2025年高考数学重难点复习：余弦定理（解析版）

第04讲余弦定理

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变

模块二基础知识全梳理(吃透教材)形技巧，灵活掌握余弦定理

模块三核心考点举一反三2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定

模块四小试牛刀过关测理解决两类基本的解三角形问题,并能够灵活应

用

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1余弦定理

(1)余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

倍.

②符号语言：在AA3C中，内角A,B,C,所对的边分别是仇c,则:

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

b2=a2+c2-2accosB

c2-a2+b2-labcosC

(2)余弦定理的推论

b2+c2-a1

cosA=

2bc

a2+c2-b2

cosB=

2ac

a2+b2-c2

cosC=

2ab

知识点2解三角形

(1)解三角形

一般地,三角形的三个角A5c和它们的对边”,仇c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元

素的过程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的应用

①已知三角形的三边解三角形

连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.

②已知两边和它们的夹角解三角形

用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.

③已知两边及其中一边的对角解三角形

例如已知及角A,可以根据余弦定理列出以边c为未知数的一元二次方程

c?-(2>cosA)c+(〃—〃)=0,根据解一元二次方程的方法,求边c,然后应用余弦定理和三角形内角和

定理,求出其他两个角.

模块三核心考点举一反三

考点一：已知三边解三角形

1.(2024高三•全国•专题练习)在VABC中，已知a=6=4,c=3,贝!|cosA=()

「V3D夜

222

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理，即可求解.

【详解】在VABC中，已知a=旧，6=4,c=3,由余弦定理，得©0S4/士卫=16+9—13」.

2x4x3242

故选：A.

【变式1-11（24-25高一下•全国•课后作业）在VABC,内角A,b,C的对边分别为〃，儿c,且。=1乃=2,。=2,

则cos5=（）

A.-B.—C.-D.1

634

【答案】C

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理直接求解即可.

【详解】由余弦定理得COSY』〜2丁+22—22

2ac2x1x24

故选：C.

【变式1-2］（23-24高一下•天津•期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,J若。=岳，

b=6,c=2,则角A=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理即可求解.

【详解】由余弦定理可得cosA=3+/13=一4,

2x&2-2

Ae（0,7i）,..A=--,即150，

故选：D

【变式1-3］（23・24高一下•天津河北•期中）在VABC中，角A,民C所对的边分别为4。，已知〃=后,

b=3,c=2y/2,则A等于（）

71Tt_23

A.—B.—C.一兀D.一兀

6434

【答案】D

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理可得cosA=-正，可求A=学.

24

【详解】在VABC中，a=牺,6=3,c=2后，

b2+c2-a2_32+（2-V2）2-（屈y

由余弦定理可得cos4=

2仓]3i25/2

因为。＜A＜兀，所以A=—.

4

故选：D.

考点二：已知两边及一角解三角形

%例2.（2024•河南•二模）a,6,c分别是VA3C的内角A,3,C的对边，若“=有力=3,2=60,贝!|c=（）

A.6B.273C.3D.6

【答案】B

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解.

【详解】由4=6,0=3,3=60。以及余弦定理/=/+/—2ac,cosB,得3+c?-指。=9,解得c=2^/^（负值

舍去）.

故选：B.

【变式2-11（23-24高二下•云南•期末）VABC的内角A、3、C的对边分别为a、b、c.若。=1"=3,cosC=1,

6

贝（|c=（）

A.46B.垂C.4D.3

【答案】D

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理求解即可.

、垩AJJ＞।_u~+b'—c~11+9—c-1

r【详解】由cosC=--------------=—,得--------=一，

lab666

解得c=3.

故选：D.

【变式2-2］（24・25高二上•云南昭通•期中）在VABC中，已知〃，b,。三边分别对应A,B,C三角,a=5,

TT

b=4,C=—,贝!jc=（）

A.3B.V21C.741D.府

【答案】B

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可.

【详解】由余弦定理可得。2=/+/一2MosC=25+16-2x5x4x」=21,

2

/.c=V2T，

故选:B.

【变式2-3］（23-24高一下•江苏南京•期中）在VA3C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若q=4,

b=下）,C=—TI,贝［|c=____.

6

【答案】V31

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理可得答案.

【详解】c2=fl2+/-2"COSC=16+3-2X4XQX］-¥）=31,

/.C=5/319

故答案为：J五

考点三：判断三角形形状

''例3.（24-25高二上•吉林•开学考试）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cvbcosA,

则VABC的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等边三角形

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】利用余弦定理可以判断出8为钝角，则VA3C的形状为钝角三角形.

