2025年沪科版八年级数学寒假预习：勾股定理的逆定理

第09讲勾股定理的逆定理

T模块导航一T素养目标A

模块一思维导图串知识探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些

模块二基础知识全梳理（吃透教材）简单的实际问题；能够运用勾股定理的逆定理证

模块三核心考点举一反三明直角三角形。

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

勾股定理逆定理

“模块二基础知识全梳理-----------------------------

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+〃=。2,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如c）；

验证与/+〃是否具有相等关系，若=/+/,则AABC是/C=90。的直角三角形；若

则AABC不是直角三角形。

注意：当时，此三角形为钝角三角形；当/+〃〉02时，此三角形为锐角三角形，其中。为三

角形的最大边.

3模块三核心考点举一反三----------------------------

考点01：判断能否构成直角三角形

例题1.下列条件中，能判定V/3C为直角三角形的是（）

A.4=30°B.ZS+ZC=120°

C.ZA:ZB:ZC=i:l:2D.AB=AC=1,BC=6

【变式1-1］（24-25八年级上•江苏宿迁•期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（）

,o0,45^111c

A.32>42，52B.1,—,—C.—,—t—D.7,12,13

1

【变式1-2］由下列条件不能判定V/8C为直角三角形的是（）

A.NA+NB=NCB.4:N3:NC=1:3:2

C.q===gD.［b+cjib-cj-a1

【变式1-3］（24-25八年级上•四川成都・期中）在V/BC中，//、NB、/C的对应边分别是a、b、c,下

列条件中不能说明VN8C是直角三角形的是（）

A.a—0.6,6=0.8,c=1B./C=NA+/B

C.Q:Z):C=5:12:13D.=3:4:5

考点02：在网格中判断直角三角形

］例题2.（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，在平面直角坐标系中，丫/2。的顶点/（0,1）,5（2,0）,

C（4,4）均在正方形网格的格点上.

（1）画出VN8C关于x轴对称的图形,并写出顶点G的坐标；

（2）求出点2到/C的距离.

【变式2-1］（24-25八年级上•重庆沙坪坝•期中）如图所示的正方形网格中，4、B、C三点均在正方形格点

上，则NA4c的大小是（）

A.30°B.60°C.75°D.90°

【变式2-2］（24-25八年级上•浙江宁波・期中）在如图所示的4x4方格图中，点4,B,C,D,E,F,G,

8均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成个直角三角形.

2

HD

E

B

【变式2-3］（24-25八年级上•陕西西安•期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，V/2C的

顶点都在格点（正方形的顶点）上.求证：Z.ABC=90°.

考点03：利用勾股定理逆定理求解

3.（24-25八年级上•江苏淮安・期中）如图，已知/£＞是BC边上的中线，若BC=10cm，AC4cm,

AD=3cm,求V48c的面积.

【变式3-1］（24-25八年级上•江苏常州•期中）如图，△4DC中，4D=13cm,lC=12cm,DC5cm,B

是CD延长线上的点，连接48,若48=15cm,

（1）说明N/C2为直角,

（2）求8。的长.

【变式3-2］（24-25八年级上•陕西西安•期中）如图，在V4BC中，48=13,AC=15,。为边上的一

点，AD=12,BD=5.

3

A

⑴求证：ADIBC；

(2)求V48c的面积.

【变式3-3]如图，在V/BC中，点。在边5C上，已知CD=5,AD=12,点E在40上，BE=AC=13.

(1)求证：ADJ.BC；

⑵若CD=ED,求48的长.

考点04：勾股定理逆定理的实际应用

例题4.为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边

形的空地NBCZ),如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量

得到：ABAD=90°,/D=3m,NB=4m,3c=13m,CD=12m.根据你所学过的知识，求四边形N8CA的

面积.

