线/平行于渐近线y=—2x时，直线/与双曲线C只有

一个公共点，符合题意；若直线/的斜率为2,则直线/的方程为y=2x,此时直线/为双曲

线C的一条渐近线，不符合题意.综上所述，过点尸且与双曲线C只有一个公共点的直线/

共有2条.故选A.

考点二弦长问题

例2已知双曲线的焦距为4,焦点在x轴上，且过点P(2,3).

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线机经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线相被双曲线截得的弦长.

解⑴设双曲线的方程为a一本=1(。>。，6>。)，

由已知可得左、右焦点出的坐标分别为(一2,0),(2,0),

M'J|PFi|-|PF2|=2=2a,所以a=l,

又c=2,所以6=/，

所以双曲线的标准方程为『一日=1.

(2)由题意知直线机的方程为y=x-2,联立双曲线方程与直线方程并消去y,得2f+4x—7

=0,

设两交点为A(%i，yi),B(X2,yi),

所以即+%2=—2,即％2=—5，

由弦长公式，得

\AB\=y[l+~i?-\xi—X2I

==1+修寸"(无l+%2)2—4X1%2=6.

【通性通法】

1.距离公式法

当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.

2.弦长公式法

当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线/：+皿期0)与双曲线C：

会一本=l(a>0,b>0)交于Agyi),Bg>2)两点，则1+。|为一&|1+H

■\]（Xl+%2）2—4XI%2或|A8|=\/1（yi+>2）2—4y/2.

【巩固迁移】

2.已知双曲线C：也一方=1过点（陋，小），给出以下两个条件:

①离心率为2；②与双曲线日一/=1有相同的渐近线.

（1）任选一个条件，求出双曲线C的方程；

⑵直线/与直线4x—2y—1=0平行，/被C截得的弦长为4小，求直线/的方程.

a2—l,

解（1）若选择①：由1e=£=2解得，所以双曲线C的方程为/一勺=1.

a，〃=3,

、。2=层+〃,

若选择②：设双曲线的方程为g一产=〃（存0）,

3

依题意，得2=〃，解得〃=-1,

所以双曲线C的方程为日=1.

（2）由题意，设直线/的方程为4x—2y+m=0,

X2—,^■=1,

联立'3

4x—2y+m=0,

得4%2+8mx+m2+12=0,

由A=64m2-16（m2+12）=48m2-192>0,

解得m<-2或m>2.

A（xi，8（x2，y2），

设/交。于点yi）9

j^2,|12

=

则即+%2=—2m,X1X2，所以|A6|=）1+4|的一刈=小々（为+%2）4%I%2

y[5•74m2-（源+12）=4小,

山曰25

解侍m=±\.

所以直线I的方程为6x-3y+V21=0或6x—3y—g=0.

考点三中点弦问题

例3（2023•全国乙卷）设A,3为双曲线x2一弓=1上两点，下列四个点中，可为线段A5中

点的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）

C.（1,3）D.（-1,-4）

答案D

解析解法一：设A（xi，yi）,8（X2,/），则AB的中点叱手，号"，可得心B=色比

♦+>2（衣―兔=1

-1,

yi+y2尸9

直线0M（。为坐标原点）的斜率左=^^=匕L，因为A，8在双曲线上，则〈2

X1+X2XI十X2,y$

——国一11，

y?-yyy?—y?

两式相减得（好一£）—，i=0,所以心8比=看二臣=9.对于A,k=l,kAB=9,则直线AB：y

y=9x~S,

=9x—8,联立方程｛,/消去y得72f—2x72%+73=0,此时［=（—2x72）2—4x72x73

x"一$=1,

Q

=—288<0,所以直线A3与双曲线没有交点，故A不符合题意；对于B,k=-2,kAB=

「95

95、、、\y—2x-T

则直线A3：y=-1%一］,联立方程J2消去y得45f+2x45x+61=0,此时/=

卜苫=1,

（2x45）2—4x45x61=-4x45xl6<0,所以直线48与双曲线没有交点，故B不符合题意；对于

C,k=3,kAB=3,则直线AB：y=3无，由双曲线方程可得a=l,b=3,则直线AB-.y=3x

为双曲线的渐近线，所以直线A8与双曲线没有交点，故C不符合题意；对于D,k=4,kAB

r97

997Iv4A4,

=4,则直线A8：>=下一不联立方程12消去y得63/+126无-193=0,此时/

卜弋=1,

=1262+4X63X193>0,故直线48与双曲线有两个交点，故D符合题意.故选D.

