2025年高考数学重难点专项复习：平面向量中的最值与范围问题【八大题型】解析版

重难点11平面向量中的最值与范围问题【八大题型】

【新高考专用】

平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，

此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某

个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.

►知识梳理

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1.平面向量中的最值(范围)问题的两类求解思路：

(1)“形化"，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

(2)“数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值(范围)问题的常用解题方法：

(1)定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值(范围)问题，即可得出结论.

(2)坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

【知识点2极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

⑴平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+^|2+|a-S|2=2(|a|2+|^|2).

证明：不妨设在=Z,®=5,贝1|工=3+B,DB=a-b,

2

因2=宓=(£+印管+2a-S+|zj|①,

网2=加=(］闽y7叫邛②,

①②两式相加得：

|狗2+廊『=2(@+W卜2(画2+1囹］.

(2)极化恒等式:

上面两式相减，得：:j=+B『一--------极化恒等式

平行四边形模式：a-b=^AC^-\DB^.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的;，即:•刃一或］(如图).

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即4•旅=

~AM2—应评(W为的中点)(如图).

A

BMC

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点3等和(高)线定理】

1.等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若5?+〃方Q,〃eR),

则4+〃=1,由△048与A0AE相似，必存在一个常数k,k&R,使得OP'=kOP,则

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB(x,j?eR),.■-x+y^kX+k^k；反之也成立.

(2)平面内一个基底｛5X3｝及任一向量苏，OP'^^OA+^OB^eR),若点P在直线A8上或在平

行于42的直线上，贝~+〃=©定值)；反之也成立，我们把直线以及与直线N8平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线48时，k=l；

②当等和线在。点和直线AB之间时，住(0,1)；

③当直线4B在。点和等和线之间时，在(1,+8)；

④当等和线过。点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值自，与互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

►举一反三

【题型1定义法求最值（范围）问题】

【例1】（2024•四川泸州•一模）已知平面向圜=4,|赤|=3,|玩|=1,而•旗=0,则|刀+无|的最小

值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

【解题思路】由题设AB,C分别在以。为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且万？1赤，数形结合及向量加法的

几何意义确定|石？+而帕勺范围，即可得答案.

【解答过程】由题设，45C分别在以。为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且雨•丽=0,

所以瓦51丽，若。是的中点，贝lJ|0D|=/4B|=|,而|OC|=1,如下图示，

由图知，向+国=2而而|OQ|—|OC|W|CD|W|OD|+|OC|,Bp|<|CD|<|.

所以|石？+而|的最小值是3.

故选：D.

【变式1-1］（2024•四川内江•三模）已知点/、B、C在圆久2+y2=i上运动，且4B1BC,若点P的坐标为

（0,2）,则|西+方+丽|的最大值为（）

A.3B.5C.7D.9

【解题思路】由题意可得4c为直径，且|西+丽+丽|=|2万+丽|,当而，方共线且方向相同时模长最长，

即可得出答案.

【解答过程】因为AB18C,所以4C为直径且过原点，4C的中点为原点。，

所以由平行四边形法则可得：PA+PC^2PO,

所以|港+而+元|=\2PO+~PB\,

所以当PO,PB共线且方向相同时模长最长，即当B运动至IJD（O,-1）时,

\PA+~PB+~PC\=\2P0+丽|取得最大值为2x2+3=7.

故选：C.

【变式1-2]（2024•福建•模拟预测）在△4BC中，点。是边BC上一点，若前=而，则等的最小

值为（）

A.7-2V10B.7+2V10C.-2V10D.7

【解题思路】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得x+y=L%>0,y>0„再利用基本不等式

“1”的妙用求出最小值.

【解答过程】在中，点。是边BC上一点，AD^xAB+yAC,则x+y=l,x>0,y>0.

（"6+；）（x+y）=7+F+■7+2曰=7+2师

当且仅当?=£,即》=手）=牛时取等号，

所以等的最小值为7+2V10.

故选：B.

