2025年人教版九年级数学上册圆压轴题动点问题分类训练（含答案解析）

圆压轴题动点问题分类训练(4种类型40道)

目录

【题型1动点定值问题】........................................................................1

【题型2动点最值问题】.......................................................................26

【题型3动点探究数量关系】...................................................................50

【题型4二次函数与圆综合的动点问题】........................................................74

【题型1动点定值问题】

1.如图所示，。。的半径是4,PA,PB分别与。。相切于点/、点、B,若P4与PB之间的夹角

4APB=60°.

⑴若点C是圆周上的一动点，N4CB的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数.

⑵求△注吕。的周长.

【答案】⑴"CB的大小为定值，定值为60。或120。；

(2)1273.

【分析】(1)根据切线性质得出NPAO=NPBO=90。，求出“OB,根据圆周角定理求出即可;

(2)连接。P,求出aAPB是等边三角形，AAPO=30°,求出。P和4P,即可求出答案.

【详解】(1)解：”4分别与。。相切于点/、点8,

.-.APAO=乙PBO=90°,

■,■Z.APB=60°,

.-.Z.AOB=360°-90°-90°-60°=120°,

-1

当C在优弧4B上时，/.ACB=-ZX05=60°,

当C在劣弧4B上时，乙ACB=180°-60°=120°；

(2)解：连接。P,

J

■■PA,PB分别与O。相切于点4点5,乙4PB=60。,

：.PA=PB,/.APO=/.APB=30°,

.•.△APB是等边三角形，

.-.PA-AB-PB,

•：^PAO=90°,N4P0=30°,OA=4,

.-.OP=2A0=8,由勾股定理得：AP=VOP2-OA2=4V3,

•••△4BP的周长是AP+AB+BP=3X443=12V3.

【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定

理.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

2.如图，O。是等边△ABC的外接圆，尸点是。。劣弧4B上的一个动点(不与点4,8重合).

(1)求乙4PB的度数；

⑵若PA=3,PB=4,求PC的长；

⑶若=4V3,点P在劣弧4B上运动的过程中，

①PA+PB的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围.

②试探究P42+PB2+PC2的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其的取值范围.

【答案】⑴120。

(2)7

22

(3)®4V3<PA+PB<8；@PA+PB+PC2的值是定值96.

【分析】(1)首先由等边三角形的性质得到乙4cB=60。，然后根据圆内接四边形的性质求解即可；

(2)延长BP到点尸使PF=P4首先证明出△力FP是等边三角形，求出BF=BP+PF=4+3=7,然后

证明出△FAB三△PAC(AAS),即可得到BF=PC=7；

(3)①首先由(2)可得，PA+PB=PC,然后得到当点尸和点/或点8重合时，P4+P8的最小值为4

V3；当点P,O,C三点共线时，P4+PB有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可；

②延长BP到点/使PF=P4过点4作？IE1PF,由(2)得，是等边三角形，得到PE=、1P,然

2222

后根据勾股定理求出ZE?=AP-PE=AP-(|XP)=|ap2,进一步得至ljap2+BP2+Ap•BP=AB2,然

222

后结合P4+PB=PC,代入得到PTP+PB+PC=2AB,即可求解.

【详解】(1)解：•・•△ABC是等边三角形

：.^.ACB=60°

•.•四边形4PBe内接于。。

.-.Z.APB=180°-乙4cB=120°；

(2)如图所示，延长BP到点尸使PF=PA=3,

!、'、/

.ZAPB=120°

・••乙4PF=60°

'：PF=PA

・•.△Z”是等边三角形

：.PF=AP=3fZF=60°,AF=AP

.'.BF=BP+P尸=4+3=7

'.'AP=AP

：.Z.ABF=Z-ACP

-AC=AC

：.Z.APC=/.ABC=60°

.•.在△E4B和△P4C中

(Z.F=乙APC

{Z.ABF=Z.ACP

IAF=AP

△FAB=△PXC(AAS)

