2025年高考数学二轮复习：高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题（讲义）（原卷版）

专题04高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特

性以解析函数性质问题

自家

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲•题型突破............................................................8

题型一：函数单调性的综合应用8

题型二：函数奇偶性的综合应用10

题型三：已知大幻=奇函数+M11

题型四：利用轴对称解决函数问题12

题型五：利用中心对称解决函数问题13

题型六：奇偶性对称偏移15

题型七：抽象函数的单调性'奇偶性'周期性、对称性16

题型八：双对称与周期性18

题型九：双函数与对称性19

题型十：类周期与倍增函数21

重难点突破：函数性质与导数23

差情;奏汨•日标旦祐

从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内

容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充

分运用转化思想和数形结合思想.

考点要求目标要求考题统计考情分析

预计2025年高考中，题目

将更倾向于以小题（如选择题

或填空题）的形式来考察学生，

这些小题将可能融合在解答题

2024年新高考I卷第8题，5分

的解答过程中，作为一个相对

2024年新高考II卷第11题，6分

独立的考察点。具体来说，可

2023年新高考H卷第4题，5分

掌握函数性质，熟2023年新高考I卷第4题，5分以预见的是：

函数的性质

练解题应用2022年乙卷第12题，5分（1）题目将采用选择题或填空

2022年新高考II卷第8题，5分题的形式，旨在检验学生的综

2021年甲卷第12题，5分

合逻辑推理和解析能力。

2021年新高考II卷第8题，5分

（2）考试的热点将聚焦于函数

的单调性、奇偶性以及对称性

这三个特性的综合应用和分

析。

般地,设函数/(.v)的定义域为■1,区间。SU：

如果对于Z)内的任意两个1rl变量的值MAv

当XRM都有/(xJv/CJ，则/C汪区间0上是增函数.

般地,设函数/(.v)的定义域为％区间DG：

如果对于D内的任意两个自变量的值

当巧〈三时，都有/(.vj,则/(.©在区间0上是减函数.

单调性

卜”里润区门的相如果函数产/W在区间/上单调递增或单调递减,

>产骑区㈣的足乂JI则函如-=/(.v)在这一区间具有单调性，区间/ml做＞♦=/(")的单调区间

复合函数的单调性遵从"同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函

《复合函数的单调性数,内层函数是熠(减)函数,复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数,内层函

数是减(增)函数,复合函数是减函数.

"图像关门轴对称

奇偶性

图像关丁•原点对东:

对于函数/(2的定义域内任意一个M都有/(-.V)=-/(A)

对于函数『=/“),如果存在一个非零常数T,

使得与V取定义域内的任何值时，都有/(、•+r)=f(x),

那么就称函数r=/(、)为周期函数

高级应用函数的周期

性、单调性、奇偶性及f(x)=f(x+a)=^T=\a\

对称性特性以解析函数/(工)=./口+〃)=7=2|倒)

周期性

性质问题

/(•*很万

人忏五两S同

常用周期结论

人"")=逢=7=2间

叱小踹5■•同

/(.v+a)=l--=>T=3|

【(/(.v)=/(.v+a)+/(w〃)=T=6|a|J

若函即=/(K+Q)为偶函数,则函数尸/(.V)关『x=a对称

若函数尸/(.v+a)为奇函数，则函数*/(*)而痴a,0)对称

对称性

若/")=/(2℃),则函数/(x)关于x=a对称

若/(2/(2az)=2①则函数/(x)关于点(a,b)对称

㈤3

1、单调性技巧

（1）证明函数单调性的步骤

①取值：设百，X2是/'（X）定义域内一个区间上的任意两个量，且

②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

（2）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

（3）记住几条常用的结论：

①若/（尤）是增函数，则-/（X）为减函数；若/（元）是减函数，则-/（X）为增函数；

②若/（元）和g（x）均为增（或减）函数，则在和g（x）的公共定义域上/（x）+g（x）为增（或减）函

数；

③若/（x）＞0且/（x）为增函数，则函数77而为增函数，一一为减函数；

/（x）

④若/（x）＞0且/（幻为减函数，则函数为减函数，,为增函数.

