2025年高考数学二轮复习专练：导数的概念及其意义与运算

专题3.2导数的概念及其意义与运算

【新高考专用】

题型基础练

题型一卜导致的定义及箕应用

1.（23-24高二下•福建龙岩•阶段练习）已知函数/⑺在x=见处可导，且公『°尸黑小。）=3,则尸（3=

（）

3

A.-3B.-2C.--D.2

2

【解题思路】利用导数的定义求解.

【解答过程】解：因为Jim位3誓3=3,

A%TO2AX

所以一三Hmf（xo-34-f（&）=3,即_三尸&）=3,

所以尸（殉）=-2,

故选：B.

2.（24-25高三上•北京海淀•期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿

化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设

除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（）

A.由上图推测，甲地的绿化好于乙地

B.当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率

C.当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率

D.当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同

【解题思路】结合图中数据分析一一判断各选项即可.

【解答过程】对于A,由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差,

所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；

对于B,由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，

所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；

对于C,由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，

所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；

对于D,由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.

故选：C.

3.(23-24高三上•上海•期中)物体位移s和时间/满足函数关系s=100t-5t2(0<t<20),则当t=2时,

物体的瞬时速度为80.

【解题思路】由瞬时变化速度计算公式可求当t=2时，物体的瞬时速度.

【解答过程】因为竺=100(t+At)T(t+At)2-(100t-5t2)=10()_10f_5Af

AtAt

所以该物体t=2时，物体的瞬时速度为lim-=lim(100-10t-5At)=80.

故答案为：80.

4.(2024.全国.模拟预测)已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①lim咄=1；

②lim(l+%A=e,则依据两个公式，类比求lim空上吧=1；lim(l+sin2x)sinxcos%=e2.

X

【解题思路】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.

1

【解答过程】由极限的定义知：①1皿生竺=1；②lim(l+xA=e,

x

e-usinxcosxsin2x―znsin2xsint

因为------t=sin2x,可r信k=k

X2x

,.sinty

则lim四艺吧=lim——=1；

XJOt

1222

又因为(1+sin2x)sin%cosx=(1+sin2x)sm2x,令t=sin2x,可得(1+sin2x)sin2x=(1+少，

121

22

所以lim(l+sin2x)sinxcosx=lim(l+t)t=lim[(l+t)t]=e.

SOt-0

故答案为：1；e2.

题型二1求(复合)函数的导数

5.(2024.福建漳州•三模)已知函数/(%)=In%+是函数/(2%+1)的导函数，则g(0)=()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】计算/(2%+1)=111(2%+1)+2%+1的导数，得到g(%),代值即可.

【解答过程】因为/(%)=Inx+%(%>0),

所以/'(2%+1)=ln(2x+1)+2%+1,

即尸(2x+l)=岛+2，

所以g(x)=e+2,

所以g(0)=4.

故选：D.

6.(2024•新疆喀什・二模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/'(x)+g'(%)=2,

f(x)-g'(2-x)=2,若g(x)为偶函数,则/(2023)+“(2024)+“(2025)=()

A.2B.1C.0D.-1

【解题思路】由题意分析可得g'(%)=-g'(2-x),再推导得g'(无)的奇偶性和周期性，利用特殊值求出

g'(0),g'(l),进而分析得到，计算可得答案.

【解答过程】由题意/O)+g'(x)=2,/(%)-g<2-x)=2可知,g，(x)=-g，(2-x)①，

令x=l可得，“(1)=一“(1),所以"(1)=0.

又因为g(x)为偶函数，所以g(—x)=g(x),两边同时求导可得，一为="(x)②

令x=0可得,-g'(0)=©'(0),所以g'(0)=0,

联立①②可得，“(—%)="(2—x),化简可得g'(x)=g'(x+2),所以g'(x)是周期为2的函数，所以

g'(2025)=g'(2023)=g'(l)=0,g'(2024)=g'(0)=0,

又因为f(x)+g'(x)=2,所以f(2023)+g，(2023)=2,所以f(2023)=2,

所以/'(2023)+g'(2024)+g'(2025)=2.

