2025年高考数学二轮复习专练：导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】（解析版）

重难点08导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】

【新高考专用】

导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用

导数研究函数的单调性、极值和最值，函数零点问题、不等式恒（能）成立问题等，考查分类讨论、数形

结合、转化与化归等思想.

从近几年的高考情况来看，导数的运算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查,

难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上,

属综合性问题，解题时要灵活求解.

►知识梳理

【知识点1导数的运算的方法技巧】

1.导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【知识点2切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数y寸无)在x=xo处的导数，即曲线y寸龙)在点(尤o次尤o))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=joWo)(x-xo).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(xo<劭))(不出现州)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=fi.xo)+f(xo)(x-xo);

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点3导数中函数单调性问题的解题策略】

1.确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数兀0的定义域；

⑵求了(无)；

(3)解不等式/(戏>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(无)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在(0,加上单调，则区间(a,加是相应单调区间的子集.

(2求x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xG(a力)都有/(x)>0(T(x)<0),且在(a,6)内的任一非空子区间

上，/(无)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点4函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数/(x)极值的一般步骤：

(1)确定函数兀0的定义域；

(2)求导数/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验了(无)在/(元)=0的根比左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数火了)在m,切上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值1a),他)；

③将函数小）的各极值与汽。），火6）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点5导数的综合应用】

1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略

（1）利用导数研究方程根（函数零点）的技巧

①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置.

③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

（2）已知函数零点个数求参数的常用方法

①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建

关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,

将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略

恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数

单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函

数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，

利用导数来求解.

3.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

►举一反三

【题型1导数的运算】

【例1】（2024・湖北•一模）已知函数/⑺=湖一）（l）x,则（）

A./a）=-fB.ra）=-f

C.f（2）=e2-eD.f'（2）=e2-e

【解题思路】求导，通过赋值逐项判断即可.

【解答过程】因为八x)=r-尸(1%,所以尸0)=e，一/(1),

则尸(l)=e—尸(1),所以r(1)=；,

则/(%)=ex-|x,所以/⑴=|,/,(2)=e2-|,/(2)=e2-e.

故选：C.

【变式1-11(2024.全国.模拟预测)已知函数/(%)的定义域为R,若/(2支一1)+3,尸0-2)都是奇函数，

且广⑴=—2/(—1),则%皆广出=()

A.6B.-9C.3D.-12

【解题思路】利用奇函数的性质得到f(2久-1)+3=-/(-2x-1)-3,然后通过求导得到尸(2%-1)=

尸(—2x-1),再结合尸(％-2)为奇函数得到尸(支)的周期，根据/(2%-1)+3为奇函数和尸(1)=—2/(—1)得

到/'(1)，最后利用周期性计算即可.

【解答过程】由/(2%-1)+3为奇函数可得f(2%-1)+3=-/(-2x-1)-3,

两边分别求导可得2尸(2x—1)=2f\-2x-1),

即f'(2久-1)=/(一2X一1),故尸(％—1)=/(一%一1),所以尸(x—2)=尸(一%),

又尸(无一2)为奇函数，所以尸(久一2)=一尸(一刀一2),可得尸(一切=一广(一x-2),

故尸(x+2)=一尸⑺,从而尸(％+4)=尸⑺,

故4是尸(x)的一个周期，

在7(x+2)=一广⑺中,分别令x=l和2可得：/(3)=-尸(1),尸⑷=一尸(2),

所以尸(1)+/(2)+((3)+/(4)=0.

由f(2久-1)+3为奇函数可得f(-1)+3=0,

故尸(1)=-2/(-1)=6,所以万肾尸㈤=506x0+f(l)=6.

故选：A.

【变式1-2X2024.山东•二模)已知/(X)为定义在R上的奇函数，设尸(久)为f(x)的导函数，若/(久)=/(2-%)+

4%-4,则广(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【解题思路】根据/O)=/(2-x)+4x-4进行尸(式)奇偶性和周期性的推导，得到广O)是周期为4的偶函

数，从而算出厂(2023)的值.