【变式4-1](24-25八年级上・甘肃兰州•期中)已知某开发区有一块四边形的空地/BCD,如图所示，现计

划在空地上种植草皮，经测量乙4=90。，AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需

要200元，问要多少投入？

C

【变式4-2](24-25八年级上•江苏宿迁•期中)在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷.下图是

搭建帐篷的示意图.在V/8C中，支架/。从帐篷顶点A支撑在水平的支架8C上，且4。13c于点D,经

4

测量得：AB=2m,ND=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帐篷支架48与/C所夹的角需为直角.请通过计

算说明学生搭建的帐篷是否符合条件.

【变式4-3］（24-25八年级上•山西晋中•期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪/BCD,公园管理处计

划修一条/到C的小路，经测量，1）0=90°,AD=1m,DC=24m,48=20m,CB=15m.

⑴求小路NC的长；

（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点3开始以2m/s的速度在小路上沿/的

方向奔跑，跑到点/时停止奔跑，当小狗在小路C/上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.（24-25八年级上•安徽淮北•期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（）

A.I,2,百B.6,8,10C.5,12,13D.3,5,7

2.（23-24八年级下•安徽合肥・期末）下列线段能组成直角三角形的是（）

1,11

A.a=-1b——,c=一B.a-V2>b—>/3>c=46

345

C.a=2,6=3,c=4D.a=3,6=3,c=3亚

3.（23-24八年级下•安徽亳州•期末）由下列条件不能判定V/5C为直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZC

B.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.AB=3k,BC=4kAC=5k（左为正整数）

D.AC=3+左，AB=4+左，5c=5+1（5>0）

二、填空题

4.（23-24八年级下•安徽亳州•期中）如图，丫/2€7的三条边/3=10,AC=S,BC=6,CDLAB,则

CD=______

5

c

5.（22-23八年级下•安徽阜阳・期末）如图，已知/,B,C是海上的三座小岛，岛8在岛/的北偏东38。方

向上，距离为12海里，岛。在岛4的北偏东方向上，距离为13海里，岛8和岛C之间的距离为5海里，

则岛8在岛C的北偏西方向上.

6.（23-24八年级下•安徽滁州•期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,

帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、

八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地.

（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m,则这块试验基地的面积为—

m2

（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为/3=15m,SC=14m,ZC=13m（如图），贝iJV/BC的面

积为m2•

三、解答题

7.（23-24八年级下•安徽合肥・期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，V/8C的三个顶点均在

格点上，请按要求完成下列各题：

（1）判断V/8C的形状，并说明理由;

6

⑵求8c边上的高.

8.(23-24八年级下•安徽合肥•期中)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫

格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.

(1)使三角形的三边长分别为石，2百，5(在图甲中画一个即可)；

(2)使三角形为直角三角形，且面积为13,要求至少有两条边不与网格线重合(在图乙中画一个即可).

9.(22-23八年级下•安徽阜阳•期中)如图，/C是四边形/BCD的对角线，

AD'AC,AB=BC=6,CD=3AD=9.

(1)求N7X4B的度数.

(2)求四边形48CD的面积.

10.(23-24八年级下•安徽六安・期末)如图，四边形48CD中，ZB=30°,过点A作NEL5C于点E,点E

恰好是8c的中点，连接DE,AE=y[?>,DC=1,AD=V13•

(1)直接写出的长为

(2)求/DCE的度数.

7

第09讲勾股定理的逆定理

T模块导航一T素养目标A

模块一思维导图串知识探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些

模块二基础知识全梳理（吃透教材）简单的实际问题；能够运用勾股定理的逆定理证

模块三核心考点举一反三明直角三角形。

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

勾股定理逆定建

<«♦b>

“模块二基础知识全梳理-----------------------------

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+〃=。2,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如C）；

验证与/+〃是否具有相等关系，若02=/+〃，则4ABC是/C=90。的直角三角形；若。2

则4ABC不是直角三角形。

注意：当/+〃<c2时，此三角形为钝角三角形；当/+〃〉02时，此三角形为锐角三角形，其中。为三

角形的最大边.

