2025年高考数学重难点导数必考经典压轴解答题汇编（原卷版）

导数必考经典压轴解答题汇编

【新高考专用】

导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试

题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、

不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题,

解题时要灵活求解.

其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压

轴题的热点方向.

►知识梳理

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在“某点的切线方程的解题策略：

①求出函数产於)在尤=尤0处的导数，即曲线产/(无)在点(无0<尤0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(X0)(x-x0).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(xo)/(xo))(不出现约)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=J[xo)+f(xo)(x-xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

1.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：产/⑴在Q6)上单调，则区间3,6)是相应单调区间的子集.

(2求x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xG(a力)都有/(x)>0(/(x)<0),且在他力)内的任一非空子区间

上，了(无)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数/U)极值的一般步骤：

(1)确定函数兀0的定义域；

(2)求导数/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(尤)在/(x)=0的根xo左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数/(尤)在句上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值五a),fib)；

③将函数五功的各极值与/(。)，人力比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

1.导数中的函数零点(方程根)问题

利用导数研究含参函数的零点(方程的根)主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数/U)的最值，转化为/U)图象与X轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由y(x)=O分离参变量，得―g(©,研究尸。与尸g(x)图象的交点问题.

2.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证y(x)＞g(x)在区间(。，上成立，需构造辅助函数F(x)=/(x)—g(x),通过分析F(x)在端点

处的函数值来证明不等式.若F(a)=O,只需证明尸(x)在(a,6)上单调递增即可；若F(b)=O,只需证明尸(x)

在(a,b)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

3.导数中的恒(能)成立问题

解决不等式恒(能)成立问题有两种思路：

(1)分离参数法解决恒(能)成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另

一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

4.导数中的双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【知识点5极值点偏移问题及其解题策略】

1.极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(。力)内只有一个极值点方程/(%)的解分别为

再、%2,且a＜玉＜%＜匕.

(1)若七迤wX。,则称函数y=f(x)在区间(x15x2)上极值点X。偏移；

(2)若：Ax。,则函数y=/(x)在区间(王,々)上极值点与左偏，简称极值点与左偏；

(3)若与迤＜%,则函数y=/(x)在区间(%,％)上极值点/右偏，简称极值点X。右偏.

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数抵%)存在两个零点Xl，X2且%1W%2，求证：Xl+X2>2xo(xo为函数«¥)的极值点)；

(2)函数«¥)中存在％I，%2且X1WX2，满足/(X1)书X2)，求证：%1+%2>2%0(%0为函数月%)的极值点)；

(3)函数大犬)存在两个零点XI,无2且无1#尤2,令X。=:,求证：/(尤0)>0；

(4)函数式X)中存在尤1，X2且X1WX2，满足y(xi)=式X2),令Xo=%,求证：/(XQ)>O.

3.极值点偏移问题的常见解法

(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：

①对结论尤1+X2>2xo型，构造函数尸(x)=/(x)-/(2x0-X).

②对结论为当〉而型，方法一是构造函数产(x)=/(x)—/(*),通过研究尸(X)的单调性获得不

等式；方法二是两边取对数，转化成hui+hM2>21nAo，再把瓜打，瓜也看成两变量即可.

(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用

函数单调性证明.

►举一反三

【题型1函数的切线问题】

【例1】(2024•广东•二模)已知函数f(%)=ex-1—xlnx.

(1)求曲线y=/(%)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)证明：/(x)>0.

【变式1-1](2024.四川雅安.一模)已知函数/(%)=詈，其中aCR,

(1)当。<0时，求/(%)的单调区间；

(2)当a=1时，过点(-1,租)可以作3条直线与曲线y=/(%)相切，求相的取值范围.

【变式1-2](2024・湖北黄冈•一模)已知函数/(%)=2a\nx+^%2—(a+3)%,(aeR)

(1)若曲线y=/(久)在点处的切线方程为/(久)=-x+b,求。和6的值;

(2)讨论f(x)的单调性.

【变式1-3](2024•广东惠州•模拟预测)已知函数/0)=6。，+}(。20).

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(l,f(1))处的切线方程；

(2)设g(x)=f'(x)-x2,求函数g(x)的极大值.

【题型2(含参)函数的单调性问题】

【例2】(2024•浙江金华•一模)已知函数/(%)=—a®%+(1—a)久，(a>0).

(1)若a=1,求/(x)的单调区间;

(2)若/(久)2—求a的取值范围.

【变式2-1](2024・上海静安•一模)设函数f(x)=x+(-8,0)u(0,+8).

(1)求函数y=/(%)的单调区间；

(2)求不等式/(%)<2%的解集.

【变式2-2](2024.广东.模拟预测)已知函数/(%)=%3+|(a—3)%2—ax+4.

(1)当a=6时，求f(%)的极值；

⑵讨论/(%)的单调性.