【解答过程】因为/(X)=/(2-x)+4x-4,所以两边求导，得尸(%)=-r(2-x)+4,

即/'(%)+/'(2—x)=4①

因为/(%)为定义在R上的奇函数，则f(-x)=-/(%),

所以两边求导，得广(X)=/''(-X)，所以广。)是定义在R上的偶函数，

所以尸(2-%)=/。-2),结合①式可得，r(x)+f(x-2)=4,

所以尸(X—2)+/(％—4)=4,两式相减得，yz(x)=f'(x-4),

所以尸(x)是周期为4的偶函数，

所以尸(2023)=/(-1)=/(1).

由①式，令尤=1,得广(1)=2,所以尸(2023)=/(1)=2.

故选：C.

【变式1-3](2024.山西晋中.模拟预测)已知函数f(x)=2x(x-2)(%-22)(x-23)(x-24)(x-25)(x-

26),则/(0)=()

A.220B.221C.222D.223

【解题思路】观察f(x),构造函数0(x)=(X-2)(%-22)(x-23)(x-24)(x-25)(x-26),利用导数的四

则运算得到尸(久)=2R(X)+2汹/(尤)，代入x=0即可得解.

【解答过程】设0(%)=(%—2)(x-22)(x-23)(x-24)(X-25)(X-26),

则/(x)=2x(p(x),故/'(x)=2<p(x)+2x<p'(x),

所以尸(0)=2<p(0)=2(0-2)(0-22)(0-23)(0-24)(0-25)(0-26)

_21+1+2+3+4+5+6_222

故选：C.

【题型2函数的切线问题】

【例2】(2024•江西景德镇•一模)过点力(0,1)且与曲线〃x)=/+2久-1相切的直线方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y—x+1D.y——2x+1

【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.

【解答过程】fz(x)=3/+2,点A不在曲线上，

2

设切点为(而,瑞+2x0-1),则f'Oo)=3x0+2=就+2x°-i-i,

x0

解得：Xo=-1>得切点(一1,一4),则k=/(一1)=5

切线方程为：y=5x+l,

故选：A.

【变式2-1](2024.山东.模拟预测)若过点(1,机)可以作y=(久+1)眇的三条切线，则实数m的取值范围是

()

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

【解题思路】设出切点坐标(t,(t+l)e2)，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用t表示出TH,再构造

函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出TH的范围.

【解答过程】依题意，设切点坐标为+1)避),由y=(x+l)e”,求导得y，=(%+2)e%,

则函数y=(x+l)e%的图象在点(匕(t+l)e「)处的切线方程为y-(力+l)ef=(t+2)ef(x-t),

由切线过点得m=(t+l)et+(t+2)et(l-t)=(-t2+3)e\

令9(t)=(一〃+3)eJ依题意，直线y=zn与函数y=g(t)的图象有3个公共点，

g'(t)=(―t2—2t+3)ef=—(t+3)(t—l)et,当t<-3或t>1时,g'(t)<0,当一3<t<1时，g'(t)>0,

则函数g(t)在(—8,—3),(1,+8)上单调递减，在(-3,1)上单调递增，

当t=-3时，函数g(t)取得极小值g(-3)=-6°-3,而当tv-8时，恒有g(£)<g(-V5)=0,

又g(2)=-e2<-6e-3,因此当-6e-3<m<0时，直线y=ni与函数y=g(t)的图象有3个公共点，

所以实数瓶的取值范围是(-6已一3,0).

故选：B.

【变式2-2](2024•广东佛山•一模)若直线y=或与曲线y=lnx+5相切，则/c=：.

【解题思路】设出切点坐标P(沏,y。)，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得k

【解答过程】设直线y=心与曲线y=In%+/相切于点Pg，Yo)，

求导可得y，=：亲因此切线斜率上=止一去=等，

4X-QZ人0

lnXn+------07V1

又切线过原点。(0,0),可得凝。=一常=铝，化简可得Xoln&-与+1=0,

%0—0

令。(%)=xlnx—x+1,则g'(%)=Inx+1—1=Inx,

当第E(0,1)时，g\x)<0,即仪式)在(0,1)上单调递减，

当久6(1,+8)时，g\x)>0,即g(%)在(1,+8)上单调递增，

所以9(%)在％=1处取得极小值，也是最小值，g(l)=0,即可得g(%)=-％+120,

因此可得沏=1,即可得卜=筹=今

故答案为：

【变式2-3](2024・四川成都•模拟预测)己知函数y=«的图象与函数y=aln久的图象在公共点处有相同

的切线，则公共点坐标为(e2,e).