fxi—•^•=1①，_

解法二：设A（无1，力），8（X2,丫2），A8的中点为（无0,州），《2①一②得心

.卜芳=1②，尬一为

=9、充=9噌即-3<9登3=-上%，即.或亲-3.故选D.

【通性通法】

中点弦问题的解决方法

将直线方程与双曲线的方程联立，消元后得到一元二次方程，再用判别式和

方法一

中点坐标公式求解

方法二用点差法和中点坐标公式求解：设A（xi,y1）,B（xi，丁2）是双曲线，一1=1（。>0,

/?>0)上不同的两点，且xi+x2^0,M(XQ,yo)为线段AB的中点，则

[耳—耳=1

H两式相减可得"二丝中=「，即心=然

始达即一、2%1十元2axoaayo

b〃=i.

【巩固迁移】

3.过点尸(8,1)的直线与双曲线V—4^=4交于A,8两点，且尸是线段A8的中点，则直

线AB的方程为.

答案2x—y—l5=0

解析设A,8的坐标分别为(即，y)，(X2，丁2)，则看一4田=4①，X2—4^=4②.由①一

②，得(小+刀2)(汨一>2)—4(y+丁2>8—丁2)=0,,尸是线段A3的中点，.*.xi+x2=16,y\+j2

=2,.•.”♦=:要、=2".直线AB的斜率为2,直线AB的方程为2x—y—15=0.

x\—xi4(竺+竺)

考点四直线与双曲线的综合问题

例4(2024•重庆一中质检)在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点7(2,

3),且有一条倾斜角为120。的渐近线.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设点厂为双曲线C的右焦点，点尸在C的右支上，点。满足源=匝，直线。尸交双曲线

C于A,8两点，若|48|=2|。F],求点尸的坐标.

22b

解⑴设双曲线C的标准方程为5X—%v=1(〃>0,&>0),渐近线方程为产土，

4Qhr-r-

则由题意可得，^2—^2=1,且一£=tanl2()o=一小，解得〃=1,。=小,则双曲线。的标准

方程为『一日=1.

(2)双曲线C的方程为%2—^-=1,

所以C的右焦点FQ,0),

点。满足匝，则尸为。。的中点，

设P(mfn),m>0f则。(2加，2ri),

若直线A3的斜率不存在，则其方程为x=2,此时尸(1,0),m=l,。与尸重合，不符合题

意;

若直线A8的斜率存在，设直线A3的方程为2),机#1,因为％°厂=女，所以5口=上

所以n=(m—l)k,

因为点尸在双曲线。上，所以3加一层=3,

3771+3

所以3川一［(机—1阂2=3,即产=詈品,

\y—k（尤一2），

联立"，,消去y,得（S—3）/一4妤x+4妤+3=0,

［3/—y=3,

所以好一3力0,/=16/4—4（d—3）（4斤+3）=36（斤+1）＞0.

设A（xi，yi）,8（X2，＞2），

4M4F+3

则对+尤2=下一3'X1X2=lc-3-

因为|45|=2|。日，所以咫一知=2|2加一2|,

所以(X1+汹)2—4X1X2=16(〃z—1)2,

24庐+3

所以・4x炉—3=16（加一Ip,

即9（斤+1）=4（加一1）2（炉一3）2,

3m+3八3m+3J，

所以

9m—1

3

解得机=］，n符合题意,

所以点尸的坐标为

【通性通法】

利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线

的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以

利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数

来解决问题.