【变式1-3]（2024•江西鹰潭•二模）在RSZBC中，角所对应的边为见瓦c/=也c=2,尸是△ZBC

外接圆上一点，则丽•（可+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

【解题思路】先判断△ABC外接圆圆心。是4B的中点，将无•（园+丽）化简为2玩•丽，再将正分解整理

得2而2+2而,瓦，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得丽・@7+而）的最大值.

【解答过程】

c

p

如图，设RtaZBC的外心为0,则点。是的中点，

由PC•（P4+PB）=2PC-P0=2（P。+oc）-P0=2P0+2P0-0C,

因c=2,故|而|=|沆|=1,而丽•瓦=cos〈而,玩〉，

故元•（刀+丽）W2+2=4,当且仅当而与沆同向时取等号.

故选：A.

【题型2坐标法求最值（范围）问题】

【例2】（2024•宁夏•一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一

个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形力BCDEFGH的边

长为2,P是正八边形2BCDEFGH八条边上的动点，则Q-乐的最小值为（）

图2

0C.-2V2D.-4V2

【解题思路】根据P的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.

【解答过程】设（而,而）=仇

当P与4重合时，AP-AB=0；

当P在线段4B（除4）、线段BC、线段C。，线段线段EF（除F）点上运动时,

0<9<1,cos0>0,所以4P-AB=|AP|'\AB\-cos0>0,

当p与尸重合时，e=*所以Q•而=|Q|・|说

以4为原点，AB,4F分别为%,y轴建立平面直角坐标系，

根据正八边形的性质可知力F=2+(2Xsin?x2=2+2\[2,2cos：=V2,

则F(0,2+2V2),G(-V2,2+V2),W(-V2,V2),B(2,0),

直线GF的方程为y=x+2+2鱼，直线GH的方程为x=-近，直线4H的方程为丫=-x,

当P在线段GF(除F)上运动时，设P(x,x+2+2&)(—&Sx<0),

所以而­AB=(x,x+2+2V2)-(2,0)=xe[-V2,0),

当P在线段GH上运动时，设P(-VIt)(迎WtW«+2),

所以而•AB=(-V2,t)•(2,0)=-2V2,

当P在线段AH(除4)上运动时，设P(x,-x)(-«Wx<0),

所以而■AB=(%,-x)-(2,0)=2xe[-272,0).

综上所述，而•荏的最小值为-2鱼.

故选：C.

【变式2-1](2024•江苏南通•二模)如图，点C在半径为2的通上运动，"OB4若配=mOA+nOB,则机+n

的最大值为()

A.1B.V2C.竽D.V3

【解题思路】建立适当的坐标系，设乙4OC=a,利用向量的坐标运算得到加，"与a的关系，进而得到

关于a的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.

【解答过程】以。为原点、旗的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则有诃=(2,0),OB=(1.V3).

设ZJIOC=a,贝iJOC=(2cos%2sina).

,日古上r%

由感恩可知｛f2n®l+n==2s2icnoasa

所以TH+九=cosa+手isna=^^sin(a+g),

因为ae[o闾,所以a+今喏用,

故山+n的最大值为竽.

故选：C.

【变式2-2](2024・四川成都•三模)在矩形力BCD中，AB=5,4D=4,点E满足2荏=3而，在平面4BCD

中，动点P满足丽•方=0,则而•标的最大值为()

A.V41+4B.74116C.2、13+4D.2V13-6

【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.

【解答过程】以。为坐标原点(。是BE中点)，建立如图所示的直角坐标系，

因为在矩形4BCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB,PE-PB=0,

所以动点P在以。为圆心，1为半径的圆上运动，故设P(cose,sin。)，

则A(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0-4,sin0-4)•(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0-4)=V41cos(0+<p)+4,

c---»--->__

其中锐角3满足tanR=Q故DPSC的最大值为WT+4,

故选：A.

【变式2-3](2024•北京•三模)已知点N在边长为2的正八边形442，-/8的边上，点”在边4"2上，则

ArMMiN的取值范围是()

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2A/2]

C.[-2V2,4+2V2]D.[-2V2,4]

【解题思路】以公为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算而•而即可.