【解题思路】设公共点为(沏,y0),由丹=巴，可得x°=4a2(a>0),进而利用导数可得[=碗=，

X。x。(aln%。—■y!XQ

求解即可.

【解答过程】函数y=aln%的定义域为(0,+8),可得尸(%)=£,由g'(%)=全，

设曲线/(%)=aln%与曲线g(%)=«的公共点为(%o，y()),

由于在公共点处有共同的切线，所以小=巴，所以&=4小9>。),

24%oXQ

x0=4a2

由/'Oo)=9(*0)，可得alnxo=伉，联立可得

alnx0=yfx^

解得Xo=e2,所以=e,所以公共点坐标为(e2,e).

故答案为：(e2,e).

【题型3导数中函数的单调性问题】

[例3](2024.黑龙江佳木斯.模拟预测)若函数f(x)=jx2-3x-41nx,则函数f(x)的单调递减区间为()

A.(4,+8)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

【解题思路】求函数f(x)的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果.

【解答过程】函数/(x)=1/一3x-41nx,定义域为(0,+8),

由/'(X)=X_3—：=";XT=(x-4?x+l),令尸Q)<0,解得o<%<4,

则函数f(x)的单调递减区间为(0,4).

故选：C.

【变式3-1](2024・湖北.一模)已知函数/(x)=ax2—]nx+2x是减函数，贝布的取值范围为()

A.(-co,0]B.(—co,-1]C.(—co,1]D.oo,-|j

【解题思路】求导得r(x)=2ax-，+2,根据题意可得2aW2—：对xe(0,+8)恒成立，求得点-询最

小值即可.

【解答过程】由/(%)=a/一]nx+2%,可得尸(x)=2a久—1+2,

因为函数/(%)=ax2-In%+2%是减函数，所以尸(%)<0对%G(0,+8)恒成立,

即2a%—1+2<0对%e(0,+8)恒成立,所以2a<妥一|对工£(0,+8)恒成立,

所以2aW(W—3,又5―1)—12—1,当且仅当x=1时等号成立,

2

X/mjnXX\x/

所以2a工—1,所以aW—5所以a的取值范围为(—8,—

故选：D.

【变式3-2](2024.吉林长春.模拟预测)已知a=sin]/=ln|,c=3-5,贝!J()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【解题思路】先构造函数f(x)=x—sinx,xe[0,1),再应用函数单调性得出si*<%再根据(I?<e<

取对数判断得出:<ln|<|,最后比较可得选项;

【解答过程】设/(%)=x-sinx,xG[0,1),则广(%)=1-cosx>0,所以/(%)在[0,1)上单调递增，

所以/>/(。)=0,即,一sin->0»所以a=sin-<-；

因为GY<。所以21nl<1<31n|,即1<。=111|<京

又c=3~>4-2=所以a<b<c.

故选：C.

e%—2工2_|_3a0V%V2

2a''在(0,+8)上单调递增，则实

!ex+-2a,x>2

数a的取值范围是()

A.[一；e]B,[-|,0]C.[-y,0]D,[-|)|]

【解题思路】根据分段函数的单调性判断方法进行分析，在每一段上通过分离参数求最值得到a的取值范围.

【解答过程】当OV%V2时，/(%)=ex—|x2+3a,/,(%)=ex—ax>0,

«<p令。⑺=g9口)=宁=安，

令g<x)>0,可得1<x<2,令g'(%)<0,可得0<%<1,

故g(%)在(0,1)上单调递减，(1,2)上单调递增，a<g(%)min=9(1)=e；

当第之2时，/(%)=ex+|x2—2a,=ex+ax>0,a>

X*4

故/i(x)在[2,+8)上单调递减，a>h(x)max=h(2)=-p

同时还需满足e2-|-22+3a<e2+^22-2a,解得a<0.

