2025年秋季初二数学期末几何专项复习（含解析）

初二数学期末几何专题复习

一.三角形相关线段

1.下列说法正确的是（）

A.三角形的三条中线交于一点B.三角形的三条高都在三角形内部

C.三角形不一定具有稳定性D.三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部

2.如图，在△ABC中，48=15,BC=9,8。是AC边上的中线，若△A8D的周长为30,则△BCD

的周长是（）

A.20B.24C.26D.28

3.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足|a-7|+（b-2）2=0,c为奇数，贝|c=.

4.己知a、b、c为△ABC的三边长，且从c满足（b-5）2+|c-7|=0,a为方程-3|=2的解，求

△ABC的周长.

5.如图，是由一副三角板拼凑得到的，ZD=ZACB=90°,ZA=30°,ZF=45°,A,E,B,D

四点同线，E,尸过点C,则NECB的度数为（）

AE

A.70°B.75°C.80°D.85°

6.如图，3尸是△ABC中NA5C的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果NA3P=2（T,ZACP

=50°,则NA等于（）

CM

B.40D.60°

7.如图，在△ABC中，BI,C/分另1|平分NABC,ZACB,>ZBZC=140°,BM,CM分另）|平分NA3C,

/AC8的外角，则/BMC的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

8.如图，在△A8C中，点。，E分别在边48,AC上，将△4DE沿。E折叠至△打出位置，点A的

对应点为足若NA=15°,NBDF=120：则/DEF的度数为（）

F

9.如图，ZABC^ZACB,AD.BD、CD分别平分△ABC的外角NEAC、内角/ABC、外角NACB.以

下结论：

©AD//BC-,②/BDC=L/BAC；③NADC=90°-ZABD；④2。平分NADC.

2

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

三.多边形及其内角和

10.如图，小明从。点出发，前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…，这样一直

走下去，他第一次回到出发点。时一共走了（）

D.120米

11.如图，'的度数是

12.若一个多边形的内角和的」比它的外角和多90。，那么这个多边形的边数是多少？

4

练习

13.若一个三角形的三边长分别是机+2,10,2m-1,则机的取值范围为

14.如图，在五边形ABCDE中，AP平分B尸平分NA8C.

(1)五边形A8CDE的内角和为度；

(2)若/C=100°,40=75°,/E=135°,求/尸的度数.

15.将一块直角三角板。跖放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边。E、。尸恰好分别经

过点B、C.

A

(1)如图①，若/A=40。时，点。在△ABC内，则/ABC+/ACB=度，ZDBC+Z

DCB=度，ZABD+ZACD^度;

(2)如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在AABC内，请探究NABO+/AC。与NA

之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论.

(3)如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点。在△A8C外，且在AB边的左侧，直接写出

ZABD,ZACD,NA三者之间存在的数量关系.

四.全等性质

16.已知图中的两个三角形全等，则Na等于()

C.58°D.50°

17.如图，在△ABC中，CD平分/ACB,OE_LBC于点E,SAABC=30,DE=4,BC=10,则AC的

长是()

c

A.3B.4C.5D.6

18.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则Nl+/3-N2=（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

19.如图，AABgLDEC,/ABC=75°,点E在线段AB上，过点8作BF_LCE,且与DE交于

A.165°B.163°C.160°D.155°

五.全等三角形

20.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）,你认为将其中的

哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去.

A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块

21.如图，AC_L.BC于点C,AC=4,BC=2,射线AX_LAC于点A,点P在线段AC上移动，点。

在射线AX上随着点尸移动，且始终保持当AP=时，才能使△2如与△ABC

全等.

22.如图，点。在2C上，OELLAB于点E,。尸_L8C交AC于点尸，BD=CF,BE=CD.^ZAFD

=145°,则/E£)F=

A

23.如图，点A,B,C,。在同一条直线上，点E,尸分别在直线A8的两侧，且ZA=Z

B,AD=BC.

(1)求证：△ACEgLBDF；

(2)若A2=8,AC=2,求CD的长.

