2025届辽宁省省重点中学协作校高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省省重点中学协作校2025届高三上学期1月期末考试数学试题、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意得，所以，即z的共轭复数在复平面内的点位于第一象限，故选：A.2.已知集合和集合，则（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】由得，故，故，，故，故选：C.3.甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则毽子第三次传递给甲的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设甲、乙、丙三人用，由题意可知：经过三次踢毽子的所有情况有：，，，，，，，，其中毽子第三次传递给甲的情况有：，，故所求概率为.故选：A.4.学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，则十名护旗手身高的分位数为（）A.177.5 B.178 C.178.5 D.179【答案】C【解析】将这10个数从小到大排列为174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，则,故第分位数为，故选：C.5.若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，①，则，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以.故选：.6.函数，则函数的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】令得或，解得或.函数的零点即为方程的根.或.当时，由可得或；由可得或（舍去）.当时，由可得；由可得.综上，函数的零点个数为5个.故选：C.7.椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.则斜率为2的椭圆的切线被它的蒙日圆截得的弦长大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得椭圆的蒙日圆为，设斜率为2的椭圆的切线方程为，代入椭圆方程，整理得：，由，解得，则切线方程为，即，因蒙日圆圆心到切线的距离为，则切线被蒙日圆截得的弦长为.故选：D.8.直三棱柱中，，侧棱长为2，该三棱柱的体积为，则三棱柱外接球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三棱柱的体积为，可得,所以，所以，由余弦定理可得：，当且仅当时取等号，设底面的外接圆半径为，由正弦定理得，所以.所以外接球半径为，所以求得表面积为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量满足，则下列说法正确的有（）A.若，则在上的投影数量为B.当时，则C.若的范围为D.当时，的最大值为3【答案】AC【解析】对于A，在上的投影数量为，故A正确；对于B，当时，则，故，因此，由于，则，故B错误；对于C，若，故，故C正确；对于D，若，故，取不到3，故D错误.故选：AC.10.已知焦点为的抛物线.过焦点的直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线交于点.已知当轴时，.则下列结论正确的有（）A.抛物线的方程是B.若直线的倾斜角为，则的面积是C.的最小值为D.若，则直线的倾斜角的余弦值为【答案】ABC【解析】当轴时，可知，所以，，A正确；此时焦点坐标为：，由题意直线斜率不为0，故设直线方程为：，联立抛物线方程，消去可得：，设，不妨设在第一象限，则，所以，，所以，当直线的倾斜角为时，，，由得：，由在第一象限，故在的切线斜率为，所以:，化简可得：，同理可得所以方程：，两方程相减可得：，此时代入第一个方程可得：，由直线：，可得，所以,此时到的距离为：，所以的面积为，B正确；，又，所以，当且仅当取等号，C正确；若，则，结合，可得：，由，得，所以，即，所以直线的斜率，即，当时，为锐角，即，结合，可得；当时，为钝角，即，结合，可得，D错；故选：ABC.11.已知数列满足，则下列说法正确的有（）A.若，则B.C.数列的前40项和为840D.若，则数列的前项和为【答案】ABD【解析】对于A，当为奇数时，，，两式相减得；因为，又，所以，故A正确；对于B，，两式相加得，所以，两式相减得，由等差数列可知，因为，所以，所以，即，故B正确；对于C，当为偶数时，，，两式相加得.所以，故C错误；对于D，因，所以，又因为，所以，所以，由B选项可知，当时，，所以，所以，即是一个以首项为2，公差为8的等差数列，前n项和为，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中，项的系数为______.【答案】【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故项的系数是.故答案为：.13.直线的法向量，点在直线的第一象限内的部分上运动，则的最小值为______.【答案】【解析】因为直线l：的法向量，所以，所以点满足，即，且满足，，当且仅当时等号成立，故答案为：.14.已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为______.【答案】【解析】已知当时，，将其变形为，进一步整理得.令，对求导，.当时，，，可得，所以在上单调递减.因为是定义在上的偶函数，即.那么，所以是奇函数.所以在上也是单调递减.已知，则.当时，，则，∴不等式可化为，即.因为在上单调递减，则.当时，；，得，则，∴不等式可化为，即，则.综上，不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.