河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．曲线y=−33xA．π6 B．π3 C．5π62．某射手射击所得环数ξ的分布列如下表.已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9，则ξ78910Px0.10.3yA．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.33．某学校安排3名教师指导4个学生社团，每名教师至少指导一个社团，每个社团只需一位指导老师，则不同的安排方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．72种4．在(1−x)5A．25 B．-5 C．10 D．-255．下列说法正确的是（）A．若随机变量X∼N(12,σB．若随机变量X∼N(0,1),f(x)=P(X⩽x)C．若随机变量X∼N(5,σ2)，则D．若随机变量X∼N(2,σ2)6．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A,B存在如下关系：P(A∣B)=P(A)P(B∣A)P(B).对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的20%，使用支付宝支付的用户占总用户的A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.057．设0<m<1，且随机变量X的分布列是：X0m1P111则D(X)的最小值为（）A．0 B．16 C．14 8．已知函数f(x)=x+1ex，若过P(−1,t)A．(4e,C．(0,4e二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．保定某中学上午大课间跑操，为了提升班级跑操水平，某班在跑操后进行分组训练，现A,A．若A不在第一个，则不同的排序种数有480种B．若A和C不相邻，则不同的站队方式共有480种C．若A和B相邻，且A不在两端，则不同的站队方式共有120种D．D排在E,F10．若(2x−5A．a0=1 C．a0+a11．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第n次传球后球在甲､乙､丙手中的概率依次为AnA．A2=12 B．B3=三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(x)=lnx+f'(1)x13．若随机变量X∼B(6,p)，且E(X)=2，则p=，P14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用Ai表示i号箱有奖品(i=1,2,3)，用四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知在(4x（1）求n的值；（2）求含x5（3）求展开式中二项式系数最大的项.16．袋中有除颜色外其他都相同的7个小球，其中4个红色，3个黄色.（1）甲､乙两人依次不放回各摸一个球，求甲摸出红球，乙摸出黄球的概率；（2）甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求：①P(X=2)的值；②随机变量X的分布列和数学期望.17．已知函数f(x)=x（1）当a=1时，求函数f(x)的图象在点(1,（2）当a>0时，若函数h(x)=f(x)+(a−2)x在[1,e]上的最小值为0，求实数18．学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得30分，答错得0分；第二轮从B类的分值分别为40，70的2个问题中随机选1题作答，每答对一题得相应满分，答错得0分.若两轮总积分不低于100分，则晋级复赛.甲､乙同时参赛，在A类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为23，乙只能答对其中两个问题；在B类的2个分值分别为40，70的问题中，甲答对的概率分别为34,23（1）分别求X,（2）分别计算甲､乙晋级复赛的概率.19．已知函数f(x)=e（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a>0时，若满足f(x1)=f(（3）若函数g(x)=f(x)+sinx，当x⩾0时，g(x)⩾0恒成立，求实数a的取值范围.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：设曲线y=−33x3−1因为y'=−3所以曲线y=−33x3−1故答案为：D.【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵ξ的数学期望E(ξ)=8.∴由射手射击所得环数ξ的分布列，得x+0.解得x=0.2，故答案为：A．【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出y的值．3．【答案】C【解析】【解答】解：4个学生社团，分为2，1，1的组，则有C42C故答案为：C【分析】根据分组分配的计算方法，即可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：(1−x)5所以，含x3的项为C即含x3项的系数为10故答案为：C.【分析】写出(1−x)55．【答案】C【解析】【解答】解：因为Y=3X+1，则E(Y)=3E(X)+1=37，故A错误；P(|X|≤x)=P(−x≤X≤x)=1−2[1−f(x)]=2f(x)−1，故B错误；因为X∼N(5,σ2)，所以σ越小，P(4.根据正态分布的对称性可知P(故答案为：C.【分析】对于A，由均值的性质即可判断；对于BD，由正态分布曲线的对称性即可判断；对于C，σ越小，X的概率曲线在对称轴X=5处的集中程度越大，由此即可判断.6．【答案】D【解析】【解答】解：设A,B,则P(A)=0.2,故答案为：D.【分析】设出相应的事件以及对应的概率，代入贝叶斯公式即可求解.7．【答案】B【解析】【解答】解：由分布列得E(X)=0×1则D(X)=(0−当m=12时，D(X)取得最小值故答案为：B.