六.角平分线性质

24.如图，在△ABC中，NC=90°，点。为△ABC的三条角平分线的交点，OD±BC,OELAC,

OF±AB,垂足分别是。、E、F,且A8=10,BC=8,CA=6,则点。到AB的距离为

25.如图，AB//CD,3尸和CP分别平分/ABC和NOC8,过点P,且与垂直.若AD=10,

八.一线三等角(垂直)

26.如图，△ABC为等腰直角三角形，AD1BD,CELBD于点E,AC与2。交于点R若/BAD=

70°,则0；若BE=2,CE=1,贝UOE=

A

'D

27.如图，AABC为等腰直角三角形，/C=90°点A坐标为（0,4）,点8坐标为（10,0）,则

点C坐标为_____________

28.如图，AC=AB=BD,ZABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为()

A.8B.12C.14D.16

九.手拉手模型

29.如图所示，AB^AC,AD^AE,ZBAC^ZDAE,B、D、E三点共线，Nl=25°,N2=30°,

则/3=()

C.50°D.无法计算

30.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△C0E,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点。，连接PQ.以下五个结论：①

=BE；©PQ//AE-,®AP=BQ-,④连接OC,OC平分/AOE；⑤/AO8=60°.恒成立的结论有

C.①②③⑤D.①②③④⑤

31.以△ABC的AB,AC为边作△A3。和△ACE,S.AD^AB,AE^AC,ZDAB=ZCAE^a.CD

与BE相交于。，连结A。，如图①所示.

(1)求证：BE=CD；

(2)判断NA。。与/AOE的大小，并说明理由.

(3)在即上取点尸，使EF=OC,如图②，请直接写出NAFO与a的数量关系.

图①图②

十.倍长中线

32.如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,则2C边上的中线AD的取值范围是

A

Bl

BDC

33.已知CD=AB,ZBDA=ZBAD,AE是△43。的中线，求证：ZC=ZBAE.

A

BEDC

34.(1)如图1,在△ABC中，ZB=60°,ZC=80°,平分/BAC.求证：AD=AC；

(2)如图2,在△ABC中，点E在BC边上,中线2。与AE相交于点尸，AP=BC.求证：PE

BE.

A

十一.半角模型

35.(1)如图1的正方形ABC。中，点E,尸分别在边BC,CD上，ZE4F=45°,延长C。到点G,

®DG=BE,连接EF,AG.求证：EF=FG；

(2)如图2,等腰RCABC中，NA4C=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且NAMN=45°.若

BM=1,CN=3,求MN的长.

36.如图，△A8C是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以点。为顶点作一个60°

角，使其两边分别交于点M，交AC于点N,连结跖V,则的周长是

37.如图1,△ABC是正三角形，△BOC是等腰三角形，BD=CD,ZBDC=nO°,以。为顶点作

一个60°角，角的两边分别交A3、AC边于M、N两点，连接MN.

(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由.

(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长.

十二.轴对称与等腰三角形

38.已知等腰三角形的一个底角为50°,则这个等腰三角形的顶角为()

A.50°B.60°C.70°D.80°

39.如图，在△ABC中，AC=10,4B的垂直平分线交AB于点交AC于点。，△BOC的周长为

18,则BC的长为()

B

A.4B.6C.8D.10

40.已知等腰三角形两边的长龙、y满足|/-9|+4）2=0,则三角形周长为（）

A.10B.11C.12D.10或11

十三.轴对称三种最值问题

41.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=6,△ABC的面积为12,CO_LA8于点。，直线跖垂直平

