2025年高考数学二轮复习：函数基本性质综合应用（共10大考点）（解析版）

专题03函数基本性质综合应用

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

◊＞题型聚焦------------------------------------------

【考点11求函数单调区间

【考点2］根据函数单调性求参数

【考点3］根据函数奇偶性求解析式或参数

【考点4】函数奇偶性的应用

【考点5】单调性+奇偶性识别图象

【考点6］单调性+奇偶性解不等式

【考点7】函数不等式恒成立问题

【考点8］分段函数综合问题

【考点9］单调性+奇偶性+周期性+对称性

【考点10］抽象函数问题

O＞重点专攻-----------------------------------------

O＞难点强化------------------------------------------

知识点1:函数的单调性

1、增函数与减函数

1.1增函数

一般地,设函数/（X）的定义域为/,区间。0/,如果V%,%e。，当石＜当时，都有/（石）＜/（/），

那么就称函数/（x）在区间。上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）

特别地，当函数/（X）在它的定义域上单调递增时，称它是增函数（increasingfunction）.

1.2减函数

一般地,设函数/（%）的定义域为/，区间/,如果\/石,々e。，当石＜x2时，都有/（石）〉/（x2）,

那么就称函数/（x）在区间。上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）

特别地，当函数/（%）在它的定义域上单调递增时，称它是减函数（decreasingfunction）.

2、函数的单调性与单调区间

如果函数y=/（x）在区间。上单调递增或单调递减，那么就说函数y=/（x）在这一区间具有（严格的）

单调性，区间。叫做y=/（X）的单调区间.

知识点2：函数单调性的判断与证明

1、定义法：一般用于证明，设函数/（%）,证明的单调区间为。

①取值：任取玉，x2&D,且％＜工2；

②作差：计算/（为）—/（%）；

③变形：对/（西）-/（々）进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要

需讨论参数；

④定号：通过变形，判断了（石）一/（々）＞0或（/（石）一/（9）＜0）,如有必要需讨论参数；

⑤下结论：指出函数y=/（x）在给定区间。上的单调性

2、图象法

一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.

3、性质法

(1)函数y=/(x)在给定区间D上的单调性与y=-/U)在给定区间。上的单调性相反;

(2)函数y=/(%)在给定区间。上的单调性与y=/(%)+c的单调性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定义区间。，有如下结论；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/O)-g(x)

增增增.不确定

增/减不确定增.

减、减、减不确定

减、增/不确定减、

知识点3：函数的最大(小)值

1、最大值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数M满足:

①X/xe/,都有

②现e/,使得/(x())=M

那么称M是函数y=/(x)的最大值；

2、最小值：对于函数y=/(x),其定义域为/,如果存在实数m满足：

①X/xe/,都有

②叫e/,使得/(%)=加

那么称加是函数y=/(X)的最小值；

知识点4：复合函数的单调性(同增异减)

一般地，对于复合函数y=/(g(x)),单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层

函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函

数：

y=/(g(x))：令：t=g(x)和y=/«)

t=g(x)y=/Q)y=/(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

知识点5：函数的奇偶性

1、定义：

1.1偶函数：一般地，设函数〃龙)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=〃x),那么函

数/(%)就叫做偶函数.

L2奇函数：一般地，设函数“X)的定义域为/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(%),那么

函数/(九)就叫做奇函数.

2、函数奇偶性的判断

2.1定义法：

(1)先求函数/(%)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)求/(f),根据/(-x)与/(%)的关系，判断了。)的奇偶性：

①若/D+/⑺=0o/(-x)=-/(x)o/(%)是奇函数

②若/(—%)-/(x)=00/(-x)=/(x)o/(%)是偶函数

/(-%)+/(%)=0^

③若o/(x)既是奇函数又是偶函数

J(-X)=于(x)

/(-%)w-/(%)

④若/、O/(%)既不是奇函数也不是偶函数

2.2图象法：

(1)先求函数了。)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)若/(x)的图象关于V轴对称0/(%)是偶函数