Z.22_2

【详解】由c<6cosA,可得cJ十。一。人即储+。2<廿

2bc

〃2*2人2

则COSB=4^~—<0,又8?（0〃），则彳<8<兀

lac2

则VABC的形状为钝角三角形

故选：A

【变式3-1］（23-24高一下•湖北•期中）已知VABC的三边长分别为4,6,8,则这个三角形为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】C

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状

【分析】设边长为8的边对应的角为凡利用余弦定理可判断.

【详解】设边长为8的边对应的角为。，

由余弦定理可得cos0=1丁/）=-!<0,

2x4x64

所以。为钝角，因此，三角形为钝角三角形，

故选：C.

【变式3-2］（23-24高一下•北京•期末）在VABC中，A+C=2B,b?=ac,则VABC的形状是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

【答案】C

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状

【分析】根据给定条件，求出再利用余弦定理推理判断即得.

TT

【详解】在VABC中，A+C=2B,则B=

由余弦定理得6?="+c?—2accosB,BPb2=cr+c2—ac,而/=ac,

于是a1+c2-2ac=（a—c）2=0,即a=c,

所以VABC是等边三角形.

故选：C

hr

【变式3-3］（23-24高一下•北京怀柔•期末）已知在VABC中，cosA+l=——，贝！）判断VABC的形状（）

c

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状

【分析】利用余弦定理可得答案.

【详解】由余弦定理得cost+1="*+1=包,

2bcc

所以。2+02一/+况=力0+0）,

可得°2=片+62,所以VABC是直角三角形.

故选：C.

考点四：求三角形中周长（边长）

:''例4.（24-25高三上海南•阶段练习）已知向量能=（若5111天911》+85@,〃=（2cosx,sinx-cosx）,

函数f（x）=m-n,将函数的图象向右平移g个单位长度可得到g（x）的图象.

0

⑴求函数g（x）的解析式；

⑵设锐角VABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若g（B）=l,且6=4,求VABC周长的最大

值.

【答案】（l）g（。=—2cos2x

⑵12

【知识点】辅助角公式、基本（均值）不等式的应用、求图象变化前（后）的解析式、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出/（X）的解析式，再根据图象的平

移，可求g（x）的解析式.

（2）由g（3）=l和VABC为锐角三角形，求出角8,再利用余弦定理结合基本（均值）不等式，可求VABC

周长的最大值.

【详解】（1）因为

/(x)=2-^3sinxcosx+(sinx+cosx)(sinx-cosx)=若sin2x+sin?尤一cos2x

=V3sin2尤一cos2x=2sin(2x--^-I.

所以8⑴=小一胃=2$421一胃一弓一]

=2sin[2x=-2cos2x.

(2)由g(8)=ln—2cos2B=1=>cos2B=-

2

所以23=亨或28=詈，所以8或2=4,

又因为V4?C为锐角三角形，所以8=1.

由余弦定理：Z?2=+c2-2^ccosB=/+c2一〃c=i6n（a+c）2_3〃c=16.

又所以S+c）2_i6=3acW孔等匚=（〃+。）2464=a+048（当且仅当。=。=4时取“=”），

此时，VABC的周长取得最大值，为a+6+c=12.

【变式4-11（24-25高三上•天津•期中）在VABC中，AB=4,E是8C边中点，线段AE长为g,NBAC=120。，

。是8C边上一点，AD是NA4c的角平分线，则AD的长为（）

24c8

A.—B.-C.2D・

333

【答案】B

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】利用向量性质得AE=T（AB+AC）,平方后求得AC,再由余弦定理求得3C,由角平分线定理求

得BD,CD,然后由余弦定理求得cosC后在CW中计算出AD.

【详解】E是BC边中点,贝!|AE=g（A2+AC）,

一.21—一1一-______2

所以AE^-（AB+AC）2=-（AB^+2AB-AC+AC^）,

44

gp3=-（16+2x4-ACcos120°+AC2）,解得AC=2,

4

BC=^42+22-2X2X4COS120°=2币>

AD是2MC的平分线，则黑=*=，BD=也,CD="

CDAC233

CT+CB°-AB?4+28-162

cosC=

2CACB2X2X2A/7-A/7

在.C4D中，AD=y/CA2+CD2-2CA-CDcosC=j4+--2x2x^^x-^=-,

V93773

故选：B.

【变式4-2］（24-25高二上•云南昆明•期中）已知锐角VA5c的内角A,民C所对的边分别为6,c,满足

+b2—c2^sinC=yfiabcosC.

⑴求角C；

⑵若CA-CB=3,c=用，求VA3C的周长.

【答案Ml卓

⑵5+6

【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积

【分析】（1）由余弦定理即可求解；

（2）由平面向量的数量积运算可得奶=6,根据余弦定理求出片+廿=13,从而可求。+6,继而可得VA3C

的周长.