分BC交AB于点E,交BC于点F,P是线段所上的一个动点，则的周长的最小值是（）

42.如图，在等边△ABC中，。为AC中点，点P,Q分别为AB,AD上的点，2尸=40=3,QD=2,

在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

43.如图，若/MON=50°,/MON内有一个定点P,点A,8分别在射线。M,ON上移动，当^

E4B周长最小时，则/APB的度数为（）

44.如图，已知点。、£分别是等边三角形ABC中BC、边的中点，AD=6,点尸是线段A。上的

动点，则8F+EF的最小值为（）

BDC

A.3B.6C.9D.12

45.如图，在AABC中，/ABC为钝角，AB=2五,ZBAC=45°,NBAC的平分线交BC于点。,

M、N分别是AD和45上的动点则8M+MN的最小值（）

C.MD.2&

46.如图，/AO8=30°,点。是它内部一点，OD=m.点、E,尸分别是。4,。8上的两个动点,

则△£）■周长的最小值为（）

A.0.5mB.mC.1.5mD.2m

课后练习

47.已知三角形两边的长分别是5和9,则此三角形第三边的长可能是（）

A.1B.4C.8D.14

48.一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）

A.三边形B.四边形C.五边形D,六边形

49.如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原

图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（）

A.ASAB.SASC.AASD.SSS

50.已知等腰三角形的顶角为100。，则它的底角的度数为（）

A.50°B.80°C.40°D.40°或50°

51.在折纸活动中，王强做了一张△ABC纸片，点。，E分别是AB,AC上的点，将△ABC沿着。E

折叠压平，A与4重合，且/4。8=90°.若/A=50°,则/CE41等于（）

52.如图，在△ABC中，点M,N为AC边上的两点，AM=NM,BM1AC,NDLBC于点、D,且NM

=ND,若/A=a,则/C=（）

53.如图，在直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（1,4）和（3,0）,点C是y轴上的一个动点,

且A,B,C三点不在同一条直线上，当△A8C的周长最小时点C的坐标是（）

A.(0,3)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,0)

54.如图，在△ABO和△ACE中，AB=AD,AC=AE,AB>AC,ZDAB=ZCAE=50°连接BE,

CO交于点R连接A?下列结论：①BE=CD；②/EFC=50°；③A尸平分/ZME；④物平分

55.杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理

是.

56.如图，CN平分△ABC的外角/ACM,过点A作CN的垂线，垂足为点。，ZB=ZBAD.若AC

=9,BC=6,则AD的长为

57.如图，在△ABC中，/ABC、NACB的平分线交于。点，过。点作E尸〃BC交A8、AC于点E,

F.当EF=5,8E=2时，CP的长为.

58.如图，在△ABC中，ZB=62°,ZA=28°,CE平分NAC8,CD是AB上的高.求NZJCE的

度数.

59.如图，DE±ABE,DFLACF,若BD=CD,BE=CF.

求证：

(1)平分/BAC；

(2)AC^AB+2BE.

60.如图，△A8C为等边三角形，AE=CD,AD,8E相交于点P,于点。，PQ=3,PE=1.

(1)求证：AD=BE；

(2)求的长.

参考答案与试题解析

1.下列说法正确的是()

A.三角形的三条中线交于一点

B.三角形的三条高都在三角形内部

C.三角形不一定具有稳定性

D.三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部

【解答】解：A.三角形的三条中线交于一点，正确；

B.锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；

C.三角形一定具有稳定性，错误；

D.三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；

故选：A.

2.如图，在△ABC中，AB=15,BC=9,8。是AC边上的中线，若AABO的周长为30,则△BCD

的周长是()

B

A.20B.24C.26D.28

【解答】解：是AC边上的中线，

CD=AD,

,：△42。的周长为30,

：.AB+AD+BD=30,

：A5+CD+BD^30,

：.CD+BD=15,

：.ABCD的周长=20+8+80=15+9=24,

故选：B.

3.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足|a-7|+(b-2)2=0,c为奇数,则c=7

【解答】解：：|a-7|+(6-2)2=0,

*.a-7=0,b-2=0,

解得：a=7,b=2,

由三角形三边关系定理得：7-2<c<7+2,即5<cV9,

又丁。为奇数，

**.c=7.

故答案为：7.

4.已知a、b、c为△ABC的三边长，且6、c满足（6-5）2+心-7|=0,0为方程-3|=2的解，求

△ABC的周长.

【解答】解：；（6-解2-1=0,

*-5=0,解得卜=5

lc-7=01c=7

为方程I。-3|=2的解，

.,.a=5或1,

当a=l,b—5,c=7时，l+5<7,

不能组成三角形，故。=1不合题意；

♦•。=5,

AABC的周长=5+5+7=17,

5.如图，是由一副三角板拼凑得到的，ZD=ZACB=90°,NA=30°,NF=45°,A,E,B,D

四点同线，E,F过点C,则/EC8的度数为（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【解答】解：在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

AZABC=180°-ZACB-ZA=180°-90°-30°=60°；

在中，ZD=90°,ZF=45°,

AZDEF=180°-ZD-ZF=180°-90°-45°=45°；

在△BCE中，ZBEC=45°,Z£BC=60°,

.\Z£CB=180°-ZBEC-Z£BC=180°-45°-60°=75°.