/（X）

2、奇偶性技巧

（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

（2）奇偶函数的图象特征.

函数/（幻是偶函数。函数了（幻的图象关于y轴对称；

函数/（x）是奇函数o函数/（X）的图象关于原点中心对称.

（3）若奇函数＞=/（元）在x=0处有意义，则有『（0）=0；

偶函数y=/（x）必满足/（x）=/（|x|）.

（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称

的两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/(无)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形

式・记g(x)=g"(x)+/(-x)],/z(x)=；"(x)-/(-x)],则/(x)=g(x)+〃(x)・

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得

的函数，tnf(X)+g(x),f{x)-g(x),f(x)xg(x),f(x)4-g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇x(十)奇=偶;奇义(+)偶=奇；偶义(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=制“+1)(XNO)或函数/(尤)=〃?("T).

(2-16/+1

②函数/(x)=±3-「).

③函数f(x)=log“三辿=logfl(l+3-)或函数f(x)=loga=log“(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

④函数/(x)=log“(J-+1+x)或函数/(x)=log.(J/+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数〃x)=m+2L(xwO)或函数/(x)=m-

ax-1优+1

偶函数：①函数〃x)=±3+「).

②函数/(x)=log.d+l)-三•

③函数/(I尤I)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xeR)周期

/(x+T)=/(x)T

f(x+T)=-/(%)2T

/(x+T)=-3—;/(x+D=-一—

2T

fM/(尤)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

ff(a+x)=f(a-x)

2(。—〃)

\f(b+x)=f(b-x)

"(a+x)=/(a7)

2a

[/(尤)为偶函数

[/(a+无)=-/(a-x)

2(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[/(«+x)=-f(a-x)

2a

/(x)为奇函数

[于(a+x)=f(a-x)

4(b—〃)

f(b+x)=-f(b-x)

\f{a+x)=f{a-x)

4a

[7(x)为奇函数

/(a+无)=-/(a-x)

4a

/(尤)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴兄=。，x=b{a<b),则函数/(兄)是周期函数，且T=2(b-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),3,c)(a<b),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=2(b-a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(dO)(a<Z?),则函数y=/(%)是周期函数，且

7=4(/?一々).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线％=〃对称，则-.

(2)若函数y=/(%)关于点(Q,。)对称，IjliJf(a+x)+f[a-x)=2b.

(3)函数y=/(。+%)与丁=/(a-％)关于y轴对称，函数y=/(〃+%)与y=-/(々一%)关于原点对称.

0

〃二真题班拚精御皿\\

1.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数的定义域为R,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时

f{x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10X1000D./(20)<10000

2.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数/(幻=2尤3一3"?+1,则()

A.当。>1时，/(尤)有三个零点

B.当°<0时，x=0是的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线y=/(x)的对称中心

3.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)己知了(刈=二二是偶函数，则a=()

e"-1

A.-2B.-1C.1D.2

4.(多选题)(2023年新课标全国I卷数学真题)已知函数的定义域为R,/(xy)=//(x)+x7(y),

则()•

A./(0)=0B.f(l)=0

C./(x)是偶函数D.x=0为“X)的极小值点

5.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)若/(耳=@-1)2+办+$亩|^+5］为偶函数，则“=.

6.(2022年新高考全国II卷数学真题)已知函数的定义域为R,且

22

f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,则£/(%)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

7.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知函数/(尤),g(尤)的定义域均为R,且

22

/(x)+g(2-X)=5,g(x)-/(X-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

8.(多选题)(2022年新高考全国I卷数学真题)已知函数/(尤)及其导函数r(x)的定义域均为R,记

g(x)=/'(x),若/弓-2x],g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.gf-|j=OC./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

9.（2。22年高考全国乙卷数学（文）真题）若”上…占+人是奇函数'则,b-

10.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数〃x）的定义域为R,，（尤+1）为奇函数，/（x+2）为偶