【解答过程】以心为原点，4遇2为工轴，4遇6为y轴建立平面直角坐标系，

设N(n，yi),M(%2,0)，则4也=(%2,0)4N=(均,％),

所以AM-A-^N—>

由于正八边形的每个外角都为：；

则工26[O,2],X16[-V2,2+V2],

所以41M•&N=XiX2e[-2V2,4+2V2].

故选：C.

【题型3与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】

【例3】（2024•四川遂宁•模拟预测）在△力BC中，点尸为线段8C上任一点（不含端点）,^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,贝叶+和勺最小值为（）

A.3B.4C.8D.9

【解题思路】先根据共线向量基本定理得到x+2y=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答过程】因为点尸为线段上任一点（不含端点），

所以设衣=4近，i^AF-AB-XAC-AAB,

即赤=4而+（1-4）福

又而=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

故久+2y=1—A+A=1,

故1++今（x+2y）=l+4+孑+■5+2后g=9,

当且仅当孑=£,即x=y=g时，等号成立，

故?+和勺最小值为9.

故选：D.

【变式3-1］（2024•宁夏银川・模拟预测）在△ABC中，BD=WC,过点。的直线分别交直线AB、AC于点

E、F,5.AE=mAB,AF=nAC,其中Tn>0,n>0,则租+2九的最小值为（）

O

A.2B.V2C.3D.-

【解题思路】根据题意以4B/C为基底表示出AC,再根据E,凡。三点共线，利用共线定理可得聂+会=1,

再由基本不等式即可求得m+2兀的最小值为3.

【解答过程】如下图所示：

因为说=2DC,易知前=AB+BD=AB+^BC=AB+|（XC-XB）=9+押,

又族=小四,左=n前，所以而=痴+|而=亲族+《初，

易知E,F,D三点共线，利用共线定理可得++总=1,

又m>0,n>0,

所以加+2n=S+2n）（3+9="架+言+公2序器+|=2*|+|=3；

当且仅当票=粉，即爪=72=1时，等号成立，

所以巾+2n的最小值为3.

故选：C.

【变式3-2](2024•重庆•模拟预测)在正方形A8CD中，动点E从点B出发，经过C,D,到达4AE=XAB+n

AC,贝IM+〃的取值范围是()

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

【解题思路】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点、E在BC,CD,4。三种情况，求出2+〃的取值范围.

【解答过程】以B为坐标原点，AB,BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，

设48=1,则8(0,0)/(1,0>C(0,1),

当点E在BC上时，设

贝1](一l,m)=4(-1,0)+〃(一1,1),即｛入/二林1，故4+4=1,

当点E在CD上时,设

则(t—1,1)=4(—1,0)+火一1,1),即「圈tT，解得｛)=7，

故a+〃=1—16[o,i],

当点E在4。上时，设

则即｛一丑;°，故4+〃=0

综上，a+〃的取值范围是a+〃w

故选：B.

【变式3-3](2024•内蒙古呼和浩特•一模)在中，。为线段4C的一个三等分点，MD|=2|DC|.连接

BD,在线段BD上任取一点E,连接4E,若族=a而+b方，则(^+廿的最小值为()

,1342

A.—Bc——D.

4-1135

【解题思路】根据E在线段8。上得到族=4前+Q-Q同，结合已知条件得到a,b和4的关系式，最后转

化为二次函数求最小值.

【解答过程】•••E在线段8。上，AE^AAD+(l-A)XB,Ae[0,1],

。为线段4c的一个三等分点,\AD\=2\DC\,AD=^AC,

AE=—AAC+(1一=aAC-i-bAB,

由平面向量基本定理得a=|2，b=1—2,

a2+b2=^A2+(1-2)2=yA2-22+1=y(A-+,,

当2=总时，a2+/取得最小值3

故选：C.

【题型4与数量积有关的最值(范围)问题】

【例4】(2024•全国•模拟预测)已知圆C的半径为1,过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点4

\PA\=2,Q为圆C上一个动点，则同•所的取值范围为()

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【解题思路】方法一：建立合适的坐标系，设Q(cose,sin8),根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方

法二：根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可.