故选：A.

7.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数f(x)=/,(i)—41nx+2,则f⑵=18-41n2.

【解题思路】左右两侧同时求导得到尸(1),求出原函数后再求/"(2)即可.

【解答过程】由题意知f'(X)=3/r(1)一令x=L

得((1)=3/⑴-4,解得:(1)=2,

所以/1(%)=2x3—41nx+2,

所以/1(2)=2X23-41n2+2=18-41n2.

故答案为：18-41n2.

8.(2024・海南•模拟预测)已知函数/(X)的导函数为尸Q)=x,若g(x)=/(sinx),g'(x)为g(x)的导函数,

则

【解题思路】求出复合函数的导函数，代入;求值.

4

【解答过程】g'(%)=(sin%)'/'(sin%)=cosxsinx,

2

所以“（9=35呜=俘）/

故答案为：

题型三求曲线切线的斛电额斜角

r\-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9.（2024.河北唐山.模拟预测）已知曲线f（%）=2%cos%在久=0处的切线为Z,则，的斜率为（）

A.In2B.-In2C.1D.-1

【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.

【解答过程】对/（%）=2%cosx求导得，/'（%）=（ln2）x2X-cos%—2X-sin%,由题意曲线/（%）=2%cos%在

x=0处的切线/的斜率为的=（（0）=（ln2）X20・cosO-20-sinO=ln2.

故选：A.

10.（23-24高二下•湖北•期中）点P在曲线y=2/—旧X+：上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角a的

范围是（）

A-[髀）B.词喑m）C.[0,n）D.H，。）心）

【解题思路】求导得y'=6/一百2-V3,即k=tana>-百，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求

解即可.

【解答过程】解：由y=2/—百X+],可得旷=6/—百，

所以yG[―V3,+oo）,即k=tanae[―V3,+oo）,

当tana€[一百,0）时，仇^殍同，当tana€[0,+8）时，a€[。弓），

所以角a的范围是

故选：B.

11.（23-24高三上•陕西渭南•开学考试）函数y=|府+1在x=3处的切线的倾斜角为之.

【解题思路】利用导数求得函数在x=3处的切线的倾斜角.

【解答过程】y=|Vx^+1=|-+1,yz=|■|-%2=Vx,

r

y\x=3=V3=tanp所以函数在％=3处的切线的倾斜角为今

故答案为：]

12.（23-24高二下•广东•阶段练习）函数/Q）=3x+2sinx的图象在点七]《））处的切线斜率为9

【解题思路】利用导数的几何意义可得切线斜率.

【解答过程】因为/(%)=3%+2sinx,

/'(%)=3+2cosx,

所以k=/'偿)=3+2cosm=%

故答案为：4.

求在曲线上一点的切线方—过一点的切线方程。I

13.(2024•陕西西安.三模)已知函数/(X)则/(“)在点(5)(5))处的切线方程为

()

A.4%—y—28=0B.4%+y—12=0

C.%—4y—12=0D.%+4y—22=0

【解题思路】根据分段函数结合导函数求出尸(5),再根据点斜式得出直线方程.

【解答过程】当xe(0,2］时,尸(%)=2x-3,

当xe(4,6］时，f(x)=2/(x-2)=4/(x-4),则尸(x)=4((x-4),

所以f(5)=4/(1)=-8,尸⑸=4/⑴=-4.

则所求的切线方程为y—(—8)=—4(%—5),即4x+y—12=0.

故选:B.

14.(23-24高三上•山东潍坊•阶段练习)函数f(x)的定义域为R,f(3x—l)为奇函数，且外无一1)的图像关

于％=1对称.若曲线/Xx)在％=1处的切线斜率为2,则曲线f(x)在x=2023处的切线方程为()

A.y=-2x+4046B.y=2x+4046

C.y=2x—4046D.y=—2%—4046

【解题思路】根据题意得函数;"(x)的图像关于点(-1,0)对称，关于x=0对称，进而得函数;"(X)是周期为4的

周期函数，再结合题意，根据周期性与对称性求解即可.