6模块三核心考点举一•反三----------------------------

考点01：判断能否构成直角三角形

Qf］例题1.下列条件中，能判定V/8C为直角三角形的是（）

A.ZA=30°B.ZB+ZC=120°

C.ZA:ZB:ZC=1:1:2D.AB=AC=\,BC=43

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理.根据直角三角形的判定可判断选项A和B,C

选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出NC为90°,根据勾股定理的逆定理可判断选

8

项D,即可得出答案.

【解析】解：A、由44=30。无法得到V/BC为直角三角形，故本选项不符合题意;

B、-.-ZS+ZC=120°,ZA+ZB+ZC=180°,

.•.44=60。，无法得到VN8C为直角三角形，故本选项不符合题意；

C、•.•N/:4:NC=1:1:2,ZA+ZB+ZC=180°,

2

最大角ZC=--------xl80°=90°,

1+1+2

是直角三角形，故本选项符合题意；

D>-：AB=AC=\,BC=A/3,I2+12=1+1=2，（6）=3，

.-.I2+Fr（⑹"

VABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【变式1-1］（24-25八年级上•江苏宿迁•期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（）

A.32>42>52B.1,—,—C.—,—,—D.7,12,13

33345

【答案】B

【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边

的平方即可.

【解析】解：A、（32）2+（42）2^（52）\故不是直角三角形，故本选项不符合题意；

2

B.1+QJ=|^|J,故是直角三角形，故本选项符合题意；

C、,故是直角三角形，故本选项不符合题意;

D、72+122^13\故不是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【变式1-2］由下列条件不能判定V/8C为直角三角形的是（）

A./A+NB=/CB.N4:N5:NC=1:3:2

C.a=g,6=：,c=gD.（6+c）（6-c）=/

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形的内角和定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,

已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.由勾股定理的逆定理，三角形的内角和

定理逐一分析判断即可.

【解析】解：A、'：ZA+ZB=ZC,4+ZB+/C=180°,

9

ZC=90°,V48c是直角三角形，不符合题意；

B、VZ^:Z5:ZC=1:3:2,//+Z8+NC=180°,

.,.D5=90o,V/3C是直角三角形，不符合题意；

「••-1A-1一1

C、.a——,b——,c——,

345

c2+b2^a2故不能判定VNBC是直角三角形，符合题意；

D、V（b+c^（b-c）=a1,

：.b2-c2^a2,即/+，=",故V/3C是直角三角形，不符合题意；

故选：C.

【变式1-3］（24-25八年级上•四川成都•期中）在VABC中，//、NB、/C的对应边分别是a、b、c,下

列条件中不能说明VNBC是直角三角形的是（）

A.a=0.6>6=0.8,c-\B.Z-C=AA+AB

C.Q:6:c=5:12:13D.N4:25:NC=3:4:5

【答案】D

【分析】本题考查直角三角形的判定，通过三角形中一个角是直角，或者勾股定理的逆定理判断.

【解析】解：A、v0.62+0.82=12,

「•+/=02,

二•能说明V4BC是直角三角形，不合题意；

B、•・•NC=ZA+NB,ZC+ZA+ZB=180°9

ZC=-xl80°=90°,

2

能说明VA8C是直角三角形，不合题意；

C、a:b:c=5:12:13,

••a=5x,Z?=12x,c—13JC,

•••（5x）2+（12x）2=03x）2,

能说明V/3C是直角三角形，不合题意；

D、■■■ZA:ZB:ZC=3:4:5,

最大的角ZC=--—X18O0=—X18O°=75°^90°,

3+4+512

・•・不能说明V/2C是直角三角形，符合题意；

故选D.

考点02：在网格中判断直角三角形

[Xi2.（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，在平面直角坐标系中，V/2C的顶点/（0,1）,5（2,0）,

10

C(4,4)均在正方形网格的格点上.

(1)画出VN3C关于x轴对称的图形4G，并写出顶点G的坐标；

⑵求出点2到NC的距离.