(3)若/(x)的图象关于原点对称0/(%)是奇函数

2.3性质法：

/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(X)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

知识点6：对称性

1、轴对称：

设函数/(%)的定义域为/,且x=a是/(%)的对称轴，则有：

0/(«+%)=/(a-x)；

②/(%)=/(2。7)

@f(-x)=f(2a+x)

2、点对称

设函数/(尤)的定义域为/,且(。,0)是/(%)的对称中心，则有：

①/(a+x)=—f(a—x)；

②/(%)=-/(2。-%)

③/(f)=-/(2a+x)

3、拓展：

①若/"(a+x)=/3—x),则/(%)关于x=对称；

②若/'(a+力=—/S—x),则/(x)关于(等,0)对称；

◊)提升专练-------------------------------

A题型归纳

【考点11求函数单调区间

1.(2024•海南海口•模拟预测)函数/5)=炉-4|》|+3的单调递减区间是()

A.(—8,—2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(一2,2)D.(―2,0)和(2,+8)

【答案】B

【知识点】求函数的单调区间、分段函数的单调性

【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求

【详解】小）=八小+3=1一：+："'：,

711[X2+4X+3,X<0

则由二次函数的性质知，当x20时，y=Y-4x+3=（x-2）2-l的单调递减区间为（0,2）；

当x<0,y=Jf2+4x+3=（x+2）2—1的单调递减区间为（力,-2）,

故〃x）的单调递减区间是（-8,-2）和（0,2）.

故选：B

2.（2024高一•全国•专题练习）函数'曰-/+以+目的单调递增区间是.

【答案】（T2）,（5,+w）

【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象

【分析】作出函数y=|-d+4x+5]的图象，根据图象即可求出结果.

【详解】函数y=K+4尤+5/]:+4x+5,xe[1,5]

11[x-4x-5,xG（-a）,-1）u（5,+«?）

由|+4%+5|=o,解得x=_1或％=5,

函数y=1-必+4%+5]的图象如图所示，

由图可知，函数y=1T2+4x+51的单调递增区间为（-1,2）,（5,”）.

故答案为：（-1,2）,（5,+8）.

3.（2024•吉林长春•一模）函数〃x）=ln（f-4）的单调增区间为.

【答案】（4,内）

【知识点】复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、求函数的单调区间

【分析】根据复合函数的单调性即得.

【详解】函数〃x）=ln（x2-3尤-4）的定义域是小），

在定义域内函数8（力=犬-3》-4的单调增区间是（4,+8）,

而函数“力=皿1-3%-4）的单调增区间就是在定义域内函数8（力=》2一3》-4的增区间,

所以函数/（力=皿炉-3》-4）的单调增区间为（4,母）.

故答案为：（4,+co）.

【考点2]根据函数单调性求参数

1.（23-24高一上•福建三明•期中）函数f（x）=32d-a，在区间（2,4）上单调递减,则实数。的取值范围是（）

A.（-<»,8]B.（-oo,8）C.[16,+oo）D.（16,+oo）

【答案】C

【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值

【分析】根据指数型复合函数的单调性求解.

【详解】设"2/一3，

因为函数/（X）在区间（2,4）上单调递减，

所以根据复合函数的单调性可得，

函数t=2x2-ax在区间（2,4）上单调递减，

所以224,解得。216,

故选：C.

2.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）函数/（x）=e#T）在⑵3）上单调递减，则f的取值范围是（）

A.[6,+oo）B.（-oo,6]

C.D.[4,+oo）

【答案】A

【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、复合函数的单调性

【分析】根据复合函数的单调性可得y=的单调性，从而可求得/的取值范围.

【详解】因为函数、=^在R上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数y=在（2,3）上单调

递减，则"3,解得年6.