【解答过程】解：因为/(3x—1)为奇函数，即/(一3*-1)=一/(3X-1),

所以，函数/(%)的图像关于点(一1,0)对称，即/(—X—2)=-/(x),

因为f(x-1)的图像关于x=1对称，

所以/(%)的图像关于x=0对称，即/(%)=/(-%),

所以，f(.-x-2)=/(x+2)=-f(x),

所以/(x+4)=-/(%+2)=/(%),即函数/(x)是周期为4的周期函数，

所以曲线/O)在％=2023处的切线斜率等于曲线/(%)在x=-1处的切线斜率，

因为曲线/(x)在x=1处的切线斜率为2,图像关于x=0对称，

所以，曲线/(x)在％=-1处的切线斜率为-2,

因为f⑴=/(一1),/(-I)=-/(-I),

所以〃1)=/(-1)=0，

所以“2023)=f(-1)=0,

所以曲线/(%)在久=2023处的切线方程为y-0=-2(x-2023),即y=-2x+4046.

故选：A.

15.(2024四川.模拟预测)函数/O)=x3-2/的图象在点(2/(2))处的切线方程为4x—y—8=0.

【解题思路】根据导数的几何意义求解即可.

【解答过程】=3%2-4%,f'(2)=3X22—4X2=4,f(2)=23-2X22=0,

故函数/(x)=x3-2/的图象在点(2,/(2))处的切线方程为y-0=4(%-2),即4%-丫一8=0.

故答案为：4x-y-8=0.

16.(2024•全国•模拟预测)过原点与曲线f(x)=相切的一条切线的方程为y=2%或y=-2久

或y=；x(写出其中一条即可).

【解题思路】根据曲线y=产+lfX<2表示抛物线的一部分，设其切线方程为y=kx,利用判别式法求解;

设/(%)=In%,%>2的切线的切点为尸(%o，yo),利用导数法求解.

【解答过程】解：设曲线y=/+lfX<2表示抛物线的一部分，

设其切线方程为丫=忆％,代入y=/+i,

得久2—fc%+1=0.由△=々2_4=0,得k—±2.

当k=2时，x=1,符合题意，

当k=-2时，x=—1,均符合题意，

所以切线方程y=±2%.

设/(%)=In%,久>2的切线的切点为P(%o，yo).

由/''(%)=3得尸(g)=,y0=Ing,殉>2,

得切线方程为y=-%.

xo

将P(%o，yO)的坐标代入切线方程，得yo=L

所以久o=e,所以切线方程为y

故答案为：y=2%或y=—2%或y=，%(写出其中一条即可).

题型五卜与切线有关的参数问题。

17.(2024・陕西•模拟预测)函数y=e%+R—九的图象与直线丫=e%相切，则以下错误的是()

A.若7H=1,则71=eB.若几=1,则TH=工

e

C.n=m+eD.n=em

【解题思路】根据切点和斜率列方程，从而判断出正确答案.

【解答过程】设/(%)=ex+m-九与直线y=e%相切于点9/+力-n),

x+mf>t+m

/'(%)=e,f(t)=e,则e"m=e,t+m=lft=l—m①,

所以切点为9e-九)，而斜率为e,

所以切线方程为y—(e—n)=e(x—t),y=ex—et+e—n,

贝！J—et+e—n=0,et=e—n,t=l—巴②.

e

由①②得1—Tn=1—巴,m=3n=em,C选项错误，D选项正确.

ee

所以当m=l时，n=e,A选项正确.

当九=1时，m=-,B选项正确.

e

故选：c.

18.(2024・海南•模拟预测)已知函数/(x)=(x+l)e,过点P(7n,0)作曲线y=/(%)的两条切线，切点分

别为4(a,/(a))和B(b,/(b)),若a+b=0,则实数m=()

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】本题考查导数的计算及几何意义.

【解答过程】由题意知尸(x)=(%+2)铲,

因为P4与曲线y=/(>)相切，

所以(a+2)ea=(手'，整理得a?+(1-m)a-2m—1=0,

同理炉4-(1—m)b—2m—1=0,

则a,b是方程M+(1-m)x-2m-1=。的两个实数根，

所以a+b=m-1=0,

所以巾=1.

