2025年高考数学重难点专项复习：利用导数研究函数的零点【八大题型】原卷版

重难点06利用导数研究函数的零点【八大题型】

【新高考专用】

导数是高中数学的重要内容，从近几年的高考情况来看，导数中的函数零点(方程根)问题在高考中

占有很重要的地位，是热点问题，主要涉及函数零点的个数或范围等问题.高考常考查三次函数与复合函数

的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活

求解.

►知识梳理

【知识点1导数中的函数零点问题及其解题策略】

1.函数零点(个数)问题的的常用方法

(1)构造函数法：构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数

有多少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求

2.导数中的含参函数零点(个数)问题

利用导数研究含参函数的零点(个数)问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数於)的最值，转化为/)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由负x)=0分离参变量，得a=g(x),研究尸a与尸g(x)图象的交点问题.

3.与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合

特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【知识点2隐零点问题及其解题策略】

1.隐零点问题

隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会

遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点

存在定理处理.

2.隐零点问题的解题策略

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数於)在区间/上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，

导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数人x)在区间/上存在唯一的零点(例如，函数人X)

在区间/上是单调函数且在区间/的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零

点是无o.因为劭不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点劭叫做隐零点；若xo容易求出，

就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

►举一反三

【题型1判断或讨论零点的个数】

(1,%>0

【例1】(2024•新疆乌鲁木齐•三模)已知符号函数sgn(%)={0,汽=0,则函数/(%)=sgn(ln%)-%ln%零

I—1,%v0

点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【变式1-1](2024•北京房山•一模)若函数/(%)=工工(0+8)，则函数。(久)=/(%)+%+。零点的

个数为(

C.1或2D.1或3

【变式1-2](2024•陕西榆林•模拟预测)已知函数/(>)=lnx—a:rexT+x+1,aGR.

(1)当a=l时，求/'(%)的极值;

(2)讨论函数/(%)的零点个数.

【变式1-3](2024•安徽芜湖•模拟预测)已知函数/(X)=eXsinx.

(1)讨论函数/(%)在区间(0,TT)上的单调性；

(2)判断函数八(x)=43+ln(x+1)-2%+1零点的个数.

【题型2零点问题之唯一零点问题】

【例2】(2024•四川绵阳•模拟预测)函数/'(X)=/--一6恰好有一零点近，Q.k>b>0,则久o的取值范围

是()

A.(-oo,0)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(1,+oo)

【变式2-1](2024•四川成都・三模)若函数/(x)=e，-"2大于o的零点有且只有一个，则实数k的值为

()

ct—e2

A.4B.21C.2D.\e

【变式2-2](2024•四川德阳•三模)已知函数f(x)=21nx-x2—1.

(1)试研究函数/(久)的极值点；

-2

(2)若F(x)=/(x)+4ax恰有一个零点，求证0<a<7

【变式2-3](2024・广东汕头•三模)已知函数fQ)=x(eX—a/).

(1)若曲线y=f(X)在x=-1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值.

(2)若f(x)在(0,+8)只有一个零点，求a.

【题型3零点问题之双零点问题】

【例3】(2024•河北衡水•模拟预测)已知函数/(久)=lnx+1-ax有两个零点％1如，且％1＜功，则下列命题

正确的是()

2

A.a>1B.%1+%2<-

1

C.,%2V1D.12—~-1

【变式3-1](2024•湖南郴州•模拟预测)已知/(%)=7neE-in%(?n20),若/(%)有两个零点，则实数租的

取值范围为()

A-(。，9B.(0,1)

C&+8)D.g,+8)

【变式3-2](2024•湖南,三模)已知函数/'(%)=ae2x-(a久+2-a)eX+gx2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若/。)有两个零点，求。的取值范围.

【变式3-3](2024•浙江•模拟预测)已知a为实数，nGN*,设函数f⑺=C-alnx.

⑴讨论/(久)的单调性；

(2)若/(%)有两个零点，求a的取值范围.

【题型4根据零点情况求参数范围】

(13—2%|+l,x〉0,

【例4】(2024•四川•模拟预测)已知函数/(X)=，0+2)2x.0,若函数y=，(%)]2-a/(x)有5个不同的

kexr-,

零点，则a的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+oo)

【变式4-1](2024・四川•模拟预测)已知函数/(*)={_制由*’0,,若关于尤的方程/⑴+a—1=0的不同

实数根的个数为4,贝必的取值范围为()

A-(1-9)B.-1)C,(1,1+j)D.(1-1,1+|)

【变式4-2](2024•四川凉山•三模)已知函数/'(%)=(2久一1)即一根久2一7n久+7n.