函数，当xe[l,2]时，f^=ax2+b.若/（0）+〃3）=6,则（）

11.（2021年全国新高考H卷数学试题）已知函数/（力的定义域为R,/（x+2）为偶函数，/（2x+l）为奇

函数，则（）

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D."4)=0

12.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设“X）是定义域为R的奇函数，且〃1+X）=〃T）.若/

㈤5

H核心精讲•题型突破\\

题型一：函数单调性的综合应用

【典例1-1]若函数〃力=/-2可在区间化-2㈤内不单调，则实数%的取值范围为（）

A.（-1,3）B.[-1,3]C.[-1,3）D.[2,3]

【典例1-2】已知函数y=/（X+2）是R上的偶函数，对任意%,％e[2,+8）,且%/%都有＞。成

立.若a=/(log318),b=f\Inc，则。，"c的大小关系是(

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或

定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。

【变式1-1]定义域为R的函数/(X)满足条件：①对任意的%,％>0,恒有[”菁)-〃%)](%-％)>0；

②/⑺―/(一力=0；③〃-3)=。，则不等式⑻'(力<。的解集是()

A.(f,-3)U(0,3)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,0)(3,+oo)D.(-00,-3)u(3,+oo)

【变式1-2】已知函数/'(尤+1)是偶函数，当1"时，[/(%)-〃%)](不一工2)>0恒成立，设

b=f(2),c=/⑶，则。，b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

I命题预测

、--------------------------

1.已知函数/(尤)=ln|x-l|,若王<电<1，且再+退>2,则()

A.”&)</(%)</(%2)B./(x3)</(x2)</(x1)

C./(x1)</(x2)</(x3)D./(x2)</(^)</(x3)

2.设函数/。)=111|彳-〃|在区间(2,3)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-°o,3]B.(-℃,2]C.[2,+oo)D.[3,+oo)

3.已知〃x),g(x)是定义域为R的函数，且/(尤)是奇函数，晨元)是偶函数，满足/(x)+g(x)=^+x+2,

若对任意的1<为<三<2,都有g&)-g(%)>_3成立,则实数a的取值范围是()

%一工2

A.[0,+8)B.-i°

33

一,+8

44

题型二：函数奇偶性的综合应用

【典例2-1】（2024•河南.模拟预测）已知〃x）=x31nA，贝U〃％+2）>八3*-2）的解集为（）

3-x

A.(-3,3)C.(0,2)D.(0,1)

【典例2-2】（2024•陕西商洛•一模）已知函数/（尤）=-2尤3-3》+2,若不等式f⑷—l）+f（-〃-5）>4成立,

则a的取值范围是（）

A.(-co,-2)o(3,+oo)B.(一2,3)C.(一一3)(2,+a))D.(-3,2)

函数的奇偶性是一个强大的工具，它能帮助我们简化计算，快速求解问题。通过验证函数是否满足奇

函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，

奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使

我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。

【变式2-1]（2024•河北石家庄•模拟预测）已知函数/（x）为定义在R上的奇函数，且在[0,y）上单调递减，

满足"l°g2”）一Al°gl"）42/（3）,则实数。的取值范围为（）

2

A.（。加）B.@，8C.（0,8]D.[8,+oo）

【变式2-2]（2024•海南海口•模拟预测）已知定义在[-3,3]上的函数/（"=/-尸-2%+1,若

/（加）+"〃­2）42,则m的取值范围是（）

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,百]D.[-1』

命题预测D

1.己知函数/(x)=ln(x+77W)+x3_2,若/(1。83。)+/(1。8丁)4-4,则实数。的取值范围为()

A.[§,3]B.(0,—]o[3,+oo)

C.[1,1)(1,3]D.(0,+8)

/、tan^-tan(x+^1「兀兀

2.已知函数/x=是一由7,中7上的奇函数，贝han6=()

l-2tan(xJ+6>)20242024J

A.2B.-2C.4D.--

22

3.已知〃x)=x2g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为()

A.8(町=111^^B.g(x)=l-

C.=D.g(x)=\x-2\-\x+2\

题型三：已知/(%)=奇函数+M

【典例3-1］［新考法］已知函数/(力=产+4+2国，当xe［-2,2］时，记函数”X)的最大值为加⑷，则/(4)

的最小值为.