综上，a的取值范围是卜

故选：C.

【题型4导数中函数的极值问题】

【例4】(2024•辽宁•模拟预测)已知函数/(%)=%•(%-c)2在久=1处有极大值，贝！|c=()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】首先根据尸(1)=0,求c,再代入验证，即可求解.

【解答过程】广(%)=(x-c)2+2x(x-c)=(%-c)(3x-c),

由题意可知，((1)=0,得c=l或c=3,

当c=1时，/(汽)=(x—1)(3%—1)=0,得％=1或%=

当/(%)>0,得x<(或%>1,f(%)<0,得]<%<1,

所以函数的单调递增区间是(-8,：)和(1,+8),单调递减区间是@,1),

所以％=1是极小值，故CH1,

c=3时，/(%)=(%—3)(3第-3)=0,得％=1或%=3,

当/(%)>0,得x<1或%>3,尸(%)<0,得1<久<3,

所以函数的单调递增区间是(-8,1)和(3,+8),单调递减区间是(1,3),

所以％=1是极大值，故c=3.

故选：C.

【变式4-1](2024.吉林•模拟预测)若函数/Q)=alnx+:-%既有极大值也有极小值，则实数a的取值范

围为()

A.(0,2何B.(-co,-2V3)U(2V3,+oo)

C.(-oo,-2A/3)D.(2A/3,+OO)

【解题思路】求导，分析可知/-ax+3=0有2个不相等的正根右,*2,结合二次方程的根的分布列式求

解即可.

【解答过程】由题意可知：f(x)的定义域为(0,+8),且尸(行=£-营—1=——把，

若函数f(x)既有极大值也有极小值，则/-ax+3=0有2个不相等的正根勺,％2，

(△=a?-12>0

贝！+工2=a>0,解得a>2百，

1=3>0

所以实数a的取值范围为(2旧,+8).

故选：D.

【变式4-2](2024•陕西铜川•模拟预测)已知函数/(%)=/-(/—a比—a?恰有两个极值点，则。的取值

范围是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[l,+oo)D.(1,+oo)

【解题思路】对函数求导后，令h(x)=f'(x)=ex-x-a,则只需要h(x)有两个不同的零点，利用导数求

得h(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，则以0)<0,得再结合零点存在性定理可判断

出九(%)在(-8,0)和(0,+8)上各有一个零点，从而可求得结果.

【解答过程】/(汽)的定义域是R,7/(x)=ex-x-a,令h(%)=e%-％-a,

所以〃(%)=e%-l,令〃(%)V0,解得%VO；令*(久)>0,解得力>0,

所以九(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

要使/(%)恰有两个极值点，则/'(0)=/i(0)=l—a<0,解得。>1,

止匕时/'(—a)=e~a—(—a)—a=e~a>0,

所以/(%)在(-8,0)上有唯一的零点，

令g(x)=x—Inx—ln2(x>1),所以g'(x)=1—[=(1,

所以g(%)在(L+8)上单调递增，所以g(%)>1-ln2>0,

所以％—Inx—ln2>0(x>1),

所以尸(ln2a)=eln2a—In2a—a=a—Ina—ln2>0,

所以((%)在(0,+8)上有唯一的零点，

综上，当时，((%)在R上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号，

所以a的取值范围是(L+8).

故选：D.

【变式4-3](2024•江西宜春•模拟预测)已知函数/(%)=e*+e2T+a(x-1尸有3个极值点第1，久2，%3，则

+%2+%3=()

A.2aB.3aC.2D.3

【解题思路】将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，再根据导函数的对称性即可得出答案.

【解答过程】由题意知/'(%)有三个变号零点，

且三个零点为％L%2，%3，不妨设久1<小〈第3，

尸(久)=ex—e2~x—2a(x—1),

因为尸(1—x)+/(1+%)=e1-x—e1+x—2ax+e1+x—e1-x+2ax=0,

所以函数/'(%)关于(L0)对称，

又尸⑴=0,所以%2=L%1+孙=2,

所以％1+%2+%3=

故选：D.