【答案】(1)见解析，(4,-4)(2)2

【分析】本题考查了作图：轴对称变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

(1)根据轴对称的性质即可画出V/8C关于x轴对称的图形△44。，进而写出顶点G的坐标；

(2)根据勾股定理逆定理可得V/8C为直角三角形，设点5到NC的距离为/?,根据

S"Bc=；4Cxh=；ABxBC,即可求解.

【解析】(1)解：如图，即为所求；

顶点的坐标为(4,-4)；

(2)解：根据题意得：

AB712+2。=5BC=荷+*=2底AC7U+31=5,

AB2+BC2=AC2,

：.NABC为直角三角形，

设点B到/C的距离为h,

:S,„=-ACxh=-ABxBC,

ATJJDrC22

—x5/z=—x^5x2V5，

22

11

解得：/?=2,

即点8到/C的距离为2.

【变式2-1］（24-25八年级上•重庆沙坪坝•期中）如图所示的正方形网格中，/、B、C三点均在正方形格点

上，则/氏4c的大小是（）

A.30°B.60°C.75°D.90°

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断

即可.

【解析】解：由题意，AC2=12+22=5,AB2=22+42=20,BC2=32+42=25，

：.AC2+AB2=BC2,

.♦.V4BC是直角三角形，且N5/C=90。，

故选：D.

【变式2-2］（24-25八年级上•浙江宁波•期中）在如图所示的4x4方格图中，点/,B,C,D,E,F,G,H

均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成个直角三角形.

【答案】28

【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关

键.

根据如图所示的4x4方格图，点4,B,C,D,E,F,G,〃均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，

然后数一数直角三角形的个数即可得出答案.

【解析】解:在如图所示的4x4方格图中，点B,C,D,E,F,G,X均在小方格的顶点上，以其中三

个点为顶点，构成的直角三角形有：

AAHE,AAHB,A4HF,八AED,AAEG,AEBF,AEBC,&EBG,VBFA,ABFH,AFCG,AFCD,

VFCH,ACGB,ACGE,&GDH,Z\GDA,丛GDE,ADHC,4DHF,八ABD,VABC,ZxBCD,ACDA,

&EGH,AEGF,AFHE,£\FHG,共28个，

12

故答案为：28.

【变式2-3］（24-25八年级上•陕西西安・期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，VN8C的

顶点都在格点（正方形的顶点）上.求证：ZABC=90°.

【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.根据勾股定理，求出/公，AC2,5c2的值，再根据

勾股定理的逆定理，即可求出//3C.

【解析】解：•••VN8C在边长为1的小正方形组成的网格中，

AB2+12=2,AC2=32+12=10,5C2=22+22=8,

/.AB2+BC2=AC2,

.•.V/5C是直角三角形，

/.NABC=90°.

考点03：利用勾股定理逆定理求解

3.（24-25八年级上•江苏淮安•期中）如图，已知/。是8c边上的中线，若8c=10cmAC=4cm,

AD=3cm,求V/2C的面积.

【答案】12

【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是BC边上的中线可得到3Q=CQ=；3C=5,结合已

知，利用勾股定理逆定理可得△ADC是直角三角形，过点力作4E_LBC,垂足为£,在△/DC中求出/E的

长，即V48c得高，即可求出面积.

【解析】解：•・•/〃是8C边上的中线

：.BD=CD=-BC=5

2

DC2=52=25

AC2=42=16

AD2=32=9

13

AC2+AD2=DC2

:."DC是直角三角形且ADAC=90°

过/作4E_L8C,垂足为E,

AD-AC

,^/\ADC=

DCAE

~2

.3x4_5・5E

•,三一2

.12

AE——

5

S&ABC=]BC-AE

1，八12

=—xlOx——

25

=12

【变式3-1]（24-25八年级上•江苏常州•期中）如图，△/DC中，4D=13cm,AC=12cm,DC=5cm,B

是CD延长线上的点，连接48,若/3=15cm,

⑴说明//C2为直角，

⑵求AD的长.