故选：B.

19.(2024广东佛山・一模)若直线丫=依与曲线旷=111久+表相切，则>=}.

【解题思路】设出切点坐标P(*o，yo),求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得k

【解答过程】设直线y=for与曲线y=Inx+/相切于点「(而必)，

求导可得y'=(一点，因此切线斜率k=套一忘=W紫，

lnXn4--09v_1

又切线过原点。(0,0),可得须。=一『=化简可得x°ln%0-々+1=0，

%0—。2%0

令g(x)=xlnx—x4-1,则g'(%)=Inx+1—1=In%,

当％e(0,1)时,g'(x)<0,即g(%)在(0,1)上单调递减，

当%e(1,+8)时,“(%)>0,即g(%)在(L+8)上单调递增，

所以9(%)在％=1处取得极小值，也是最小值，g(l)=0,即可得g(%)=xlnx-%+1>0,

因此可得Xo=1，即可得k=铝=

21ro2

故答案为：

20.(2024.陕西安康.模拟预测)已知0<a<1,若曲线y=a%lna与直线y=ex相切，则a=，

【解题思路】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。

【解答过程】设/(x)=a%lna,与直线y=e%相切的切点为(&JQ。))，

则f(%)=ax(lna)2,

X2x

故y=/(%)在点(%o，/(%o))处的切线方程可写为y=CL°(Ina)-(%-x0)+cc°\naf

x2x2x

即y=a°(Ina)%—x0a°(\na)+a°lna,

若切线为y=ex,则—％。a%。(Ina)2+ax°\na=0且e=ax°(Ina)2,得%()=",

iiii

所以an^(lna)2=e,设a•=TH贝Ulna商=Inm,—Ina=Inm=1所以m=e,

所以e(lna)2=e,(Ina)2=1所以又因为0Va<1,所以Ina=-1解得a=

故答案为：i.

题型六工^^0堡数回题

21.(24-25高三上•河北承德•开学考试)过点(2,0)可作曲线/。)=炉—3%-2的切线条数为(

A.1B.2C.3D.0

【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.

【解答过程】由/(%)=%3-3%-2=>尸(%)=3/一3,

当点(2,0)是切点时，此时切线的斜率为广(2)=3x22-3=9,此时有一条切线；

当点(2,0)是不切点时，设切点为则切线的斜率为尸(%。)=3胞一3,

切线方程为：y~(%o—3%o—2)=(3%o—3)(%—XQ),该切线过点(2,0),

于是有0—(%o-3%0—2)=(3%o—3)(2—%0)=>相一3瞪+4=0=瑞+1—3就+3=0

0(x0+l)(^o-x0+1)-3(x0+l)(x0-1)=0(x0+l)(x0-2尸=0nx(j=-1或&=2(舍去)，

综上所述：过点(2,0)可作曲线/"(X)=X3-3%-2的切线条数为2,

故选：B.

22.(23-24高三上•湖北•期中)函数〃>)=/+(a—1)——久+b为R上的奇函数，过点尸(—31)作曲线

y=f(x)的切线，可作切线条数为()

A.1B.2C.3D.不确定

【解题思路】根据奇函数确定/(%)=%3-%,求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算X。=-1,

计算切线得到答案.

【解答过程】/(—%)=—X3+(a—I)%2+x+b=—/(%)=—x3—(a—l)%2+x—b,故。=1,b=3

/(%)=%3—%,/'(%)=3/—1,

2

设切点为MOo，yo),则f'(%o)=3%0-1="4，且f(%o)=以一&=加

xo+2

整理得到(%。+1)(4就一％0+1)=0,解得%o=T，/'(-I)=2,

故切线方程为y=2%+2,

故选：A.

23.(23-24高二上.广东深圳.期末)若曲线y=(%-a)e%有两条过点(1,0)的切线，贝b的取值范围是_

(一8,1)U(5,+8).

【解题思路】先利用导数求曲线y=(%-a)e%过坐标(1,0)的切线方程，再列出关于Q的不等式，进而求得。的

取值范围.

