《非齐次线性微分方程与两类欧拉方程的解法研究4400字（论文）》

PAGEPAGE14非齐次线性微分方程与两类欧拉方程的解法研究摘要线性微分方程是常微分方程学中比较重要的一部分，而齐次线性微分方程比较简单，解法也比较固定，因此，对常系数非齐线性微分方程的解法的研究有利于研究其他更复杂的常微分方程。求解一般的常系数非齐次线性微分方程的方法主要有常数变易法、比较系数法和拉普拉斯变换法等。这类微分方程和方法在大学课本上已经给出了详细的介绍和证明，并且有应用和举例。在这个基础上本篇文章给出具有非齐次项的常系数非齐次线性微分方程的解法和应用举例。非线性微分方程在在现代化社会中应用于军事和生物的领域上，具有广泛的发展前景。由于实际问题的多样性和特殊性，研究不同类型的方程是十分重要的。因此还讨论了有固定形式的常系数非线性微分方程的解法。除了常系数方程，在研究生物科学，力学等方面时，常常用到变系数微分方程，变系数线性微分方程的求解相对较难。欧拉方程作为变系数方程中应用最为广泛的类型，也需要对其解法进行进一步的探讨和研究。本文提出了一种新的方法来求解欧拉方程。首先利用换元法将欧拉方程转化为常系数非齐次线性微分方程，再利用该方程齐次方程的特征多项式、特征方程和特征根，求得对应常系数非齐次线性微分方程的特解，得到了方程特解存在的一个充要条件，并进行举例。关键词：常系数非齐次线性微分方程解法欧拉方程特殊解法目录TOC\o"1-4"\h\z\u22043摘要 I19998一绪论 126133二非齐次线性微分方程的一般解法 297422.1引言 220087三非齐次线性微分方程的解法 4236693.1n阶常系数非齐次线性微分方程的解法 472303.2欧拉方程的解法 5106623.3应用 828068四欧拉方程的特殊解法 10100894.1新求法 10201684.2应用 1126833五总结 1332691参考文献 14一绪论现代社会中，方程的运用越来越广泛。在基础的数学中早就学过有关于微分和导数的知识。后来在大学数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如果有自变量、未知函数和函数的导数或是微分构成的关系式就是微分方程。在大学课程的学习中，重点学习了常微分方程即自变量只有一个的微分方程的相关内容。在大学的课程中我们已经学习了一些定理。比如：非齐次方程的通解的求法。非为两步，先求相应的齐次方程的通解，再求非齐次方程的特解，则非齐次微分方程通解就为这两个解相加。求齐次方程的特解时，要分为具体的情况进行讨论。当齐次方程的系数是常数时，此时可以直接求一代数方程的根;当系数是变数时，要区分不同的情况进行讨论[1]。二阶变系数微分方程可以用幂级数解法，但是运算量往往较大；当该方程为欧拉方程时，欧拉方程的解法在本文中就有讨论。形如的方程称为欧拉方程。欧拉方程的应用十分广泛，在诸多文献中都对欧拉方程的解法做出了探索和研究，在已有的参考文献中，有关于二阶变系数线性微分方程何时可以转变为欧拉方程，还有对齐次欧拉方程的通解的研究。值得我去学习和借鉴。在阅读文献的基础上思考了欧拉方程的一种解法。有利于在研究时开拓思路，激发创新意识。二非齐次线性微分方程的一般解法2.1引言对于常系数非齐次线性微分方程,（1）这里的是常数，而为连续函数。方程（1）对应的齐次方程为,（2）其特征方程为,（3）特征函数为.根据已学的知识我们可以特征根法求出该方程的齐次线性微分方程的基本解组，再应用常数变易法，求得方程（1）的一个特解，这样再根据定理1即可写出方程（1）的通解表达式[1]。