2025年湖南省部分学校高考数学第一次联考试卷+答案解析

2025年湖南省部分学校高考数学第一次联考试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={剑/<4},B={a;|l-a;>0},则4n_B=（）

A.[-2,1）B.（1,2]C.[0,1）D.（-oo,l）

2.在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属

于六畜”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前

一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（）

A.3.5小时B.246分钟C.4小时D.250分钟

4.在梯形中，万苕=5而，4c与BD交于点E,则前=（）

A.-g幅B,^15-C.D,海-

5.将函数y=cosQ+⑺图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数9=/（2）的图象.

若沙=/侬）的图象关于点（_?,0）对称，贝IJ5的最小值为（）

O

7T27r7T57r

A.-B.——c.—D.

336瓦

6.已知x2+y1=力2g2(/#0),则1-16a;2-9/的最大值为（）

A.-48B.-49C.-42D.-35

7.若x〉0,y>0,则/+/—23的最小值为（）

412

A.-—B.0D.-

2793

QZfctlsina—cosa2tan3a

d-l则a的值可以为（）

sina+cosa1—tan"3a

7T7T7T7T

A.-—B.———D.-

1220,105

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若/Q）与g（z）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数Mr）=/（，）g⑵的部分图象可能为（）

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10.如图，在△4BC中，48=47=3，BC=2，点、D,G分别边4C,BCc

上，点E,尸均在边48上，设0G=2,矩形DEFG的面积为S,且S关于

函数为S（a;）,贝！|（）

△46。内切圆的半径为V2

A.

2

S⑴=蜉

B.

SQ）先增后减

D.SQ）的最大值为血

11.己知向量正,了，工满足国|=6,\b\=1,%>=[,（工—才）.（工—了）=3，则（）

O

A.河—币=4^2B.|工|的最大值为何

c.|记—1|的最小值为理一.D.…的最大值为七

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.log2=.

13.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（43。）的长直角边

与含45°角的三角板（20。）的斜边恰好重合.4。与BD相交于点O.若

AC=2v/3>则4。=.

力X

14.已知函数/（①）一加，=--m,若/（①）与g（,）的零点构成的集合的元素个数为3,则根的

取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.(1)

若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2,小张到该批发地任意购买一盒红

茶，求他买到的红茶是优质品的概率；

(2)若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.

16.(本小题12分)

设数列｛&J的前〃项和为S。，的=8,Sn+1-4Sn=8.

⑴求｛厮｝的通项公式；

(2)若鼠=---------；-------,求数列｛.｝的前〃项和.

1J

log2an-log2an+1

17.(本小题12分)

如图，在体积为2通的三棱柱AB。—4场。1中，平面48厉44平面/8C,AB=AA1=AC=2,

NABBi=60°.

(1)证明：48△平面

⑵求平面与平面4p4CG夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知。为坐标原点，动点尸到x轴的距离为d,且=》+〃/,其中小，〃均为常数，动点尸的轨迹

称为。,〃)曲线.

(1)判断(7,2)曲线为何种圆锥曲线.

(2)若(；,〃)曲线为焦点在y轴上的椭圆，求〃的取值范围.

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（3）设曲线。为（9,―卜曲线，斜率为卜小#0）的直线/过。的右焦点，且与。交于4,8两个不同的点.若点

O

8关于x轴的对称点为点。，证明：直线/。过定点.

19.（本小题12分）

若存在有限个的，使得/（—3）=/（3），且〃龙）不是偶函数，则称在2）为“缺陷偶函数”，为称为/（立）的

偶点.

⑴证明：/1（劝=3；+/为”缺陷偶函数”，且偶点唯一.,

⑵对任意X,yER,函数/Q）,g（x）都满足/⑶+/@）+g⑶一2g（沙）=«+g.

①若沙=幽是“缺陷偶函数”，证明：函数FQ）=%（为有2个极值点.

X

②若g（3）=2,证明：当力>1时,g[x}>|ln（2；2-1）.

参考数据：/十通二0.481,通仁2.236.

