2025年高考数学重难点专项复习：平面向量的概念（原卷版）

第01讲平面向量的概念

模块导航素养目标

模块一思维导图串知识1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位

模块二基础知识全梳理（吃透教材）移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别

模块三核心考点举一反三与联系；

模块四小试牛刀过关测2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母

表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别；

3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行

向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识

图形中这些相关的概念.学会向量的表示方法；

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1向量的概念

（1）向量

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②向量与向量之间不能比较大小.

（2）数量

只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积体积、质量等

（3）向量与数量的区别

①向量与数量的区别：向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能

比较大小

②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、加速度、速度等）中抽象出来的，但在这里我

们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性（如“力”

就是由大小方向、作用点所决定的）.

知识点2（1）有向线段

具有方向的线段叫做有向线段

①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、3为终点的有向线段

记作AB（如图所示），线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作|而|.表示有向线段时,起点一定要写

在终点的前面,上面标上箭头.

终点）

4（起点）

②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了.

（2）向量的表示

①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母9九上…表示

（3）向量的模

向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作|亚|.

（4）两种特殊的向量

零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.

单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量

①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.

②要注意0与6的区别与联系:0是一个实数，6是一个向量,且有161；书写时6表示零向量,一定不能漏掉

o上的箭头.

③单位向量有无数个,它们大小相等，但方向不一定相同.

④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.

知识点3相等向量与共线向量

（1）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量£与B平行,记作£||尻规定:零向量与任意向量平行,即对

于任意向量都有0II7

（2）相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量Z与B相等,记作a=b.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向

和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

（3）共线向量

任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.

共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.

❖＞模块三核心考点举一反三

考点一：向量的有关概念

（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）给出下列物理量:

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【变式1-1］（23-24高一下•黑龙江绥化•阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小

C.速度是向量，位移是数量D.零向量是没有方向的

【变式1-2］（多选）（24-25高一下•全国•课后作业）（多选）下列说法正确的是（）

A.加速度是向量B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量的方向是任意的D.向量就是有向线段

【变式1-3］（23-24高一•全国•课堂例题）已知。为正六边形A5CDE尸的中心，在下图所标出的向量中:

⑴找出与而相等的向量;

⑵找出几组相反向量.

考点二：向量的表示

2.（23-24高一•全国•随堂练习）画图表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：

⑴由A地向东北方向航行15km到达B地;

⑵由A地向北偏西30。方向航行20km到达C地;

⑶由C地向正南方向航行20km到达。地.

【变式2-1］（23-24高一•上海•课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段:

⑴向量3的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120。且同=3；

⑵向量B的模为4,方向与y轴的正方向反向；

（3）向量Z的方向与y轴的正方向同向，模为2.

【变式2-2](24-25高一下•全国•课后作业)在方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量.

⑴|可|=2,点A在点。的正东方向；

(2)|访|=2近，点8在点。的北偏东45。方向;

(3)求出网的值.

【变式2-3](23-24高一下•安徽淮北•阶段练习)在如图的方格纸中，画出下列向量.

⑴网=3,点A在点。的正西方向;

(2)|OS|=3>/2,点8在点。的北偏西45。方向;

(3)求出网的值.

考点三：向量的模

例3.（23-24高二下•全国•课后作业）如图所示，以长方体ABCD-ABCQ的八个顶点的两点为起点

和终点的向量中,

⑴试写出与彩模长相等的所有向量；

ULIL1

（2）若A3=AO=2,M=l.求向量AC1的模.

【变式3-1］（23-24高一下•北京•期中）已知向量获共线，且同=羽=2,则,+同=.

【变式3-2］（24-25高一上•上海•课后作业）（1）如图，在2x4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且

模与|丽|相等的向量共有多少个？（除通外）

（2）如果扩展到3义4的矩形呢？（除通外）

【变式3-3］（23-24高一下•福建泉州•期中）已知边长为3的等边三角形A3C,求3c边上的中线向量标的

模画.

考点四：零向量与单位向量

I\|例4.（多选）（23-24高一下•吉林四平•阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

【变式4-1］（2024高三•北京•专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度

为零，方向是任意的；②若a,石都是单位向量，则^=5;③向量血与丽相等.其中正确命题的序号为（）

A.①B.③C.①③D.①②

【变式4-2］（23-24高一下•湖北•期中）下列结论错误的是（）

A.零向量与任一向量共线

B.零向量与任一向量的数量积为0

C.方向相反的两个向量是相反向量

D.模长等于1个单位长度的向量称为单位向量

【变式4-31（多选）（23-24高一下•辽宁抚顺•开学考试）设Z*6,则与其平行的单位向量有（）.

