吉林省部分名校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

吉林省部分名校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、排球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数为（）A．15 B．8 C．35 D．2．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'A．1 B．2 C．－1 D．－23．若圆M：(x−2)2+y2=A．1 B．2 C．2 D．24．已知数列{an}的通项公式为an=kA．(1,+∞) B．(0,+∞) C．5．已知数列{aA．an=nC．an=n6．已知函数f(x)的部分图象如图所示，f'(x)为A．f(1)−f(0)>f'(1)>C．f'(0)>f(1)−f(0)>f7．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过FA．23 B．12 C．348．在等差数列{an}中，a1=1，a1+a4=a3．设A．5 B．6 C．7 D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数求导正确的有（）A．(xsinx)'C．[ln(x10．某同学在研究“有一个角为π3A．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形B．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形C．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形D．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形11．已知函数f(x)=xlnx−emx，对定义域内任意x1A．1e B．13 C．1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．一个柜台销售的智能手机中，国产品牌有5种，国外品牌有3种，要从中选择1个品牌进行购买，不同的选法种数为．13．在数列{an}中，a1=2，a214．过直线x−2y−4=0上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为M，N，则|PM|的最小值为；已知直线MN过定点Q四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设数列{an}的前n项和为Sn，（1）求{a（2）求数列{an⋅log16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC（1）证明：EG⊥平面BC（2）求平面BC1D17．已知函数f(x)=x3−a（1）求a，b的值；（2）求经过点(1,2)与曲线18．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线（1）求抛物线C的方程；（2）已知点A(−p2,m)，B(−p2,n)（m≠n）是l上的两点，点P(x19．已知函数f(x)=ae（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：方程f(x)=e

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为每名同学都有3种不同的报名方法，故不同报法的种数为35故选：C【分析】本题考查分布乘法计数原理.根据题意可得：每名同学都有3种不同的报名方法，再利用分步乘法计数原理可求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为f'(2)=1，即所以limΔx→0故选：C【分析】本题考查导函数的定义.已知f'3．【答案】A【解析】【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=±x，不妨取y=x，点M(2,0)到直线y=x因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以m=1．故选：A【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先根据双曲线方程求出渐近线方程，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求出距离为21+14．【答案】D【解析】【解答】解：an=kn2−n−2有k(n+1)2−(n+1)−2>kn2n=1时(12n+1)max=13故选：D【分析】本题考查数列的单调性.根据数列为递增数列可得：an+1>an(n∈N*)，解不等式可得5．【答案】A【解析】【解答】解：A、an+1B、a1=−6，C、a5=25，D、a1故选：A.【分析】本题考查数列的单调性.根据数列{an}是递增数列，可得：a6．【答案】D【解析】【解答】解：由导数的意义可知，f'(1)和f'(0)分别表示所以由图像可知，f'而f(1)−f(0)=f(1)−f(0)1−0表示过点由图像可知，f'故选：D.【分析】本题考查导函数的几何意义.先根据导数的意义分析出：f'(1)和f'(0)表示的意义，观察图形可得：7．【答案】B【解析】【解答】解：设F1(−c,0)，则直线直线PF1的斜率为直线PF1的方程为令x=0，得y=c2b因为|PF所以(3a3故选：B.【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先根据条件求得直线PF1的方程，进而求出点P的坐标：P(0,8．【答案】B【解析】【解答】解：设{an}因为a1所以a2=0，则an=2−n，bn因为Sm=6316，所以故选：B【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3=a39．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、(xB、(π+2C、因为(lnx)'=1D、(x故选：BC【分析】本题考查导数的运算法则，简单复合函数的导数计算规则.根据积的导函数运算法则可判断A选项；根据常数求导结果为0，可判断B选项；利用简单复合函数求导法则可判断C选项；根据和差的导数等于导数的和差，可判断D选项.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：不妨设C=πA、因为sinA+则sinA+即sin(A+π6)=1，且则A+π6=B、因为cosA+所以cosA−且0<A<2π3，可得则A+π6=C、因为sinA则sinA可得34sin2A−且0<A<2π3，可得则2A−π6=D、因为cosA则cosA可得34sin2A−且0<A<2π3，可得则2A−π6=故选：AD.【分析】本题考查等差中项，等比中项，三角恒等变换.不妨设C=π3.对于A：根据等差中项可得：sinA+sinB=3，再利用两角和的正弦公式变形可推出A=π3，进而判断A选项；对于B：根据等差中项可得：cosA+cosB=111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为x1<x所以f(x1)−f(即f(x1)−则有对于定义域内任意x1<x所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，所以在(0,因为f'(x)=lnx+1−me因为x∈(0,+∞)，所以xln令g(x)=xlnx(x>0)，g'(x)=ln所以当x∈(0,1e)时，当x∈(1e,+∞)时，xlnx≤emx⋅ln(emx由g(x)=xlnx(x>0)，可知当x∈(0,1)时，g(x)<0，当根据g(x)在(0,+∞)上的单调性以及有：若g(x)≤g(emx)，则x≤emx即m≥lnxx在x>0上恒成立；令t(x)=t'(x)=0，解得x=e，所以当x∈(0,e)时，当x∈(e,+∞)时，t'所以x=e时，t(x)取得最大值，tmax(x)=t(e)=1因为1e=1e，1>1故选：ACD.【分析】本题考查函数恒成立问题.根据已知条件将问题转化为xlnx≤emx⋅ln(emx)，构造函数g(x)=xlnx(x>0)，xlnx≤emx⋅ln(12．【答案】8【解析】【解答】解：若从国产品牌购买，则有5种不同的选法，若从国外品牌购买，则有3种不同的选法，所以不同的选法种数为5+3=8种.故答案为：8.【分析】本题考查分类加法计数原理.先求出从国产品牌购买和从国外品牌购买的选法，再根据分类加法计数原理可求出答案.13．【答案】1【解析】【解答】解：a1=2，a2=5，a3=3，a4a8=1，a9=1，可知{a则a2023=a7+672×3=故答案为：1【分析】本题考查数列的递推公式，数列的周期性.先利用数列的递推公式求出a3至a14．【答案】555；【解析】【解答】解：由题知，圆心为O(0,0)，半径r=1，圆心到直线y=1因为△PMO为直角三角形，且PM⊥MO，所以|PM|=|PO|当且仅当PO与直线x−2y−4=0垂直时，等号成立，所以|PM|的最小值为555设P(x0,以点P为圆心，|PM|为半径的圆的方程为(x−x即x2将圆P的方程与x2+y2=1因为点P(x0,y0即xx0+y(由x+12y=0−2y−1=0，解得x=1故答案为：555；(【分析】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理结合圆的弦长公式可推出|PM|=|PO|2−r2≥d2−1，利用圆切线的性质可求出|PM|的最小值；先写出以点P为圆心，|PM|为半径的圆的方程，与圆的方程：x15．【答案】（1）解：由Sn+1−3S两式相减，得an+1−3a因为a1=3，所以(a1+所以{an}（2）解：因为an=3因为Tn所以3T两式相减，得−2T所以T【解析】【分析】本题考查an、Sn的关系求通项公式，利用错位相减法求数列的和.