【解答过程】由y=(%-a)e*得V=(%-a+l)e”,设切点坐标为-a)e%。)，

则切线斜率k=(%。-a+l)e&,

x

切线方程为y-(%0-a)e*。=(%。-a+l)e°(x-x0),

又因为切线过(L。)，所以0—(%o—a)e'o=(%o—a+l)ex°(l—%。)，整理得诏—(a+1)%。+2a—1=0,

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，

所以A=(a+I)2-4(2a-1)>0,解得。<1或。>5,

所以a的取值范围是(—8,1)u(5,+8),

故答案为：(一8,1)U(5,+00).

24.(23-24高二下.陕西西安・期末)若曲线/(%)=2有三条过点(0,。)的切线，则实数a的取值范围为—

(0,4).

【解题思路】构造新函数仅%)=亳，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a的取值范围.

【解答过程】设点P(x0,yo)为曲线/(x)=已上一点，则TOo)=言

又尸。)=?奈=皆，则尸(》。)=/，

则曲线fO)=W在点PQoJo)处的切线方程为

y=~x°^f又切线过点(0,a)，

则"言=M(r。)，即。=磊

令依)=9则〃⑶=等，

则％<0时》(%)<0,h(%)单调递减；

0<%<2时九'(%)>0,九(%)单调递增；

x>2时”(%)<0,%(%)单调递减，

则x=0时/i(x)取得极小值%(0)=0,%=2时h(x)取得极大值h(2)=已,

又仅―1)=e>/=h(2),

当x>0时，％(%)=高>0恒成立，+oo时，h(x)->0,

又由题意得方程a=磊有3个根，

则y=a与y=/i(x)图像有3个交点，则ae(0,^).

则曲线/'(%)=已有三条过点(0,。)的切线时实数a的取值范围为(。，2).

故答案为：(0,2).

题型七:、两条切线平行】垂直「公切藤问版

25.(2024•陕西渭南•一模)已知直线y=ax+b(a6R,b>0)是曲线f(%)=e%与曲线g(%)=Inx+2的公

切线，则a+b等于()

A.e+2B.3C.e+1D.2

【解题思路】由/(%)求得切线方程，结合该切线也是g(x)的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求

得直线y=ax+b,从而求得正确答案.

【解答过程】设也吟是/⑺图象上的T点,4(%)=/

所以/(%)在点(。吟处的切线方程为y-et=ef(x-t),y=e*x+(1-t)e「①，

令g'W=(=e。解得％=e-t,

5(e-t)=lne-t+2=2-3所以=ef,

1—t=(1—t)et,所以t=0或t=1(此时①为y=ex,b=0,不符合题意，舍去)，

所以t=0,此时①可化为y—1=1x(%—0),y=%+1,

所以a+b=l+l=2.

故选：D.

26.(2024.辽宁辽阳•二模)若对函数/(%)=2%-sin%的图象上任意一点处的切线4,函数g(%)=mex+

(血-2)%的图象上总存在一点处的切线%，使得，11%，则血的取值范围是()

A.(-f,0)B,(0,f)

C.(一1,0)D.(0,1)

【解题思路】求导得到-启范围A,再分m>0,m<0,血=0三种情况讨论得“(%)范围&最后根据

条件得A与B包含关系，计算得到答案.

【解答过程】由/(%)=2%-sin%,得尸(%)=2—cos%e[1,3],所以———E=A,

2—COSXL3J

由0(%)=meX+(血—2)%,得g'(%)=rnex+m—2,设该导函数值域为B,

(1)当m>0时，导函数单调递增，g'(%)E(m-2,+8),

由题意得0%1万％2，((%1)“(%2)=-1・•・g'(%2)=-772•••4GB

故m—2<—1,解得0<zn<1；

(2)当in<0时，导函数单调递减，g'(x)e(-8,m-2),同理可得m—与m<0矛盾，舍去；

(3)当m=0时，不符合题意.

综上所述：山的取值范围为(0,1).

故选：D.