将两个完全相同的三角板按（图①）的方式进行拼接，将三角板沿折起，使到达点的位置（如图②），使二面角的平面角为，为中点.（1）求证：平面；（2）折起后，点是上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正切值.（1）证明：∵三角板和为两个完全相同的三角板，拼接前有和，折后不变，即和.又，面，面，面.（2）解：由①可知和，二面角的平面角为，即.又，为等边三角形，面，面，面面，面面，在平面中，过作，以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系.令，则，则.因为点是线段上的四等分点且靠近点，所以，所以，设平面的法向量为，则即令，则.设直线与平面所成角为，则.因为且为锐角，所以，又因为，所以.所以，直线与平面所成角的正切值为.16.的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若是的重心，求的面积.解：（1）因为，则，可得，又因为，则，可得由正弦定理可得，即，可得，整理可得，且，所以.（2）方法一：在中，，则.可得，.又因为为的重心，到边的距离为到的距离的倍，所以；方法二：因为，则，且，可得，延长，交于，在中，由余弦定理可得，即，可得，由正弦定理得：，则所以.17.已知函数满足.（1）求与的值；（2）判断函数零点的个数并证明；（3）当时，证明：.（1）解：令，有.求得.令，有.求得.（2）解：有.令所以在上单调递增.故使时，单调递减；时，单调递增.所以又当时，所以，，故恒成立.在上无零点.（3）证明：令时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以故有…………①令时，在上单调递增，故有……②由①，②可得.又时，恒成立所以即.18.为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分.（1）已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；（2）现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为.①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列；②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望.解：（1）同学参赛得分所有取值为0，4，8，12，，，，，所以的分布列为04812.（2）①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12，，，，，所以分布列为04812②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为，则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，在甲选手已通过测试的条件下概率如下：，，，，，，，，，，所以的分布列为04812141822242832由于甲选手通过测试概率为，所以总得分的期望为.19.已知双曲线的中心为坐标原点，与椭圆有共同的焦点，且点在双曲线上.过点作两条相互垂直的直线、，直线交渐近线于两点，直线交渐近线于两点，分别是线段和的中点（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线交轴于点，设.（ⅰ）求；（ⅱ）记，求数列的前项和.解：（1）因为椭圆，所以椭圆的左右两个焦点坐标为所以双曲线的焦点坐标也是，所以双曲线中，设双曲线的方程是：将点代入得：，化简得：，解得：或.又因为，所以（舍）所以双曲线的标准方程是：.（2）（ⅰ）当直线中有一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，直线与轴重合，不符合题意；当直线中有一条直线的斜率为2或-2，另一条直线的斜率为或时，直线与渐近线无交点，不符合题意；所以直线均存在且不和渐近线平行.设的方程为：，双曲线的渐近线方程为：和由，得，所以，所以.同理：.所以.同理：因为三点共线，所以，所以，化简得：；因为，所以；（ⅱ）因为所以.所以所以辽宁省省重点中学协作校2025届高三上学期1月期末考试数学试题、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意得，所以，即z的共轭复数在复平面内的点位于第一象限，故选：A.2.已知集合和集合，则（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】由得，故，故，，故，故选：C.3.甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则毽子第三次传递给甲的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设甲、乙、丙三人用，由题意可知：经过三次踢毽子的所有情况有：，，，，，，，，其中毽子第三次传递给甲的情况有：，，故所求概率为.故选：A.4.学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，则十名护旗手身高的分位数为（）A.177.5 B.178 C.178.5 D.179【答案】C【解析】将这10个数从小到大排列为174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，则,故第分位数为，故选：C.5.若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，①，则，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以.故选：.6.函数，则函数的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】令得或，解得或.函数的零点即为方程的根.或.当时，由可得或；由可得或（舍去）.当时，由可得；由可得.