四川成华区某校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

四川成华区某校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且A．18 B．24 C．27 D．542．已知函数f(x)=x3+A．(−1,+∞)上单调递增 B．C．R上有三个零点 D．(−∞,3．已知直线y=kx+1与曲线f(x)=alnx+b相切于点P(1,A．2lnx+3 B．lnx+3 C．24．现有4名大学生利用假期去3个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1名大学生，则不同的分配方案共有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种5．已知函数f(x)=ln(1+xA．(−∞,0)∪(1,C．(−∞,−2)∪(0,6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=5，a7=15，记数列{1SnA．12 B．34 C．1 7．已知0<xA．x1exC．x1lnx8．已知函数f(x)=ln(x−1)，g(x)=x+1，若f(xA．5−2ln2 B．3+2ln2 C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列语句叙述正确的有（）A．数列{anB．若数列{an}满足：a1C．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a3=3aD．公差非零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=2S10．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)的导函数为f'A．若f'(x)+f(x)>0对∀x∈RB．若f'(x)−f(x)<0对∀x∈RC．若f'(x)+f(x)>1对∀x∈RD．若f'(x)−f(x)<1对∀x∈R11．已知函数f(x)=x−3A．方程f[f(x)]=3B．方程2fC．∀m∈(−∞,0)，方程D．∃n∈(1,+∞)，方程三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．某圆柱的侧面展开图的周长为12cm，若其体积最大时，圆柱的高为cm.13．已知等差数列{an}满足a3=S3=3，Sn14．关于x的不等式aeax−2lnx≤2四、解答题：本题共5小题，共7分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知函数f(x)=ln（1）若m=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）求函数f(x)在[1,16．已知抛物线C：x2=2py(p>0)过点A(2,1)，点B为直线y=−2上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为M，17．三棱锥A−BCD中，AC=AD=CD=22，AB=1，BC=5，（1）求平面ACD和平面ABD夹角的余弦值；（2）点P为棱CD（不含端点）上的动点，求直线AP与平面ABD所成角的正弦值的取值范围.18．数列{an}、{bn}满足：a2=1，an+1（1）求数列{an}（2）若∀n∈N*，都有λ−1（3）求数列{an⋅bn19．函数f(x)=ae（1）当a=2ee（2）当x>0时，有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：e+e12

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为等差数列{an}满足a3+a72．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=x3+当x∈(−∞,−1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(13,+∞)时，f'A、由上述分析可知函数f(x)在(−1,B、由上述分析可知函数f(x)在x=−1处取得极大值，故B错误；C、f(−3)=−27+9+3+3=−12<0，f(−1)=4>0，因为函数f(x)在(−∞,所以f(x)在(−∞,−1)有一个零点，又因为f(13)>0综上所述，f(x)在R上只有一个零点，故C错误；D、由上述分析可知函数f(x)在(−∞,故答案为：D.【分析】求导，利用导数研究其单调性，最值和零点即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：曲线f(x)=alnx+b，则f'因为f(1)=a×ln1+b=k×1+1=3，所以k=2，b=3，故所以f(x)=2ln故答案为：A.【分析】求导，利用导数的几何意义，斜率和切点建立方程求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：先将4名大学生，分为三组，有2人一组，则有C4再将3组分配到3个山村，有6×A故答案为：C.【分析】先将4名大学生，分为三组，再分配到三个山村，结合排列求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=lnf'当f'(x)<0时，x∈(−∞,当f'(x)>0时，x∈(0,因为f(−x)=ln[1+(−x)由f(2x+1)<f(x−1)，可得f(|2x+1|)<f(|x−1|)，于是|2x+1|<|x−1|，即(2x+1)2化简得x2+2x<0，解得−2<x<0，即故答案为：D.【分析】求导，利用导数判断函数f(x)的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，因为a2=5，a则Sn=n故数列{1Sn}=1又因为n∈N∗，可得因为对∀n∈N∗都有Tn<k恒成立，所以k≥3故答案为：B.【分析】设等差数列{an}的公差为d，求得d，利用等差数列的求和公式求得1Sn7．【答案】C【解析】【解答】解：令f(x)=xex，g(x)=xe显然x<1，f'(x)>0，即f(x)而x<−1,g'(x)<0，x>−1，g'(x)>0，即所以f(x易知lnx1<且g(x由于lnx1,lnx2与−1如其中有0<x1=故答案为：C.【分析】构造函数f(x)=e8．【答案】A【解析】【解答】解：设f(x1)=g(x2)=t，则f(x1)=ln(x1−1)=t，解得x1=et+1，g(x2)=x2+1=t，解得x2=t-1，