27.(2024・四川成都•模拟预测)已知函数旷=正的图象与函数丫=口，(a>0且a不1)的图象在公共点处

有相同的切线，则公共点坐标为9共).

【解题思路】设公共点为(&,%)(g>0)，即可得到谟。=#,再由导数的几何意义得到谟。Ina="j,

从而求出Xo，即可求出切点坐标，从而求出a，再求出切线方程.

【解答过程】设公共点为Oo，y°)(%o>0)，贝1]'。=说，即/>=*,

x

y0=a°

所以x（）lna=-lnx，所以Ina=—lnx，

202Xn0

x

由为'=三一>y-i=a'lna,所以为'|工=与=/0Fy2'\x=Xo=a°\na,

2

又在公共点处有相同的切线，所以a^lna=|%2,gp%^)nXo=|%0,

所以In%。=1,则q=e,所以旷0=五，

所以公共点坐标为(e,五).

故答案为：(e,近).

28.(2024.河北邯郸・三模)若曲线y=e，与圆(x-a)2+y2=2有三条公切线，则a的取值范围是(1,+8).

2

【解题思路】易得曲线y=e、在点(%o，yo)处的切线方程为y-眇。=e^o(x-%0),再根据切线与圆(x-a)+

f=2相切，得到贮华挈吧=&，化简为e2xo((xo—a—l)2—2)=2,根据曲线旷=e，与圆(x-a)2+

vl+e^o

y2=2有三条公切线，则方程e2&((%0-a--2)=2有三个不相等的实数根，令g(%)=e2x((x-a-

l)2-2),由曲线y=g(%)与直线y=2有三个不同的交点求解.

xx

【解答过程】解：曲线y=e%在点(%o，yo)处的切线方程为y-e°=e°(%-x0)f

由于直线y-e*。=眇。(%-工。)与圆(％-。)2+y?=2相切，得"。(二号1‘"=&(*)

vl+e^xo

因为曲线丫=讲与圆(％-。)2+丫2=2有三条公切线，故(*)式有三个不相等的实数根，

即方程e2&(Oo_。_1)2_2)=2有三个不相等的实数根.

令9(%)=e2x((x-a-I)2-2),则曲线y=g(%)与直线y=2有三个不同的交点.

显然，g'(%)=2e2x(x—a—2)(%—a+1).

当工€(―8,a—1)时，g'(x)>0,当％e(a—l,a+2)时，g'(%)V0,当％E(a+2,+8)时,g'{x)>0,

所以，g(%)在(~8,a-1)上单调递增，在(a-l,a+2)上单调递减，在(a+2,+8)上单调递增；

2x2

且当久一—8时，g(x)=。一：二?-2to,当x—+8时,g(%)=e((x-a-l)-2)+oo,

因此，只需，即221，

(g(a+2)<2(_e2(a+2)<2

解得a>1.

故答案为：(1,+8).

题型八1与切线有关的最值问题

29.(23-24高二下•山东枣庄•阶段练习)点P是曲线y=%2-Ex上任意一点，则点P到直线y=%-4的距

离的最小值是()

A.1B.V2C.2D.2V2

【解题思路】问题转化为过点P的切线与直线y=x-4平行时，点尸到直线y=x-4的距离最小，利用导

数的几何意义求得点P的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.

【解答过程】因为点P是曲线y=/一in久上任意一点，

所以当点P处的切线和直线y=x-4平行时，点P到直线y=%-4的距离最小.

因为直线y=x-4的斜率等于1,曲线y=%?一］nx的导数y，=2%-（，

令V=1,可得久=1或％=一］舍去）,

所以在曲线y=/-Inx上与直线y=x-4平行的切线经过的切点坐标为（1,1）,

所以点P到直线y=x—4的最小距离为=2V2.

故选：D.

30.（2024・四川•一模）若点P是曲线y=lnx—/上任意一点，则点尸到直线/：%+y—4=0距离的最小值

为（）

A.yB.V2C.2V2D.4V2

【解题思路】由题知过点P作曲线y=Inx-/的切线，当切线与直线/:x+y—4=0平行时，点P到直线Z:x+

y-4=0距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.

