2024-2025学年上海市浦东新区高一上学期期末教学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分36分)选对得3分，否则一律得零分.1.集合的子集的个数为_________.【答案】4【解析】集合有个元素，集合的子集的个数为.2.函数的定义域为_______________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义域为.3.已知陈述句或x>2，则的否定形式为__________.【答案】【解析】由或x>2，则的否定形式为.4.已知函数y=fx的表达式为，则_________.【答案】【解析】因为，且，则.5.已知，用有理数指数幂的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知，，且，则的最大值为_________.【答案】【解析】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．7.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】因为不等式的解集是，在上恒成立，，即．8.若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________．【答案】1【解析】若幂函数（为整数）的定义域为R，则，解得，而是整数，则只能，经检验符合题意.9.已知，，则_________.（结果用a，b表示）【答案】【解析】.10.如果函数在区间2，+∞上是严格增函数，那么实数的取值范围为_________【答案】【解析】由二次函数的性质，可知函数在区间上是严格增函数，所以，即.11.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，由题意可知，对任意的恒成立，当时，，则函数在上为减函数，则；当时，，则；当时，，则函数在上为增函数，.综上所述，函数在上的最小值为，故.因此，实数的取值范围是.12.已知集合，其中.若存在正数，使得对任意，都有，则的值是_________.【答案】【解析】因为，则只需考虑下列三种情况：因为，，则，又因为，则，因为，则且，可得，所以，解得.二、选择题(本大题共有4题，满分12分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确；对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误；对于B选项，由于，但，故B选项错误；对于D选项，由于，但，故D选项错误.故选：C.14.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，若是的充分不必要条件，则，所以.故选：B.15.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于Q，则当P点按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S（h）的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当点P在线段AB上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，当点P在线段AC上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，根据二次函数的图像得：面积增加的速度：先慢后快，当P过A点后面积增加的速度：先快后慢.故选：D.16.已知，则下列结论错误的是（）A.不等式的解集为B.函数的图象关于点对称C.若、为实数，且，则D.若、为实数，且，则【答案】D【解析】任取、且，则，且，，所以，，则函数在上为增函数，对于A选项，由可得，所以，不等式的解集为，A对；对于B选项，，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，若、为实数，且，则，所以，，则，C对；对于D选项，取，，则，D错.故选：D.三、解答题(本大题共有5题，满分52分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知集合，集合，求.解：因为，所以或，即，因为，所以，所以，.18.已知是常数，设是二次方程的两个实根.（1）求的值；（2）当取到最小值时，求的值.解：（1）因为有两个根，所以，，即，解得或，由韦达定理，得，，.（2），设抛物线方程，定义域为或，开口向上，抛物线对称轴，当时，函数严格减函数，即在上是严格减函数，时，函数为严格增函数，即在上是严格增函数，当时，取最小值32即取最小值.19.已知函数y=fx的表达式为.（1）判断函数y=fx（2）用定义证明：函数y=fx在区间上是严格减函数.解：（1）函数的定义域为不关于原点对称，所以y=fx既不是奇函数也不是偶函数（2）任取则，因为所以，所以，即，所以函数y=fx在区间上是严格减函数.20.某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分(单位：分)与当日阅读时间(单位：分钟)的函数关系.要求如下：(i)函数的部分图象接近图示；(ii)每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；(iii)每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；(iiii)每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①；②；③.（1）请你根据函数图象性质，从中选择一个合适函数模型，不需要说明理由；（2）根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式；（3）若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？(结果精确到整数).解：（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，所以选对数型模型，故选.（2）由题意及（1）可知，在上，所以，解得3，，所以，令6，可得，解得，所以函数的解析式为.（3）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟.21.若函数y=fx满足：在定义域内存在，使得成立，则称函数y=fx为“函数”.（1）若，问y=fx是否为“函数”，请说明理由；（2）若，问y=fx是否为“函数”，请说明理由:（3）若，且y=fx是“函数”，则求实数的取值范围.