故选：A

3.（2024•湖北•二模）已知函数〃x）=log5（，-2）在[1,y）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.B.[in2,-K»）C.（2,-H»）D.[2,+OO）

【答案】C

【知识点】由对数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性

【分析】先由题设条件证明a>2,再验证a>2时条件满足即可.

【详解】若/'⑺=1隰-2）在[1,也）上单调递增，

则必然在尤=1处有定义，所以4-2>0,即a>2；

若a>2,贝！）当无21时"-22”一2>0,所以〃尤）在口,+⑹上有定义，

再由。>1知屋-2在R上单调递增，所以在[L也）上单调递增.

故选：c.

4.(2024•湖南衡阳•模拟预测)已知〃x),g(x)是定义域为R的函数，且八月是奇函数，g(x)是偶函数，

满足“x)+g(x)=^+x+2,若对任意的1＜玉＜三＜2,都有g(』)-g(%)＞_3成立,则实数“的取值范围

xi-x2

是.

【答案】

【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用、函数不等式恒成立问题

【分析】根据题意，得到-〃x)+g(x)=ax2-x+2,联立方程组，求得g(x)=G?+2,结合题意转化为

g(%)+3玉＜8(%)+3々成立，构造/7(X)=冢；0+3工=办2+3工+2,得到人(无)在xe(l,2)单调递增，利用二次

函数的性质，分类讨论，即可求解.

【详解】因为解力是奇函数,g(x)是偶函数，满足/(x)+g(x)*+x+2,

可得/(-X)+g(-X)=_/⑺+g(%)=a?_x+2,

+g(x)=ax2+x+2

联立方程组解得g(x)=ax?+2,

-f(x)+g(x)=ax1-x+2

又因为对任意的1＜占＜马＜2,都有g(xJ_g')＞_3成立,

玉-x2

所以g(%)-g(9)＜-3%+3%,所以g(石)+3石＜g(x2)+3xz成立,

构造h(x)=g(%)+3x=ax2+3x4-2,

所以由上述过程可得/i(x)=/+3x+2在X£(1,2)单调递增,

33

(。若avO,贝!I对称轴/=一之2,解得一二＜〃＜。；

2a4

他)若〃=0,3)=3%+2在%£(1,2)单调递增,满足题意；

3

(访)若。＞0,则对称轴/=-丁(1恒成立；

2a

综上可得，«＞-1,即实数0的取值范围为「二,+3).

4L4)

故答案为：

【考点3］根据函数奇偶性求解析式或参数

1.(2024•宁夏吴忠•一模)已知函数〃%)=(>4)2+111©+1)是偶函数，贝心=)

11

A.—B.-C.0D.1

42

【答案】A

【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数

【分析】由偶函数定义可得=计算即可得解.

【详解】由题意可得f(x)="—x),即(x—a)2+ln(e,+l)=(—尤―4+呵仁+1),

萩E加“re'+l),(e，+l)

整理得4办=l1n|-,=lnex--——-=%,

I1+eJ

即(4。_1卜=0恒成立，gpfl=1.

故选：A.

2.(2。24・陕西宝鸡•三模)已知函数〃x)=x."+意为偶函数，则”()

【答案】B

【知识点】由奇偶性求参数

【分析】根据函数的奇偶性即可求值.

【详解】解：由于/(x)为偶函数，贝!1/(一x)=/(x)恒成立,

贝！1/(-1)=/XD，贝！I有一卜(“+怎)=(“+*),

3

可得”=

经验证满足/(-x)=/(%)恒成立.

故选：B.

3.(2024•黑龙江•模拟预测)已知函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x^x-cosx+l,则当

x.O时，/(%)=.

【答案】x+cosx—1

【知识点】求含8SX的函数的奇偶性、由奇偶性求函数解析式

【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当％=0时要单调独验证.

【详解】解：当X>0,—X<0J(—X)=T—COS(T)+1,又因为/(X)为R上的奇函数，

所以/(-X)=-f(x)=-X-cos(-力+1,解得/(x)=x+COSX-1,

X/(0)-0+cos0-l=0,所以当120,7(%)=%+co&x—l.