【变式2-3](2024.贵州六盘水.模拟预测)已知函数/(%)=e%-a%+l(aGR).

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)若V%20,/。)2+2,求实数〃的取值范围.

【题型3函数的极值与最值问题】

【例3】(2024•云南大理•一模)已知函数/(%)=ln%+?—l.

(1)当。=1时，证明：/(x)>0；

(2)若函数/(%)有极小值，且/(%)的极小值小于a-求a的取值范围.

【变式3-1](2024・广东肇庆.一模)已知函数/(无)=等+ax+5.

(1)当a=0时，求/(x)的最大值;

(2)若/。)存在极大值，求a的取值范围.

【变式3-2](2024•陕西榆林•模拟预测)已知函数/(%)=。%-ln(%+1)+1.

(1)当Q=1时，求/(%)的最小值；

(2)求/(%)的极值；

(3)当a<2时，证明：当时，/(%)>ex.

【变式3-3](2024.河南.二模)已知函数/(%)=%2+2(a-3)x+2alnx(aeR)在定义域内有两个极值点

xlfx2.

(1)求实数a的取值范围；

-

(2)证明:/(%!)+/(%2)>1°-

【题型4导数中函数零点(方程根)问题】

【例4】(2024•贵州黔南•一模)已知函数/(%)=ae%—%+ER).

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)若当。>0时，函数/(%)有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

【变式4-1](2024•山东烟台•三模)已知函数/(%)=%+ae%(a€R).

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)当a=3时，若方程齐+*=爪+1有三个不等的实根，求实数小的取值范围.

fM-x/(x)

【变式4-2](2024・四川・一模)设/(%)=e%3T_ax

(1)若a=0,求/(%)的单调区间.

(2)讨论/(%)的零点数量.

【变式4-3](2024•甘肃白银•一模)已知函数f(%)=垃2一21n%-1.

(1)若曲线y=/(%)在％=2处的切线的斜率为3,求心

(2)已知/(%)恰有两个零点%<%2).

①求力的取值范围；

②证明：久+三<上驷.

X2%1t

【题型5导数中不等式的证明】

【例5】(2024•广东广州•模拟预测)已知函数/(%)=e%-Ze/一%.

⑴若k=｝求证：当％>0时，/(%)>1；

(2)若％=0是/(%)的极大值点，求k的取值范围.

【变式5-1](2024•四川•一模)已知函数/(%)=xln%-a/+1.

(1)若f(%)在(o,+8)上单调递减，求a的取值范围;

(2)若aVO证明：/(%)>0.

【变式5-2](2024.山西.模拟预测)已知函数/(%)=Inx+^x2—x+2(aGR).

⑴若函数/(%)在定义域上单调递增，求a的取值范围；

AQX—2

(2)若a=0；求证：/(x)<

(3)设%i，%2(%1<%2)是函数/(%)的两个极值点，求证：/(%1)-/(%2)<一3(%i一%2).

【变式5-3](2024.安徽安庆.三模)已知函数f(x)=(ln|x|)2-(%+，+2,记尸(久)是f(x)的导函数.

(1)求尸(1)的值；

(2)求函数/(久)的单调区间；

(3)证明:当x>1时，(X-1)[e-x+xln^1+>Inx-ln(x+1).

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】

[例6](2024•河南•模拟预测)已知函数/(%)=ex—2elnx+ax+lna(a>0).

(1)若Q=1,证明：/(%)>|%；

(2)若f(%)>2e+1恒成立，求实数a的取值范围.

【变式6-1](2024.福建.三模)函数/(%)=(1-％比。%-%-1,其中。为整数.

(1)当a=1时，求函数/(%)在％=1处的切线方程；

(2)当％6(0,+8)时，/(%)V0恒成立,求a的最大值.

【变式6-2](2024•浙江台州•一模)已知函数/(黑)=婷+4/一5%.

⑴求函数y=/(%)的单调递减区间；

(2)若不等式^^-61nx<a(x-对任意％E[1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【变式6-3](2024.四川德阳.模拟预测)已知函数/(%)=ln%+?.

(1)若曲线y=/(%)在点处的切线为久+y+b=0,求实数b的值；

2

(2)已知函数g(%)=/O)+%,且对于任意%€(0,+8),g(x)>0,求实数a的取值范围.

【题型7利用导数研究能成立问题】

【例7】(2024•四川乐山•三模)已知函数/(%)=ax+ln%,g(%)=aQ—%—1^+1—%

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)令”(久)=f(x)+g。)，若存在久06(1,+8),使得〈上爰1成立，求整数a的最小值.