2

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由题意可知，&=[—2,2]；

由1一2>0得：,<1,即_B=(—oo,1),

AC\B=[—2,1).

故选：A.

解不等式求得集合4B,根据交集定义可得结果.

本题主要考查集合及其运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：根据题意，若甲的生肖不是马，则甲的生肖可以为其他“六畜”，如牛，

则甲的生肖未必不属于六畜；

反之，若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马，

所以“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件，

故选：B.

根据充分性和必要性的概念判断即可.

本题考查充分必要条件的判断，涉及合情推理的应用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：依题意，小张从11月1日到11月15日，第1天、第2天、……、第15天的运动时长依次构

成等差数列｛即｝,

且首项的=2,公差d=2,

所以小张运动的总时长为15x2+巴广x2=240分钟=4小时.

故选：C.

根据等差数列求和公式计算可得结果.

本题考查等差数列的前〃项和公式的应用，属于基础题.

4.【答案】A

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【解析】解：如图,

由就=5就得，百万=；靛，

所以前=g前=

故选：A.

根据相似可得比=，亘自，即可由向量的线性运算即可求解.

本题考查了相似三角形的定义，向量的数乘和减法运算，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：将函数V=cos（/+⑺图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数沙=/Q）

的图象，

可得/（工）=cos（，+s）,

由于U=/（2）的图象关于点（―977,r0）对称,

O

故1（-舄=cos（一\+8）=0,

O0

H77r7T___

故一-—+（P=――+k%k£Z,

62

,27r

解得g———\-fc7r,kGZf

o

7T

取卜=-L,3=行为最小值,

o

故选：A.

127r

根据函数图象的平移可得/（力）=cos（-a;+⑼，即可根据对称得（/?=--+A：7r,kEZ求解.

/o

本题考查了函数?/=45由（3t+8）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解:因为析+才=立2y2（①办。）,所以泰_|__-=1,

岔y

二匚i、I99711、/9入9g216①219n216/2

所以16/+9/=（-+瓦）（16/+9/）=25+鸟+丁）25+2[/《义丁=49，

岔y岔yv力沙

当且仅当鹭=竺晨，即/=]娟=：时，等号成立.

x2y243

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故选：A.

由题意知3+g=l,然后根据基本不等式即可求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：x>0,y>0,

则+x2-2xy=y3—y2+x2—2xy+y2=—y2+(x—y)2》/_当力=g时等号成立.

设j(x)=x3—x2(x>0)，则—(力)=3/-2x=x(3x—2),

99

当0<%<(时，/(乃<0,/(乃单调递减；当［时，/3)>0,/(①)单调递增，

OO

所以/3)mm=/《)=—1，

故/+/一2/g的小值为一言

故选：A.

由条件得/+/—2吗》优—构造函数/⑶=/—/(2〉。)，利用导数求出/⑶的最小值，从而得

出答案.

本题主要考查了导数与单调性关系及最值关系的应用，属于中档题.

8.【答案】B

.sma—cosa2tan3a

【解析】解：已知sina+c°sa=

1—tan23a

_sma—cosatana—1/vr、2tan3a.

又-----------=--------T=tan(a--),-------=tan6a,

sma+cosatana+141—tan"6a

则tan(a-；)=tan6a,

7T

故a-1=6Q+k7r,kEZ,

,7f1

则a=一而一手汽)kEZ,

/uo

7T

取卜=0,a=,

37r

^Lk=-l,a=—,

ZU

7T

因此只有-诉符合要求.

故选：B.

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根据二倍角的正切公式以及弦切互化可得tan（a—；）=tan6a,进而得。=嗡—卜eZ,即可求解.

本题考查了二倍角的正切公式以及弦切互化，属基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：/（，）是定义在R上的偶函数，9（乃为奇函数,

则从-x）=/（-次（-劝==-h（x）,

且九侬）的定义域关于原点对称，

函数必劝=/（2）g3）为奇函数，的图象关于原点对称.

故选：AC.

利用函数奇偶性的定义可得结论.