故答案为：x+cosx-1.

【考点4】函数奇偶性的应用

1.(2024・海南•模拟预测)已知函数)=4(%)+2是R上的偶函数，若/(-3)=2,则〃3)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【知识点】函数奇偶性的应用

【分析】根据偶函数的定义，结合特值法可解.

【详解】y=#(x)+2是偶函数，贝!|一3〃-3)+2=3/(3)+2,且〃-3)=2,代入计算得到〃3)=-2.

故选：A.

2.(2024•广东惠州•模拟预测)已知/⑺在R上的奇函数,当x>0时，贝!!”/'(-1))=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用

【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.

【详解】由题意/(—1)=一/。)=2,所以/(f(T))=/(2)=-l.

故选：D

3.(24-25高三上•陕西咸阳•开学考试)已知函数/(x)=：+cosx•In卜+A/177)在区间［-5,5］的最大值是

M,最小值是“，则/(M+M)的值等于.

【答案】j

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、求含COSX的函数的奇偶性

【分析】可设g(x)=cosx/n(x+Jl+x?),判断出g(x)是奇函数，从而得出g(x)的最大值和最小值的和为0,

即可求出M+加的值，然后求解了(M+〃z).

【详解】函数f(x)=：+cosx・ln(x+Jl+上),

设g(x)=cosx-ln(x+Jl+炉)9g(-x)=cosx-ln(-x+Jl+号,g(x)+g(-x)=cosx-(In1)=0,则g(x)是奇函数，

，g(x)的最大值和最小值互为相反数，且f(x)的最大值为Af,最小值为加，

一兀

2

71

故答案为：V

4

【考点5】奇偶性识别图象

1.(2024・新疆•模拟预测)函数/(同=等三+：二的部分图象大致为()

e+ex+1

【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据图像趋势即可判断.

-XCOS(一x)sin(-x)

【详解】函数定义域为R,且〃T）==一小），

e-X+,ec%

所以图像关于原点对称，排除A、C；当X从正向无限趋近于0时,

"、）=辞9+*也正向无限趋近于零；所以排除D；

故选：B.

2.（2024・海南•模拟预测）函数/（x）=sinx/nW的部分图象大致为（）

【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别

【分析】分别利用函数的定义域、奇偶性与特殊值的正负排除不符合要求的选项即可得.

【详解】由〃耳=5由“111国定义域为（—,0）_（0,”），故可排除C；

X/(--^)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=—/(%),

故"X）为奇函数，故可排除D；

.7C-JC［兀_I,t“rA

由/in7ln7=ln-7>0»故可排除B；

故选：A.

3.(2024・四川•一模)函数〃x)=：cosm(e-e，),xe(T,4)的图象大致为()

【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、已知角或角的范围确定三角函数式的符号

【分析】根据条件，得到/(x)为奇函数，从而可排除选项A和B,再结合cos©与e，-e-，在上的

正负值，即可求解.

(详解】因为定义域关于原点对称，又〃-尤)=；cos(-7Lr).(e--e')=-：cosm(e=e，)=龙)，

即/⑺=/05吠(/-/)为奇函数，所以选项A和B错误,

7-cos&O,当xe]4]时,

又当X时,7ue(y,47t),此时COSTLY>0,

2

又易知当x>0时，el-e->0,所以时，/(x)>0,结合图象可知选项C错误，选项D正确,

故选：D.

【考点6］单调性+奇偶性解不等式

1.(2024•四川资阳•二模)若定义在R上的偶函数“X)在［0,+s)上单调递增，则不等式

〃2x+l)—/(x—1)>—3/-6x的解集为()

A.(-oo,-2)u(0,+oo)B.(-oo,-l)u(0,+<»)

C.(-2,0)D.(-1,0)

【答案】A

【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式

【分析】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可.

【详解】由f(2x+l)—/(x—1)>—3/-6x,RTMf(2x+l)+(2x+l)2>/(x-l)+(x-l)2.