【巩固迁移】

22

4.(2022•新高考I卷)已知点A(2,1)在双曲线C：，一式彳=l(a＞l)上，直线/交C于P,Q

两点，直线AP,A。的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

⑵若tan/B4Q=2吸，求ARI。的面积.

41

解⑴将点A的坐标代入双曲线方程得十一£1=1,化简得4〃2+4=0,得〃=2,

故双曲线C的方程为了-9=1.

由题易知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=fcv+机，P(xi，乃)，。(尤2,>2)，

联立直线/与双曲线C的方程并整理得(2产―1.2+4切吠+2/+2=0,

,,,4km2m22

故X]十必=-2^2_|，%1%2=2a_]­

》一1>2—1fcn+二一1kxz+m-1

心尸+kAQ—

x\—2X2—2x\—2X2—2

化简得2辰1松+(机一1—2k)(xi~\~xi)—4(m—1)—0,

2k(2m2+2),(4km\

故2k2—]+(m—1—2^—2^—11)=0,

整理得(%+l)(m+2k~1)=0,

又直线/不过点A,即m+2Z—屏0,

故k=-1.

(2)不妨设直线PA的倾斜角为^0<0<1),

由题意知NB4Q=兀-2仇

所以tanNB4Q=—tan2e=^^fy=2吸,

、历

解得tan0=*^5或tan9=—?(舍去),

小「2-10-472

由、9仔％i一&,

[-5M-y??=1l,

所以|AP|二小山一2|=4小x(,T),

同理得X2="苧但，

所以IAQ尸小咫―2|=4小*(，+1).

因为tanNB4Q=2，^,

所以sinN/MQ=2^,

故S^AQ=^\AP\\AQ\smZPAQ

_14G—1)4小x(也+1)2点

=卧3*3x3

16s

―9■

课时作业

A级:基础巩固练

一、单项选择题

1.直线y=2尤+相与双曲线4/一尸=1的交点情况是（）

A.恒有一个交点

B.存在机有两个交点

C.至多有一个交点

D.存在机有三个交点

答案C

解析将y=2x+:"代入以2—9=1，得%2+4mx+l=0.当机=0时，方程无解；当：存0时，

1+布2

%=「一，所以至多有一个交点.故选C.

—4m

2.在直线与双曲线的位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当“直线与双曲线有且只有一个公共点''成立时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行，

此时“直线与双曲线相切”不成立.反之，由“直线与双曲线相切”一定能推出“直线与双曲线有

且只有一个公共点”，所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要

不充分条件.故选C.

3.（2023・四川遂宁适应性考试）已知双曲线C：方一或=1的右焦点为冗点4（0,间，若直线

AF与C只有一个交点，则加=（）

A.±2B.土4小

C.±2小D.±4

答案B

解析双曲线的渐近线方程为》=±7§-右焦点为F（4,0）,因为直线AF与C只有一个交点，

所以直线AF与双曲线的渐近线平行，所以左AF=£三=±\「，解得加=±4小.故选B.

4.（2024・湖北荆州模拟）已知双曲线C：，一方=l（a>0,b>0）与直线y=—尤+2相交于A,B

两点，弦43的中点M的横坐标为一1,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±\|3xB.y=±3x

D.y=±^x

C.y=^x

答案A

走近

02一〃1,

（X1+X2）（对一刀2）

解析设A(xi,%)，BQ2，yi),则由点差法得

遨_延〃2

序b11,

（yi+>2）（y一丁2）6(yi-”)

)—

b2—0(xi^X2.VAf(—1,3),/.xi+x2—2,yi+^2—6,b2(X1~X2)

=0,又％”=；：_；=—1，**.b2=3a1,，双曲线。的渐近线方程为y=±*=±V^x•故选A.