【答案】（l）N/C3=90。

⑵BD=4cm

【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到ANCD是直角三角形，利用勾股定理求出3C=9

是解题关键.

（1）根据勾股定理逆定理确定4c2=4方即可得出结果；

（2）利用勾股定理得出BC=9,结合图形即可求解.

【解析】（1）解：VAD=\3cm,/C=12cm,DC=5cm,

AAC2+DC2=122+52=169,AD2=\69,

AC2+DC2=AD

14

・•・ZACB=90°；

(2)VZACB=90°,

AC2+BC2=AB2.

AC=12cm,AB=15cm,

BC=YJAB2-AC2=9cm，

ABD=BC-CD=4cm.

【变式3-2](24-25八年级上•陕西西安・期中)如图，在V/2C中，AB=U,NC=15,。为边2C上的一

点，4D=12,BD=5.

(1)求证：AD1BC-,

(2)求V/2C的面积.

【答案】(1)见解析(2)84

【分析】⑴根据/B=13,AD=12,BD=5,得40?+助2=5?+12?=13?=//，证明ACMBC；

(2)根据勾股定理，得DC=dAC2-A。=9,求得BC=3Z)+DC=14,计算V/BC的面积即可.

本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键.

【解析】(1)解：=AD=12,BD=5,

AD2+BD2=52+122=132=AB2,

:.ZADB=90°,

：.AD1BC■,

(2)解：根据勾股定理，得。C=个AC?-4D?=9，

:.BC=BD+DC=14,

:.V/8C的面积为：-8C&4D=-xl4xl2=84.

2J2

【变式3-3］如图，在V4BC中，点。在边3C上，已知。。=5,4。=12,点E在/。上，BE=AC=13.

BDC

15

(1)求证：ADIBC

(2)若CD=ED,求NB的长.

【答案】（1）见详解

（2）AB=l2y/2

【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明A/CD是直角三角形，从而可得N/DC=90。，即可解答；

（2）利用（1）的结论可得：证明A5DE2A/DC（HL）,然后在中，利用勾股定理求出的长,

即可解答.

本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理

的逆定理是解题的关键.

【解析】（1）证明：•.,4。=12,AC=13,CD=5,

AD2+CD2=122+52=169,AC2=132=169.

AD1+CD~=AC1,

.•.△/CD是直角三角形，

ZADC=90°,

ADIBC；

（2）解：J.ADIBC,

：.ZBDE=ZADC=90°,

•；CD=ED,BE=AC=13,

...ABDE知40c(HL),

：.BD=AD=\2,

AB=SIBD2+AD2=1272•

考点04：勾股定理逆定理的实际应用

j例题4.为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边

形的空地N5CD,如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量

得到：ZBAD=90°,ND=3m,48=4m,5C=13m,CD=12m.根据你所学过的知识，求四边形/BCD的

面积.

【答案】36m2

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用,

先连接2。，根据勾股定理求出2D,再根据勾股定理的逆定理说明△BCD是直角三角形，然后根据面积公

16

式求出答案即可.

【解析】如图所示，连接8。,

根据勾股定理，得BD=dAB、AD?=J32+42=5(m).

,/BD2+CD2=52+122=169=3C2=132，

NBDC=90。,

,,$四边形/Be。=S«ABD+，ABCD2x3x4+2*5x12-36Cm-)•

【变式4-1］（24-25八年级上•甘肃兰州•期中）已知某开发区有一块四边形的空地/8C。，如图所示，现计

划在空地上种植草皮，经测量乙4=90。，N8=3m,3c=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需

要200元，问要多少投入？

C

【答案】需要投入7200元

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形

是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a,b,。表示三角形的三条边，如果/+62=02,那么这个三角

形是直角三角形.仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果.连接5。，在直角三角形28。中

可求得8。的长，由8。、CD、5c的长度关系可得为一直角三角形，。。为斜边；由此看，四边形

ABCD由RtZ\4BD和RtADBC构成，则容易求解.