【变式7-1](2024•河南郑州•模拟预测)已知函数/'(%)=xlnx—ax2,g(%)=ax2—ax+1,/i(x)=f(x)+

g(%)・

⑴讨论：当。€(-8,0]U住,+8)时，/(%)的极值点的个数；

(2)当a>1时，3%G(l,+oo),使得九(%)<(e-1)。一3e+3,求实数〃的取值范围.

【变式7-2](2024・湖北•模拟预测)已知函数/(%)=In%,g(%)=£-1其中a为常数.

⑴过原点作/(%)图象的切线求直线/的方程；

(2)若士G(0,+8),使/(%)<g(%)成立,求a的最小值.

【变式7-3](2024・辽宁•模拟预测)已知函数/(%)=(ax—l)ex+1+3(aW0).

⑴求/(%)的极值；

(2)设a=l,若关于久的不等式/(%)<(b-l)e%+i-汽在区间[一1,+8)内有解，求b的取值范围.

【题型8双变量问题】

【例8】(2024.江苏盐城.模拟预测)已知函数/。)=捺，其中a〉0.

(1)若f(x)在(0,2]上单调递增，求a的取值范围；

(2)当a=1时，若%]+&=4且0<X1<2,比较/'01)与/(右)的大小，并说明理由

【变式8-1](2024.河南商丘.模拟预测)已知函数/(久)的定义域为(0,+8),其导函数/(久)=2支+：—

2a(aeR),/⑴=1-2a.

(1)求曲线y=/(久)在点(1,/(1))处的切线/的方程，并判断/是否经过一个定点；

(2)若三%1，%2，满足OV%1<%2，且/(%1)=/(%2)=。，求2/(%1)-/(%2)的取值范围.

【变式8-2](2024・四川成都•模拟预测)已知函数/(%)=詈一7n,%£(0m).

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)若第1<%2，满足/(%1)=/(%2)=。.

(i)求ni的取值范围；

(ii)证明：/+%2V1T.

【变式8-3](2024•安徽阜阳•一模)已知函数f(%)=31nx—ax.

⑴讨论f(%)的单调性.

(2)已知是函数/(久)的两个零点(第1V%2)・

(i)求实数a的取值范围.

(ii)2e(0,|),广(x)是f(x)的导函数.证明：+<0.

【题型9导数中的极值点偏移问题】

【例9】(2024.江西.模拟预测)已知函数f(x)=%+学

(1)讨论f(%)的单调性；

(2)若%1。%2，且/(%i)=/(%2)=2,证明：0Vm<e,且％1+&<2.

【变式9-1】(2024•云南・二模)已知常数a>0,函数/(%)=一一2a2]口%.

(1)若V%>0/(%)>-4a2,求a的取值范围;

(2)若%1、不是/(%)的零点，且%1。％2，证明:％i+%2>4a.

【变式9-2](2024•全国•模拟预测)已知函数f(%)=1—In%—ER).

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若/(%)有两个零点%i，到，且%1<%2，求证：%i%2<e-a.

【变式9-3](2024•湖北武汉•三模)已知函数/(%)=a%+(a-l)ln%+：,aER.

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)若关于％的方程/(%)=xex-Inx+:有两个不相等的实数根%]、%

(i)求实数〃的取值范围;

/一、十、/eX1,eX2、2a

(11)求证：一H--X->——.

%21

【题型10导数与其他知识的综合问题】

【例10](2024•江苏南通•三模)已知函数/(久)=(1+x)fc-/ex-l(fc>1).

()若X>-1,求/(X)的最小值;

(2)设数列｛an｝前项和%,若0n=(1+薮)，求证：Sn-n>2-等.

【变式10-11(24-25高三上•河北沧州•阶段练习)已知函数/(%)=In久的图象与函数g(x)的图象关于直线y=

-x+1对称.

(1)求函数g(x)的解析式；

⑵证明:VxG(1,+oo),/(x)-g(x)>0;

(3)若圆M:(x—1)2+丫2=产">0)与曲线丫=|/(为|相交于43两点，证明：NAMB为锐角.

【变式10-2](2024.重庆•二模)已知函数/■(>)=总]

⑴求/(%)的单调区间；

(2)当OV%<1时，/(%)>-^-+a,求实数a的取值范围；

%—1

(3)已知数列{&J满足：Gli=且厮=f(an+i).证明：<an<-^.

【变式10-3】(2024•江苏•一模)已知a>0,函数/(%)=axsin%+cosa%—1,0<%<-.

4

⑴若a=2,证明：/(%)>0；

(2)若求4的取值范围；

(3)设集合尸={a\a=〉cos,几6N*},对于正整数m,集合={x\m<x<2m},记Pn中

nnk=l2/C(/：t+l)

元素的个数为力句求数列物加}的通项公式.