故选：B.

6.如图，3P是△ABC中NA8C的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果NABP=20°,ZACP

=50°,则/A等于（）

A

P

\50/

BCM

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：是aABC中N48C的平分线，CP是NAC2的外角的平分线，

ZABC=2ZABP,ZACM=2ZACP,

又「/AgPuZO。,NACP=50°,

ZABC=2X20°=40°,ZACM=2X50°=100°,

/A=ZACM-ZABC=60°,

故选：D.

7.如图，在ZXABC中，BI,C/分另！］平分/ABC,ZACB,且N2/C=140°,BM,CM分另ij平分/ABC,

/ACB的外角，则/BMC的度数是()

【解答】解：根据题意得，ZABC+ZZ)BC=180°,ZACB+Z£CB=180°,

,：BI,C/分别平分NABC,ZACB,BM,CM分别平分/ABC,NACB的外角，

;-ZlBC=yZABC-ZCBM=yZDBC-ZlCB=yZACB-ZBCM=yZECB-

**-ZlBC+ZCBM=y(ZABC+ZDBC)=yX180°=90°>

同理，ZICB+ZBCM=90°,

在四边形/BMC中，ZBZC=140°,NIBM=NICM=90°,

：.ZBMC=36Q°-140°-90°-90°=40°,

故选：D.

8.如图，在△ABC中，点。，E分别在边48,AC上，将△4DE沿。E折叠至△打出位置，点A的

对应点为?若NA=15°,ZBDF=120°,则NDEB的度数为（）

F

A.135°B.130°C.125°D.120°

【解答】解：由题意得，ZADE=ZFDE,/AED=NFED,

*：ZBDF=nO°,

AZAZ)F=180°-120°=60°,

•'•ZADE=yZADF=30°

AZDEA=180°-ZA-ZAZ)E=180°-15°-30°=135°,

•・・AADE沿DE折叠至△尸DE位置，

：.ZDEF=ZDEA=135°,

故选：A.

9.如图，ZABC=ZACB,AD,BD、CD分别平分△ABC的外角/EAC、内角/ABC、外角/ACF.以

下结论：

©AD//BC-,®ZBDC=^ZBAC；③NAOC=90°-ZABD；④3。平分/AOC.

2

其中正确的结论有()

【解答】解：平分NEAC,

：.ZEAC^2ZEAD,

'：ZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=ZACB,

：.ZEAD=ZABC,

J.AD//BC,即①正确；

•；BD、CD分别平分NABC、ZACF

：.ZDCF=1.ZACF,NDBC=1/ABC,

22

,?ZDCF是ABCD的外角,

；./BDC=/DCF-ZDBC^IZACF-AzABC=A(ZACF-ZABC)=Ji/BAC,即②正确;

2222

平分/EAC,CD平分/ACR

ZDAC=1.ZEAC,ZDCA=1ZACF,

22

VZEAC^ZACB+ZABC,ZACF^ZABC+ZBAC,ZABC+ZACB+ZBAC^180°,

：.ZA£)C=180°-CZDAC+ZACD)

=180°-A(ZEAC+ZACF)

2

=180°-1CZABC+ZACB+ZABC+ZBAC)

2

=180°-A(180°+ZABC)

2

=90°-1ZABC

2

=90°-ZABD,即③正确；

"：AB=AC,

：.NABC=/ACB,

'：NADB=ZDBC=^ZABC,而ZBDC^lzBAC^XzACB,

222

ZADB^ZCDB,即④错误；

.•.正确的有3个,

10.如图，小明从。点出发，前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…，这样一直

走下去，他第一次回到出发点。时一共走了（）

D.120米

【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为%

则20”=360,解得"=18,

，他第一次回到出发点。时一共走了：6X18=108(米),

故选:B.

11.如图，的度数是360°

VZE+ZA=Z1,ZB+ZF=Z2,

VZ1+Z2+ZC+Z)=36O°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°,

故答案为：360°.

12.若一个多边形的内角和的」比它的外角和多90。，那么这个多边形的边数是多少？

4

【解答】解：设这个多边形的边数是小

由题意得：A(n-2)X180°-360°=90°,

4

・"=12,

答：这个多边形的边数是12.