则x1−2x2=et+1-2t+2=et-2t+3，令9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、数列{an}B、因为an+1=2an−3(n∈所以数列{an−3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以aC、设等差数列{an}公差为d，因为a3=3a1，a2=3a1−1，所以a1+2d=3a1，D、设等差数列{an}公差为d，因为a所以a1+2d=2(5a1+10d)所以an=2n−6，Sn=n2−5n，则故答案为：BC.【分析】根据充分条件，必要条件定义即可判断A；将构造等比数列，即可求得数列{an}的通项公式即可判断B；将已知条件转化为关于a1,d的两个方程，组成方程组，解方程组可得a1,d，用前n项和公式可以求得S10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、若f(x)+f'(x)>0故g(x)在R上单调递增，eB、f'(x)−f(x)<0，对∀x∈R恒成立，设h(所以f(−1)C、若m(x)=exf(x)−ex，则mD、f'(x)−f(x)−1<0对∀x∈R恒成立，设n(x)=f(x故答案为：BCD．【分析】由题意，分别构造函数g(x)=exf11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由f(x)=x−3x2−x−2(x≠2且x≠−1)，有f(x)xf(x)=0时，方程①有一个实数根，f(x)≠0时，Δ=[f(x)+1]2−4f(x)[−2f(x)+3]=[9f(x)−1][f(x)−1]，f(x)<19f(x)=19或f(x)=1时，方程①有一个实数根，19A、令f[f(x)]=f(x)−3f2(x)−f(x)−2=f(x)=0时，方程有一个实数根，f(x)=53时，方程有两个实数根，所以B、2f2(x)−5f(x)+2=0即[2f(x)−1][f(x)−2]=0，解得f(x)=而f(x)=12时，方程没有实数根，f(x)=2时，方程有两个实数根，所以C、f[f(x)]=f(x)−3f2(x)−f(x)−2=m<0时，f(x)对应有两个值，f(x)−3[f(x)−2][f(x)+1]<0，f(x)求得f(x)<−1或2<f(x)<3，每一个f(x)的值都对应两个实数根，所以∀m∈(−∞,0)，方程D、f[f(x)]=n>1，f(x)有两个值，不妨让f(x)对应的值一个在(19,1)，一个在(1,+∞)则f(x)=13或32故答案为：ACD.【分析】将f(x)=x−3x212．【答案】2【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则2πr+l=6，0<r<3圆柱的体积V=πrV'=12πr−6π2r2=6πr(2−πr)当r∈(0,2π)时，当r∈(2π,3π所以当r=2π时，体积取得最大值，此时故答案为：2.【分析】根据题意条件圆柱的体积，将体积转化为底面半径的函数，再利用导数求函数的最大值时，对应的底面半径，以及圆柱的高.13．【答案】4【解析】【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，因为a3=S3=3，所以a1+2d=33由Sn≥klnn−2n，得n2当n≥2,n∈N设g(x)=x2lnx，x>1，g'(x)=x(2则g(n)=n2lnn，当n≥2,n∈N即k≤4ln2，所以k的最大值为4ln2故答案为：4ln【分析】根据题意求等差数列的前n项和Sn，再将不等式参变分离，k≤14．【答案】(−∞【解析】【解答】解：不等式aeax−2lnx≤2ln2设函数f(x)=xex,x>0，f'而axeax≤2xln2x，即f(ax)≤f(ln2x)，则ax≤ln2x设g(x)=ln2xx，g当x∈(0,e2)时，当x∈(e2,+∞)时，所以当x=e2时，g(x)取得最大值2e，即a≤2e故答案为：(−∞,【分析】不等式变形为axeax≤ln2xeln15．【答案】（1）解：当m=2时，f(x)=lnx+2x定义域为故f'(1)=1−2=−1，故切线方程为y−2=−(x−1)，即x+y−3=0.​​​（2）解：函数f(x)=lnx+mx，则当m≤1时，f'(x)≥0，f(x)的增区间为[1,当1<m<e时，若1<x<m时，f'(x)<0，若m<x<e时，所以f(x)的单调递减区间为[1,m]，单调递增区间为[m,当m≥e时，f'(x)≤0，所以f(x)的减区间为[1,e]，f(x)min=f(e)=1+me，

综上所述：当m≤1时，f(x)的增区间为[1,e]，f(x)min=f(1)=m；

当1<m<e时，f(x)的单调递减区间为[1,【解析】【分析】（1）将m=2代入，求导，求斜率根据点斜式求解切线方程即可；（2）求导，分m≤1，1<m<e和m≥e讨论函数的单调性求最小值即可.16．【答案】解：易知x2=4y，设M(x抛物线y=x24，y'=1因为B(m,−2)在直线l上，所以整理有：x12所以x1，x2为x2因为KMN=y1−所以y−(m22故直线MN过定点(0,【解析】【分析】易知抛物线的方程，求导求得斜率，根据点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元由韦达定理可得x1+x17．【答案】（1）解：以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则A(0,0,0)，B(0,1AC=(2,2,0)设面ACD的法向量为m=(x1令x1=1，则y1=−1,设面ABD的法向量为n=(x2令x2=1，则y1=0设平面ACD和平面ABD所成角为θ，cosθ=|（2）解：设DP=λDC(0<λ<1)则AP=(2,2λ,2−2λ)，设直线AP与平面ABD令t=1λ(t>1)【解析】【分析】（1）以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求两平面的夹角即可；（2）设DP=λDC(0<λ<1)，直线AP与平面ABD18．【答案】（1）解：设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y)即an+1因为a1=−1，所以a1又因为3Sn=作差得3(Sn所以{bn}是首项为1，公比为−（2）解：Sn=2因为−12≤(−1所以2λ+1≥1λ−12所以λ的取值范围是[0,（3）解：因为an所以Tn所以−作差得，3=−1−=−所以Tn​【解析】【分析】（1）由递推公式求解数列的通项公式即可；（2）根据等比数列的求和公式先求Sn，再根据不等式列出关于λ（3）由（1）的结论，利用错位相减法求和即可.19．【答案】（1）解：当a=2ee时，f(x)=2eeex−lnx−1定义域为(0,+∞)，f'(x)=2