四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（含答案）

四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{an}的前n项和为SA．81 B．162 C．243 D．4862．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1//A．3 B．−3 C．33 3．若曲线C：x2+yA．(−2,0) C．[−2,0] 4．直线y=x+1被圆(x−2A．1 B．3 C．2 D．35．在等比数列{an}中，a2，a6是方程xA．3 B．9 C．−9 D．−36．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A,B,A．193243 B．100243 C．237．设A，B为任意两个事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列选项必成立的是（）A．P(A)>P(A|B) C．P(A)<P(A|B) 8．已知a=ln22，b=ln3A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法中正确的有（）A．(B．函数y=lnx+1C．一质点的运动方程为S(t)=t2−1，则该质点在D．y=log10．已知(1−2x)7A．a2=−84 C．a0+a11．已知等差数列{an}的前n项和SA．k=−1 B．aC．当Sn取得最大值时n=8 D．当Sn12．已知F是抛物线W：y2=2px(p>0)的焦点，点A(1，2)在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线l1，l2分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作A．四边形AMFN面积的最大值为2 B．四边形AMFN周长的最大值为4C．1|BC|+1|DE|为定值1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13．已知椭圆C：x24+y214．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为．15．如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，AA1=3，AB=2，∠ABC=120∘，P为BC的中点，M在AA1上，Q在平面16．双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知圆C的圆心为(−2,1)，半径为3，l是过点（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；（2）若圆C被直线l截得的弦长为25，求直线l18．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OB=BF=1，点G是线段BF的中点（1）证明：EG//平面DAF；（2）若直线DF与圆柱底面所成角为45∘，求点G到平面19．为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23（1）若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；（2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．20．记Sn为数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）证明：121．如图，已知双曲线C:x2a2−y2=1(a＞0)的右焦点（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P(x0,y0)的直线l与直线AF相交于点M，与直线x=32相交于点22．已知函数f(x)=ax−1（1）当a=0时，求f(x)的最大值；（2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：a5=S5-S4=32．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线l1的倾斜角为30°，直线l1//l2，

可知直线l2的倾斜角为30°，所以直线l2的斜率为k=tan30°=3．【答案】B【解析】【解答】解：因为C：x2+y2+2ax−4ay−10a=0，则x+a2+y-2a2=5a2+10a，

若曲线C表示圆，则5a24．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知：圆(x−2)2+(y−3)2=1的圆心为C2,3，半径r=1，

则圆心C2,3在直线y=x+15．【答案】B【解析】【解答】解：因为a2，a6是方程x2−8x+m=0两根，则a2+a6=8a2a6=m∆=64-4m>0，

若a3a6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：5个人去3个地方，共有35若5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1当5人被分为3,1,当5人被分为2,2,所以共有60+90=150.当5人被分为3,1,甲若为1，则C43共计8+12=20种，当5人被分为2,2,甲若为1，则C42A22×A22=6，甲若为2，则所以甲不在A小区的概率为100243故答案为：B.【分析】先求所有的可能性，再利用间接法求每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的可能性，结合古典概型分析求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，因为A⊂B，

所以AB=A，又由P(A∣B)=P(AB故选：D.【分析】根据题意，根据A⊂B得P(A)8．【答案】B【解析】【解答】因为a=ln22考虑构造函数f(x)=lnxx当0<x<e时，f'(x)>0，函数f(x)在当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)在因为ln2≈0.7，所以e所以3<4<e所以ln33>ln4又ln33所以ln3e>ln2故答案为：B.

【分析】由a=ln22=29．【答案】C,D【解析】【解答】解：对于A：(sin对于B：因为函数f(x)定义域为(0,对于C：因为S'(t)=2t，则可知该质点在t=2的瞬时速度为4m对于D：若y=log2故答案为：CD.【分析】对于AD：根据导数的运算分析判断；对于B：根据函数定义域分析判断；对于C：根据导数值分析判断.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：对于A：因为(1−2x)7=-1-2t7，可知a2=C72-15-22=-84，故A错误；

因为(1−2x)7=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a7(x−1)7，

对于B：令x=2，可得a0+a1+11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A：设等差数列{an}则Sn可得d2=ka对于B：因为an对于C：因为Sn所以当n=8时，Sn故答案为：ABC.【分析】对于A：根据等差数列的求和公式可得a1,d,k，即可判断；对于B：根据等差数列通项公式分析判断；对于C：求12．【答案】A,B,D【解析】【解答】依题意，22=2p，解得p=2，即抛物线W：y2=4x，焦点F(1，因为l1⊥l2，AM⊥l当且仅当|MF|=|MA因为(|MF|+当且仅当|MF|=|MA|=设直线l1方程为：x=ty+1，t≠0，B(x1，|BC|=因此1|BC|四边形BDCE面积SBDCE当且仅当t=±1时取等号，所以四边形BDCE面积的最小值为32，D符合题意.故答案为：ABD