【典例3-2】已知函数/(x)=丁方+3在区间［—2023,2023］±的最大值为M,最小值为优，则H+m=.

已知/(尤)=奇函数+Af,xe\—a,a\,贝U

⑴/(-%)+/(x)=2M

⑵=2M

【变式3-11［新考法］函数〃%)=(尤2-6小m(尤-3)+尤+a(xe［0,6］)的最大值为M,最小值为加，若

〃+加=8,则〃=.

【变式3-2】已知函数/(》)=/+加达彳-2(。6片。)，若〃加)=2,则.

命题预测

1.设函数〃到=2°23(*?)]+*您(_34犬43)的最大值为河,最小值为租，则/+机=

2tx2+0/sin-I-x

2.若关于尤的函数“、/八、的最大值和最小值之和为4,贝心=

〃x)=—C°)

2x2+cosx

3.函数/(%)=(/-6x)sin(x-3)+x+<2(xe[0,6])的最大值为M,最小值为加，若〃+租=10,则。=

题型四：利用轴对称解决函数问题

【典例4-1】已知偶函数〃x)的定义域为R,对任意的无满足了(-x)=〃x+2),且〃x)在区间(TO)上单

调递减，若。=1吗3,b=log3变，c=♦。.2拒，则〃a),f®,〃c)的大小关系为()

814

A./(c)>/(a)>/(Z?)B.f(c)>/(/?)>f(a)

C.f(cz)>/(/?)>/(c)D./(«)>/(c)>f(&)

【典例4-2】(2024.辽宁・一模)已知函数/(x+2)为偶函数，且当记2时，/⑺=logJ尤?-以+7),若

7

/(«)>/(&),则()

A.(a+。—4)(〃—Z?)<0B.{CL+b—4)(a—Z?)>0

C.(a+b+4)(a-b)<0D.(Q+Z?+4)(Q-Z?)>0

轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值

来找出对称轴。

⑴已知函数“X)满足/(-x)=/(x),则/(%)的对称轴为直线x=0.

⑵已知函数/(九)满足/(a-x)=/(。+%),则/(尤)的对称轴为直线x=a.

⑶已知函数"可满足"a-%）=/（b+x）,则/（力的对称轴为直线片也.

【变式4-1X2024•全国•模拟预测）已知函数/⑴=2023一+"用（。工0）的图象关于直线x=2对称，且函数/（x）

的最小值为1,则不等式/0）22023的解集为（）

A.{x|0<x<4}B.{x|或xv。}

C.{x|0<x<4}D.{x\x>4^x<0}

人

【变式4-2】函数〃x）=（f+2矶/+双+4满足：对VX£R,都有/。+力=〃1一力，贝UQ+为（）

A.0B.1C.2D.3

命题预测[

1.已知函数〃司=3.+2,且满足〃5+x)=〃3—x),则/⑹=().

A.29B.11C.3D.5

2.已知函数/(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线*=1对称，则函数/⑴的单调递增区间为

A.(0,2)B.[0,1)C.(-oo,1]D.(0,1]

3.己知a是方程log“x+x=2018(a>0,awl)的根，々是方程疝+》=20183>0,。片D的根，则玉+%的

值为()

A.2016B.2017C.2018D.1009

题型五：利用中心对称解决函数问题

（,1\2016（女、

【典例3（2024.广东广州.一模）已知函数…幻+M-〒，则^痂的值为（）

A.2016B.1008C.504D.0

【典例5・21［新考法］已知：定义在R上的可导函数/。）的图象关于点3"（。））对称的充要条件是导函数

/'（%）的图象关于直线x=〃对称.任给实数加，〃满足加―3根2+5根—1=0,"_3/+5〃—5=0,贝=

（）

A.1B.2C.3D.4

点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点(即

平均值)来确定对称中心的位置。

(1)已知函数/(%)满足/(-%)=-/(%),则/(%)的对称点为点(0,0).