.-.BF=PC=7；

(3)①由(2)可得，PA+P8=PC

・••点P在劣弧4B上运动

・•・当点尸和点/或点8重合时，PC的长度最小，即BC或4c的长度

・・・△4BC是等边三角形

：.BC=AC=AB=4V3

・•.PC的最小值为4H

••.P4+PB的最小值为4后

当点P,O,C三点共线时，PC的长度最大，如图所示，

・•・此时PC是O。的直径

:.乙PBC=90°

■■BC=BC

.•ZBPC=乙BAC=60°

.-.Z.PCB=180°-4PBC-乙BPC=30°

：.PB=|?C

■：PB2+BC2=PC2

.-.QPC)2+(4V3)2=PC2

••.PC=8,负值舍去

••.PC的最大值为8

.•.P4+PB的最大值为8；

■.PA+PB的值的取值范围是4K<PA+PB<8；

②如图所示，延长到点尸使PF=P4过点N作4E_LPF

由(2)得，aAFP是等边三角形

1

.-.^PAE=-zPi4F=30°

：.PE=^AP,

：.AE2=AP2-PE2=AP2-(|XP)2=^AP2

■：AE2+BE2=AB2

帝p2+gap+BP)2=AB2

：.AP2+BP2+AP-BP=AB2

又TPA+PB=PC

：.PA2+PB2+PC2

=PA2+PB2+{PA+PB)2

=PA2+PB2+PA2+PB2+2PA-PB

=2(PX2+PB2+PA-PB)

=2AB2

=2X(4V3)2

=96.

.--PA2+PB2+PC2的值是定值96.

【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质,

勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形.

3.如图1,E点为x轴正半轴上一点，。5交工轴于48两点，P点为劣弧就上一个动点，且4(一1,0)、

E(l,0).

⑴前的度数为

⑵如图2,连结PC,取PC中点G,贝IJOG的最大值为一

(3)如图3,连接4C、AP,CP、CB.若CQ平分NPCD交尸4于Q点，求4Q的长；

⑷如图4,连接P4PD,当P点运动时(不与B、C两点重合)，求证：蟹^为定值，并求出这个定值.

【答案］⑴120

(2)2

⑶4Q=2

⑷黑子=旧为定值，证明见详解

【分析】(1)由已知条件可以得到C。垂直平分4E,所以C4=CE,由于CE=4E,所以可以证得三角形4CE

为等边三角形，得到NCEB=120°；

(2)由于直径4BJ.CD,根据垂径定理，可以得到。是C。的中点，又G是CP的中点，连接PD,贝UOGIIPD,

OG=^PD,要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧而上的一动点，故当P,E,。三点共线，即

PD为直径时，P。最大，此时0G最大；

(3)由于直径ABICO,根据垂径定理，可以得到前=而，所以乙4C0=NCP4又CQ平分NOCP,所以

乙PCQ=ADCQ,可以证明N4CQ=N4QC,所以4C=4Q,由(1)可得，AC=AE=4,所以4Q=4；

(4)由直径481CD,可以得到AB垂直平分CD,所以AC=AD,Z.CAD=2^CAE=120°,将△力CP绕4点

顺时针旋转120。至△4DM,可以证明M,D,P三点共线，所以PC+PD=PM,可以证明△PAM是顶角为

120。的等腰三角形，过2做4G1PM于G,由于4apM=30。，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM=遮

PA,所以

【详解】(1)(1)连接AC,CE,

图1•••4(—1,0)、F(l,0),

OA=OE=1,

OCLAE,

AC—CE,

•・•AE=CE,

•••AC—CE—AE,

・•・Z.CAE=60°,

•♦.乙BEC=2Z.CAB=120°,

林的度数为120。.

故答案为：120.

(2)由题可得，4B为OE直径，且4B1CD,

由垂径定理可得，CO=OD,

连接PD,如图2,

又G为PC的中点，

OGIIPD,且。G=步。，

当D,E,P三点共线时，此时DP取得最大值,

且DP=AB=2AE=4,

・・•0G的最大值为2,

故答案为：2.

(3)连接ZC,BC,

图3・・・直径481CD,

•••AC=AD,

•••Z.ACD=Z.CPA,

•・•CQ平分乙DCP,

Z-DCQ=乙PCQ,

匕ACD+(DCQ=/.CPA+Z-PCQ,

•••Z-ACQ=Z-AQC,

AQ=AC,

v/.CAO=60°,AO=1,

AC=2,

AQ=2.

(4)由题可得，直径ZB，CO,

・・・4B垂直平分CD,

如图4,连接4C,AD,则=

M

由(1)得，ADAC=120°,

将aacp绕/点顺时针旋转120。至△ADM,

■■.AACP=AADM,

•••/.ACP=/.ADM,PC=DM,

1•1四边形4CPD为圆内接四边形，

.­./.ACP+Z.ADP=180°,

•••AADM+AADP=180°,

.•・"、D、P三点共线，

PD+PC=PD+DM=PM,

过工作4G1PM于G,则PM=2PG,

•/.APM=^.ACD=30°,

在RtZkAPG中，Z.APM=30°,

设4G=x,则力P=2x,

PG=7Ap2一4G2=后,

•••PM=2PG=2V3x

PM=WAP,

PC+PD=WAP

PC+PD

=V3为定值.

PA

【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段"联想到

旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值.