5.已知产是双曲线％2一七=1的左焦点，直线4元一p一12=0与该双曲线交于P,。两点，则

△FPQ的重心G到y轴的距离为（）

A.1B.4

C.3D.2

答案C

12_J

解析由题意，不妨设尸（为，以），。。2,”），联立双曲线方程与直线方程，得J8'

、4x一厂12=0,

消去》得/-IZx+ignO,故％1+汕=12.因为网一3,0）,所以△EPQ的重心G到y轴的距

离为|哈匚卜号.故选C

6.（2023・山东烟台模拟）过双曲线/一V=2的左焦点作直线/,与双曲线交于A,2两点，若

|AB|=4,则这样的直线/有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

答案D

解析由题意，得双曲线的左焦点为（一2,0）,当直线/垂直于横轴时，\AB\=2y[2,不符合

题意，因为双曲线的渐近线方程为y=±x,故可设直线/的方程为y=A（x+2）（以±1）,A（xi，

\y—k（x+2）,

yi）,Bg竺），与双曲线方程联立，可得｛22〜消去》得（1一标）/—4超x—4评一2

[厂一;/=2,

4炉—4^—2、I----

=0,则X1+尤2=]_六，尤1尤2='由弦长公式，知\AB\=N产+1|xi—尤2|=

转=%得出+1=仙廿一1|，解得左=±（也一1）或左=±（陋+1），故存在4

条满足条件的直线.故选D.

7.（2024.广东珠海模拟）已知直线/与双曲线了一;=1相交于A,B两点，O为坐标原点，若

OALOB,则|0川・|05|的最小值为（）

A.20B.22

C.24D.25

答案C

解析依题意，得直线OA与OB的斜率都存在且不为0,不妨设直线OA的方程为>=辰（原0）,

产91

1可―7=1，12

则直线OB的方程为尸一加设Ag,竺），如2,竺），联立得T4则看=言F，y仁

^y=kxj

12x春+12

若12出后，所以|0.2=焉+济=了1?枭+告日12/+12.同理可得|0为2=始+货=

『3,点

12F+121,1_4_3标4储一3_M+1_],1_1,1

就2—3-所以|。川2十。为2—I2产+12十12好+12-12产+12-12'加以12一|。4/十|0州2

552V|（9A|21|OB|2=|OA|2|OB|,即QAHOBIN24'当且仅当|。4|=|。8|时'等号成立.故选C-

8.（2024•湖南长沙高三模拟）已知双曲线C：5一方=130,>>0）的左、右焦点分别为Fi，

尸2,直线y=4尤与C的左、右两支分别交于点A,B,若四边形为矩形，则C的离

心率为（）

小+1

A.-2-B.3

C.小+1D.小+1

答案C

解析显然直线y=/x与吊92交于原点O,由双曲线的对称性知，若四边形是矩形,

y—\[3x,

则|43|=向巳|，设点A（xi，yi）,8（x2,m），而尸i（—c,0）,F2（c,0）,由得（〃一

浮

3a2濡=融2,解得x尸—谭泰山=谭玄，则|A8尸W+（小）2.—了驾j,

二、多项选择题

9.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±&,实轴长为4,贝1（）

A.该双曲线的虚轴长为2加

B.该双曲线的焦距为2小

C.该双曲线的离心率为小

D.直线x—y+2=0与该双曲线有两个公共点

答案BD

2

解析由题意，设双曲线的方程为a/一v方=13＞。，6＞。)，因为双曲线的渐近线方程为产土会1,

也」(a=2,

实轴长为4,所以°2，解得，/故双曲线的方程为『一丁=1，所以，=后除=小.

U=4,出=，&

对于A,该双曲线的虚轴长为2,所以A错误；对于B,该双曲线的焦距为2c=2小，所以

「小

cy[51一/=1,

B正确；对于C,该双曲线的离心率为6=趣=竽，所以C错误；对于D,由彳4得

—y+2=0,

3f+16x+20=0,因为力=162—4x3x20=16＞0,所以方程3f+16x+20=0有两个不相等的

实根，所以直线尤一y+2=0与该双曲线有两个公共点，所以D正确.故选BD.