13.若一个三角形的三边长分别是根+2,10,2m-1,则一的取值范围为3〈杨〈13.

【解答】解：当工<相(3时，三边从小到大依次为2加-1,%+2,10,只要满足2%-1+机+2>10,

2

即机>3,此时不存在加的值.

当3cme9时，三边从小到大依次为〃?+2,2m-1,10,只要满足2〃z-1+切+2>10,即m>3,

2

止匕时3c机<红.

2

当旦时，三边从小到大依次为m+2,10,2加-1只要满足加+2+10>2加-1,即加<13,

2

此时

2

当相，8时，三边从小到大依次为10,〃计2,2m-1,只要满足10+m+2>2%-1,BPm<13,此时

8(机<13.

综上所述，满足条件的根的值为3＜冽＜13.

14.如图，在五边形ABCDE中，AP平分/EA8,平分/A8C.

(1)五边形ABCDE的内角和为540度;

(2)若/C=100°，ZD=15°，ZE=135°,求/尸的度数.

【解答】解：(1)五边形A2CDE的内角和为(5-2)X1800=540°,

故答案为：540；

(2)•.•在五边形A8CDE中，ZEAB+ZABC+ZC+ZZ)+ZE=540°,ZC=100°,ND=75°,

/E=135°,

ZEAB+ZABC=230°,

尸平分NEAB,BP平分/ABC,

：.ZPAB=1ZEAB,ZPBA=1ZABC,

22

：.ZPAB+ZPBA=U5°,

；./尸=180°-(ZE4B+ZPBA)=65°.

15.将一块直角三角板DE尸放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边。尸恰好分别经

过点8、C.

(1)如图①，若NA=40°时，点。在△ABC内，则/A8C+NAC"140度,ZDBC+ZDCB

=90度,ZABD+ZACD=50

(2)如图②，改变直角三角板。EF的位置，使点。在△ABC内，请探究NABO+/ACZ)与NA

之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论.

(3)如图③，改变直角三角板的位置，使点。在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出

NABD、NACD、NA三者之间存在的数量关系.

【解答】解：(1)在AABC中，：/A=40°,

ZABC+ZACB^180°-40°=140°,

在△D8C中，'：ZBDC=90°,

：.ZDBC+ZDCB=1SQ0-90°=90°,

ZABD+ZACD=140°-90°=50°；

故答案为：140；90；50.

(2)NABO+/ACO与/A之间的数量关系为：ZABD+ZACD=90°-ZA.证明如下：

在△ABC中，ZABC+ZACB=180°-NA.

在△Q8C中，ZDBC+ZDCB=90°.

：.ZABC+ZACB-CZDBC+ZDCB)=180°-ZA-90°.

ZABD+ZACD=90°-ZA.

(3)ZACD-ZABD^90°-ZA.

16.已知图中的两个三角形全等，则/a等于()

A.72°B.60°C.58°D.50°

【解答】解：：图中的两个三角形全等，

•,.Za=50°.

故选：D.

17.如图，在△ABC中，C£）平分NAC2,DE_LBC于点、E,SAABC=30,DE=4,BC^IO,则AC的

长是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：过点。作。PLAC,垂足为R

•・・CD平分NACB,DE±BC,DFLAC,

：.DE=DF=4f

5AABC=30,BC=10,

△ADC的面积+ZkCZ)5的面积=30,

LAC-DF+KBC-D£=30,

22

JLAC・4+JLX10X4=30,

22

AC=5,

18.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则/1+/3-/2=()

A.30°B.45°C.60°D.135°

【解答】解：如图，在AABC和△ZJEA中，

'AB=DE

'ZABC=ZDEA=90°-

BC=AE

/.AABC^ADEA(SAS),

•,.Z1=Z4,

VZ3+Z4=90°,

•,.Zl+Z3=90°,

又；22=45°,

.*.Z1+Z3-Z2=90°-45°=45°.

故选：B.

19.如图，AABC咨ADEC,/ABC=15°,点E在线段AB上，过点B作8F_LCE,且与DE交于

A.165°B.163°C.160°D.155°

【解答】解：VAABC^ADEC,ZABC=75",

：.ZDEC=ZABC=15°,

"：BF±CE,

：.ZEFB=900-ZZ）£C=90°-75°=15°,

AZBF£>=180°-NE/2=180°-15°=165°,

故选：A.