【解答过程】解：过点P作曲线y=lnx-%2的切线，当切线与直线/：x+y-4=0平行时，点P到直线E:x+

y-4=0距离的最小.

设切点为p（xo,yo）（%o>0）,y'=~~2%,

所以，切线斜率为k=2一2%，

由题知工-2xo=-1得与=1或与=一;（舍），

所以，P（l,-1）,此时点P到直线Z:x+y—4=0距离d=个9=2迎.

故选：C.

31.（23-24高二下.江西赣州•期中）设点A在直线Wx—y+l=0上，点2在函数/（%）=Inx的图象上，

则L4BI的最小值为1+凯3.

【解题思路】

设函数fO）=lnx与直线百x-y+l=0平行的切线为二,利用导数的几何意义得出切点P,再由距离公式得

出|4B|的最小值.

【解答过程】

设函数/(x)=Inx与直线次x-y+l=0平行的切线为1,贝〃的斜率为百,

由/⑺=(=8,得万=与,所以切点为P得一扣3),

则点P到直线/的距离就是|4阴的最小值，即空叫=1+9n3.

24

故答案为：1+：ln3.

4

32.(2024.湖南娄底.模拟预测)已知函数/(%)=In%-：+Inzn+3(??1>1),若曲线y=/(%)的一条切线为

直线/：4%—y+3=0,则股的最小值为一4e.

【解题思路】根据题意，设切点为(xo，y°),将切点分别代入函数;"(x)以及切线I上，且/•'(xoln*得到方

程化简可得立=e(3-,从而求得其最小值.

71\XQXQJ

【解答过程】设切点为(久o，yo),x0>0,贝！J(%o，yo)在/：4%—y+3=0上，即y()=4%0+3①，

因为/(%)=Inx—：+Inm+3(m>1),则/'(%)=§-：,

又因为直线/的斜率为4,则尸(见)=工一工=4,所以工=T殛③，

x0nnx0

因为(汽。，%)在/W=In%-:+Inm+3(m>1)上，

nm

所以=lnx0-T+*+3②，

由①②可得4%o+3=lnx0—T+Inm+3④,

将③代入④中可得，4%0+3=lnx0—―/+Inm+3,

1-4X0

化简可得Inm+lnx—1=0,即m、⑤,

0xo

e

由③⑤可得，-XQ=e(A£)，

n~70

1-4XQ

令工=tt>0,则y=t2-4t=(t—2)2—4,t>0,

x0f

2

当t=2时,即=5寸，ymjn=2—4x2=-4,

所以当&=；时，(―)=e-(-4)=-4e,

2'九/min

故答案为4e.

模拟提升练(19题)

一、单选题

1.(2024・重庆・模拟预测)妈)安2=()

A.72B.12C.8D.4

【解题思路】令f(%)=%3,根据导数的概念，可求解.

【解答过程】令/'(X)=%3,根据导数的概念,

()

]im2+A%3-8_|im(2+A%)3_23_]jm/'(2+泡-/⑵=1⑵

J

A%T0AXAK-O△%Ax^OAx'

//(%)=3%2,所以尸(2)=12.

故选：B.

2.(2024.贵州黔南•一模)曲线/(%)=lnx在点(1厅(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()

AB.1c£D.e

-5•2

【解题思路】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.

【解答过程】由f(x)=lnx,求导得/(%)=%贝1］尸(1)=1,而/(1)=0,

因此曲线/(x)=lnx在点(14(1))处的切线为y-0=x—1,该切线交x于点(1,0),交y轴于点(0,-1),

所以该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=|x1x1=i

故选：A.

3.(2024.福建泉州.模拟预测)如图是函数/(尤)的部分图象，记f(x)的导数为/(%),则下列选项中值最大

的是()

A./(3)B.3尸(3)C./(-14)D.尸(8)

【解题思路】由函数/Q)的图象，结合导数的几何意义，即可判断.

【解答过程】

由图可知，/(—14),尸(8)为负数，/(3),3尸(3)为正数,故不选八一14),((8),

设/0)在x=3处的点为4显然。4的斜率心4大于尸(3),

则需2>尸⑶,可转化为f(3)>3/(3),

所以/(3)的值最大.

