高考备考资料之数学人教A版全国用课件第十三章推理与证明算法复数135

§13.5复数第十三章

推理与证明、算法、复数基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的

，b叫做复数z的

(i为虚数单位).(2)分类：知识梳理

满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔_____a＋bi为虚数⇔______

a＋bi为纯虚数⇔______________

实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔

(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔

(a，b，c，d∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点

及平面向量

＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|Z(a，b)3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(

)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(

)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(

)(4)原点是实轴与虚轴的交点.(

)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(

)基础自测×××√√1234567题组二教材改编答案解析√解析1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，1234567答案解析A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i√1234567解析答案4.[P116A组T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为

A.－1 B.0C.1 D.－1或1√1234567A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件题组三易错自纠解析答案√1234567解析答案6.设i是虚数单位，若z＝cosθ＋isinθ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√解析∵z＝cosθ＋isinθ对应的点的坐标为(cosθ，sinθ)，且点(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴θ为第二象限角，故选B.12345677.i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝___.1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.解析答案1234567题型分类深度剖析1.(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题：题型一复数的概念自主演练解析答案p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；其中的真命题为

A.p1，p3

B.p1，p4

C.p2，p3

D.p2，p4√解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.因为a1b2＋a2b1＝0⇏a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0，2.(2018·长春调研)若复数z满足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为

A.6 B.1C.－1 D.－6解析答案√解析∵iz－3i＝－1＋3i，∴iz＝－1＋6i，∴z＝6＋i，故z的实部为6.解析答案3.(2017·河南六市联考)如果复数

(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b＝______.解析答案4.已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝___.2i解析设z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，则z2＝a2－b2＋2abi＝－4，因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.思维升华题型二复数的运算多维探究命题点1复数的乘法运算典例

(1)(2018·长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于

A.－5 B.5 C.－4＋i D.－4－i解析答案√解析∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)复数i(2－i)等于

A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i√解析答案解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.(3)(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________.解析答案解析方法一

∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，命题点2复数的除法运算解析答案A.1＋2i B.1－2iC.2＋i D.2－i√解析答案A.1 B.－1 C.i D.－i√解析答案－1＋i命题点3复数的综合运算典例

(1)(2017·全国Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于

√方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，解析答案A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i√解析答案√解析答案复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.思维升华√解析答案＝－1－i.故选D.√解析答案解析答案题型三复数的几何意义师生共研典例(1)(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)解析答案√解析∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的

A.内心

B.垂心C.重心

D.外心解析答案√解析由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，z对应的点是△ABC的外心.(3)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：解答(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③B点对应的复数.解答即B点对应的复数为1＋6i.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.思维升华解答解设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，∴实数a的取值范围是(2,6).课时作业1.(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于

基础保分练解析答案√1234567891011121314151617181920解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，解析答案2.(2017·济宁一模)已知i为虚数单位，则z＝

在复平面内对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√1234567891011121314151617181920∴a＝±1.故选A.解析答案√12345678910111213141516171819204.(2017·河北保定定兴三中月考)“复数z＝

(a∈R)在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析答案√12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920∵z在复平面内对应的点在第三象限，5.(2017·河北省三市联考)若复数z＝

＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是

A.－4 B.－3C.1 D.2√解析答案12345678910111213141516171819206.(2018·枣庄模拟)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是

解析答案√12345678910111213141516171819207.(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若

为实数，则a的值为____.解析答案1234567891011121314151617181920－2解析∵a∈R，8.(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝____，ab＝____.5解析(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i.解析答案12345678910111213141516171819202解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.9.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为______.解析答案12345678910111213141516171819203或6解析∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意.10.(2018·唐山质检)若1＋

是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝_____.解析答案∴b＝－2，c＝3.12345678910111213141516171819203－211.若

＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝____.解析答案12345678910111213141516171819203∴a＋b＝3.解析答案1234567891011121314151617181920∴(x－2)2＋y2＝3.13.(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为___.解析答案12345678910111213141516171819202解析因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a,1－b＝0，技能提升练解析答案1234567891011121314151617181920解析答案12345678910111213141516171819201得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴λ＋μ＝1.16.(2018·广州质检)已知复数z＝bi(b∈R)，

是实数，i是虚数单位.(1)求复数z；解答解因为z＝bi(b∈R)，1234567891011121314151617181920所以b＝－2，即z＝－2i.(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.