【解答过程】方法一：不妨设圆心C(0,0),24(0-1),P(-2,-l),Q(cos0,sin0),

所以丽■PQ=(2,0)•(cos。+2,sin0+1)=2cos0+4,

因为一1<cos3<1,

所以2W百•所W6.

方法二：如图，过圆心C作MNIIP4,且与圆C交于点N,连接PM,PN,

过N分别作MG1P4NH1PA,垂足分别为G,H,过Q作QT1P4垂足为7,

则所在或方向上的投影向量为所，

则可.所=可•可而|而|=2,

又1W|而|W3,所以2W方•所W6.

故选：B.

【变式4-1](2024•海南•三模)勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边

长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三

角形中，已知4B=2,尸为弧NC上的一点，且NPBC=*则而•丽的值为()

A.4—B.4+

C.4-2V3D.4+2V3

【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解.

以8为坐标原点，直线8c为x轴，过点8且垂直于8c的直线为了轴，建立平面直角坐标系，贝!]8(0,0),

C(2,0),由=?得P(乃1),所以丽=(V3.1),CP=(73-2,1),所以而-CP=V3(V3-2)+1X1=4-2

V3.

故选：C.

【变式4-2](2024•浙江•一模)如图，点C在以为直径的圆上，其中|力引=2,过4向点C处的切线作垂

线，垂足为P,则就•丽的最大值是()

A.2B.1C.0D.-1

【解题思路】连接BC,贝ij乙4cB=9。。,贝u有尼•丽=|无匕由RtaapcsRtaacB可得仍。|=史詈，又由

\AC\2+\CB\2=|4B|2,可得＜2,即可求出无­丽的最大值.

【解答过程】解：连接BC,贝此力CB=90。，

■：AP1PC,

.•前-TB=AC■(PC+CB)=AC-PC=(AP+JC)-JC=~PC2=\PC\2,

依题意可证Rt△力Pt>Rt△4CB,则昌=器，即|PC|=吏磬，

■.■\AC\2+\CB\2=\AB\2,

.•.|ZC|2+|C8|2=4N2|ac|£B|,即|4C||CB|W2,当且仅当|4C|=|CB|时取等号,

：.\PC\<1,

：.AC-~PB=|PC|2<1,

・•.乐•丽的最大值为1,

故选：B.

【变式4-3］（2024•广东深圳•模拟预测）如图所示，A48C是边长为8的等边三角形，P为NC边上的一个

动点，£厂是以8为圆心，3为半径的圆的直径，则而•麻的取值范围是（）

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【解题思路】利用已知条件，把而，而用基底｛丽，而｝表示，再利用向量数量积公式可得方•而=|丽『-

|BE|2,再根据I而I的范围便可求出而•方的取值范围.

【解答过程】如图可知，而=方+声，PF=~PB+~BF,

因为B是EF的中点，所以族=丽=一而，

所以而■PF=（RB+RE）-（PB+BF）,

即而-~PF=（PB+~BE}-（PB-BE},

所以丽•丽=丽2—前2=।丽前『，

由条件可得，|而|=3,|同|=|照|=|丽|=8,

因为尸为NC边上的一个动点，

故当尸为NC中点时，|丽|最小，此时|丽|=4行，

当尸为/或C时，|方|最大，|而|=8,

所以|丽|€[4V3.8],

所以|丽12C[48,64],又因为|旗|=3,

所以|而『-1前『e[39,55].

故选：C.

【题型5与模有关的最值（范围）问题】

【例5】（2024•河北保定•二模）如图，圆01和圆。2外切于点P，A,B分别为圆。1和圆。2上的动点，己知圆

。1和圆。2的半径都为1，且刀•丽=—1,则|您+而『的最大值为（）

【解题思路]由瓦?•PB=（西+0^4）■（花+4）=1,化简得到|日•森卜|西•（a^B-a[A）\<

|森一亚|,两边平方化简可得：一1一gW日•森W-1+遮，由|而+而『=

|PO1+。送+PO2+O2B\化简即可得到答案.