(1)当7H=0时，求/'(久)的极值点；

(2)若机>0且函数f(x)有三个零点，求实数m的取值范围.

【变式4-3](2024•新疆•三模)已知函数/(久)=Q—1)1—k2+a.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)若久久)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

【题型5函数零点的证明问题】

【例5】(2024•重庆•模拟预测)已知函数/(无)=矶111%+1)++("0).

(1)求证：l+%ln%>0；

(2)若%i，%2是/(%)的两个相异零点，求证：1%2fli<1-J1・

、..»1

【变式5-1](2024•四川自贡•三模)已知函数/(%)=1+1+aln%(a〉。)

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)函数/(%)有唯一零点％1，函数g(x)=%-sin%■在R上的零点为%2.证明：

【变式5-2](2024•河北邯郸•三模)已知函数/(%)=%e—a%2),QER.

⑴求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程.

(2)已知关于久的方程/(%)=一心恰有4个不同的实数根第其中％1〉0，%2>。.

(i)求Q的取值范围；

(ii)求证:%i+%2>4.

【变式5-3](2024・湖北•模拟预测)已知函数/(久)=e*-lnx-a,g(x)=ex-ln(%+a),其中。为整数且

aN1.记%o为/(%)的极值点，若/(%)存在两个不同的零点久1，%2(%1<%2)»

(1)求a的最小值；

(2)求证：g(ln%i)=g(ln%2)=。；

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】

【例6】(2024・四川南充・一模)已知函数〃X)=1+2卜爪(0<m<3)有两个不同的零点小，x2

，下列关于第1，%2的说法正确的有()个

①含<e2m②血>总③滞〈第2〈言④久1%2>1

A.1B.2C.3D.4

【变式6-1](2024•四川成都一模)已知函数/(%)=(ln%)2In%+，2有三个零点％]、冷、盯且第1<%2<

%3,则等1+等+等的取值范围是(

久1%2x3

A.(一白，。)B.(一1,0)D

C(一看。)-（-加）

【变式6-2](2024・福建南平•模拟预测)已知函数/(乃=等，其中e为自然对数的底数.

⑴讨论/(久)的单调性；

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根%1，%2.

⑴求。的取值范围；

(ii)证明：%i+%2>2.

【变式6-3](2024•湖南郴州•模拟预测)已知函数f(%)=2aln%+$2_(a+2)%,其中。为常数.

(1)当。>0时，试讨论/(%)的单调性；

(2)若函数/(%)有两个不相等的零点％1，%2,

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：%i+%2>4.

【题型7隐零点问题】

【例7】(2024•天津河西•模拟预测)已知函数/(x)=ae2x+(a-2)ex-x,g(x)=ex-ln(x+m).

(1)讨论/Q)的单调性;

(2)当m<2时,求证g(x)>0；

(3)若有两个零点，求a的取值范围.

【变式7-1](2024•陕西咸阳•模拟预测)已知/(x)=(乂-1)21一会：3+ax(%>())(aeR).

⑴讨论函数/(久)的单调性；

-1

(2)当a=0时，判定函数g(x)=/(%)+In%-#零点的个数，并说明理由.

【变式7-2](23-24高三上•辽宁鞍山•阶段练习)已知函数/(%)=+1,g(%)=%(1-%).

(1)若直线y=2%与函数/(%)的图象相切，求实数a的值；

(2)当。=-1时，求证：/(x)<^(x)+%2.

【变式7-3](2024•广东广州•模拟预测)已知函数/(%)=久e。久(a>0).

(1)求f(%)在区间上的最大值与最小值；

(2)当。之1时，求证:/(%)>Inx+%+1.