令g(x)=/(x)+f,因为〃尤)是偶函数，且在[0,y)上单调递增，所以g(x)也是偶函数，且在[0,+8)上

单调递增，AW|2x+l|>|x-l|,解得x<-2或无>0.

故选：A

2.(2024•山西•三模)设函数/(%)=1吗0--，则不等式f(x-2)2f(2x+2)的解集为()

A.M,0]B,[-4,0)C.M,-l)u(-l,0]D.[-4,-l)u(-l,0)

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇

偶性解不等式

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，

解得即可.

【详解】函数f(X)=log21尤I-4的定义域为{xIXw0},

-2

且〃-X)=log21Tl-(一以2=log2|%|-%=/(%),所以/'(X)=log2m-尸为偶函数，

当X>0时/(%)=log2x-二，因为y=log?尤与y=--在(0,+8)上单调递增，

所以/⑺=log?x—-在(0,+8)上单调递增，

则”X)在(3,0)上单调递减，不等式/(X-2)2/(2X+2),

'|x-2|>|2x+2|

即3x—2|"/(|2x+2|),等价于b-2w0,解得T〈x<-1或一1<XV0,

2x+2w0

所以不等式的解集为[-4,-l)u(-l,0].

故选：C

3.(2024•陕西•一模)已知定义在R上的函数/⑺，满足(西-尤2)[〃占)-)]<0，且/W+)=0.若

/(1)=-1,则满足1/5-2)区1的x的取值范围是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

【答案】A

【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式

【分析】由已知条件可得，鱼)在(-4+S)上单调递减，且f(x)为奇函数，将|/。-2)区1化为

/(I)4/。-2)</(-I),再利用函数的单调性可求得结果.

【详解】因为定义在R上的函数f(x),满足(占-々)[〃下)-〃尤2)]<。，

所以/(X)在(-00,+00)上单调递减,

因为f(x)+f(r)=0,所以f(—x)=—F(x),

因为/⑴=T,所以f(T)=-f⑴=1,

il/(x-2)|<l,得TC/(x-2)Vl,

所以y(i)w/(x-2)v/(-1).

因为/(x)在(-co,+00)上单调递减，

所以—1WX—2W1,得14丈<3,

故选：A.

4.(2024・湖北武汉•二模)已知函数〃x)=log2(4，+2用+l)-x,若〃2"-1)</(a+3),则实数〃的取值

范围为•

【答案】

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇

偶性解不等式

【分析】由/(力=1。氏(2,2-工+2),根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断f(x)性质，再由性

质得|2。-1|<"+3]即可求范围.

x

(A_L_Ox+1_|_1A

【详解】由题设/(月=1。氏一--=1。氏值+2-*+2),定义域为R,

〃一无)=log2(2一工+2,+2)=〃尤)，即f(尤)为偶函数，

在(0,+co)上，令/=2工+2-*+2,且国>%>0,

贝!|t{-t2=23+2f-2*-2f=(23一2为)(1-,

由本>2项,1一行工>0,故4>L，即函数^=2'+2一*+2在(0,+s)上递增，

而y=log?f在定义域上递增，故/(%)在(0,+8)上递增，

所以/(2〃-1)</(tz+3),可得|2Q—1|<|Q+3|=>(2Q—1)2<(a+3)2,

2

3〃2—10a-8=(3a+2)(〃—4)<0,-§<〃<4.

故答案为：

【考点7)函数不等式恒成立问题

1.(2025•黑龙江齐齐哈尔•一模)VxeR,用M(x)表示/(%),g(x)中的较小者，记为M(x)=min{f(x),g(x)},

设函数/(x)=e、i+x-2,g(x)=-d+(a-l)x-a,若V尤wR,M(尤)W0,则a的取值范围为()

A.(-oo,3+2V2]B.(-8,6]

C.[3-2A/2,3+2A/2]D.[3-2&,+OO)

【答案】A

【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性

【分析】根据函数的单调性的性质判断函数/(x)的单调性，结合题中函数"(尤)的定义，利用基本不等式

进行求解即可.