【解答过程】PA-~PB=（西+0^4）■（布+森）=西.西+西.森+m.西+亳.4

=-1+POi,（2B-0遇）+O^A•。2夕=-1,

所以|乖•森|=|西•（森一女）|<|森一女

■>------->12I»12I------>12------->------->I------>>12--->>

所以|。1/・。2回<\02B\+|。1川一2。遇・。28,即］。遇.。2司+2Oii4«O2B-2<0,

解得—1—工。遇,。2鸟m-1+V3.

\PA+ps|2=|西+0^4+西+森『=+0^|2=|o^4|2+|O1B|2+2m•森

=2+20M-02S<2+2x（-1+V3）=2V3.

故选：D.

【变式5-1］（2024•全国•模拟预测）已知向量落石满足|五+同=3,a-b=0,若工=43+（1—4）3（2eR）,

且工•方=2•1，则©的最大值为（）

13

A.3B.2C.-D.-

【解题思路】令五=丽，b=MB=AN,根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到府1丽，然

后数形结合求|可的最大值.

【解答过程】如图:令汇=府，b=MB=AN,则a+各=病+耐=荏，故|四|=3.

因为不力=0,所以府1M，记AB的中点为。，所以点M在以为直径的圆。上.

设工=而，连接MN,因为不=疝+（1-2»,所以点C在直线MN上.

因为",3="i,所以云YH—刃）=0,即而•N航=0,所以而1N疝

结合图形可知，当丽1卷时，|而|即©取得最大值，且伍|max=l而1=*

故选：D.

【变式5-2]（2024•河南郑州•模拟预测）已知△力BC中，AB=AC=242,+A5C|min=2（AeR）,

AM^^MB,AP=sin2cr-AB+cos2cr-AC,a&则|丽|的取值范围为（）

/L63」

A•照，唱B.白胡

C.图，苧]D.曲亨]

【解题思路】根据已知可得2到BC的距离为2,△ABC为等腰直角三角形，若，E为BC的两个四等分点，N

为中点，P在线段0E上运动，且4V=2,数形结合求|而|的取值范围.

【解答过程】由|乐+4丽|mm=2(4eR),结合向量加法法则知：4到BC的距离为2,

又AB=AC=2®则8C=4,^AB2+AC2=BC2,故△ABC为等腰直角三角形，

由力P=sin2a•AB+cos2a•4C,则siMa+cos2a=1,所以P,B,C共线,

又ae卜⑶，则Sin2a,cos2ae的，若0,E为BC的两个四等分点，N为BC中点，如下图示，

所以P在线段0E上运动，且4N=2,BD=1,BE=3,

由图：若MP1BC,则MP〃4N,又丽二屈,此时BP=|BN=?e[1,3],

故上述情况|而lmin=lAN=^易知ME=JMP2+(BE—BP)2=J"+会年,

由图知：P与E重合时，I而5|max=ME=亨，

综上，I而I的取值范围为L字].

故选：D.

【变式5-3](24-25高三上•黑龙江大庆•期中)勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、

工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形N3C的顶点为圆心，以三角形/2C边长为半径作圆弧，由这

三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形/8C边长为60,点。，£分别为线段/昆/C的

中点，点尸为圆弧而上的一动点，则|同+方+玩+方+而|的最小值为()

A

A.60-6V37B.300-30V37C.300—15历D.60-3何

【解题思路】取三角形NBC的重心和。E中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定

理得到点”在平面的位置，用勾股定理求出线段S长，从而求得所求向量的最小值.