【题型5导数中函数的最值问题】

【例5】(2024.陕西西安.二模)函数/(%)=/在[-3,3]上的最大值和最小值分别是()

A.B.C.D.

131355101022

【解题思路】求导，判断导数正负得函数f(x)在［-3,3］上的单调性求得结果.

【解答过程】广(x)=隹/x£［-3,3］,

1%十

令广(x)>0,解得—即/O)在(—1,1)上单调递增，

令广(x)<0,解得xe［―3,—l)U(l,3］,所以“X)在［—3,-1)和(1,3］上单调递减，

又"-3)=-靠A-l)=-|-f⑴=}f(3)=*

所以函数f(x)在［-3,3］上的最大值为点最小值为-

故选：D.

【变式5-1］(2024•陕西渭南•模拟预测)已知函数f(x)土％e*+a在区间［0,1］上的最小值为1,则实数a的

值为()

A.-2B.2C.-1D.1

【解题思路】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可.

【解答过程】由题意可知：f'［x}=(%+l)ex,

所以当x£［0,1］时尸(%)>0,则/(x)在［0,1］上单调递增，

所以/'(x)min=/(0)=a=1.

故选：D.

【变式5-2］(2024.宁夏固原.一模)函数/'(x)=sinx-(久+2)cosx-1在区间上的最小值、最大值分

别为()

A.-2TC—3,TC+1B.-2ir—3,—3C.-3,ir+1D.-3,2

【解题思路】利用导数求得/(无)的单调区间，从而判断出/(x)在区间［0,2诃上的最小值和最大值.

【解答过程】f'(x)=cosx—cosx+(x+2)sinx=(x+2)sinx,

所以在区间(0,n)上/(x)>0,即/(%)单调递增；

在区间5,22上尸(久)<0,即/O)单调递减，

又/'(0)=-3,/(2TT)--211-3,/(IT)=it+1,

所以f(x)在区间［0,2刊上的最小值为—2TT-3,最大值为TT+1.

故选：A.

【变式5-3］(2024•福建•三模)函数/(久)的定义域为(0,+8),((久)为/(X)的导函数，满足2(/(久)+/)=

x(r(x)+x),/⑴=—|，则/(*)的最小值为()

A.-eB.eC.-e2D.-----

2

【解题思路】根据题设有犷'([/(%)=3构造仪%)=等，易得g，(%)=%结合已知进一步得到"%)=

/In%-|%2,根据其导数求其最小值.

【解答过程】由题设,可得且3言也

x4X’

令g(%)=等，贝叼，(%)=立写组旦故“(%)=3

所以g(%)=ln%+C,其中C为常数，又f⑴=一|,则⑴=一|,

所以C=—|,故g(%)=In%—|=则/(%)=x2\nx—|x2,

而/'(%)=+%=2x(lnx—1),定义域为(0,+8),

当0<x<e时，/(%)<0,故/(%)在(0,e)上递减,

当x>e时，尸(%)>0,故/(%)在(e,+8)上递增，

所以/(%)的极小值，也是最小值为/(e)=-捺

故选：D.

【题型6利用导数解不等式】

【例6】(2024.四川泸州.一模)已知函数八%)=留+%,则满足/(%)的％的取值范围是()

A.(—co,—1)B.(—8,1)C.(—l/+oo)D.(l,+oo)

【解题思路】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果.

【解答过程】V/(x)=ex+%,

・,./'(%)=ex+1>0,

・•・/(%)在R上为增函数，

由/(久)>/(2%-1)得，x>2x-1,解得久VI,故工的取值范围是(一8,1).

故选：B.

【变式6-1](2024.吉林长春.一模)已知定义在(0,+8)上的函数/(%)/(%)是/(%)的导函数，满足无((%)-

2/(%)<0,且/(2)=4,则不等式/(2多一4%>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+8)D.(-co,1)

【解题思路】构造函数g(x)=等，由导数确定g(x)单调性，将已知不等式转化为关于g(x)不等式，然后利

用单调性即可求解.