【题型8与函数零点相关的综合问题】

【例8】(2024•湖北•二模)已知函数/(乃=£+黑(e为自然对数的底数).则下列说法正确的是()

A.函数/(约的定义域为R

2

B.若函数/(吗在P(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为走p则a=l

C.当a=l时，/(%)=巾可能有三个零点

D.当a=l时，函数的极小值大于极大值

【变式8-1](2024•四川成都•二模)函数/(X)=e*+asinx,久6(-豆,+8),下列说法不正确的是()

A.当a=-l时，/(x)〉0恒成立

B.当a=l时，久久)存在唯一极小值点配

C.对任意a>0](久)在x6(-1T,+8)上均存在零点

D.存在a<0/(x)在xG(-it,+8)上有且只有一个零点

【变式8-2](2024・四川宜宾•一■模)己知函数a(久)=21n久一a(x2-i),u(久)=2/lnx.

(1)当a=l时，判断u(x)的单调性；

(2)若函数/(无)=a(x)+"(*)恰有两个极值点.

Ci)求实数a的取值范围；

(ii)证明：/»)的所有零点之和大于3.

【变式8-3](2024•山东济南•二模)已知函数/■(x)=(x-a)2Q—6)(a,6eR,a<b).

(1)当a=l,b=2时，求曲线y=f(x)在点(2)(2))处的切线方程；

(2)设X]久2是/'(久)的两个极值点，刀3是/(久)的一个零点，且町中久1，久3力刀2.是否存在实数比4，使得X1，久2/3,久4

按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求应；若不存在，说明理由.

►课后提升练(19题

一、单选题

1.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)己知函数f(x)=，曙EU，且g(W=f(x)-机工有两个不同的

零点，则小的取值范围为()

A.(一8，)B.g,e)C.(e,+8)D.g+8)

2.(2024・四川成都•模拟预测)已知函数/(久)=/一万+1,则()

A./(%)有三个极值点B./(%)有三个零点

C•点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

3.(2024•河南•模拟预测)已知a>0,若函数/㈤=「襦2t仁湾al肾H°没有零点，则实数。的取

值范围是()

A.(e,+oo)B.(l,e)C.(0,1)D.(1,+oo)

4.(2024•辽宁•模拟预测)已知函数/(%)=言，若函数gQ)=[/(x)]2+好(无)-02-ae恰有5个不同的零点，

则实数a的取值范围是()

A.(-8,—2e)B.(-8,—e)C.(-8,-3)D.(-oo,一工)

5.(2024・山西太原•二模)己知函数/(久)={_s上丫&Mi，若方程/(久)-同久+2|=0恰有三个不同实

数根，则实数左的取值范围是()

A.(0,8-2V13)U(1,+c«)B.(|,警)

C.(|,8—2同U(l,等]D.(|,1)U[^1,8+2713)

6.(2024•陕西商洛•模拟预测)已知函数中)=o，若关于％的方程严(久)一(2+0(久)+2t=0

有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为()

A.B.C.D.(-e,2)

7.(2024•全国•模拟预测)己知关于x的方程e2x-a久+9e2/=o有4个不同的实数根，分另记为孙,久2，冷，

孙，则唱一e)W—e)(£—e)g—e)的取值范围为()

A.(0,16e4)B.(0,12e4)C.(0,4e4)D.(0,8e4)

8.（2024-江西南昌•三模）已知函数/。）=xe'—、（x+l）2.则下列说法中错误的是（）

A.当a=：时，/（久）在R上单调递增

B.当a<0时，f（x）的最小值是一个与a无关的常数

C./（x）可能有三个不同的零点

D.当a>0时，/（X）有且仅有一个零点

二、多选题

9.（2024•全国•模拟预测）设e为自然对数的底数，函数八吗=〒-山nx（x>0）,则下列结论正确的是

（）

A.当a=e时，/（%）无极值点B.当a>e时，/（x）有两个零点

C.当l<a<e时，/（久）有1个零点D.当aWl时，/（久）无零点

10.（2024•福建泉州•模拟预测）已知函数/（X）=knx—|+2|-皿0<小<3）有两个不同的零点尤1,%2

（X1<久2），则（）

%Q

22m2-3

A.（Xi%2）min=1B.—<ec.xr>—D.e3<x2<—

11.（2024・广西来宾•模拟预测）下列关于函数f（久）=x-xln久的说法，正确的有（）

A.x=1是/'（久）的极大值点

B.函数寅%）有两个零点

C.若方程/（x）=m有两根打,久2，则X1+久2>e

D.若方程/'（x）=?n有两根则—+%2<e

三、填空题

12.（2024•福建泉州•一模）已知函数/'（久）=（x-l）ex+佗工一可有且只有两个零点，则a的范围是.

X

13.（2024•吉林长