【解答过程】取中点R三角形4BC的重心G,

■.-PG=!?C+|PD=|?C++PA）=|（PC+PB+PA）,PF=^PD+^PE,

则方+~PB+JC+~PD+RE=3PG+2PF=+1利，

设丽=|丽+河，则可得旗=I7沛，设3c中点为乂

则|4M|=,602—302=30V3,\FM\|A/602-302=15g,

\MH\=\FM\-\FH\=|FM|-||FG|=|FM|-|X（|-|）|^|=15V3-3V3=12V3,CH2=MH2+CM2

=1332,

在扇形CAB中，当C,H,P三点共线时，|丽|最小，所以|而|的最小值为60-V1疑=60-6例,

\PA+PB+PC+PD+技|的最小值为300—30历.

故选：B.

【题型6平面向量中参数的最值（范围）问题】

【例6】（23-24高一下•河南信阳•阶段练习）如图，点C是半径为1的扇形圆弧而上一点，且〃。B=g

4

若玩=拓1+、而，贝收+后的最大值是（）

C

A

OB

A.1B.孚C.V10D.4

【解题思路】以OB为x轴，过。作与OB垂直的线作为y轴建立平面直角坐标系，设C（cose,sin。）,。€乎卜

根据平面向量基本定理得到，再利用辅助角公式计算可得•

如图所示，以。B为x轴，过。作与OB垂直的线作为y轴,

•••〃08=拳|明=|国=1,.•・从一日，阴,5(1,0),

贝位=（_多乎）,而=（1,0）,

设C(cose,sin。),。E［仇平

一/V2V2\/V2V2\

OC=(cos^sin©)=xI——I+y(l,0)=I——x+y,—xj

Acos9=-^-x+y...rx=V2sin0

sinO=—x，ty=cosJ+sinJ，

2

•••x+V2y=V2sin0+V2(cos0+sin。)=2V2sin0+V2cos0=VlOsin(0+<p),

其中tamp=Xtan(p=|<^=tanp所以0<w<也

・•・sin（e+卬）=L即e+0=5时，％+鱼丫取得最大值，即（％+&y）max=

故选：C.

【变式6-1]（23-24高一下•河南•阶段练习）已知口45。。中，点尸在对角线4C上（不包括端点4,C）,

点。在对角线上（不包括端点3,D）,若羽=九荏+的而，而=彩荏+〃2近，记2盾一〃1的最小

12

值为冽，彳+丁的最小值为力则（）

林2

.19h19

A.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

【解题思路】由四边形48CD为平行四边形，得力P=+“iBC=X1AB+4送。及册=%且汨e（0,1）,

再通过二次函数求最小值小；由而=小同+%而及点0在对角线5。上，得几2+42=1，再通过基本不

等式求最小值兀

【解答过程】因为四边形4BCD为平行四边形，所以而=册荏+%丽=汨同+〃i而，

又点尸在对角线/C上（不包括端点/,C）,所以加=%且％6（0,1）,

贝1|2淤一出=2淤—41=2（汨一"）当心=*时，m=-1.

同理而=而南+如而，因为点0在对角线AD上（不包括端点5,D）,

所以入2+42=1且入2＞。,〃2＞。，

则套+后=（/+£）。2+〃2）=升翁+普泞+2氏弓=/

当且仅当而=最”2号时取得等号，所以n

故选：A.

【变式6-2］（23-24高一下•上海•期中）如图，△48。的三边长为|/切=3,伊。|=7,|4。=5,且点8C分别

在X轴，y轴正半轴上移动，点a在线段BC的右上方.设瓦？=久而+＞瓦Q,yeR）,记”=布•瓦

,N=x+y,分别考查M,N的所有可能结果，则（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【解题思路】设NBCO=ae（01）,NaC8=S，用a,0表示出M,N,然后利用三角函数的性质求最值.

[解答过程】设NBC。=ae(0,^ACB=£,

由余弦定理得cos£==K⑼邛=J1—COS20=笔，

过4点作ly轴，设垂足为。，

在△BOC中，\0C\=\BC\cosa=7cosa,\0B\=\BC\sina=7sina,

所以B(7sina,0),C(0,7cosa)

在△ZDC中，

\AD\=\AC\sinzACD=5sin(a+£),|C0=\AC\cosZ-ACD=5cos(a+/?),

所以Z(5sin(a+£),7cosa-5cos(a+/?))