本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：取的中点N,连接/N,

AN=.32-12=2松，则ZVIBC的面积为:x2x=272，

设AABC内切圆的半径为r，则（（AB+8。+4。）•r=S^ABO

1x8xr=2，^,解得r=故4正确；

22

HC^CHLAB，垂足为〃，设CH与。G交于点M,

由:AB•CH=2g，得CH=&&

23

由△COGS^OAB,得察=器，则c“=CH.oG=f^,

CHABsAB9

又A/H=CH—CM=延—

39

二矩形DEFG的面积S"）=DG-DE=DG-MH=x（--"红）=--x2+—x，（0<a?<3）,

3993

则s⑴=—第+"2=羽”函数的对称轴方程为，=1,

J9T392

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SQ）在（04）上单调递增，在成,3）上单调递减，S（c）的最大值为禽，故8错误，C,。均正确.

故选：ACD.

利用等面积法可求出△/笈。内切圆的半径判断4由△COG~4C4口得到。川生，进而可求出

9

的长，所以可求出矩形DEFG的面积为S,进而判断2、C、D.

本题考查轨迹方程的求法，训练了利用二次函数求最值，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】BC

_不

【解析】解：向量了，了，/满足|®=6,向=1,<^,b>=-,（工—才）.（工一了）=3，

O

根据题意设了=（1,0）,正=（3,3通），w=（x,y）,

则工—才=g—3〃—3通），工—了=（2—1,4,

.•.（工-力）.（工-7）=侬-3）（/-1）+y1y-3㈣=3，

化简得（―2）2+（沙—苧『=手记为圆尸,

即工是以原点为起点，终点在以p⑵学）为圆心，力=|,「=?为半径的圆上的向量.

对于/,才—了=（2,3/），\^-~b\=y22+（3\/3）2=^31-故/错误；

对于£1可=表示原点（o,o）到圆P上一点的距离，

•••原点（0,0）在圆尸上，.「INI的最大值为圆P的直径，即2义手=田，故8正确；

对于C,D,|可_宕|=J（3—工）2+（3禽_5）2表示点4（3,3禽）到圆尸上一点的距离,

•.•点4（3,3通）在圆P内，|记—可的最小值为

(3-2)2+(3"啜=①产,

r-\AP\

何―司的最大值为r+MP|=E+J（3—2）2+（3①—?）2=0*^，故。正确，。错误.

故选：BC.

根据向量的模长及夹角，不妨设了=（1,0）,方=（3,3通），W=（x,y）,通过（工一^）.（工—了）=3,

可求出工是以原点为起点，终点在以P⑵竽）为圆心，［=|/=*为半径的圆上的向量.根据向量模

长的坐标运算可判断/项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断2项，根据圆内一点/到

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圆P上一点距离的范围为卜―MP|,r+|4P|］可判断C,。项.

本题考查空间向量数量积的坐标表示、圆、向量模长的坐标运算、点到圆的距离的范围等基础知识，是中

档题.

1K

12.【答案】］

15

【解析】解：原式=log2J(23)5_-\/2=log22^=

15

故答案为：y.

利用对数的运算法则计算即可.

本题主要考查对数的运算法则，属于基础题.

13.【答案】6-2^3

【解析】解：根据题意，可得4D=ACcos45°=，^，-A-B=-----—x=4,

cos302

sinABAD=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin300=心:

根据S/\ADO+SRABO=S/\ABD,可得;AO•AOsinADAO+•AOsinABAO=•ABsin/DAB,

即遍・逛+4・AO°=V^x4x通+四解得40=6-2通.

224

故答案为：6—2通.

根据锐角三角函数的定义算出40、43的长，然后算出sin/B4D="七2,再根据

4

S/\ADO+S^ABO—S/^ABD，利用三角形面积公式建立关于40的方程，解之可得答案.

本题主要考查三角恒等变换公式、解三角形及其应用等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中

档题.