72

10.己知双曲线C：舌一宁=1的一条渐近线方程为4尤-3y=o,过点(5,0)作直线/交双曲

线于A,B两点，则下列结论中正确的是()

A.£=16或一9

B.该双曲线的离心率为|

C.满足|A3尸苧32的直线/有且仅有一条

D.若A,2分别在双曲线左、右两支上，则直线/的斜率的取值范围是(若，§

答案BD

解析

丫2(]6

因为双曲线C±y—9=1的一条渐近线方程为4x—3y=0,所以言=合，解得/=16,故

A错误；双曲线方程为点一生=1,故〃=3,b=4,c=.9+16=5,所以该双曲线的离心率e

=|,故B正确；如图，F(5,0)为双曲线的右焦点，当x=5时，丁=土与，当A，5两点都在

双曲线的右支上时，\AB\^—,因为|A3|=w，所以这种情况的直线AB只有一条，且A8与x

32

轴垂直；当A,8分别在双曲线的左、右两支上时，可得|A3|22〃=6,而学＞6,可得这样的

直线有两条，综上所述，满足发为=]3■2的直线/有三条，故C错误；双曲线的渐近线方程为y

=±%,要使A,3分别在双曲线左、右两支上，则直线/的斜率的取值范围是（空，1｝故

D正确.故选BD.

三、填空题

11.已知双曲线3一方=1（办0,6＞。）的左、右焦点分别为Q，F],过点/2作与x轴垂直的直

线与双曲线的一个交点为P,且NP为巳=袭，则双曲线的渐近线方程为.

答案y=±\•

解析根据已知可得，尸尸2|=?且|尸品|=%，吟-％2a,所以1=2,%小,双曲线的

渐近线方程为了=地工

12.（2024•福建厦门第四次质量检测）写出同时满足下列条件的一条直线/的方程为.

①直线/在y轴上的截距为1；②直线/与双曲线9=1只有一个公共点.

答案尸±%+1,〉=±冬+1（写出其中一个直线方程即可）

解析因为直线/与双曲线。一尸=1只有一个公共点，所以直线/与双曲线专一丁=1的渐近

线丫=±&平行.又直线/在y轴上的截距为1,所以直线/的方程可以是y=i1x+l.若直线/

在y轴上的截距为1且与双曲线相切，则二者只有一个交点.可设/：y=kx+A,代入双曲线

[、[I®"y[2

方程，得（"一出卜2—2日一2=0,只需j解得k=差,所以直线/：y

[/=4F+8（J-於）=0,

=±冬+1,即所求直线/的方程为丫=±%+1,y=土冬+1（写出其中一个直线方程即可）.

13.（2024・湖南益阳模拟）已知双曲线C：会一步=1,若直线/的倾斜角为60。，且与双曲线C

的右支交于M,N两点，与x轴交于点P,若此0|=¥，则点尸的坐标为.

答案（小，0）

解析设直线/的方程为y=^x+/n,与双曲线方程全一丁=1联立，可得8x2+64§mx+3M

+3=0,iJ=108m2-32（3m2+3）=12m2-96>0,得机>2吸或机<—2吸.设"（即，》），Ng,

"），则为+%2=—3呼,>0,方刀2=细甘3>0,则徵<0,所以m<—2巾,\MN\=y/1+（小）?

222

r-；―------/27m~~3m+3ylim—24A/3有/日...

ki—X2I=2^/（xi+^2）2—4xiX2—2A/]6——2—="—2---=29斛侍加=3（舍去）或m

=-3,所以直线/的方程为y=/x—3,令y=0,可得％=小.故点尸的坐标为（小，0）.

14.已知直线MN：尸gx+2与双曲线C：§—；=1交于跖N两点，。为坐标原点，则AOMN

的面积为•

答案4巾

y=$+2,

22消去x并整理，得f一以一24

{94-1,

=0.设M（»,州），N（xi，yi）,则|MN|=

\1+如咫一阳|=、1+庐4-（愈+即）2—4X1X2

=Y（l+1）x（16+96）='争，o到直线MN的距离为d=-p^=焉,所以△OMN的

'\1+9

面积为S=3义也曾义-^=4币.

四、解答题

15.已知双曲线C和椭圆方+>2=1有公共的焦点，且离心率为小.