【详解】因为函数〉=j/=尸2都是实数集上的增函数，所以“X)在R上为增函数，

所以当XVI时，/(^)</(1)=0,所以当xVl时，M(x)<0成立.

同时因为当x>l时,/(x)>/(l)=O,所以当x>l时,g(x)VO恒成立,

2

即当尤>1时，«(x-l)<^2+x,即.设，=x-l>0,

X-1

.x2+xt2+3t+22三、cI2ca

贝mi！I-----=--------=/+—+3之3+21八一=3+2,2,

x-1ttVt

当且仅当/=:时取等号，即当r=五时取等号，所以OW3+2VL

故选:A

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数M(x)的性质，运用基本不等式进行求解.

2.(2024•河北•三模)对VxeR,都有/(%)=■?-4/+(〃?+5卜2_(2旭+4卜+:九+420恒成立，那么小的

取值范围是.

【答案】m>0

【知识点】函数不等式恒成立问题、复合函数的最值

【分析】先利用分离常数法求出m/-"一NT(x：+1),然后求出最值，再根据恒成立条件即可得

(x-1)2

【详解】由题意可知，〃x)=(/-2,+加(尤-1)2+(》-2)2^0恒成立，

当x=］时，/(1)=(12_2X1『+〃Z(1_1)2+(1_2)2=2±0恒成立，

(X2-2X)2+(X-2)2(X-2)2(X2+1)

当xW1时，m>-A------L---------=--------1----L,

一(X-1)2(X-1)2

而-"-2厂(龙：+1)40,当且仅当x=2时，等号成立，所以〃狂0；

(I)?

综上所述：m>0.

故答案为：m>0

Q

3.(2024•山西•模拟预测)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，当无20时，/5)=。-3匚3一"且/(-1)=T

(1)求〃的值，并求出f(x)的解析式；

⑵若彳/(尤)-9'-9一"一14Vo在xe(0,内)上恒成立，求2的取值范围.

罕—3Tx>0

【答案】〃尤)='1

3—D,X<U

(2)(-oo,8]

【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数

不等式恒成立问题

【分析】(1)利用偶函数性质以及函数值可得。=1,再由偶函数定义可得其解析式；

(2)将不等式恒成立转化为求彳43工-3-工+」彳恒成立问题，由基本不等式计算可得九的取值范围.

3—3

1Q

【详解】(D因为/(无)是偶函数，所以〃-1)=〃1)=34-2=:，

解得<2=1,

当x<0时,可得T>0,所以/(尤)=/(_劝=3=33=3-工-3',

所以函数f(x)的解析式为/(无)=[3；途,，

13—3,x<0.

(2)由(1)知，当x>0时,1(无)=3工一3一>0,

因为2/(x)-9,一9T一14W0在xe(0,+oo)上恒成立，

所以％<9'+9r+14=G.3)+16=§―3*+16,

3%-3-13%-3-%3¥-3-"

又因为3,-3一+忐=8,

当且仅当3。3T=方』时，即x=log3(V5+2)时等号成立，

所以4V8,即九的取值范围是(-刃网.

1_V

4.(2025•江苏南通•一模)已知函数“无)=log?一.

1+X

⑴判断并证明“X)的奇偶性；

(2)若对任意xe-1,1,Ze[-2,2],不等式/(x)2〃+“一6恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】⑴奇函数，证明见解析；

(2)一:〈a4：.

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值、一元二次不等式在某

区间上的恒成立问题

【分析】(D利用奇偶性定义证明判断即可；

(2)根据对数复合函数单调性确定“X)在xe-1,|上最小值，把问题化为广+口一540在飞[-2,2]上恒

成立，即可求结果.