【题型11导数新定义问题】

【例11】(2024.河南新乡.模拟预测)已知函数/(%)=。0+%%+g/+…+其中…，%I不

71

全为0,并约定an+i=0,设瓦=(k+1)以+1-耿，称g(%)=为+瓦%+历/+…+b九%为/(%)的“伴生

函数

(1)若/(%)=5x4+3x2+3%+1,求g(%)；

(2)若f(%)>0恒成立，且曲线y=>0)上任意一点处的切线斜率均不小于2,证明：当1>0时，

gM>/(%)；

(3)若劭=0，证明：对于任意的租e(0,+8),均存在te(o,7n),使得g(t)<3黑.

【变式11-1](2024四川成者回模拟预测)定义运算：|；；|=mq-np,已知函数/(x)=「竽”—1

।“q।।1CL

--1.

X

(1)若函数f(x)的最大值为0,求实数。的值；

(2)证明：(1+襄)(1+*)(1+*)…(1++)<e.

(3)若函数无(久)=/(x)+g(K)存在两个极值点%1，刀2，证明：_a+2<0.

%1一不

【变式11-2】(2024•湖南长沙•模拟预测)定义：如果函数f(x)在定义域内，存在极大值f(/)和极小值/(%2)

且存在一个常数鼠使/(%)-/(>2)=k(xi-右)成立，则称函数/(X)为极值可差比函数，常数k称为该函数

的极值差比系数.已知函数/(X)=x-1-alnx.

(1)当a=]时，判断/(久)是否为极值可差比函数，并说明理由；

(2)是否存在a使/(久)的极值差比系数为2-a?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(3)若乎<a<|,求/(%)的极值差比系数的取值范围.

【变式11-3](2024.上海•模拟预测)已知函数y=f(x),xGD,如果存在常数M,对任意满足/<x2<■■■<

久nT<f的实数与，久2,…，久n-1,与1，其中无1，久2,…，久n-l，Xn6。，都有不等式£上2"(%)-/■(阳-1)14M恒成

立，则称函数y=/(%),%e。是“绝对差有界函数”

(1)函数/(*)=等,x>:是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；

(2)对于函数y=/(%),%e[a,b],存在常数匕对任意的%力亚e[见句，有lf(%i)一/(犯)14《久i一]2I恒成立，

求证：函数y=/(%),%e&用为“绝对差有界函数”

⑶判断函数，⑺=/北｝°、'”不是，，绝对差有界函数，，？说明理由

A课后提升练(19题7

一、解答题

1.(2024.海南省直辖县级单位.模拟预测)已知函数/(%)=%-In%-2.

(1)求曲线y=/(%)在(e,e-3)处的切线方程；

(2)若a20,g(x)=ax2-2(ax+1)-/(x),讨论函数g(%)的单调性.

2.(2024•湖北・一模)已知/(%)=(ax2+%+l)ex.

(1)当a=1时，求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)若f(%)在区间内存在极小值点，求a的取值范围.

3.(2024・重庆•模拟预测)设aGR,已知函数/(%)=Inx+ax—a2+2.

(1)当函数/(%)在点(2/(2))处的切线m与直线/:3%-2y-1=0平行时，求切线m的方程;

(2)若函数/(%)的图象总是在久轴的下方，求a的取值范围.

4.(2024・河南•模拟预测)已知函数/'(x)=/+ax(aeR)的一个极值点为x=1.

⑴求a的值:

(2)若过点(3,机)可作曲线y=f(x)的三条不同的切线，求实数6的取值范围.

5.(2024•西藏拉萨•一模)已知函数/(%)-x2—(A+3)x+Zlnx.

(1)若4=-3,求/'(X)的单调区间；

(2)若f(x)既有极大值，又有极小值，求实数4的取值范围.

6.(2024•广东.模拟预测)已知函数/(%)=x—1-alnx,aeR.

(1)判断函数/(久)的单调性；

(2)若/'(X)＞。恒成立，求a的值.

7.(2024・四川成都•二模)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7

万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，销售收入为R(x)万元，且R(x)=

(注：年利润=年销售收入-年总成本)

(1)写出年利润加(万元)关于年产量无(千件)的函数解析式；

(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

8.(2024・江苏•二模)已知函数/(%)=%—■Falnx(aeR).

(1)当a=0时，证明:/(x)>1;

(2)若/(%)在区间(1,+8)上有且只有一个极值点，求实数。的取值范围.

9.(2024・新疆•模拟预测)已知函数/(%)=(%-l)emx.

(1)当m=1时，求/(%)的单调区间及最值；

(2)若不等式f(%)>X2-%在［1,+8)上恒成立，求实数771的取值范围.

10.(2024•吉林长春•模拟预测)已知函数/(%)=>。)・

⑴证明：0</(x)<|；

(2)证明：W"高<皿"+1)<W"三，nEN*.

11.(2024・四川内江•一模)已知函数/'(x)=a(£+a)—ln(x+1),aER.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围.

12.(2024•河北邯郸