%尸(%)27~(%)

【解答过程】设g(x)=等，则g'O)=

x-

因为%>0,%((%)-2/(%)<0,所以g，(%)V0,可得9(工)在(0,+8)上单调递减，

不等式〃2，)>4%即等>1=牛，即缁>矍，所以g(2，)>g(2),

因为g(©在(0,+8)上单调递减，所以2,<2,解得：x<1,

所以不等式的解集为：(-00,1)，

故选：D.

【变式6-2](2024.广东佛山.一模)设尸(久)是函数/(乃的导数，/(I—%)+/(I+x)=0,/⑵=0,当％>1

时，(X-1)尸(久)-/(%)>0,则使得f0)<0成立的久的取值范围是()

A.(0,1)U(1,2)B.(0,1)U(2,+oo)C.(-00,0)U(1,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

【解题思路】令g(x)=与，求导，得到g(x)在(1,+8)上单调递增,且g(2)=0,由f(l-工)+f(1+x)=0

得到g(l—久)=g(l+x),得到g(x)的对称性，故g(x)在(―8,1)上单调递减，且g(0)=g(2)=0,得到当

%<0时，g(x)>0,则f(x)<0,当l<x<2时，g(x)<0,贝仔(尤)<0,求出/'(久)<0成立的x的取值范

围.

【解答过程】令久久)=詈，则g'(x)=⑸,

因为%>1时，(%——/(x)>0,故当％>1时,gf(x)>0,

故g(%)在(1,+8)上单调递增,且g(2)=/(2)=0.

因为/(I-%)+/(I+%)=0,故(1—x—1)^(1-%)+(1+%—l)g(l+%)=0,

即一％•g(l-%)+%•g(l+%)=0,所以g(l-％)=g(l+%),

故。(%)关于直线％=1对称，故gO)在(-8,1)上单调递减，且g(0)=g(2)=0,

当%<0时,g(x)>0,则/(%)<0；

当1<%<2时，g(x)<0,则/(%)<0；

所以使得/(%)<0成立的％的取值范围是(一8,0)u(1,2).

故选：C.

【变式6-3](2024•海南海口•模拟预测)已知定义在[-3,3]上的函数/(%)=e%—eT—2%+l,若/(租2)+

f(m-2)<2,则TH的取值范围是()

A.B.[-1,2]

C.[-1,73]D.[-1,1]

【解题思路】根据以久)=/(%)-1的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为9(^2)<g(2-m),即可求解.

【解答过程】记g(%)=ex—e~x-2x,xe[-3,3],则g(-%)=e~x-ex+2x=-g(%),

故g(%)为[-3,3]的奇函数,

又g，(x)=ex+e-x-2>2Ve^e^-2=0,

因此g(x)为［-3,3］上的单调递增函数，

因为/'(%)=gO)+1，

由/'(巾?)+f(jn-2)<2可得。(巾2)+g(jn-2)+2<2,进而。(巾?)<g(2-m),

故-3<m2<2-m<3,解得—1<m<1,

故选：D.

【题型7导数中的函数零点(方程根)问题】

［例7］(2024•黑龙江大庆•三模)已知函数f(x)=|lnx|-fcx-2<2个零点，则实数k的取值范围是()

A.(-e，9)B.［。心)C.(-1,O］U{9}D.(-e,0］u图

【解题思路】由函数f(x)=|lnx|-依-2有2个零点，得到方程|lnx|=依+2有两个根，转化成函数y=

|Inx|与y=kx+2的图象有两个公共点的问题.对于y=|lnx|,分0<%<1和x>1两种情况讨论，去掉绝对

值得到图象.当0<%<1时，相切作为临界点，求得相切时k=-e；当x>1时，由相切得到k=4-结合图

象得到k的取值范围.

【解答过程】已知函数“%)=|1同一依-2有2个零点，所以方程|lnx|=入+2有两个根，

即函数y=|ln划与y=kx+2的图象有两个公共点.

(1)当0<x<1时，/(X)=|lnx|=—lnx,f'(x)=

若直线y=kx+2与曲线f(x)=|Inx|相切，设切点坐标为PQq,-InxJ,则曲线在点P处的切线方程为y+

ln%i=

又因为切线过点(0,2),所以2+ln;q=(-己)(0—K1),解得卬=%即k=/Q=-e.