故选：A.

4.(2024.陕西榆林•模拟预测)已知曲线y=%+In%在点(1,1)处的切线与曲线丫=a/+%+2相切，则。=

()

1111

A.--B.-C.--D.—

221212

【解题思路】求导，计算曲线y=x+ln%在点(1,1)处的切线方程，利用切线与曲线、=aM+%+2相切可

得结果.

【解答过程】解法1：由y=%+In%得/=1+：,当久=1时，y'=2,

所以曲线y=%+In%在点(1,1)处的切线方程为：y-l=2(%-l),即y=2%-1.

由？=叼+%广2得，Q%2…3=0,

(y=2x—1

所以△=1—12a=0,解得a=2，

故选：D.

解法2：由y=x+Inx得y'=1+%当久=1时，y'=2,

所以曲线y=%+In%在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(%-1),即y=2%-1.

因为y=CLX2+%+2,所以y'=2ax+1,

令y，=2ax+1=2,得％=—,

所以y=2x-1与曲线y=ax2+%+2的切点为(，高+2),

由切点在切线y=2x—1得5+2=1—1,解得a=

故选：D.

5.(2024.山东•二模)已知/(%)为定义在R上的奇函数，设广(%)为/(%)的导函数，若/(%)=/(2-%)+4%-4,

则广(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【解题思路】根据/(%)=/(2-％)+4%-4进行尸(%)奇偶性和周期性的推导，得到广(工)是周期为4的偶函

数，从而算出尸(2023)的值.

【解答过程】因为/(%)=/(2-％)+4%-4,所以两边求导，得尸(%)=-尸(2-％)+4,

即尸(X)+((2—％)=4①

因为“X)为定义在R上的奇函数，则n-x)=-/(x),

所以两边求导，得/'(X)=/''(-X)，所以/''(%)是定义在R上的偶函数，

所以尸(2-x)=尸。-2),结合①式可得，/,(x)+Z，(x-2)=4,

所以尸(无一2)+尸(无一4)=4,两式相减得,尸(%)=尸0—4),

所以r(x)是周期为4的偶函数，

所以尸(2023)=尸(-1)=尸⑴.

由①式,令％=1,得:(1)=2,所以广(2023)=/(1)=2.

故选：C.

6.(2024全国・模拟预测)若过点0,几)可作函数丫=2刀+*%>0)图象的两条切线，则必有()

1

A.0<2mH——<nB.0<n<2m

m

C.2m<n<2m+—D.n<2m

m

【解题思路】设切点为(a,2a+J,a>0,求导，根据导数的几何意义可得(2zn-rQa?+2a-=0有两

个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.

【解答过程】设切点为(a,2a+J,a>0,

又y'=2—当所以切线斜率k=2—3

所以切线方程为y—(2a+5)=(2--a),

又切线过点(zn,n),

则71—(2a+-=(2——(171—CL),a>0,

即(2m—n)a2+2a—m=0,

由过点(zn,九)可作两条切线，

所以(2m-n)a2+2a-m=0有两个正根，

j2m—riW0

A=22—4(2m—n)•(—m)>0

即<>o，整理可得2?nV几<2m+工，

2m-nm

一一—>0

\2m-n

故选：c.

7.(2024•河南・一模)抛物线。:必=2「％(「>0)在其上一点处的切线方程为丫—久—1=0,点A,B为C

上两动点，且|4B|=6,贝的中点M到y轴距离的取值范围为()

A.[2,+8)B.今+8)C.[3,+8)D.[|,+oo)

【解题思路】根据抛物线的切线方程，利用求导数，设切点，求出P=2；接着设出4(%,丫1),8(>2，先)，表

示出点M到y轴的距离为：d=岩，利用抛物线的定义表达式，将其转化为两条焦半径的和，结合图形

易得d>2,故得解.

【解答过程】依题意，因切线斜率为1,故切点必在第一象限，设切点为(我,y0),由丫=师求导可得:

依题，=1，即'工=1化简得y()=p