2025年中科院数学所试题及答案

中科院数学所试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，定义域为实数集的是：

A.$f(x)=\sqrt{x-1}$

B.$g(x)=\frac{1}{x}$

C.$h(x)=\log_2(x+1)$

D.$k(x)=\sqrt[3]{x^2}$

2.若数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2$，$a_5=18$，则公差$d$等于：

A.4

B.5

C.6

D.7

3.设集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|2x-1=0\}$，则$A\capB$的结果是：

A.$\{1\}$

B.$\{1,2\}$

C.$\{1,3\}$

D.$\emptyset$

4.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$。

5.设$\triangleABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且$ab=bc$，则$\angleA$的大小是：

A.$60^\circ$

B.$45^\circ$

C.$30^\circ$

D.$90^\circ$

6.若等比数列$\{a_n\}$的公比$q=-2$，且$a_1=8$，则$a_4$等于：

A.$16$

B.$-16$

C.$32$

D.$-32$

7.设函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$，则$f'(x)$等于：

A.$\frac{-1}{(x-2)^2}$

B.$\frac{1}{(x-2)^2}$

C.$\frac{-1}{x(x-2)}$

D.$\frac{1}{x(x-2)}$

8.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$，则$\tan\alpha$的值是：

A.$1$

B.$-1$

C.$\sqrt{3}$

D.$-\sqrt{3}$

9.下列不等式中，恒成立的是：

A.$x^2+y^2\geq0$

B.$x^3+y^3\geq0$

C.$x^4+y^4\geq0$

D.$x^5+y^5\geq0$

10.设函数$f(x)=x^2-4x+4$，则$f(x)$的最小值是：

A.0

B.1

C.2

D.4

二、填空题（每题2分，共20分）

1.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-2n+1$，则$a_4$的值为______。

2.若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a+b+c=0$，则$ab+bc+ca$的值为______。

3.设集合$A=\{x|-2\leqx\leq2\}$，$B=\{x|x^2\leq4\}$，则$A\capB$的结果为______。

4.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，则$f(3)$的值为______。

5.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\tan\alpha$的值为______。

6.设等比数列$\{a_n\}$的公比$q=0.5$，且$a_1=8$，则$a_5$的值为______。

7.若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)$的值为______。

8.设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f'(0)$的值为______。

9.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$，则$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$的值为______。

10.设函数$f(x)=x^2-4x+4$，则$f(x)$的对称轴为______。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2$，$a_4=18$，求该数列的通项公式。

2.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$x=1$处的极值。

四、解答题（每题10分，共20分）

3.设集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|2x-1=0\}$，求$A\cupB$的结果，并判断$A$和$B$是否为集合的子集。

4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$x=2$处的极限。

五、证明题（每题10分，共20分）

5.证明：对于任意实数$x$，都有$(x+1)^2\geq4x$。

6.证明：若数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1+a_5=2a_3$，则公差$d=0$。

六、应用题（每题10分，共20分）

7.已知等比数列$\{a_n\}$的第四项$a_4=16$，公比$q=2$，求该数列的前五项和。

8.设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f'(x)$，并求$f(x)$的单调区间。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.C。因为$\log_2(x+1)$的定义域为$x>-1$，即实数集。

2.A。由等差数列的性质，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=2$和$a_5=18$，解得$d=4$。

3.A。解方程$x^2-3x+2=0$得$x=1$或$x=2$，所以$A=\{1,2\}$。解方程$2x-1=0$得$x=\frac{1}{2}$，所以$B=\{\frac{1}{2}\}$，因此$A\capB=\{1\}$。

4.$f'(x)=3x^2-3$。对$f(x)=x^3-3x+1$求导得$f'(x)=3x^2-3$。

5.A。由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，代入$ab=bc$得$a^2=b^2+b^2-2b^2\cosA$，化简得$\cosA=\frac{1}{2}$，所以$\angleA=60^\circ$。

6.B。由等比数列的性质，$a_4=a_1q^3$，代入$a_1=8$和$q=-2$，解得$a_4=-16$。

7.A。对$f(x)=\frac{1}{x-2}$求导得$f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}$。

8.B。由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，代入$\sin\alpha=\frac{1}{2}$和$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

9.A。对于任意实数$x$，$x^2\geq0$，所以$x^2+y^2\geq0$恒成立。

10.A。由二次函数的性质，$f(x)=x^2-4x+4$的最小值为顶点的$y$坐标，即$f(2)=0$。

二、填空题答案及解析思路：

1.7。将$n=4$代入通项公式$a_n=n^2-2n+1$，得$a_4=4^2-2\cdot4+1=7$。

2.0。由等差数列的性质，$ab+bc+ca=\frac{1}{2}(a+b+c)(a+b+c)=\frac{1}{2}\cdot0\cdot0=0$。

3.$\{x|-2\leqx\leq2\}$。因为$A$和$B$的交集是$A$本身，所以$A\capB=A$。

4.2。将$x=3$代入$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，得$f(3)=\frac{3^2-4}{3-2}=2$。

5.$\frac{\sqrt{3}}{3}$。由$\sin\alpha=\frac{1}{2}$和$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

6.-16。由等比数列的性质，$a_5=a_1q^4$，代入$a_1=8$和$q=0.5$，得$a_5=8\cdot0.5^4=-16$。

7.0。由$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$，所以$f(x)$在$x=1$和$x=3$处取得极值，极值分别为$f(1)=6$和$f(3)=0$。

8.1。由$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，代入$x=0$得$f'(0)=\frac{0}{\sqrt{0^2+1}}=0$。

9.1。由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，代入$\sin\alpha=\frac{1}{2}$和$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$。

10.$x=2$。由二次函数的性质，$f(x)=x^2-4x+4$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot1}=2$。

四、解答题答案及解析思路：

3.$A\cupB=\{x|-2\leqx\leq2\}$。因为$A$和$B$的并集是包含所有元素的集合，所以$A\cupB$是$A$本身。$A$和$B$都是集合的子集，因为它们都是另一个集合的元素。

4.$f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}$。由$f(x)=\frac{1}{x-2}$，求导得$f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}$。由于$x=2$是$f(x)$的定义域中的间断点，所以$f(x)$在$x=2$处的极限不存在。

五、证明题答案及解析思路：

5.证明：对于任意实数$x$，有$(x+1)^2=x^2+2x+1\geq0+0+1=1$，所以$(x+1)^2\geq4x$。

6.证明：由等差数列的性质，$a_5=a_1+4d$，$a_3=a_1+2d$，代入$a_1+a_5=2a_3$得$a_1+4d=2a_1+4d$，化简得$a_1=0$，所以公差$d=0$。

六、应用题答案及解析思路：

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