数学-山西省三晋卓越联盟2024-2025学年2025届高三3月联考质量检测卷试题和答案

2024～2025学年高三3月质量检测卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分合题目要求的。1.已知集合M={x|1<2x+5<7},N={-2,-1,0,1,2},则M∩N=A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}A.-1+iB.-1-iC.1+i3.已知向量a=(x,-1),b=(1,2),c=(3,2),若(á-b)//(b+c),则实数x=4.已知焦点在x轴上的双曲的两条渐近线互相垂直，则m=A.15.已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为,其中m是正常数，若经过时间to,该物质的能量由N₀减少到,则再经过时间3to,该物质的能量为6.已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos²x+1,若方程f(x)=1在(0,m)上恰有6个实数解，则m的取值范围是【高三3月质量检测卷·数学第1页(共4页)】25-L-540C7.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放人编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小AA心心,则E的离心5B.这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kgC.估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为70%【高三3月质量检测卷·数学第2页(共4页)】25-L-540C15.(本小题满分13分)b₁=5,b₁+b₂+b₃=27.16.(本小题满分15分)累计时长男性居民55女性居民738性别关注赛事程度男性居民女性居民居民的人数为X,求X的分布列和数学期望.αx【高三3月质量检测卷·数学第3页(共4页)】25-L-540C18.(本小题满分17分)19.(本小题满分17分)已知抛物线C:y²=4x,按照如下方式依次构造点P,(n=1,2,3,…):过点(1,0)(k为常数)的直线与抛物线C相交于Ak的直线与抛物线C相交于A₂,B₂两点(A₂在x轴的上方),直线A₁B₂和A₂B₁相交于点P₁;过点(3,0)作斜率为k的直线与抛物线C相交于A₃,B₃两点(A₃在x轴的上方),直线A₂B₃和A₃B₂相交于点P₂;…;过点(n,0)作斜率为k的直线与抛物线C相交于An,B。两点(A,在x轴的上方),直线Aa-1B。和A,B,-1相交于点Pn-1;过点(n+点Pa.(3)记线段A₁B₁的中点为Q₁,线段A₂B₂的中点为Q₂,线段A₃B₃的中点为Qs,…,线段【高三3月质量检测卷·数学第4页(共4页)】25-L-参考答案、提示及评分细则1.C因为M={x|1<2x+5<7}={x|-2<x<1},N={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.故选C.2.B因为,在复平面内，复数z₁对应的点与复数z₂对应的点关于实轴对称，所以z₁=-1-i.故选B.3.A由a=(x,-1),b=(1,2),c=(3,2),得a-b=(x-1,-3),b+c=(4,4),又(a-b)//(b+c),所以4(x-1)-4×(-3)=0,解得x=-2.故选A.4.A因为双曲的焦点在x轴上，所以即0<m<2.又双曲线的两条渐近线互相垂直，所,即(m-1)(m+4)=0,解得m=1或m=-4,得,得,上恰有6个实数解，则,解得,即m的取值范围是.故选D.7.C将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有A=24种放法.恰有1个凹槽与其放入的小球编号相同的有2C=8种放法，恰有2个凹槽与其放入的小球编号相同的有C=6种放法，恰有4个凹槽与其放入的小球编号相同的有1种放法，所以至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率.故选C.由MP平分∠F₁MF₂,得,所以,化简得5c²=2a²,所以.故选B.9.AC由表中数据可知，这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差小于等于1400-800=600,大于1300-900=400,故A正确；由表可知，20+15+5<50,所以亩产量的中位数小于1100kg,故B错误；估计该地区种植新品种玉米亩的产量不低于1000kg的占比为1-10%-20%=70%,故C正确；根据表中数据，亩产量在(1000,1100)的有100-10-20-20-15-5=30,估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均数x<【高三3月质量检测卷·数学参考答案第1页(共6页)】25-L-540C10.ABDf(x)=x²-2ax+1,要使f(x)有两个极值点，则△=(-2a)²-4×1×1=4a²-4>0,解得a>1,或-2-√3,所以f(x)在(-0,-2-√3)和(-2+√3,+○)上单调递增，又0≤x²≤2x²,所以f(x²)≤f(2x²),C错误；因为f(a+x)+f(a-x)=2f(a),所以f(x)的图象恒关于点(a,f(a))对称，故D正确.