20.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）,你认为将其中的

哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去.

A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块

【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻

璃.

故选：D.

21.如图，于点C,AC=4,BC=2,射线AXLAC于点A,点P在线段AC上移动，点Q

在射线AX上随着点P移动，且始终保持尸当AP=2或4时,才能使△PQA与

【解答】解：'：AC±BC,AX±AC,

AZACB=ZE42=90°,

①.,.当AP=BC=2时，

"：PQ=AB,ZACB=ZRiQ=9Q°,

.•.△PQA与△ABC(HL)；

②当4P=AC=4时，

\'PQ^AB,NACB=/B4Q=90°,

.•.△PQA与△ABC(HL)；

故答案为：2或4.

22.如图，点。在BC上，Z)£_LA8于点E,_LBC交AC于点用BD=CF,BE=CD.若/AF£)

=145°,则/即5=55°.

【解答】解：如图，'：ZDFC+ZAFD=M0o,ZAFZ)=145°,

.\ZCFD=35°.

又：。E_LA8,DFLBC,

:./BED=/CDF=90°,

在RtAB£)£与△Rt/XCFD中，

[BERD,

lBD=CF，

/.RtABDE^ARtACFD(HL),

：.ZBDE=ZCFD=35°,

：.ZEDF+ZBDE=ZEDF+ZCFD=90°,

：.ZEDF=55°.

故答案为：55°.

23.如图，点A,B,C,。在同一条直线上，点E,尸分别在直线AB的两侧，且ZA=Z

B,AD=BC.

(1)求证：/XACEg

(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.

E

【解答】(1)证明：

：.AD-CD=BC-CD,即AC=BD,

在和△友?/中，

'AC=BD

<ZA=ZB>

AE=BF

.♦.△ACE义Z\BDF(SAS)；

(2)解：VAACE^ABDF,AC=2,

：.BD^AC^2,

又：A8=8,

/.CD=AB-BD-AC=8-2-2=4.

24.如图，在△ABC中，ZC=90°,点。为△ABC的三条角平分线的交点，ODLBC,OELAC,

OFLAB,垂足分别是。、E、F,且AB=10,BC=8,CA=6,则点。到的距离为2.

【解答】解：如图，连接。8,AO,

:点。为△ABC的三条角平分线的交点，OOLBC,OE±AC,OF±AB,

：.OE=OD=OF,

在RtAODB和Rt/XOFB中,

，Z0BD=Z0BF

<Z0DB=Z0FB-

OB=OB

.,.RtAODB^RtAOFB(AAS)，

:.DB=FB,

同理可证，AE=AF,

•；/C=/OEC=/ODC=90°,OD=OE,

四边形OECO是正方形，

:.CE=CD=OD=OE,

15OE=OD=OF=x,CE=CD=x,BD=BF=8-x,AF=AE=6-x,

：.BF+FA^AB=IQ,即6-x+8-x=10,

解得x=2,

：.OF=2,

故答案为：2.

25.如图，AB//CD,BP和CP分别平分/ABC和NOCB,A。过点P,且与A8垂直.若4。=10,

【解答】解：过点尸作PKLBC于E,

'JAB//CD,AD±AB,

：.AD1CD,

,.,BP和CP分别平分NABC和/。CB,ADLAB,ADLCD,PE_LBC,

：.PA=PE=PD,

VAD=10,

：.PE=5,即点P到BC的距离是5,

故选：D.

26.如图，△ABC为等腰直角三角形，ADLBD,CE_L8O于点E,AC与8。交于点尸，^ZBAD=

70°,则115°；若BE=2,CE=7,则DE=5.

A

D

BC

【解答】解：①・・・NBAO=70°,于点O,「.NABb=20°,,•,△ABC为等腰直角三角形,

：.ZBAF=45°,ZAFB=115°；②・・・/43。=90°,AZ)_L3O于点O,CE上BD于点E,

：.ZD=ZCEB=ZABC=90°,

AZABD+ZCBE=90°,ZABD+ZBAD=90°,

:・NCBE=NBAD,

U：AB=BC,

：.AABD^ABCE(AAS),

：.BD=CE=1,AD=BE=2,

:.DE=BD-BE=7-2=5,

故答案为：115°,5.