【详解】（1）因为（6+加—/卜inC=y/3abcosC,

所以由余弦定理可得2abcosCsinC=y/3abcosC•

因为VABC是锐角三角形，所以cosC>0,

所以2sinC=y/3f即sinC=,

2

所以C=（.

（2）因为CA-C5=3,所以"COSC=；QZ?=3,

所以=6.

因为c=77,c=j,

由余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=1）

所以/+/=i3,

所以（0+6）2=。2+廿+2"=13+2*6=25,

所以。+匕=5,

所以VABC的周长为a+6+c=5+S.

【变式4-3］（2024•河南•模拟预测）已知函数〃x）=#siiLY+cos2］,在VABC中，角A,3,C所对的边分

3

别为a,b,c,且"8)=5.

⑴求8；

(2)若2〃=2c2+ac,求史的值.

C

【答案】（1）3寸;

（2）212/1.

2

【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用

【分析】（1）根据题干条件将函数f（x）解析式通过二倍角公式和辅助角公式化简，再代入/（2）=；3求得8

的值；

（2）由（1）中求得的8和条件2^=2c2+ac利用余弦定理建立关系式即可求得小的值.

C

立siM+cos22=sinG+二］+工，

【详解】（1）由题意得，因为/（力=

22{6J2

所以由〃5）=sin（5+E1

+—==1.

2I得加:

又因为0<3<兀，所以+

000

所以8+2=9，B=g

O23

（2）由⑴得'84所以由余弦定理可得’8S”「三汇

又因为2/=202+碇，所以从=生土竺，

2

222c2+ac2QC

所以〃+c—一—=1，即人一万J，

2ac22ac2

把”=：C代入262=202+收，可得b/C,

22

3币

所以a+匕乎+工。3+6.

cc2

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.（24-25高三上•浙江•阶段练习）在VABC中，角A,氏C的对边分别为a,瓦c.已知。=1,6=6,A=$,则。=

6

（）

A.1B.2C.1或2D.B或B

42

【答案】C

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理即可求解.

【详解】由余弦定理可得〃=/+c2-26ccosA,即1=3+C?-2辰x立nc2-3c+2=0,

2

解得c=l或c=2,

故选：C

2.（23-24高一下•四川凉山•期末）在VABC中，a=6,c=10,cosB=-1,则边Z?=（）

A.6B.10C.14D.1073

【答案】C

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理可求6的值.

【详解】由余弦定理可得62=36+100-2*6xl0x（-g]=196,故6=14

故选：C.

3.（23-24高一下•山东聊城•期中）长度分别为2,3,4的线段构成图形的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不构成三角形

【答案】C

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案

【详解】设。=2,6=3,c=4,设其所对应的三个角分别为A,2,C,

根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为C,

工序2

4+9-161八

由余弦定理得=

2x2x34

故C为钝角，三角形形状为钝角三角形.

故选：C

4.（23-24高一下•黑龙江绥化•期中）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=KOSA,

则C=（）

【答案】C

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案；

【详解】因为》=8OSA,余弦定理可得b=cx"+C-"，；./+。2一。2=0,

2bc

b2+a2-c2

cosC==0，

lab

解得C=].

故选：c.

5.（23-24高一下•北京•期中）在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，瓦c,a2+b2-c2=-ab,则C=（）

.万g兀△2兀c5兀

A.—B.—C.—D・—

4336

【答案】c

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】直接由余弦定理即可求解.

【详解】由题意cosC="-+"-c-=W=-J.,而Ce（O,7r）,所以C==.

lab2ab23

故选：C.

6.（23-24高一下•吉林•期末）已知VABC的内角A,8,C的对边分别为“，方，c,若a=2拒,6=2,A=120°,

贝1|c=（）

A.2B.3C.4D.2或4

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理即可求出J

【详解】根据余弦定理得。2=廿+°2-26CCOSA,

22

gpi2=2+c-2x2Cx^-^,解得c=T（舍去）或2,

故选：A.

7.（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）克罗狄斯・托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家

和地理学家.托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积

的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形中，AB=2,BC=6,

27c

AD^2CD,ZADC=—,则80的最大值为（）

A.5B.372C.2屈D.2A/7

【答案】D

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】记CD=〃，，利用余弦定理表示出AC,然后根据题中结论可得.

【详解】设CD=〃z,则AD=2"z,

在ACD中，由余弦定理得AC=

由题知，ACBD<ABCD+ADBC,即屈BDWZm+lZznu"加，

所以8。的最大值为2件.

故选:D

8.（24-25高三上•贵州毕节•期中）在VABC中，AB=4,BC=2,S.BACB=ACCB,则

AH8C+A8CA+3CC4的值为（）

A.-14B.-16C.-18D.-20

【答案】C

【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形

【分析】根据已知条件判断出C4=AB,根据向量数量积运算求得正确答案.