【解析】解：连接2D,如图所示：

在中，CD2=132,BC2=122,

而122+5?=13，

IPBC-+BD-=CD-,

为直角三角形，NDBC=90°,

17

四边形

S245co=^ABAD+S/XDBC

=-ADAB+-DBBC

22

=—x4x3+—xl2x5

22

=36（m2）,

...需要的投入为36x200=7200（元）.

【变式4-2］（24-25八年级上•江苏宿迁•期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷.下图是

搭建帐篷的示意图.在V48c中，支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架8c上，且ND」8c于点。，经

测量得：AB=2m,4D=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帐篷支架N3与/C所夹的角需为直角.请通过计

算说明学生搭建的帐篷是否符合条件.

【答案】学生搭建的帐篷符合条件，见解析

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得2。=L6m,AC=1.5m,进而根据

勾股定理的逆定理，即可求解.

【解析】解：••.AD13C,

ZADB=ZADC=90°.

在RtAABD中，AD2+BD2=AB2，

.1.L22+BD2^22,

BD=1.6m.

BD+CD=1.6+0.9=2.5m.

在R3/CD中，AD2+CD2AC2，

1.22+0.92^^C2，

AC=1.5m.

AB2+AC2=22+1.52=6.25，BC2=2.52=6.25，

/.AB2+AC2=BC2;

：.ABAC=90°.

学生搭建的帐篷符合条件.

【变式4-3］（24-25八年级上•山西晋中•期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪/8C。，公园管理处计

划修一条/到C的小路，经测量，£）0=90°,AD=1m,DC=24m,AB=20m,CS=15m.

18

(1)求小路/C的长；

(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点3开始以2m/s的速度在小路上沿8fCf/的

方向奔跑，跑到点/时停止奔跑，当小狗在小路C/上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？

【答案】(l)25m

(2)当小狗在小路。上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近.

【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先运用勾股定理列式计算，即可作答.

(2)先证明ZABC=90°,再运用面积法，得出BH=\2,根据勾股定理列式计算得出HC=^BC2-HB2=9m，

最后结合运动速度，即可作答.

【解析】(1)解：VDr)=90o,AD=1m,DC24m,

.•.在RLUDC中，AC7Abi+DC。=25(m),

小路/C的长为25m；

(2)解：如图所示：过8作

依题意，当小狗在小路CN上奔跑，且跑到点〃的位置时，小狗淇淇的距离最近.

,/AB=20m,C8=15m.AC=25m,

：.AC2=625,AB2+BC2=625,

^AC2=AB2+BC2,

：.ZABC=90°,

^S^ABC=^ABXBC=^ACXBH,

口ABxBC20x15、

即==—^=l2（m）,

ND

；•HC=YIBC2-HB2=9m

:小狗从点8开始以2m/s的速度在小路上沿8fCf/的方向奔跑，跑到点/时停止奔跑,

19

77C+SC=9+15=24（m）,

贝i]24+2=12（s）

当小狗在小路C4上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（24-25八年级上•安徽淮北•期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（）

A.1,2,V3B.6,8,10C.5,12,13D.3,5,7

【答案】D

【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。，b,C满足/+^=C2,那么这个三角形

就是直角三角形.

根据勾股定理的逆定理逐项判断即可.

【解析】解：A.12+（6『=22,能组成直角三角形，不符合题意；

B.62+82=102,能组成直角三角形，不符合题意；

C.5?+122=132,能组成直角三角形，不符合题意；

D.32+52^72,不能组成直角三角形，符合题意；

故选：D.

2.（23-24八年级下•安徽合肥・期末）下列线段能组成直角三角形的是（）

1,11

=

A.a=—f~B.a=<2,b=<3,c=\J6

C.a=2,b=3,c=4D.〃=3,b=3,c=35/2

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用

勾股定理的逆定理加以判断即可.根据勾股定理的逆定理进行判断.

【解析】一]"枭呼

・••不能构成直角三角形，故本选项错误；

.•.不能构成直角三角形，故本选项错误;

C、v22+32^42.