27.如图，△ABC为等腰直角三角形，NC=900点A坐标为(0,4),点B坐标为(10,0),则

点C坐标为(7,7).

【解答】解：如图，过点。作轴于点H,过点3作于点G,

则NCHA=NBGC=90°,OH=BG,GH=OB,

：.ZACH+ZCAH=90°,

•・•点A坐标为(0,4),点5坐标为(10,0),

・・・。4=4,08=10,

.\GH=CH+CG=10,

「△ABC是等腰直角三角形，NAC3=90°,

：.AC=BC,ZACH+ZBCG=180°-ZACB=180°-90°=90°,

：.ZCAH=ZBCG,

在△AC#和△CBG中，

'/CHA=/BGC

<NCAH=/BCG，

AC=CB

AAACff^ACBG（AAS）,

J.AH^CG,CH=BG,

BG=OH=OA+AH=4+AH,CH+CG=W,

：.4+AH+CG^10,

：.4+AH+AH=10,

解得：AH=3,

：.CH=BG=4+3=1,

.•.点C的坐标为（7,7）,

故答案为：（7,7）.

C...G

Bx

28.如图，AC^AB^BD,ZABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为（）

A.8B.12C.14D.16

【解答】解：作AELBC于E,。尸，C2交CB延长线于尸,

CEB

"：AB=AC,

；.BE=CE=4,

VZEAB+ZABE=ZDBF+ZABE=90°,

:./EAB=/DBF,

•:NAEB=/BFD=90°,AB=DB,

.♦.△AEB经ABFD(AAS),

：.DF=BE=4,

SADCB=—CB'DF,

2

/.SADCB=AX8X4=16,

2

故选：D.

29.如图所示，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,B、D、E三点共线，/I=25°,Z2=30°,

则/3=()

C.50°D.无法计算

【解答】解：,：ZBAC^ZDAE,

：.ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

J.ZBAD^ZCAE,

在△BAD和△CAE中

rAB=AC

,ZBAD=ZCAE

AD=AE

△5400△CAE,

VZ2=30°,

/.ZABD=Z2=30°,

:,Zl=25°,

.\Z3=ZABD+Z1=55°,

故选：B.

30.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）,在AE同侧分别作正△ABC和正△€!）£,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CO交于点。，连接尸。.以下五个结论：①

=BE；®PQ//AE；③④连接OC,OC平分NAOE；⑤NAOB=60°.恒成立的结论有

()

A.①⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

【解答】解:①：△ABC和△(?£)£都是正三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

.".ZDCP=180°-ZACB-ZDCE^60°,

,?ZACD=ZACB+ZBCD,ZBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

在△AQC和△BEC中，

'AC=BC

'ZACD=ZBCE-

CD=CE

AADC^/XBEC(SAS),

：.AD=BE,/ADC=NBEC,故①正确；

②在ACDP和△CEQ中，

'/DCP=ECQ=60°

<CD=CE，

ZPDC=ZQEC

.♦.△CDP义ACEQ(ASA).

；.CP=CQ,

：.ZCPQ=ZCQP=60°,

J.ZQPC^ZBCA,

：.PQ//AE,故②正确；

③由②可知，甲丝△CE。，

：.DP=QE,

由①可知，AD=BE,

：.AD-DP=BE-QE,

：.AP^BQ,故③正确；

④如图，过点C作CMLBE于点M,CN±AD于点N,

由①可知，AADgABEC,

.'.AD=BE,SMDC—S^BEC,

XAD'CN=工BE・CM,

22

：.CN=CM,

,：CMLBE,CN±AD,

.••。（7平分/4。£,故④正确；

⑤由①可知，△ADCZABEC,

：.ZDAC=ZEBC,

：.ZAOB^ZDAC+ZAEO^ZEBC+ZAEO^ZACB=60°,故⑤正确;

综上所述，恒成立的结论有：①②③④⑤.

故选：D.

31.以△ABC的AB,AC为边作和△ACE,MAD=AB,AE=AC,ZDAB=ZCAE=a.CD

与BE相交于。，连结A。，如图①所示.

(1)求证：BE=CD；

(2)判断NA。。与/AOE的大小，并说明理由.