（1）根据题目式子写出前一个式子可得：Sn−3S（2）利用对数的运算法则可得：an⋅log316．【答案】（1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2，则D(0,0,0)，B(2,DB=(2,2,0)∵DB⋅EG=0，DC1⋅∵DB∩DC1=D，∴EG⊥（2）解：由（1）可知平面BC1D易得F(2,1,0)，设平面DEF的法向量为n=(x,y取x=1，则y=−2，z=3，得平面DEF的一个法向量为n=(1∴平面BC1D【解析】【分析】本题考查利用空间向量证明直线与平面垂直，利用空间向量求平面与平面所成的角.

（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，通过验证可得：DB⋅EG=0（2）由（1）知平面BC1D17．【答案】（1）解：因为f(x)=x3−a因为函数f(x)在x=2处取得极值－2，所以f(2)=8−4a−2b+10=−2f'(2)=12−4a−b=0验证：当a=1，b=8时，f'由f'(x)>0，得x>2或x<−43，由所以f(x)在x=2处取得极小值，满足题意．（2）解：设切点坐标为(x因为f'所以切线方程为y−(x因为切线过点(1,2)，所以即x03−2x0所以经过点(1,2)与曲线y=f(x)相切的切线方程为8x+y−10=0或【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，曲线的切线方程的求法.（1）先求出导函数f'(x)，再根据题意由点(2,−2)在函数上和极值点处导函数为零即（2）设切点为(x0,y0)，由导数的意义可得切线的斜率为18．【答案】（1）解：因为焦点F(p2,0)到准线所以抛物线C的方程为y（2）解：由题知直线PA的方程为y−m=y化简得(y因为原点到直线PA的距离为3，所以|3(y所以9(因为x0>3，所以化简得同理，有(x所以m，n是关于t的方程(x根据韦达定理得m+n=−6y0所以|AB|2因为y02=12因为点P(x0,y0所以S△PAB令x0则S△PAB因为λ2+3当且仅当λ=6时，等号成立．所以S△PAB≥372+360+288=365【解析】【分析】本题考查抛物线线方程，直线与抛物线的位置关系.（1）根据焦点到准线的距离等于P，据此可得p=6，进而可求出抛物线C的方程；（2）分别表示出PA,PB的直线方程，利用原点到直线PA，PB的距离均为3，通过化简可得m,n是关于t的方程(x0−3)t2+6y0t−9(x019．【答案】（1）解：f'当a<−1时，a+1a>0，令f'(x)>0，得x<ln所以f(x)在(−∞,lna+1a当−1≤a≤0时，f'(x)≤0恒成立，所以f(x)在当a>0时．令f'(x)>0，得x>lna+1a所以f(x)在(−∞,lna+1a（2）解：当a≤0时，因为f(0)≤0，所以不满足f(x)≥0，所以a>0．由（1）知当a>0时，f(x)在(−∞,lna+1a所以f(x)由(a+1)(1−lna+1a)≥0，得即实数a的取值范围是[1（3）证明：令g(x)=ae则g'当a≤0时，令g'(x)>0，得x<0，令g'所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,所以g(x)<0恒成立，此时方程f(x)=e当0<a<1时，令g'(x)>0，得x<0或x>−lna，令所以g(x)在(−∞,0)和(−ln因为g(−ln所以g(x)至多只有一个零点，即方程f(x)=e当a=1时，g'(x)≥0恒成立，所以g(x)在所以g(x)至多只有一个零点，