..•不能构成直角三角形，故本选项错误;

D、V32+32=（3A/2）2,

,能构成直角三角形，故本选项正确;

20

故选：D

3.（23-24八年级下•安徽亳州•期末）由下列条件不能判定V/8C为直角三角形的是（）

A.NA+NB=NC

B.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.AB=3k,BC=4k,AC=5k（人为正整数）

D.AC=3+k,AB=4+k,BC=5+k（k>0）

【答案】D

【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给选项依次计算判断即可得；掌握勾股定理，三角形内角

和是解题的关键.

【解析】解：+=4+Z8+/C=180。,

二ZC=90°,

：.NABC为直角三角形;

VZ^:ZS:ZC=1:2:3,

3

ZC=180°x---------=90°,

1+2+3

：.NABC为直角三角形;

VAB=3k,BC=4k,AC=5k（左为正整数）;

二AB2+BC2=AC2,

.•.V/3C为直角三角形;

VAC=3+k,AB=4+k,3c=5+左（左>0）

AB2+BC2AC2

：.NABC为直角三角形;

综上，选项D说法错误，符合题意;

故选：D.

二、填空题

4.（23-24八年级下•安徽亳州•期中）如图，V48c的三条边=10,AC=8,BC=6,CDA.AB,则

CD=

24

【答案】y

【分析】利用勾股定理逆定理判定VNBC是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了

勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键.

21

【解析】；43=10,AC=8,BC=6,

<5C2+^C2=62+82=100=102=y152,

，NACB=90°，

：.ABCD=ACBC,

.iAC・BC6x824

..CD=----------=------=——

AB105

24

故答案为：y

5.（22-23八年级下•安徽阜阳•期末）如图，已知N,B,C是海上的三座小岛，岛8在岛N的北偏东38。方

向上，距离为12海里，岛C在岛/的北偏东方向上，距离为13海里，岛8和岛C之间的距离为5海里,

则岛2在岛。的北偏西.方向上.

北

【答案】52°

【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得

ZABC=90°.

先根据勾股定理的逆定理得443C=90。，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可.

【解析】解：如图，过点C作C尸〃E8

8C=5海里,

AB2+BC2=AC2，

:.ZABC^90°,

■：ABAD=,AD//BE,

AABE=ABAD=38°,

NCBE=52°,

22

,?BE//CF,

NBCF=ACBE=52°,

.•.岛3在岛C的北偏西52。方向上.

故答案为：52°.

6.（23-24八年级下•安徽滁州•期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,

帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、

八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地.

（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m,则这块试验基地的面积为一

m2

（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为N3=15m,SC=14m,AC=l3m（如图），贝！|V4BC的面

积为______m2•

【答案】3084

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；

（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；

（2）过A作N。18c交于点。.设BD=x,则CD=14-x,利用勾股定理分别求得N8、BD、即

可求解.

【解析】（1）解：•4+心守,

,该三角形为直角三角形，其中13为斜边，

.•.这块试验基地的面积为gx5x12=30（m）

故答案为：30；

（2）解：过A作8c交2C于点D.

设=贝l]CD=14-x.

在RtAABD和RtA^CZ）中,

由勾股定理得

23

152-X2=132-(14-X)2,

解得x=9,

在中，由勾股定理得40=71^二折=/斤=12,

AS,„=-8C-^D=-xl4xl2=84(m2').

△Atsir^2J2\/

故答案为：84.

三、解答题

7.(23-24八年级下•安徽合肥・期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，V/8C的三个顶点均在

格点上，请按要求完成下列各题：

(1)判断V/8C的形状，并说明理由；

⑵求BC边上的高.

【答案】(1)V/8C是直角三角形；理由见解析

(2)8C边上的高为2

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：

(1)勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可；

(2)等积法求高即可.

【解析】(1)解：V/8C是直角三角形；理由如下：

由勾股定理，得：AB=Vl2+22=45