由。4=xOB+yOC

即(5sin(a+S),7cosa—5cos(a+0))=(7%sina,0)+(0,7ycosa)

,曰_5sin(a+/?)_7cosa—5cos(a+/?)

~,y=~，

7sina,7cosa

5sin(a+0)7cosa-5cos(a+0)15V3、(,15A/3

所以N=%+y--------------1-----------------------=1H------------>1H---------

7sina7cosa49sin2a49

当且仅当a=?时取最小值，没有最大值.

M=0A-0C=7cosa[7cosa-5cos(a+/?)]=、+ysin(2a+y)，

其中siny=|i,cosy=等,yG(0,^),

11

因为y<2a+yV7i+y,所以一R=sin(n+y)<sin(2a+y)<1,

所以Me(0,r],当且仅当sin(2a+y)=1即a=；苫时取最大值，没有最小值.

【变式6-3](23-24高二上•上海黄浦•期中)在△ZBC中，AC=3,BC=4,4c=90。.P为△所在平面

内的动点，且PC=2,^CP=ACA则给出下面四个结论：

①a+〃的最小值为T；②PA,PB的最小值为—6；

③a+〃的最大值为*④丽•丽的最大值为io.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】建立以C为原点，C4cB所在的直线分别为居y轴，平面直角坐标系，设P(2cose,2sin。)，然后

C2A

一＞一＞一＞A=-cosU

表示出CP,C4cB的坐标，得出彳.A,再逐个分析即可.

V11=-2sm6

【解答过程】

如图，以C为原点，C4cg所在的直线分别为%,y轴，建立平面直角坐标系,

则C(0,0)/(3,0)以0,4),因为PC=2,所以设P(2cose,2sine),

则CP=(2cosa2sin。),&4=(3,0),CB=(0,4)

所以CP=ACA+林CB=(3尢4〃)，

2

而2cos8=32A=-cos0

V2

所以A+〃=|cos9+|sin8=|sin(0+(p),其中sin?=1,cos(jp=|,

所以(A+〃)min=-+〃)max=]

所以①③错误；

PA=(3—2cos0,—2sin0),PB=(-2cos0,4—2sin0)

.•・凡厢=-2cos0(3-2cos0)-2sin6>(4-2sin0)=4-lOsin(0+a),

其中sina=|,cosa=

•・.-10<-lOsin(0+a)<10,

-6<4-lOsin(0+a)<14,

-6<PA-TB<14,

所以②正确，④错误；

故选：A.

【题型7极化恒等式】

【例7】（23-24高一下•北京•阶段练习）在直角梯形4BCD中，AD\\BC,AABC=90°,

4D=24B=2BC=2,点P为梯形力BCD四条边上的一个动点，则西•丽的取值范围是（）

A-[~|<4]B-[-1-2]C.[一1,4]D.

【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.

【解答过程】如图4ABP中，。为4B中点，

JA-PB=（而+OAy（PO+OB）=（PO+OAy（PO-OA'）=PO2-OA2（极化恒等式）

共起点的数量积问题可以使用.

如图，取4B中点。，则由极化恒等式知，

7A-7B=PO2-OA2=PO2-^,要求丽•丽取值范围，只需要求PM最大，最小即可.

由图，可知2。2最大时，尸在。点，即P02=。。2=4。2+4。2=止匕时

4P4PB=P02—I4=4,

P02最小时，尸在。点，即「。2=0,止匕时丽•丽=2。2—]=一3

综上所得，刀•而取值范围为：[-i,4].

故选：D.

【变式7-1]（2024高三・全国・专题练习）如图，在等腰直角三角形4BC中，斜边4C=2,M为线段4B上的

动点（包含端点），。为4C的中点.将线段4C绕着点D旋转得到线段EF,则丽•丽的最小值为（）

A

■F

BC

3

A.-2B.--

i

C•—1D.——

【解题思路】利用转化法，将何•丽转化为丽之—反?或何2_萍2,进而求得标•标的最小值.