【分析】根据给定条件，求出抛物线W的方程，四边形AMFN为矩形，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线l1方程为：x=ty+1，t≠0，与抛物线方程联立，求出弦长|BC13．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可知：a=2e=ca=32，则c=3，

可得b=a214．【答案】0.035【解析】【解答】解：设任取一件产品，该产品为甲、乙、丙生产的产品分别为事件A1、A2、A3，

从中任取一件，则取到的次品为事件B，

可知PA1=0.45,PA2=0.35,PA3=0.2，

PB|15．【答案】4【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD又因为四边形ABCD为菱形，则BD⊥AC，且AA1∩AC=A，AA1,AC⊂以点O为坐标原点，OA、OB、AA1的方向分别为x、y、则A(3,0,0)，C(−3,由题意可知：平面AA1C因为PQ⊥平面AA1C1C则AQ=可知|AQ|=(设点M(3,0,t)由已知可得|cos因为0≤t≤3，解得t=2，即点M(3则AM=(0,0因为AM⊥平面ABCD，AQ、PQ⊂平面ABCD，可知AM⊥PQ，AM⊥AQ，所以tan∠AQM=故答案为：43【分析】建系，根据PQ⊥平面AA1C1C分析可设PQ=λm16．【答案】3【解析】【解答】解：设三角形△F1MF2内切圆Q半径为R，与MF1，MF2，F1F2，y轴切点分别为S，T，N，N，P，

由三角形内切圆性质知MF1+MF2-F1F2=2R，

又∵∠F1MF2=90°故答案为：3+1

【分析】根据三角形内切圆性质知MF1+MF2-17．【答案】（1）解：点P不在圆上．证明如下：∵|PC|=(∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上（2）解：由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离d=3①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时d=|−2−0|=2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵d=|−2k−1+2|k2综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．【解析】【分析】(1)根据题意可得|PC|=5<3，即可判断结果；

(2)由题意可知：圆心C到直线l的距离18．【答案】（1）证明：取AF中点M，连接DM,GM，如图所示：G为BF中点，则GM//AB，又AB//DE，得GM//DE，由GM=12AB，DE=所以四边形DEGM为平行四边形，DM//EG，又DM⊂平面DAF，EG⊄平面DAF，所以EG//平面DAF（2）OB=BF=1，易知∠ABF=60∘，又∠AFB=90由DA⊥平面ABF，且直线DF与圆柱底面所成角为45∘，即∠AFD=45如图，以F为原点，FA,FB分别为x,y轴，过F垂直于底面的直线FN为则有F(0,0,FD=(0设平面DEF的一个法向量为n=(x,y令y=1，有x=3,z=−1EG=(0设点G到平面DEF的距离为d，∴d=|EG【解析】【分析】(1)取AF中点M，连接DM,GM，分析可知DM//EG，结合线面平行的判定定理分析证明；

(2)建系标点，求平面19．【答案】（1）解：X∈{0，10，20，30}P(X=0)P(X=10所以X的分布为X0102030P17217所以E（2）解：记“该同学仅答对1道题”为事件M.P(M)=∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990【解析】【分析】(1)由题意可知：X∈{0，10，20，30}，进而求相应的概率，即可得分布列和期望；

(2)根据题意结合独立重复性实验的概率公式分析求解.20．【答案】（1）因为{Snan}所以Snn≥2时，Sn−1①-②有：an所以a2以上式子相乘，得a经检验，n=1时，a1所以an（2）由（1）知a所以1所以1a1+1因为n∈N*，所以所以2−2即1a【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得Sn=(13n+23)a（2）由（1）得1an=2(21．【答案】（1）解：由题意知，直线OB方程为y=−1ax因为BF//OA，所以直线BF的方程为解得B(c2,−c又因为AB⊥OB，所以kAB⋅k故双曲线C的方程为x（2）解：由（1）知a=3,b=1,c=2即y=因为直线AF的方程为x=2，所以直线l与AF的交点M(直线l与直线x=32的交点为N(则|MF|因为P(x0,|MF|2|NF|【解析】【分析】(1)根据题意可知：直线OB方程为y=−1ax，直线OA的方程为y=1ax，求交点坐标斜率，根据垂直关系列式求解即可；22．【答案】（1）解：当a=0时，f(x)=−f'(x)=−x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗↘∴f(x)的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解：f(x)定义域为（0，+∞）f'(x)=a+根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点当a＜0时，∀x＞0，ax-1＜0，又x2＞0x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗↘∴∀x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点当a＞0时，f(x)=①当0＜a＜1时，