【分析】由方差的计算公式求出D(X)，再由二次函数的性质即可得出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：设过点P(−1,t)的直线与函数f(x)=x+1ex因为f(x)=x+1所以切线方程为y−a+1ea所以t−a+1ea则过点P(−1,t)的直线与函数f(x)=x+1曲线g(a)=(因为g'(a)=2(a+1)ea所以，当a<−1时，g'当−1<a<1时，g'(a)>0,g(a)单调递增；当因为g(−1)=0,g(1)=4e，当a→+∞时所以当t=4故答案为：B.【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点P(−1,t)的直线与函数f(x)=x+1ex的图象相切的切线条数即为直线y=t9．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，若甲不排第一个，则甲有5种排法，其余5个人全排，共有5A对于B，先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，利用插空法将A和C插入5个空，有A5对于C，若A和B相邻，利用捆绑法不同站队方式有A5若A和B相邻且A在两端，则站队方式有2A对于D,D排在E,故答案为：BD.【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设f(x)=a对A：令x=2，则f(2)=a对B：令x=3，则f(3)=a对C：令x=1，则f(1)=a结合B中所求，则f(1)+f(3)=2(a0+对D：f'令x=3，则f'(3)=a又a0=1，故故答案为：ACD.【分析】对A：令x=2，即可求得结果；对B：令x=3，即可求得结果；对C：令x=1，结合B中所求，即可求得结果；对D：对f(x)=(2x−5)10求导，再令11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：第一次传球后到乙或丙手里，故A1=0，第二次传球，乙或丙有12第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为38第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是14Ak+1=A故答案为：ACD.【分析】对于ABC，由古典概率计算公式即可判断；对于D，由全概率公式即可判断.12．【答案】-4【解析】【解答】解：由题意得，f'(x)=1即f'(1)=−1，所以故答案为：−4【分析】根据求导公式和法则运算可得f'(x)=1x+213．【答案】13；【解析】【解答】解：因为随机变量X∼B(6,p)，且E(X)=2，所以6p=2，解得p=13，则故答案为：13；160【分析】根据二项分布的期望公式和概率计算公式，结合已知条件，求解即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故P(B主持人打开3号箱的概率为1，故P(B奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故P(B3∣故答案为：23【分析】分奖品在1、2和3号箱里三种情况，根据全概率公式计算即可.15．【答案】（1）令x=1，则3（2）第r+1项为Tr+1令8−3r=5，解得r=1,∴（3）由n=4得r=2时二项式系数最大，即第三项T【解析】【分析】（1）令二项式中的x=1时，可得到二项式的展开式中各项的系数和；（2）利用第r+1项的通项公式可求得指定次数的项；（3）利用二项式系数性质可知最中间的一项或二项的二项式系数最大，如C416．【答案】（1）设事件A为“甲摸出红球”，事件B为“乙摸出黄球”，P(AB)=P(A)P(B∣A)=（2）①由已知得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有A7事件X=2表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件X=2包含C4所以P(X=2)=C②X的可能取值为：2,P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=A则X的概率分布为X2345P4241所以X的数学期望为E(X)=2×4【解析】【分析】（1）根据条件概率即可求解，（2）根据排列组合计数，即可结合古典概型的概率公式求解概率，即可求解.17．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=x2+x−lnx∵f又f(1)=2，所以切线方程为y−2=2(x−1)⇒y=2x（或写成2x−y=0（2）解：h(x)=f(x)+(a−2)x=xh'∵x>0,∴h①当2a2⩽1，即0<a⩽2时，∴h这时h(②当1<2a2<ex∈(1,2a2这时h(x)③当2a2⩾e，即a⩾2e2时，这时h(x)综上：a=2e.【解析】【分析】（1）根据f(x)，求得f'（2）令h'(x)=0，求得18．【答案】（1）根据题设可知：P(X=0)=CP(X=30)=CP(X=60)=C所以X的分布列为X03060P144因为乙只能答对其中两道题，所以P(Y=30)=2P(Y=60)=13，故Y3060P21（2）记事件A表示“甲晋级复赛”，事件B表示“乙晋级复赛”，P(A)=P(B)=23×12×1【解析】【分析】（1）根据已知条件分别求出随机变量X,（2）结合第一轮甲、乙得分的情况和第二轮得分的情况求出概率即可.19．【答案】（1）解：f'当a⩽0时，f'(x)>0,当a>0时，令f'(x)=e∴x∈(−∞,lna),综上：当a⩽0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，f(x)在（2）证明：由题意x1<x要证x1+x而x1<2lna−x2<lna故只需证f(x又f(x1)=f(即证f(x令h(x)=f(x)−f(2lna−x)，即h(x)=h'由均值不等式可得h'(x)=ex+以函数h(x)在R上单调递增.由x2>lna，可得h(x所以f(x又函数f(x)在(−∞,所以x1<2lna−x（3）解：法一：g(x)=ex−ax+sinx−1，则g'(x)=ex+cosx−a,g″①当a⩽2时，g'(x)>gg(x)⩾g(0)=0，符合题意，∴a⩽2.②当a>2时，又g'(x)在(0,∴∃x0∈(0∴x∈(0,x0∴x∈(x0,而g(综上：a⩽2,∴实数a的取值范围为法二：g(x)=f(x)+sinx=e当x=0时，g(0)=0⩾0恒成立，当x>0时，由g(x)⩾0得ex即a⩽e令φ(x)=ex+sinx−1则φ'令s(x)=xe则s'∵x>0,ex−sinx>0,即φ'(x)>0,φ(x)在由洛必