定理1考虑阶非齐次线性微分方程,（4）,（5）而是方程（4）对应的特征方程的某一解，为方程（5）的基本解组，那么特征方程（4）的通解为.（6）其中为任意常数。再利用初值条件确定同解中的任意常数，这样就可以得到满足初值条件的解。这种方法的确可以实行但是过程较为繁琐，且必须经过积分运算。因此经过研究，当满足某些特殊形状时就可以用特殊的方法进行求解。在常微分方程的课本中给出了几种基本的形式和求解过程，这里作简单介绍。当,其中以及为实常数，通过比较系数法可以得到方程（1）有形如,（7）的特解，其中为特征方程的根的重根。（当特征方程为单根时，;如果不是特征根时，那么这个时候=0），最后，我们用比较系数的方法来确定这样的待定系数。当，这样的形式时，这里的是常数，是带实系数的多项式，两个多项式中次数较高的多项式的次数是，剩余一项的次数小于等于，则方程（1）的特解为.（8）其中，的值为特征方程的根的重数，，为待定的实系数次数不超过的关于的多项式，用比较系数法给发可以确定，的值。除此以外，还有一些简便的解法，比如即拉普拉斯变换法，变量替换法等[1]。下面介绍另外两种形式的常系数非齐次线性微分方程。三非齐次线性微分方程的特殊解法非齐次线性微分方程的解法已经有很多文章做过描述，比如对一类二阶常系数非齐次线性微分方程初值问题的解法就有过描述[2],还有利用齐次化原理求解常系数非齐次线性微分方程的问题[3]等,下面介绍一种利用特征导数和比较系数法得到特解的方法[4]。3.1阶常系数非齐次线性微分方程的解法对于阶常系数非齐次线性微分方程,（1），,由已知的导数相关性质可得[1],.其中均为x的n次可微函数。定理1n阶常系数非齐次线性微分方程（1）存在特解[2]：.（2）其中（=0，1，，n）表示（或）为其特征方程的重根。证明：n阶常系数非齐次线性微分方程可表示为,（3）其中和互为共轭。由微分方程的叠加原理有,（4）和,（5）的解之和就为方程（3）的解。方程（4）的特解为，其中表示i（或者i）为方程（1）的重特征根。方程（5）的特解为,其中表示i（或者i）为方程（1）的k重特征根。则方程（3）的特解为：.（6）3.2欧拉方程的解法3.2.1解法一定理3考虑欧拉方程,（7）其中,则该方程的特解为.（8）证明：令，则，那么就有,，假设，则通过运算归纳可得，将此式子以及代入（20）中可以得到，此时可以采取比较系数法进行求解。则上述方程的特解形式为，即有.（9）其中为方程（20）中对应的齐次方程的特征值，k是的重数。若不是特征值，那么取.定理4当,（10）时，其特解的形式为,（11）其证明和定理类似。其中是对应齐次方程的特征值，为i的重数。若不是特征值，则.3.2.2解法二对于探求形如的高阶欧拉方程的解法，我们可以先探究二阶、三阶的情形，再推广应用到更高阶的情形[5]。对于二阶方程,（12）先做变量代换或者，再根据复合函数的求导法则，可以得到，，微分算子,则,代入（12）中，得到常系数非齐次线性微分方程：,（13）对应的齐次方程为,（14）特征方程为,（15）再结合基础知识点，得到（13）式的特解为,接着要讨论的值。的值和存在着联系。如果特征方程（15）的根不等于时,此时可以得到，如果特征方程的单根为时，，为重根时可以得到；为的形式。和的值的求法就是将代入微分方程（13），再用比较系数的方法就可以得到和。得到通解后再将回代，就可以得到方程（12）的通解。对于三阶方程:,(16)首先令或者,就可以得到,接着进行转化。借助微分算子得到,齐次方程,（17）特征方程.由表达式可以清晰的发现该特征方程一定有一个根，假设该特征方程剩余的两根为和，则通过基础知识可得到齐次方程的通解。和上文相同的方法得出方程（16）的特解，特解形式为整体求法与前文类似。