⑴求双曲线C的方程；

（2）过点M（2,1）作直线/交双曲线C于A,B两点，且M为的中点，求直线/的方程及弦

长|4班

解（1）由题意，知椭圆:+9=1的焦点坐标分别为（一小，0）和（、/§,0）,设双曲线C的方程

22

为^一方=1（。>0，fc>0），

则c2=a1+b2=?>,因为e=~=y[3,

所以。=小〃，解得/=1,吩=2,

所以双曲线。的方程为％2—g=l.

（2）设A（xi，y）,3（x2，>2），分别代入双曲线方程，得才一5彳=1,焉一5专=1,

两式相减，得（为+x2）——竺）。1+丁2）=0，

因为点M(2,1)为A5的中点,

所以％1+冗2=4,y+y2=2,

则4(xi—X2)~(yi—)^2)=0,

所以心二四=4,

X1~X2

所以直线I的方程为y=4x—7.

把y=4x—7代入x2一弓=1,消去y,

得l^~56x+5l=Q,

所以X1+X2=4,为检=直,

又k=4,

所以\AB\=弋(X1+X2)2-4尤1X2

uC~7~5iV1190

=V^xyj16-4?=七一・

16.(2024•江西红色十校联考)已知双曲线C：J-p=l(a>0,6>0)的离心率为2,右焦点F

到一条渐近线的距离为小.

⑴求双曲线C的方程；

(2)已知点8(0,b),过点P(一争0)作直线/与双曲线C交于跖N两点，若18M=阿，求

直线/的方程.

呢+01

解(1)由题意知尸(c,0),双曲线C的一条渐近线为Z?x+〃y=0,则7b2+：=b=小,

rc1+?=2,所以i=L

又e=Z

所以双曲线C的方程为七=1.

(2)由(1)知，2(0,小)，尸(一坐，0)，由题易知直线/的斜率存在，当直线/的斜率为0时，

直线/的方程为y=0,此时直线/与双曲线C的交点为(-1,0)和(1,0),满足|BM=|8N，

符合题意；

当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为y=fcv+皿际0),设Mxi,力)，Ngy2),线段

的中点为。(尤0,加)，

f―e=1,

联立<3得(3一廿)秒一2初吠一AT?—3=0,

y=kx-\-m,

、,一七0,

所义[/=(-2km)2+4(3—^2)(m2+3)>0,

[3—严加，

即

[m2+3—^>0,

2km

所以xi+x=

23—沪

m2+3

%i%2=-3—淤'

km3m

X°=FP，y°=FP'

3m—6

因为所以加_LMM所以kBQ=独4=落『=迎二唔血1

k9

3—严

所以3-4=4乎m.

又点《一坐，0）在直线/上，

所以机=坐上，所以3—标=2%,

3—3加，

解得人=-3或％=1,满足

m2+3—^>0,

所以直线/的方程为y=—3x—芈或y=x+坐

综上，直线/的方程为y=0,y=—3x—殳乎或y=x+坐.

素养提标

17.（多选）已知B，B分别是双曲线，一胃=1（°>0,b>0）的左、右焦点，A为左顶点，尸为

双曲线右支上一点，若|PR|=2|PB|,且△PFiB的最小内角为30。，贝1」（）

A.双曲线的离心率为小

B.双曲线的渐近线方程为〉=地》

C.ZE4F2=45°

D.直线x+2y—2=0与双曲线有两个公共点

答案ABD

解析对于A,因为|尸碎=2|尸码，|「为|一|力囹=2。，所以|尸西|=40|P&l=2a,又因为2c>2a,

[6〃2—4c2—4〃2A/Q

4a>2°,所以NP为尸2=30。，所以cos/PR尸2=-2x4f；x2c-=早所以c=W，所以e

=小，故A正确；对于B,因为e2=*=°?=3,所以*=2,所以所以双曲线

的渐近线方程为y=丸「X,故B正确；对于C,因为2c=2/°,所以IPR/TpgF+IBBF，

所以/PB尸1=90。，又因为|AB|=c+a=（小+1）°,\PF^2a,所以|A因和乎2|，所以/