解：（1）若函数为“函数”，则，得，明显不成立，所以不为“函数”.（2）若存在满足条件，即，则，整理可得，设，则函数在上为增函数，因为，，所以，，由零点存在定理可知，存在，使得，故函数为“函数”.（3）由条件得，令，可得，整理可得，所以关于的方程有正根，则，可得，解得或，设方程的两根分别为、，则，且，解得，综上所述，实数的取值范围是.上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分36分)选对得3分，否则一律得零分.1.集合的子集的个数为_________.【答案】4【解析】集合有个元素，集合的子集的个数为.2.函数的定义域为_______________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义域为.3.已知陈述句或x>2，则的否定形式为__________.【答案】【解析】由或x>2，则的否定形式为.4.已知函数y=fx的表达式为，则_________.【答案】【解析】因为，且，则.5.已知，用有理数指数幂的形式表示________.【答案】【解析】.6.已知，，且，则的最大值为_________.【答案】【解析】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．7.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】因为不等式的解集是，在上恒成立，，即．8.若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________．【答案】1【解析】若幂函数（为整数）的定义域为R，则，解得，而是整数，则只能，经检验符合题意.9.已知，，则_________.（结果用a，b表示）【答案】【解析】.10.如果函数在区间2，+∞上是严格增函数，那么实数的取值范围为_________【答案】【解析】由二次函数的性质，可知函数在区间上是严格增函数，所以，即.11.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，由题意可知，对任意的恒成立，当时，，则函数在上为减函数，则；当时，，则；当时，，则函数在上为增函数，.综上所述，函数在上的最小值为，故.因此，实数的取值范围是.12.已知集合，其中.若存在正数，使得对任意，都有，则的值是_________.【答案】【解析】因为，则只需考虑下列三种情况：因为，，则，又因为，则，因为，则且，可得，所以，解得.二、选择题(本大题共有4题，满分12分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确；对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误；对于B选项，由于，但，故B选项错误；对于D选项，由于，但，故D选项错误.故选：C.14.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，若是的充分不必要条件，则，所以.故选：B.15.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于Q，则当P点按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S（h）的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当点P在线段AB上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，当点P在线段AC上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，根据二次函数的图像得：面积增加的速度：先慢后快，当P过A点后面积增加的速度：先快后慢.故选：D.16.已知，则下列结论错误的是（）A.不等式的解集为B.函数的图象关于点对称C.若、为实数，且，则D.若、为实数，且，则【答案】D【解析】任取、且，则，且，，所以，，则函数在上为增函数，对于A选项，由可得，所以，不等式的解集为，A对；对于B选项，，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，若、为实数，且，则，所以，，则，C对；对于D选项，取，，则，D错.故选：D.三、解答题(本大题共有5题，满分52分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知集合，集合，求.解：因为，所以或，即，因为，所以，所以，.18.已知是常数，设是二次方程的两个实根.（1）求的值；（2）当取到最小值时，求的值.解：（1）因为有两个根，所以，，即，解得或，由韦达定理，得，，.（2），设抛物线方程，定义域为或，开口向上，抛物线对称轴，当时，函数严格减函数，即在上是严格减函数，时，函数为严格增函数，即在上是严格增函数，当时，取最小值32即取最小值.19.已知函数y=fx的表达式为.（1）判断函数y=fx（2）用定义证明：函数y=fx在区间上是严格减函数.解：（1）函数的定义域为不关于原点对称，所以y=fx既不是奇函数也不是偶函数（2）任取则，因为所以，所以，即，所以函数y=fx在区间上是严格减函数.20.某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分(单位：分)与当日阅读时间(单位：分钟)的函数关系.要求如下：(i)函数的部分图象接近图示；(ii)每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；(iii)每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；(iiii)每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①；②；③.（1）请你根据函数图象性质，从中选择一个合适函数模型，不需要说明理由；（2）根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式；（3）若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？(结果精确到整数).解：（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，所以选对数型模型，故选.（2）由题意及（1）可知，在上，所以，解得3，，所以，令6，可得，解得，所以函数的解析式为.（3）令，可得，即，解得，所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟.21.若函数y=fx满足：在定义域内