浙江省G5联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

浙江省G5联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．一个三层书架，分别放置语文类读物6本，数学类读物7本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）A．3种 B．21种 C．336种 D．12种2．已知某随机变量X，D(X)A．1 B．2 C．3 D．43．在(xA．240 B．−240 C．160x3 4．已知f(x)=cosA．2 B．0 C．−2 5．已知事件A、B、C，满足P(B|A)=12，P(C|A)=13A．23 B．13 C．566．已知(2x+1)(x−1)⁴=a0+a₁x+a₂xA．−5 B．−7 C．−9 D．−137．若a=1A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．a<c<b8．某学校高二年级开设4门校本选修课程，某班男生201寝室的5名同学选修，每人只选1门，恰有1门课程没有同学选修，则该寝室同学不同的选课方案有（）A．360种 B．600种 C．960种 D．972种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于(2x−A．展开式共有9项 B．展开式中的常数项是240C．展开式的二项式系数之和为256 D．展开式的各项系数之和为110．下列等式正确的是（）A．AB．若C10xC．CD．C11．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，黑球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（）A．经过两次试验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球为概率为3B．若第一次试验抽到一个黑球，则第二次试验后，试验者手中有黑白球各1个的概率为3C．经过7次试验后试验停止的概率为15D．经过7次试验后试验停止的概率最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是.（结果用数字作答）13．从1，3，5，7中任取2个不同的数字，从0，2，4，6，8中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是偶数的概率为．(用最简分数作答)14．已知函数f(x)=ax3+ex+x，对∀x₁四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设f(x)=（1）求函数f(（2）若方程f(x)16．已知关于x的二项式(x+mx（1）若m=1，求展开式中系数最大的项；（2）若展开式中含x217．已知函数f(x)=e（1）讨论f(x)的单调性；（2）已知函数g(x)=(x−1)ln(x−1)−a，若f(x)≥g(x)恒成立，求18．每年的3月14日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024年3月14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛．已知赛题共6道(各不相同)，其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答)或者6道题都答对即停止并记录答对题数．（1）举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的分布列；（2）A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为100%，竞赛题答对的概率为20①求A同学停止答题时答对题数为1的概率；②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值．19．已知函数f（1）当k=1时，求以点(1（2）若函数f(x)有两个零点x①求实数k的取值范围；②证明：kx

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：语文类读物6本，数学类读物7本，英语类读物8本，因为每本图书各不相同，从中取出1本，所以不同的取法共有6+7+8=21种.故答案为：B.【分析】根据分类加法计数原理求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为D(X)故答案为：D.【分析】利用方差公式D(3．【答案】D【解析】【解答】解：(x2−令r=3，则T3+1=(故答案为：D.【分析】根据二项展开式的通项公式可得Tr+1=(4．【答案】B【解析】【解答】解：函数f(x)=cosf'故答案为：B.【分析】先求函数的定义域和导函数，再代值求值即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：因为P(B|A)=12，P(C故答案为：A.【分析】根据已知条件，利用条件概率结合概率的基本性质求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：x-14=x4-4x3+6x2-4x+1，

(2x+1)(x−1)⁴的展开式中a7．【答案】A【解析】【解答】解：a=14ln4=12ln2，令f(x)=lnxx定义域为(0,+∞)所以f(x)在(0,e)上单调递增；在因为2<52<e，所以f(2)<f(52又因为y极大=f(e)=1e，函数f(x)在(0,+∞)上仅有一个极大值，所以故答案为：A.【分析】根据对数的运算性质先化简a=14ln8．【答案】B【解析】【解答】解：从4门课程中取出3门课程，有C4把5名同学分成3组：按2:2:1分组有C5再将3门课程分配给每一组有A3所以该寝室同学不同的选课方案有C4故答案为：B.【分析】从4门课程中取出3门课程，再把5名同学分成3组，并分配课程，列式计算即可.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：因为二项式(2x−1xA、因为n=6，所以展开式共有7项，故A错误；B、(2x−1x2)6展开式的通项为C、(2x−1xD、令x=1，则展开式的各项系数之和为1，故D正确.故答案为：BD.【分析】利用二项式系数的性质求出n，再逐项分析判断即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、A6B、由组合数的性质知Cnm=Cnn−m，若C、C=n又Cn+1m=D、Cn故答案为：ACD.【分析】根据排列数的运算性质即可判断A；根据组合数的性质即可判断B；