故11.AC如图(1),设H,G,I,K分别为棱B₁C,A₁D₁,AD,BC的中点，则GH=A₁B₁=2√3,IK=AB=4√3,当正四棱台内部存在内切球时，球的大圆O为等腰梯形HGIK的内切圆，根据切线长定理，可知侧棱长A正确；侧棱长A正确；图(1)当正四棱台的外接球半径为√30时，其上、下底面均为球的截面圆对应的内接正方形，截面圆的半径分别为√6,2√6,因为/6<√30,2√6<√30,故截面圆均为外接球的小圆，设O为外接球球心，O,O₂为截面圆的圆心，则O₁O₂为正四棱台的高，如图(2),此时截面圆O,O₂在球心同侧，如图(3),此时截面圆O₁,O₂在球心异侧，因此符合要求的棱台有2个，故B错误；当侧棱长为/7时，正四棱台的高为1,根据条件可作出符合题意的截面C₁QSTZ,如图(4)所示，截面下方的多面体体积V=Vc₁-CF-VQBES-Vz-DFT,根据截面性质，可以得出S,T,Z分别为棱AB,AD,DD₁的中点，且BE=DF=2√3,故,同理可得VQ-BES=Vz-DFT=1,所以V=16,根据棱台的体积公式，可得正四棱台的体积为28,所以截面上方多面体的体积为12,故较小部分的体积为12,C正确；图(4)图(5)√A₁P²-A₁M=√16-4=2√3,故点P的轨迹为以M为圆心，以2√3为半径的圆在正方形ABCD内部部分，如图(5),其中MT=MK=√3,故DT=BK=3√3,又SM=ML=2√3,由勾股定理得ST=KL=√12-3=3,由：,所以,故,故动点P的轨迹长度是,故D错误.故选AC.12.1展开式的通项公式.令6-2r=0,得r=3,【高三3月质量检测卷·数学参考答案第2页(共6页)】25-L-540C事由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA,所以a²+2b²=b²+c²-2bccosA+2b²=3(4-c²),即3b²+2bccosA≥2bc(2√3-cosA),即12≥2bc(2√3-cosA),所以.设△ABC的面积为S,所以,令,可得2√3=tsinA+cosA=√²+1sin(A+φ)≤事解得q=3或q=-4(舍去),…………………3分则公差d=b₂-b₁=4,6分所以b,=b₁+(n-1)d=4n+1,……………7分所以{an}与{bn}的通项公式分别为an=3”,bn=4n+18分(2)设数列{an}的第m项与数列{bn}的第k项相同则4k+1=3"=(4-1)"=C×4m+(-1)'C×4m-1+…+(-1)m-1Cm-¹×4+(-1)"10要使3"=4k+1成立，只需m为偶数，……………………11分因此数列{an}和{bn}中相同的项为azn=32n=9”,即cn=9”,…………12分所以.……………………13分性别关注赛事程度不太关注奥运赛事较为关注奥运赛事男性居民女性居民合计……………………零假设为H₀:性别与关注赛事程度无关联，根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断Ho成立，故不能认为性别与关注赛事程度有关联.…………………7分(2)X的取值可能为0,1,2,3,……………8分【高三3月质量检测卷·数学参考答案第3页(共6页)】25-L-540CX0123P.………15分17.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PD⊥BC,……1分又四边形ABCD为矩形，所以BC⊥CD,又PDNCD=D,PD,CDC平面PCD,又PD=CD,点E是PC的中点，所以DE⊥PC.又PB⊥EF,DENEF=E,DE,EFC平面DE(2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由PD⊥平面ABCD,所以DP=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；,, 所以f(x)在(-~,-1)上单调递减，在(-1,+一)上单调递增；…………3分所以f(x)在(-0,-1)上单调递增，在(-1,+一)上单调递减.…………5分(2)(i)解：函数F(x)=axe-x-Inx的定义域为(0,+～),; 免费蒿中试卷公茶号：西凸学长……6分【高三3月质量检测卷·数学参考答案第4页(共6页)】25-L-540C因为函数F(x)的图象在(1,F(1))的切线方程为y=2(e-1)x-(e-1),所以2ae-2=2(e-1),则a=1,……………………………7分所以.………8分因为x∈(0,+一),所以x+1>0,令F'(x)=0,则xe-1=0.令g(x)=xe-1,则,g(1)=e-1>0,又g'(x)=(x+1)e>0,所以g(x)=xe-1在(0,+一)上单调递增，所以F(x)在(0,xo)上单调递减，在(xo,+一)上单调递增，………………9分故F(x)的最小值为F(xo)=xoe0-xo-Inxo=1-Inxoe0=1-0=1.……………10分令m₁=f(x₁),m₂=f(x2),则所以,…………………11分设,由(1)知，f(x)在(0,+一)上单调递增，又0<x₁<x₂,所以0<f(x₁)<f(x2),则所以,…………13