(2)当x>1时，/(%)—|lnx|=\nx,f'(x)—?

若直线y=kx+2与曲线/(x)=|lnx|相切，设切点坐标为QQ^lnx?),则曲线在点Q处的切线方程为y-

lnx2=^(x-x2).

又因为切线过点(0,2),所以2-InK2=£(。一%2)，解得%2=e3,即k=(色3)=*.

综上，结合函数y=|lnx|与函数y=kx+2的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时ke

Je,0]U图

故选：D.

【变式7-1](2024•河北衡水•模拟预测)已知函数/(%)=In%+1-a%有两个零点％且%则下

列命题正确的是()

2

A.a>1B.xr+x2<-

i

C.•牝V1D.x2—>--1

【解题思路】根据零点可将问题转化为a=厘，构造或£)=用，求导即可根据函数的单调性得函数的

大致图象，即可根据图象求解A,根据极值点偏移，构造函数％(久)-光)-/(久)，结合函数的单调性

即可求解B,根据尤1+%2>；可得也(久/2)>0,即可求解C,根据不等式的性质即可求解D.

【解答过程】由八支)=0可得a=喑，令9。)=喑，其中x>0,

则直线y=a与函数gO)的图象有两个交点，g'[x}=-竽

由"0)>0可得0<x<l,即函数g(%)的单调递增区间为(0,1),

由"(x)<0可得%>1,即函数gO)的单调递减区间为(1,+8),

且当0<x<：时，g(x)=<0,当时，g(x)=瓜：">0，g(l)=1，

如下图所示：

由图可知，当0<a<l时，直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点，故A错误;

由图可知，|<%!<1<%2,

因为尸(x)=i-a=手，由尸(%)>0可得0<%<，由/0)<0可得%>

所以,函数/⑺的增区间为(0,J,减区间为&+8),则必有0<小<(<知

所以，0<Xi<—>则2—Xi>—>

aaa

令h(%)=/(：_%)_=I”—x)—Q-I0%+ax，其中0<x<^,

则=A-1+2a=<0,则函数h(x)在(o,£)上单调递减，

a\a)

所以,无(无1)>无(：)=0,即>0,即/■(久1)<f仁一工1)，

又/»2)=/(%1)=0，可得/(&)</(：-尤1)，

因为函数f(x)的单调递减区间为G，+8),则不>5—打，即/+%2〉:，故B错误；

由匿'-!n?+1，两式相加整理可得与+&=吗产>；，

[口以2—111%2\J-aa

所以，ln(x1x2)>0,可得久「％2>1，故C错误；

由图可知&<<1<&，则—%1〉—1，又因为不>£所以，X2—1，故D正确.

故选：D.

f|3-2x\+1,%>0,

【变式7-2](2024・四川•模拟预测)已知函数/(%)=(%+2/若函数y=有5

个不同的零点，贝布的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(L+8)

【解题思路】求得尸(久)=2券，得到函数f(x)的单调性和极值，作出函数f(x)的图象，根据题意，转化

为f(乃=0和f(x)一a=0共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解.

【解答过程】当久W0时，/(%)=喑，此时尸0)=三券，

则x<-2时,/''(%)<0,f(x)单调递减；-2<%<0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

所以，当％=-2是FO)的极小值点，作出如图所示的函数/(X)的图象，

函数y=|/(x)]2-af(x)有5个不同的零点，则方程[/■(%)]2-a/(x)=0,

即f(x)[f(x)-a]=0有5个不相等实数根，

也即是八x)=0和/(x)-a=0共有5个不相等实数根，

其中/(%)=0有唯一实数根x=-2,

只需f(x)—a=0有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知1<a<4,

即实数a的取值范围为(1,4).

故选：C.

【变式7-3](2024.四川南充.一模)已知函数/(*)=阿一j+2|一瓶(0<m<3)有两个不同的零点式「

%2(%1<汽2)，下列关于%1，g的说法正确的有()个

■Vmo

①二<e2m②％1>--7-③e石<x<---④％i%2>1

771+223—?71

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】

函数/(%)=|lnx-1+2卜m(0<m<3)有两个不同零点%<%2)，转化为-1+=m有两个

交点,构造函数g(%)=1n%-|+2卜判断单调性，利用数形结合，判断①，再根据①判断②，再根据零点,

构造函数，判断选项③，根据零点判断④.