【解答过程】解法一：

连接MC,则何•MF=（MD+~DE）-（MD+DF）

=（MD+函•（MD-D£）=~MD2-DE2,

当MO148时，MC最小，即I丽Imin=¥，

结合而2=1,得靛,而的最小值为-（

解法二（极化恒等式法）：

依题意BC=VL£»为线段EF的中点，

则砒+MF=2MD.ME-~MF=^ME+MF）2-（ME-MF）2]

->2i--->2

=MD--FE,

由于|丽京=¥，而之=%所以何•而的最小值为一!

故选:D.

A

BC

【变式7-2]（2024•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图直角梯形/5CD中，跖是CD边上长为6的可

移动的线段，4。=4,AB=8V3,BC=12,则靛•市:的取值范围为[99,148].

【解题思路】首先在BC上取一点G,使得BG=4,取EF的中点P,连接CG,BP,根据题意得到盛•丽=；

［（而+即『-（而-而H=前2一%再根据|乔|的最值求解即可.

【解答过程】在BC上取一点G,使得BG=4,取EF的中点P,连接DG,BP,

如图所示：

则DG=88，GC=8,CO=182+（8-）2=16,

tanzSCD=啦=遮，即/BCD=60°.

8

BE-BF=*族+而）2-（旗-而）］=i［（2BP）2-FE2］=#-9,

当BP1CD时，|而|取得最小值，此时|丽|=12xsin6（T=6V^,

所以（丽•丽）mg=（6V3）2-9=99.

当F与。重合时，CP^13,BC=12,

贝加丽『=122+132-2X12x13x|=157,

当E与C重合时，CP=3,BC=12,

贝加明,=122+32-2x12x3x1=117,

所以（旗•灰）max=157—9=148,即旗­加的取值范围为［99,148］.

故答案为：［99,148］.

【变式7-3］（2024•全国•模拟预测）如图所示，A43c是边长为8的等边三角形，点P为NC边上的一个

动点，长度为6的线段斯的中点为点2,则而•两的取值范围是［39,55］.

APC

【解题思路】由向量的数量积公式得出而•丽=|丽『-9,求出|方|的最大值和最小值即可得出结果.

【解答过程】由线段£尸的中点为点8,得出丽=-族.

而.丙=（而+而）.（而+丽）=（而+而）.（丽一丽）=|PF|2-|BE|2=I而--9.当点P位于点A或点

C时，|丽|取最大值8.

当点尸位于4C的中点时，|丽|取最小值，即=8sin?=4四，

••・I丽|的取值范围为[4篇8],••・盛•而的取值范围为[39,55].

故答案为：[39,55].

【题型8等和（高）线定理】

【例8】（2024•山东烟台三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若丽=》

9+y而，贝IJ2久+2y的最大值为（）

84

A.-B.2C.-D.1

【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【解答过程】

作3c的平行线与圆相交于点P,与直线相交于点£,与直线NC相交于点凡

设而=4族+〃而，贝!U+4=1,

.BC//EF,；.设若=爷=匕则ke[O,勺，

/itjZiC5

.■.AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+^AF=AkAB+[ikAC,

■•■x=A.k,y=(ik,

：.2x+2y=2(4+〃)fc=2/c<|,

故选：A.

【变式8-1](24-25高二上•浙江台州•开学考试)如图所示，0A,而是两个不共线的向量(4408为锐

角)，N为线段。B的中点，M为线段。力上靠近点4的三等分点，点C在MALL,且无=乂6？+y而eR),

【解题思路】先根据三点共线得沆=疝而+〃而(x,yeR),且兀+〃=1,再根据平面向量基本定理得x=|

A,y=|(l-2),最后根据二次函数性质求最值.

【解答过程】解：•••点GMN共线，.•.存在实数尢4，使沆=2丽+〃丽(x,yeR),且4+4=1,

因为赤=话=与丽+2y而，.-.X=|A,y=)=*l-4),0<A<1.

故/+y2=(|。+1(1-2)2=融-，+1

=!!(，—段)+噌0<2<1-

当4=葛时，%2+*取得