【详解】(D〃x)为奇函数，证明如下：

由解析式易知-函数定义域为TD,

而/(-x)=log。产二=Tog2/=一/(尤)，故/(X)为奇函数.

1—x1+X

1—x2H上为减函数，而y=iogz加在定义域上为增函数,

(2)由加=---=------1在

1+x\+x

所以〃x)在xe-1)|上为减函数，故〃4Ml=/(g)=-l,

要使任意xe-1.1,re[-2,2],不等式/(x)2〃+〃.6恒成立,

只需“+点-6W-1在。6[-2,2]上恒成立，即t2+〃一5«0在，£[-2,2]上恒成立,

14—2。—54011

由y=L+m-5开口向上，则彳5<0n一尸""5，

[4+2〃-5W022

综上，——-a-^-

【考点8]分段函数综合问题

Y—1<r<1

1.(2024・四川德阳•一模)函数〃尤)='单调递增，且〃2〃Z+1)>“〃L1),则实数机的取值

3'—m,x>l

范围为()

A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、分段函数的性质及应用

【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可.

【详解】解：因为当时，f(x)=2'单调递增；

当xNl时，/(无)=3'-〃7单调递增；

又因为y=单调递增，K/(2m+l)>/(m-l),

2<3-tn

所以<2m+1>m-1,

m-1>-1

解得0<m<l.

故选：c.

Cx(x+4)x>0

2.(2025•四川巴中•模拟预测)设函数/(无)=)；、一八；若/(4-3)>〃々-1),则实数”的取值范

[一九(%-4),%<0'7

围是()

A.(-oo,-l)u(2,+oo)B.(-oo,-2)(1,+co)

C.(-oo,-l)u(3,+oo)D.(-oo,-3)(l,+oo)

【答案】A

【知识点】根据分段函数的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案.

x(x+4),x>0

【详解】作出函数/（%）=的图象,如图:

—x(x—4),x<0

x(x+4),x>0

可知函数/（》）=在R上为单调递增函数,

一%(%—4),x<0

故由/（。2-3）>/（。一1）可得/一3>°-1,即〃“一2>0,

解得a<—1或。>2,

即实数a的取值范围是（-。,-1）52,+8）,

故选：A

(a—l)x+5,xe(-<x>,2)

（2024•山东•一模）已知a>0且。片1,若函数/（尤）=在（-8,+8）上具有单调性,

ax,xe[2,+ao)

则实数。的取值范围是

【答案】（0,1）33,+8）

【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数

【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解.

【详解】函数/（x）=]（：T）：；5,“：（一”，”在y,+8）上单调，

,工£[2,+8）

a-l<0

当了（%）在（-8,+00）上单调递减时，<0<〃<1,解得Ovavl；

2（〃—1）+52/

a-l>0

当了（%）在（-8,y）上单调递增时，〃>1，解得〃23,

2（〃—1）+5W/

所以实数。的取值范围是（0,1）33,+。）.

故答案为：（0,1）33,+。）

/^|x+2|]ZA

4.（2024・吉林•模拟预测）已知函数〃x）=「"，/（〃-3））=0,则实数。的值为.

[ln（x2+ax+3）,x>0''----

【答案】-3

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数函数的概念判断与求值

【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得.

【详解】/（-3）=3|-3+21-1=2,所以解/（-3））=ln（4+2a+3）=0,所以解+7=1,解得a=-3.

故答案为：—3

【考点9]单调性+奇偶性+周期性+对称性

1.（2024•广东河源•模拟预测）已知定义在R上的函数"%）满足〃x+1）为奇函数，且y=〃2x）的图象关

50

于直线x=l对称，若〃0）=-1,贝!]£/«）=（）

i=\

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数

值

【分析】根据奇函数性质、对称性求得〃1）=〃3）=0、〃2）=1、/（4）=-1,进而有

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=0,再确定“X）的周期，利用周期性求函数值的和.

【详解】由/（x+1）为奇函数，知〃尤）的图象关于点。,0）对称，则/⑴=。，

由/（O）=T，得”2）=—"0）=1.