对于阶方程,（18）通过观察[1]中的相关结论，可以得到,则（18）变为特解求法与之前类似，则主要求该方程的通解。该方程对应的齐次方程的特征方程为一元次方程，有个根，其中有，剩余的和由二次方程.（19）确定。3.3应用例1：求方程的通解。解：先求对应的齐次方程,这个方程是是一个欧拉方程，其通解为,再根据定理3得其特解的形式为,带入求得，那么特解为,原方程的通解为.例2求解方程解：先求该方程对应的齐次方程的通解,再由定理4得到该方程特解的形式为,取，再代入原方程得，故,从而原方程的通解为.四欧拉方程的特殊解法对于非齐次项为的欧拉方程，下面提出了新的求法。4.1新求法对于欧拉方程,（1）我们首先通过换元法将其换为阶常系数非齐次线性微分方程：,（2）利用对应的齐次线性方程的特征多项式、特征方程和特征根以及的特征，换一种角度思考，导出方程（2）特解存在的一个充要条件，利用该充要条件就能够快速地求得方程（2）的特解[6]。由方程（2）得到的齐次方程的特征多项式.（3）若的解为，则就是特征多项式（3）的一个特征根。引理1在（3）中对求导并化简，其阶导数为,（4）这里的是组合数，当时，有.证明：对（3)中的求阶导数，得到其中：是组合数故（4）成立，当时，有.引理2方程（2）的特解的阶导数为.（5）这里的为组合数，是一个实系数多项式，并且的次数是小于等于。引理3.（6）这里的为组合数，是一个实系数多项式，并且的次数是小于等于。定理1方程（2）存在特解的充要条件是.（7）证明：把引理1、2、3的结论，代入方程（1），则可证。4.2应用例1求解欧拉方程.解：令，，代入化简得,其特征多项式,特征方程为,它的根为，又不是特征根，故可设特解,,为任意常数则，将这些代入（6）中，得到,即,解得，则原方程的特解为.五总结在查阅过文献以后，本文首先介绍了常微分方程的基础知识，然后对两种具有特殊形式的常系数非齐次线性微分方程的解法进行了探究和总结。对于非齐次项为多项式或周期函数与指数函数的乘积形式的方程已经有了许多种解法和证明，并且方法简洁。在本文中给出了相应的介绍和证明，而对有固定形式的两类常系数非齐次线性微分方程的解法进行探讨，总结出了有规律的解法。欧拉方程的有关知识点已经在大学的教材中有过介绍，除此以外许多学者都对欧拉方程的解法和应用做出了探讨和详细说明[8]。本篇论文主要讨论了两类非齐次项不同的欧拉方程的解法，当非齐次项不同时候可以运用不同的解法快速求解，对不同形式的方程选择不同的求解方式，更深入的思考问题，有利于形成知识体系，培养逻辑思维。论文的最后一部分在参考文献的启发下探究了一种求解欧拉方程的新的解法[9]。先通过换元法将欧拉方程变换为阶常系数非齐次线性微分方程，再根据定理、引理来证明结论，最后给出例题[10]。微分方程在一代又一代人的努力下不断发展，数学的学习就是一个永无止境，不断探求的过程，微分方程的发展推动了社会文明的进程和科技进步。参考文献[1]王高雄,周之铭，朱思铭等.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.[2]刘子建.一类二阶常系数非齐次线性微分方程初值问题的若干种解法[J].黑龙江科技信息,2016(34):54.[3]樊龙,李高.利用齐次化原理求解常系数非齐次线性方程初值问题[J].大学数学,2017,33(02):111-113.[4]周志颖.一类常系数非齐次线性微分方程特解的求法[J].文山学院学报,2016,29(03):36-38.[5]朱长青.二阶常系数非齐次线性微分方程求解教学探讨[J].现代职业教育,2020(32):54-55.[6]王慧,叶永升.二阶变系数线性微分方程的变量变换法[J].廊坊师范