991

14.【答案】(0,^)UU-)

ezeze

【解析】解：由9(乃=0,得j=

令函数V=-J,

则一次函数"=为在R上单调递增，值域为&,

ez

力

因此直线y=馆与函数？/=”的图象有且只有一个交点，

即函数g(力)有1个零点3；

由/(二)=0,得F=m,

ex

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令函数/lQ)=F，依题意，函数/(2)有不同于3的两个零点，

ex

即直线9=加与函数9=M*)的图象有两个交点，且交点横坐标不能是3,

由〃c)=q,求导得矶为=—,

当/<1时，h\x)>0,无(z)单调递增；

当出〉1时，h\x)<0,M力)单调递减；

所以八(/)1皿=八⑴=;，

而%(0)=0,当力〉0时，九(%)〉0恒成立，

则当0<m<1时，直线9=馆与函数沙=以⑹的图象有两个交点，

e

①/।।

当/(%)=g(M，即靛=汶，/(彘—7)=3

所以力=0,±=［，

exe,

解得力=0或力=2,

则当/=0或6=2时，/(£)与g(/)的零点相同,

212

由须)=0,得6=0,由/0=2,得因此0<机V-且?TZ#F，

e2eez

故答案为：(0,\)u(U).

力X

由函数零点的定义转化为直线沙=巾与函数沙=-y=”的图象共有3个交点，求解即可.

exe"

本题考查了转化思想、导数的综合运用，属于中档题.

15.【答案】解：(I)设事件aB,C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件。表

示他买到的红茶是优质品，

若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2,

4

贝ijP⑷=P(B)==04P(。)=0.2，

4十4十/

甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0,8，0.7，

则P(0⑷=09,P(D|B)=0.8,P(D|C)=0.7,

故P(O)=P(A)P(D\A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(O］。)=0.9x0.4+0.8x0.4+0.7x0.2=0,82，

所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82.

(2)设事件£表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有：

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甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相

独立，

则P(E)=0.9x0.8x(1-0.7)+0.9x(1-0.8)x0.7+(1-0.9)x0.8x0.7=0.216+0.126

+0.056=0.398,

所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398.

【解析】(1)设出对应事件，利用全概率公式完成概率计算；

(2)先分析目标事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式计算出结果.

本题主要考查全概率公式，属于基础题.

16.【答案】解：(1)由%+i—4Sn=8,电=8,可得(句+。2)—4电=8,得。2=32；

当时，由&+1-4sl=8,可得&-4Sn-i=8,

两式相减可得册+i=4册，对n=1也成立，

n12n+1

所以｛斯｝是首项为8,公比为4的等比数列，an=8x4-=2,neN*.

⑵因为诙=22计1,

1_1_111

‘"log2an-log2an+i(2n+l)(2n+3)22n+12n+3)

,1、J1、/11LI1xn

所以/"=30—N+g—7)+.一+(^TT—=—

n

故数列｛6j的前n项和为—=3(2九+3)，neN*.

【解析】⑴由&+i—4s“=8得用—45-1=8522),相减可得递推公式，进而判断｛厮｝为等比数列,

从而可得等比数列的通项公式；

(2)根据题意计算可得数列｛4｝的通项公式，进而通过裂项相消法可得前〃项和.

本题考查数列的通项与求和的关系，以及等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转

化思想和运算能力，属于中档题.

17.【答案】(1)证明：取的中点O,连接0场，由为正三角形，^OB^AB,

因为平面4gBp4」平面ABC且交于AB,所以。8」平面ABC,

即081为该三棱柱的高，

因为三棱柱42?。—A\B\C\的体积V=S/\ABC-OBi=2\/3,且0场=,

所以SAABC=2,

因为=ACsinNB4C=2,所以NBA。=90°，即

又因为平面48场44平面ABC=48,平面N3C,可得4CLL平面4吕氏小，

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因为4BiC平面4834,所以ACLABi，

因为AC7/41C1，所以

在菱形ARB14中，ABilAiB,

又因48n4cl=4，又Bu平面4记。1，4GU平面4BG，

所以48」平面4BG；

⑵解:如图，

过O作直线0D平行于AC交BC于D,

以。为原点，以瓦瓦无，砺的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则4(—1,0,0),8(1,0,0),。(一1,2,0),4(—2,0,e),