［详解］依题意，BACB=ACCB,（BA-AC）CB=（-AB-AC）CB

=-（4B+AC）.（AB-AC）=ACLAB?=0,所以AB=AC=4,

22+42-421

cosZBCA=---------=-,

2x2x44

所以

=AB-^BC+CA^+BC-CA^ABBA+BC-CA=-AB2+\BC\\C^COS（TI-ZBCA）

,1

=-42-2-4-COSZBG4=-16-8X-=-18.

4

故选：C

9.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,6=8,C=45°.

若三角形有两解，则边c的取值可以是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】BC

【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理以及方程片一8缶+64-/=（）有两个正根％,出，从而列出关于。的不等式即可求解.

【详解】由余弦定理得/=〃2+82_2XQX8XCOS45°,BPa2-Sy/2a+64-c2=0.

因为三角形有两解，所以方程/_8亿+64-/=0有两个正根4,4，

由q+a?~81\/2>0,%%=64-c2>0,A=（8A/2）2-4（64-C2）>0M4A/2<C<8，

故选：BC.

10.（23-24高一下•广西河池•期中）为三角形三边，满足加=（”份（"十⑻，则三角形的形状

可为（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】AD

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】依题意可得（即6）。2=3—力（/+1）,即可判断.

【详解】因为=（“-〃）（/+/）,

所以（°一6）<?=（a-b）（a2+Z?2）,

贝!|。-6=0或c?=a2+b2>

所以三角形为等腰三角形或直角三角形.

故选：AD

三、填空题

2

11.（24・25高三上•广东深圳•阶段练习）,ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b9。，已知cosC=§,

<7=3,b=4,贝!|cos5=.

【答案】I

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理求解即可；

【详解】由余弦定理cosC=、+_—c2可得2_9+16―。2,

2ab32x3x4

解得c=3,

a2+c2-b29+9-161

所以cos5=

lac2x3x3~9

故答案为：—

12.（24-25高三上•北京•期中）在VABC中，/+,2=^+0℃.贝!]/3的值是；y=0cosA+cosC

的最大值是.

【答案】£/45。1

4

【知识点】辅助角公式、余弦定理解三角形、求含sinx（型）函数的值域和最值

【分析】利用余弦定理求得cosB,从而求得B；利用三角恒等变换的知识求得y=&cosA+cosC的最大值.

【详解】由/+/=〃+&.,得=正=32,

lac2

jr

所以5为锐角，且B=

4

y=V2cosA+cosC=V^cosA—cos（A+；）

41..（71^

=——smAd-----cosA=sinA+—,

22I4）

0<A<—,P<A+乌<兀，所以当A+乌='，即A/时，

444424

y=-72cosA+cosC取得最大值为1.

故答案为：j1

四、解答题

A

13.（24-25高三上•陕西渭南•期中）记VABC的三个内角A,民C的对边分别为。力,。，且Zsi/5-cosA=0.

⑴求角A的大小；

⑵若6=2c,求证：VABC为直角三角形.

【答案】（1）4=5

（2）证明见解析

【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形

【分析】（D利用二倍角的余弦公式可求得cosA=g,进而可求A；

（2）结合（1）与余弦定理可求得a=辰，进而计算可得廿=/+°2,可得结论.

A1

【详解】（1）由2sin2,-cosA=。，可得l—cosA—cosA=0,解得cosA=],

因为Ae（0,7i）,所以A=1.

TT

(2)由(1)可知，A=y,

又b=2c,

在VABC中，由余弦定理可得。?=b2+c2—2bc-cosA=4c2+c2—2•2c•c~=3c2,

解得a=Gc,所以/+C2=3C2+C2=4C2=(2C)2=〃，由勾股定理的逆定理可得B=

所以VABC为直角三角形.

14.(2024高三•全国•专题练习)记VABC的内角A、8、C的对边分别为a、6、c,已知反osA-acos3=6-c,

求A.

【答案】A=1

【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用

【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出A.

【详解】在VABC中，由bcosA-acos3=》-c及余弦定理

222222

b+c-a_aa+c-b化简得从+C-2=6C,

2bclac

由余弦定理得COSA=2^】——=^-,而0<4<%，

2bc2

所以A=%

3

15.(24-25高一下•全国•课堂例题)(1)一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一1,

求三角形的另一边的长；

(2)在VABC中，已知6=百，c=y/15,4=30。，解这个三角形.

【答案】(1)2炳；(2)答案见解析

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】(1)由余弦定理即可求解，

(2)根据余弦定理可得a=6或a=2有，即可根据等腰或者直角三角形的性质求解NC,ZA.

3

【详解】(1)设a=5,b=3,cosC=