综上，函数的零点个数为5个.故选：C.7.椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.则斜率为2的椭圆的切线被它的蒙日圆截得的弦长大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得椭圆的蒙日圆为，设斜率为2的椭圆的切线方程为，代入椭圆方程，整理得：，由，解得，则切线方程为，即，因蒙日圆圆心到切线的距离为，则切线被蒙日圆截得的弦长为.故选：D.8.直三棱柱中，，侧棱长为2，该三棱柱的体积为，则三棱柱外接球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三棱柱的体积为，可得,所以，所以，由余弦定理可得：，当且仅当时取等号，设底面的外接圆半径为，由正弦定理得，所以.所以外接球半径为，所以求得表面积为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量满足，则下列说法正确的有（）A.若，则在上的投影数量为B.当时，则C.若的范围为D.当时，的最大值为3【答案】AC【解析】对于A，在上的投影数量为，故A正确；对于B，当时，则，故，因此，由于，则，故B错误；对于C，若，故，故C正确；对于D，若，故，取不到3，故D错误.故选：AC.10.已知焦点为的抛物线.过焦点的直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线交于点.已知当轴时，.则下列结论正确的有（）A.抛物线的方程是B.若直线的倾斜角为，则的面积是C.的最小值为D.若，则直线的倾斜角的余弦值为【答案】ABC【解析】当轴时，可知，所以，，A正确；此时焦点坐标为：，由题意直线斜率不为0，故设直线方程为：，联立抛物线方程，消去可得：，设，不妨设在第一象限，则，所以，，所以，当直线的倾斜角为时，，，由得：，由在第一象限，故在的切线斜率为，所以:，化简可得：，同理可得所以方程：，两方程相减可得：，此时代入第一个方程可得：，由直线：，可得，所以,此时到的距离为：，所以的面积为，B正确；，又，所以，当且仅当取等号，C正确；若，则，结合，可得：，由，得，所以，即，所以直线的斜率，即，当时，为锐角，即，结合，可得；当时，为钝角，即，结合，可得，D错；故选：ABC.11.已知数列满足，则下列说法正确的有（）A.若，则B.C.数列的前40项和为840D.若，则数列的前项和为【答案】ABD【解析】对于A，当为奇数时，，，两式相减得；因为，又，所以，故A正确；对于B，，两式相加得，所以，两式相减得，由等差数列可知，因为，所以，所以，即，故B正确；对于C，当为偶数时，，，两式相加得.所以，故C错误；对于D，因，所以，又因为，所以，所以，由B选项可知，当时，，所以，所以，即是一个以首项为2，公差为8的等差数列，前n项和为，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中，项的系数为______.【答案】【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故项的系数是.故答案为：.13.直线的法向量，点在直线的第一象限内的部分上运动，则的最小值为______.【答案】【解析】因为直线l：的法向量，所以，所以点满足，即，且满足，，当且仅当时等号成立，故答案为：.14.已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为______.【答案】【解析】已知当时，，将其变形为，进一步整理得.令，对求导，.当时，，，可得，所以在上单调递减.因为是定义在上的偶函数，即.那么，所以是奇函数.所以在上也是单调递减.已知，则.当时，，则，∴不等式可化为，即.因为在上单调递减，则.当时，；，得，则，∴不等式可化为，即，则.综上，不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.将两个完全相同的三角板按（图①）的方式进行拼接，将三角板沿折起，使到达点的位置（如图②），使二面角的平面角为，为中点.（1）求证：平面；（2）折起后，点是上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正切值.（1）证明：∵三角板和为两个完全相同的三角板，拼接前有和，折后不变，即和.又，面，面，面.（2）解：由①可知和，二面角的平面角为，即.又，为等边三角形，面，面，面面，面面，在平面中，过作，以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系.令，则，则.因为点是线段上的四等分点且靠近点，所以，所以，设平面的法向量为，则即令，则.设直线与平面所成角为，则.因为且为锐角，所以，又因为，所以.所以，直线与平面所成角的正切值为.16.的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若是的重心，求的面积.解：（1）因为，则，可得，又因为，则，可得由正弦定理可得，即，可得，整理可得，且，所以.（2）方法一：在中，，则.可得，.又因为为的重心，到边的距离为到的距离的倍，所以；方法二：因为，则，且，可得，延长，交于，在中，由余弦定理可得，即，可得，由正弦定理得：，则所以.17.已知函数满足.（1）求与的值；（2）判断函数零点的个数并证明；（3）当时，证明：.（1）解：令，有.求得.令，有.求得.（2）解：有.令所以在上单调递增.故使时，单调递减；时，单调递增.所以又当时，所以，，故恒成立.在上无零点.（3）证明：令时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以故有…………①令时，在上单调递增，故有……②由①，②可得.又时，恒成立所以即.18.为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分.（1）已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对