考点五：相等向量

.例5.（2024高三•全国•专题练习）如图，在正AABC中，D,E,歹均为所在边的中点，则以下向

量和的相等的是（）

A.EFB.FB

C.DFD.~ED

【变式5-1］（23-24高一下•江苏连云港•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.西=|明B.］、或是单位向量，则同=同

C.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等

【变式5-21（多选）（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在菱形ABC。中，/区4。=120。，则以下说法

正确的是（）

cB

A.与而相等的向量只有1个（不含质）

B.与通的模相等的向量有9个（不含血）

C.前的模恰为9的模的后倍

D.无与罚不相等

【变式5-3］（23-24高一下•安徽六安•期末）如图，四边形是平行四边形，四边形A3OE是矩形.

⑴找出与存相等的向量;

⑵找出与方共线的向量.

考点六：共线向量

.例5.（2024高三•全国•专题练习）在VABC中，AB=AC,D、E分别是A8、AC的中点，贝！|（）

A.荏与正共线B.诙与有共线

C.无与荏相等D.而与丽相等

【变式6-1］（23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若问明,则［石B.若问冲则Z"

C.若4=石，则〃〃石D.若£〃及则£〃"

【变式6-2］（多选）（24-25高二上呐蒙古呼伦贝尔•阶段练习）关于非零向量彳，b,下列命题中，正确

的是（）

A.若同=忖，则乙=5B.若万=-5,则1//B

C.若Z//B,bl1c,则口分D.若同＞M，贝!|4＞方

3模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）下列量中是向量的为（）

A.功B.距离C.拉力D.质量

2.（2024高三•全国•专题练习）下面命题中，正确的是（）

A.若同=w，则办=5B.若同〉问，贝L＞BC.^a=-b，则彳//方D.若

14=0,则1=0

3.（24-25高二下•全国•课后作业）给出下列命题：

①若空间向量。，方满足|菊=历|,则才=方;

②在正方体ABCD-ABCQI中，必有衣=襦；

③若空间向量扇方忑满足。=瓦5=己则丈=子.

其中假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（23-24高一下•陕西咸阳•期中）已知四边形A2CZ）中，AB=DC,并且|福卜|砺|,则四边形ABCD是

（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.长方形

5.（24-25高二上•河南商丘•阶段练习）给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②在正方体ABC。-中，必有AC=AG；

③若空间向量a,B,c满足a=B,B=c,则£=

④空间中任意两个单位向量必相等；

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.（24-25高二上•全国•课后作业）下述四个结论中，所有正确结论的编号是（）

①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数；

③相等向量的方向相同；④与向量苕方向相反的向量，叫做万的相反向量.

A.①②B.②③C.③D.③④

7.（23-24高一下•福建福州•期中）下列说法正确的是（）

A.若两个非零向量而，方共线，则A及C,£）必在同一直线上

B.若彳与5共线，石与忑共线，则不与也共线

C.若同=同则4乩

D.若非零向量血与丽是共线向量，则它们的夹角是0。或180。

8.（23-24高一下•吉林•期末）下列说法正确的是（）

A.平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

B.若同=忖，则£与5的长度相等且方向相同或相反；

C.若I4T同，且Z与B的方向相同，则£=5

D.若京区，则Z与B方向相同或相反

二、多选题

9.（24-25高二上•云南昭通•期中）如图，在菱形ABC。中，若4MB=120。，则以下说法中正确的是（）

A.而与历不平行

B.丽的模恰为次模的6倍

C.与通的模相等的向量有9个（不含通）

D.与通相等的向量只有一个（不含而）

10.（24-25高一下•全国•课堂例题）（多选）下列命题中，正确的是（）

A.若Z与1同向,且则

B.若|3|=出|,则£与B的长度相等且方向相同或相反

C.对于任意|Z|=|B|,且Z与B的方向相同，贝！］£=石

D.所有的零向量都相等

三、填空题

11.（24-25高二上•全国•课后作业）给出下列命题：

①|。|=出I是向量％=b的必要不充分条件；

同=