根据组合数的运算性质可得Cnm−1+Cn11．【答案】A,B【解析】【解答】解：记事件E=“一次实验硬币正面朝上”，则E=“一次实验硬币反面朝上”，

则P(E)=P(E)=12，从箱子中不放回地抽球，记Ai=“第iA、P(C1)经过两次实验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为：P=3B、第一次抽到黑球后，第二次抽到白球的概率为：P(C、实验7次结束，则前6次有4次硬币正面朝上，第7次硬币正面朝上，则其概率为：C6D、实验n次结束的概率为Pn，则n≥5，P令Pn+1Pn≥1，得Cn42所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误.故答案为：AB.【分析】利用条件概率公式计算即可判断AB；利用独立重复试验的概率公式计算即可判断C；设实验n次结束的概率为Pn，令Pn+1P12．【答案】480【解析】【解答】解：先将4名男生排列有A44种排法，再将女生插入男生排列形成的5个空位中有A5故答案为：480.【分析】先排男生，利用插空法再排女生求解即可.13．【答案】14【解析】【解答】解：选出的4个数中无0，则组成的四位无重复的数字共有C42C42A44=864个，

其中偶数有C所以的四位数为偶数的概率为P=240+432故答案为：1427【分析】针对选出的4个数中有0和无0进行分类讨论，分别求出两种情况下组成四位数的个数及偶数的个数，结合古典概型的概率公式求解即可.14．【答案】[0【解析】【解答】解：设F(x)=f(x)−x，令x1>x2，任意∀x₁,x₂∈R有f(x因为F(x)当a≥0时，F'(x)>0当a<0时，F'(x)>0综上，实数a的取值范围为[0,故答案为：[0,【分析】设F(x)=f(x)−x，令x1>x2由已知化简可得15．【答案】（1）解：函数f(x)由f'(x所以函数f(x)（2）解：由（1）知，当f'(x)>0时，x<−2或x>4函数f(x)在x=−2处取得极大值f(−2显然当−27<a<9时，直线y=a与函数f(所以方程f(x)【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求其导函数，最后令f'（2）由（1）求得函数的极小、极大值，再利用三次函数的图象与性质求出a的取值范围即可.16．【答案】（1）解：由于关于x的二项式(x+mx)n则二项式的展开式的通项公式为：Tr+1当m=1时，Tr+1=C5r故系数最大项为T3=C（2）解：由（1）可得二项式的展开式的通项公式为：Tr+1令5−32r=2因为展开式中含x2项系数为40，所以C52m2所以二项式的展开式的通项公式为：Tr+1当5−32r所以展开式中所有有理项为T1=C50故展开式中所有有理项的系数之和为1+40+80=121.【解析】【分析】（1）由题意可得2n=32，解得（2）利用展开式中含x2项系数为40，解得m=2，利用x17．【答案】（1）解：函数f(x)=ex−ax−1的定义域为R当a≤0时，f'(x当a>0时，令f'(x)<0，得x<所以f(x)在(综上，当a≤0时，f(当a>0时，f(x)在(（2）解：f(令t=x−1，则et+1即a≤et+1−1令h(t)令h'(t)<0，得0<t<1所以h(t)在(0,所以a≤e2−1【解析】【分析】（1）求导得f'(x)=ex（2）将问题转化为a≤et+1−1t−lnt=h18．【答案】（1）解：由题意知：X可能取1,P(X=1)=36=P(X=3)=36×所以X的分布列为：X1234P1331（2）解：①设“A同学停止答题时答对题数为1”为事件D，“A同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件D1“A同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件D2则P(D1)=所以P(D)=P(D②由A同学停止答题时答对题数为2，设事件Ai=“第i次选中竞赛题没答对”；BiCi=“第答题结束时答对2题的概率为P(=3易知Y可能取0,P(Y=0)=P(CP(Y=1)=P(BP(Y=2)=P(BY的分布列为：Y012P75151所以E(Y)=0×75【解析】【分析】（1）由题意，写出X可能取值，再分别求出对应的概率，列出分布列即可；（2）①设出事件，分析可能的情况，并求出概率即可；

②写出Y可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列并计算出数学期望.19．【答案】（1）解：函数f(x)=x−lnx的定义域为0，+∞，求导得f'（2）解：①由f(x1令函数h(x)=ln由h'(x)=0，得x=x