(2)已知函数满足/(a-x)=-/(a+力,则的对称点为点(a,0).

(3)已知函数/(%)满足+=则〃尤)的对称点为点(a,b).

(4)已知函数〃%)满足“a-x)+/°+"=2c,则/(%)的对称点为点[审,c)

【变式5-1](2024.四川宜宾.一模)已知函数/(x)«xeR)满足/("=〃4—江若函数y=卜/+4%-3|与

y=f(x)图象的交点为(％,yj(3,%)，…，(王，笫)，则2七=

i=\

A.加B.2mC.3mD.4m

【变式5-2](2024.高三.山西期中)已知函数〃尤)=(x+l[+：in1其中/'⑺为函数的导数，则

/(2020)+f(-2020)+f(2019)-f(-2019)=()

A.0B.2C.2019D.2020

【变式5-3](2024•宁夏石嘴山•一模)设函数y=/(x)的定义域为D,若对任意的占,马©。，且占+3=2。,

恒有〃为)+/优)=力，则称函数/(x)具有对称性，其中点3b)为函数＞=/(无)的对称中心，研究函数

AxXx+l+U+tanCrT)的对称中心，求了(盛］+磊)+/［蔡］+f［^\=()

X—lyZUZZJ\ZUZZ)\ZUZZ)\ZUZZ)

A.2022B.4043C.4044D.8086

命题预测

1.设函数y=的定义域为。，若对于任意看、x#D,当玉+%=2a时，恒有〃占)+/(%)=»,则

称点(。,6)为函数y=〃x)图象的对称中心.研究函数〃x)=x+sin万x-3的某一个对称中心，并利用对称

中心的上述定义，可得到了(烹[40301J4031V,、

+/+7+…+/〔2016)"(2016)的值为z(,

(2016,IQoj12016J

A.-4031B.4031c.-8062D.8062

2.已知函数/(x)=x3xsin^rx,则/120131+/f—Vm()

)12013J+4黯+d

A.4025B.-4025c.8050D.-8050

3.若函数/(x)=sin无｛lg(2，+l)+7回的图象关于原点对称，则实数机的值为()

A.-1g2B.-lgV2C.-4D.-2

题型六：奇偶性对称偏移

【典例6-1】(2024・高三・浙江•期中)已知函数的定义域为R,且+"是偶函数，1)是奇函

数，贝U()

A."0)=0B./[1]=0

C."1)=0D./⑶=0

【典例6-2】已知函数的定义域为R,若〃1T)为奇函数，/(x—1)为偶函数.设/(-2)=1,则/⑵二

A.-1B.0C.1D.2

(1)若/(%)为奇函数，贝！J/(x+a)=—/(—x—a).

(2)若/(x+a)为奇函数，贝!J/(%+〃)=一/(一%+”).

(3)若/(%)为偶函数，贝！J/(%+“)=/(一工一〃).

(4)若/(x+a)为偶函数，则/(X+Q)=/(—X+Q).

【变式6-1】已知/'(x-l)是定义域为R的奇函数，g(x)=/(2x+3)是定义域为R的偶函数，则()

A.g⑵=0B.g⑶=0C.〃3)=OD.45)=0

【变式6-2】已知/'(x)是定义在R上的奇函数，/(x+2)为偶函数，且当0<x42时，/«=log22%,则

“2022)=()

A.2B.-2C.-1D.1

【变式6-3](多选题)已知“X)是定义在R上的奇函数，〃x+2)为偶函数，且/(2)=10,则()

A./(4)=-10B.“X)的图象关于直线尤=2对称

C.“X)的图象关于点(4,0)中心对称D.”206)=-10

命题预测

1.设〃元)是定义域R的奇函数，*尤+1)是偶函数，且当xe(O,l],f(x)=ax(x-2).^f(-1)+/(2)=-1,

贝"g)=()

33

A.—1B.—C.1D.一

42

2.奇函数的定义域