由y=/（2x）的图象关于直线x=l对称，则的图象关于直线尤=2对称，

所以〃4）=40）=-1,/（1）=/（3）=0,

综上，f（l）+/（2）+/（3）+/（4）=0,

由上/（x）+/（2—x）=0,f（2-x）=f（2+x）,得f（x）=—/（2+x）,

所以"4+无）=-/（2+无）=〃x）,则4为的一个周期，

50

所以£/（i）=0xl2+〃l）+〃2）=L

4=1

故选：c

【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键.

2.（2024•河北•模拟预测）已知函数的定义域为R,且“2尤+1）为奇函数，/（2x+4）=/（2x）,则一

定正确的是（）

A.〃元）的周期为2B.〃尤）图象关于直线尤=1对称

c./(x+1)为偶函数D./(x+3)为奇函数

【答案】D

【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用

【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.

【详解】〃2x+l)为奇函数，得洋2x+l)+〃-2x+l)=0,

即/(x+l)+/(_x+l)=O,贝！|/(尤+1)为奇函数，故C错误；

且“X)图象关于点。,0)中心对称，故B错误；

/(2x+4)=/(2x)可知，函数，(尤)周期为4,故A错误；

/(x)=/(x+4),又〃尤)图象关于点(1,0)中心对称，知"x)=-/(2—x),

所以/(尤+4)=-/(2-x),得了⑺关于点(3,0)对称，

则/。+3)关于点(0,0)对称,所以〃x+3)为奇函数，故D正确.

故选：D.

3.(2024•辽宁本溪•一模)设函数”尤)定义域为R,〃》-1)为奇函数，〃x+l)为偶函数，当xe(-U］时,

〃x)=-f+i,则下列结论错误的是()

A.B./(x+7)为奇函数

C.在(6,8)上是减函数D.方程/(x)+lgx=0仅有6个实数解

【答案】C

【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用、研究对数函数的单调性

【分析】根据与〃x+l)的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结

合判断各选项.

【详解】为奇函数，BPf(x-l)=-f(-x-l),/(x)关于点(TO)对称,

又〃尤+1)为偶函数，即/(x+l)=/(-x+l),关于直线x=l对称，

所以“X)=〃T+2)=-/(X-4),即“X+4)=-/(X),

所以『(x+4)=/(x-4),

即函数的最小正周期为8,

A选项:

B选项：/(x+7)=/(x-l),所以/(x+7)为奇函数,B选项正确;

C选项：由当x«7,8)时，x—8e(—l,0),所以/⑺=〃*一8)=+1,所以/⑺在(7,8)上单调递

增，C选项错误；

D选项：由/（x）+lgx=O,得〃x）=—Igx

作出函数/（x）及y=Tg尤图像如图所示，

由已知函数的值域为-1』，且-lglO=-l,

当第>10时,y=-lgx<-l,函数y=-lgx与/（x）无公共点,

当x<10时，由图像可知函数“X）与函数y=-lgx有6个公共点，

即y（x）+lgx=0有6个解，D选项正确；

故选：C.

4.（多选）（2024•四川泸州•一模）已知函数/（X）的定义域为R,若

/（l+x）+/（3-^）=2,/（^）-/（2-x）=4-4x,贝！J（）

A.〃。）=4B./（0）+/（1）+/（2）+/（3）=8

C.〃x）+〃x+2）=8-4xD.f（2024）=-4043

【答案】BD

【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用

【分析】应用赋值法可求得/'（2）,f（0）和/（0）+/（1）+/（2）+/（3）,变换可得/（2+力+/（2-力=2,与

x）=4—4x联立即可求得/（x）+/（x+2）,应用/（x）+〃x+2）=6—4x可得/（x）=/（x+4）+8,

进而可得“2024）.

【详解】因为〃l+x）+/（3—力=2,所以/（1+1）+/（3—1）=2,所以〃2）=以

取x=