【解答过程】由函数/(')=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有两个不同零点/，血区<%2)，

转化为-|+2|=m(0<m<3)有两个交点％<%2)，

构造函数g(%)=ln%-：+2,h(x)=|lnx-|+2|,则"(%)=：+*故g'Qr)>0,所以g(%)在(0,+8)单

调递增，而g(l)=0,可得九(%)图象如图所示

故以%)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增,

所以0VV1<%2，

对于①，m二-In%1+5-2=ln%2_：+2,

所以2m=—In%】+lnx2+----->Inf—

%2\X-^/

所以包<e2%故①正确；

Xi

对于②，由①可知m=—\nx+——2,故+2x—2=-x\nx>0,

1xir11

因此%i〉2,故②正确；

m+2

™mo

对于③，因为0<THV3,所以—故1<Ve,——>1,

33—771

所以。岛”——学+2=m三+孚

贝！Jg~m-—ln(3—m)—y+ln3,

构造函数Q(x)=-ln(3—m)—y+ln3,

则Q«)=±—而Q(o)=。，

所以g(言)>巾=g("2)，

所以“2<工，

因为g[三)=£一凄+2，所以爪-g(e~3^=2(£—G+1),

令£=t(O<t<l),构造/(t)=t一/+1,显然/(t)单调递增，且/(0)=0,

zmx

所以m=g(%2)>9"E)

mQ

所以e石V%2<;一，故③正确；

43-m

对于④，由①可知，ln%i%2=三十4_4>/一%

Xi%2yjx1x2

所以ln%i%2—・+4>0,

令后石=n,l4Z(n)=21nn-^+4,显然W(n)单调递增，且勿(1)=0,

所以X62>1，故④正确.

故选：D.

【题型8导数中的不等式恒成立问题】

【例8】(2024•陕西铜川•模拟预测)已知函数/'(x)=，一ln(x-1)-Ina+1,若/'(x)20对任意的x6

(1,+8)恒成立，贝b的取值范围是()

A.(0,Ve]B.(0,e]C.(0,el]D.(0,e2]

【解题思路】依题意可得e*Tna+x—Ina>eln(：x_1)+In(%—1)对任意的xe(1,+8)恒成立，即可得到x—

Ina>ln(x-1)对任意的久e(1,+8)恒成立，参变分离可得x—ln(x—1)>Ina,令h(x)=x—ln(x—1),

%€(L+8),利用导数求出h(%)min，即可求出参数的取值范围.

【解答过程】因为/(%)>0对任意的％6(1,+8)恒成立，

即亍—ln(x—1)—Ina+1>0对任意的第6(1,+8)恒成立，

即e%Tna_|_x_]na>]n(x-1)+X—1=eIn(%T)+ln(x—1)对任意的％6(1,+8)恒成立，

令g(%)=ex+x,贝Ug'(%)=ex+1>0,所以g(%)=e%+%在R上单调递增，

又g(%-Ina)>g[ln(%-1)]对任意的％E(1,+8)恒成立，，

所以％-Ina>ln(x-1)对任意的久e(1,+8)恒成立，

所以％-ln(x-1)>Ina对任意的久G(1,+8)恒成立，

令h(%)=x—ln(x—1),x6(1,+oo),

则九'(第)=1---—=三工，所以当1<x<2时"(%)<0,当久>2时"(%)>0,

x—lX-1

所以九(%)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以h(%)min=八(2)=2,

所以Ina<2,贝ij0<a<e2,即a的取值范围为(0,e?].

故选：D.

【变式8-1](2024•河南•模拟预测)已知4>0,对任意的x>l,不等式e2"—0ne句ln%20恒成立，则

实数2的取值范围为()

A.卜+8)B.[1,+oo)

C.[2e,+8)D.[e,+8)

【解题思路】根据题意，转化为22段2〃2恒成立