设平面小8。的法向量为何=(孙91,幻)，

因为询=(一3,0,通)，*=(1,2,—通)，

CCH.Jrrl-BA[=-3a；i+V3z-[=0

所以\一一共r-,

I77?•A\C=力1+2yl—v3^i=0

令的=1,得包=(1,1,\/3)，

设平面4ACG的法向量为京=(物续,？2)，

因为/Ai=(-1,0,\/3),Aid1=(1,2,—\/3)<

匚u[7?•AA1=—X2+A/3^2=0

所以<---->/—,

元•AiC=62+2g2-V3Z2=0

令①2=瓜，得刃=(^,0,1)，

因为奇京=lxv/3+lxO+V/3xl=2V3，|利="2+12+(.)2=通,

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同=J(㈣2+02+12=2，

所以平面A13C与平面小夹角的余弦值为©I

5

【解析】(1)先根据体积为2通，得到AC14B,再由线线垂直得到线面垂直；

(2)根据空间向量法求面面夹角的余弦值.

本题考查用空间向量的方法求面面夹角的余弦值，线面垂直的证法，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设P(z,妨，

因为=X+

所以/2+,2=X+网2.

当入=7,4=2时，/+/=7+2/,

即/—g2=7,

则(7,2)曲线为双曲线;

⑵由/2+/=1和入=；可得力2+小=；+同2,

即/+(「〃加2=；,

若('〃)曲线为焦点在夕轴上的椭圆，

此时1—〃〉0且1—,

X2y2

整理得1十]一,

22(1―4)

一11

所以2(1—〃)〉2'

则〃〉0,

故〃的取值范围为(0,1)；

(3)证明：因为入=9,〃=一1,

O

22

所以曲线Q的方程为1+1=1，

可得Q的右焦点为(1,0),

因为斜率为可k#0)的直线/过。的右焦点，且与。交于/,3两个不同的点，

设直线48的方程为沙=可2一1),4/1,见)，8(必,夕2)，

第14页，共17页

y=k(x—1)

Z2y2_，消去»并整理得(9^+8)/—1892+9^2—72=0,

{了+豆=1

rh+'工田)曰18k29k2-72

由韦达7H理用3+◎=充下，叫，2=许9,

因为点B关于x轴的对称点为点D,

所以。(如-沙2)，

则直线AD的方程为y_yi=丝±^侬-的)，

Xi-X2

根据对称性可知，直线/。经过的定点必在x轴上.

令y=o,

X1-X2,yix+3辿2

解得X=—■—yi+2]=---2-.-----

yi+为yi+V2

—1)22+k(工2—1)^12kXiX2—k(xi+X2)

k(xi—1)+k(X2—1)k(xi+X2)—2k

18fe2—14418卜2

2叩2-侬1+徵)9N+8—9N+8_T44

当号0时,

{x1+立2)—218----16

9焰+8―

故直线AD过定点(9,0).

【解析】(1)由题意，可得/+/即可代入入=7，〃=2,根据双曲线方程的特征求解;

11

(2)根据焦点在y轴上的椭圆的性质可得而=前>即可求解；

(3)联立直线与曲线方程得韦达定理，根据点斜式求解方程，即可代入化简求解.

本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：因为九(/)=/+/,

所以一——x+(一——x—/,

因为h(x)=h(-x'),

所以7+/=—/一,5,

整理得2/(1+d)=0,

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解得/=0，

所以人))=力+/为"缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0,

(2)证明:因为/Q)+/®)+gQ)-2g(g)=x2+y,

所以/(力)+9(/)一/=一/(妨+29(妨+V对任意工，yCR,恒成立,

所以存在常数a,使得f⑸+g(①)一］之=—f(y)+2g(y)+y=a,

令沙=i,

此时f{x}+g[x)—x2=a,且—/(7)+2g(c)+x=