4.综合探究

如图，在扇形。MN中，OM=3/MON=90。/是而上异于M,N的动点，过点2作2B10M于点8,作"1ON

于点C,连接BC,点E,D在线段BC上，且BE=ED=DC.

(1)求证：四边形0E4D是平行四边形.

⑵当点人在丽上运动时，在4BHE,BE中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不

存在，请说明理由.

⑶求证：力”+3402是定值.

【答案】(1)见解析；

(2)存在，1；

⑶见解析.

【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理：

(1)道德证明四边形。B4C是矩形，得。F=4吃CF=BF,同理可证DF=EF,得出四边形0E4D是平行四

边形.

(2)根据点A是丽上的点，0M=3,得出BC=0A=0M=3,由BE=EF=FC得出BE=|fiC=1；

(3)过点力作AH1BC于点H.设2B=0C=x,则AC=娟二二正，求出4"=吗超，DH=亨,计算出

3AD2,进一步可得出结论

【详解】(1)证明：如图，连接。4交BC于点凡

•••Z.ACO=乙ABO=Z.BOC=90°,

•••四边形0B4C是矩形，

OF=AF,CF=BF.

•••BE=DC,

•­•CF-CD=BF—BE,

•••DF=EF,

四边形OEAD是平行四边形.

（2）解：存在，线段BE的长度不变.

•.•点/是丽上的点，04=3,

在矩形0B4C中，BC=0A=0M=3.

•••BE=ED=DC,BCCD+DE+EB,

BE=|fiC=1X3=1.

(3)解：如图，过点2作于点H.

设ZB=OC=x,贝!JZC=y/OA2—OC2=V9—%2.

由匏C.AH=/B-CA,得力”=

DH=BC-CD=3-1=4，

33

3AD2=3(AH2+DU)=3[(宁?+=12-x2,

22

•••AB+34"=x2+i2-x=12,

.••482+3402是定值.

5.如图1,瓦点为无轴正半轴上一点，OE交支轴于4B两点，交y轴于C、。两点，P点为劣弧沅上一个动

点，且4(—1,0)、£(1,0).

(1)如图1,连结PC,取PC中点G,连结。G,贝UOG的最大值为；

⑵如图2,连接AC、4P、CP、CB.若CQ平分NPCD交PA于Q点，求4Q的长；

⑶如图3,连接24、PD,当P点运动时(不与B、C两点重合)，求证：^^为定值，并求出这个定值.

【答案】(1)2

(2)4Q=2

⑶见解析，V3

【分析】(1)由于直径力BLCD,根据垂径定理可以得到。是CD的中点，要求。G最大值即求PD最大值，当PD

为直径时，有最大值，即可得到答案；

(2)根据垂径定理得到后=而，证明NACQ=N4QC,由(1)得4c=AE=4,即可得到答案；

(3)将△ACP绕工点顺时针旋转120。至△ADM,得到△4CP三△AOM,证明P。+PC=PD+OM=PM,

过/作2G1PM于G,贝iJPM=2PG,根据勾股定理证明.

【详解】(1)解：由题可知，4B为OE直径，且4B1CD,

由垂径定理可得，CO=OD,

连接PD,

・••G是PC的中点，

OG\\PD,OG=^PD,

当£＞、E、P三点共线时，此时DP取得最大值，

•••OG的最大值为2；

故答案为：2.

(2)解：连接4C,BC,

•・,AB1CD,

•••AC—AD,

・•・Z-ACD=4CPA,

•・•CQ平分乙DCP,

・•・(DCQ=(PCQ,

^ACD+乙DCQ=Z.CPA+乙PCQ,

•••Z-ACQ=Z-AQC,

AQ=AC,

v/.CAO=60。,/。=1,

AC=2,

-AQ=2；

(3)证明：由题可得，直径/BlCD,

・•・48垂直平分CD,

如图4,连接4C,AD,则47=AD,

由(1)得，Z-DAC=120°

将△ACP绕4点顺时针旋转120。至△4DM,

.'.AACP=AADMf

AACP=AADM,PC=DM,

•・•四边形力CP。为圆内接四边形，

・•.Z.ACP+Z.ADP=180°,

/.ADM+乙40P=180°,

・・・M、D、Q三点共线，

・•.PD+PC=PD+DM=PM,

过4作4G1PM于G,贝lJPM=2PG,

•••LAPM=乙ACD=30°,

在Rt2XZPG中，Z.APM=30°,

设/G=%,贝IJ4P=2%,

PG=7Ap2一W=V3x,

PM=2PG=2V3x,

.­.PM=怎IP,

：.PC+PD=^AP,

PC+PD=遮为定值.

PA

【点睛】本题考查坐标与图形，垂径定理，三角形的中位线定理，圆内接四边形，含30度的直角三角形的

性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关性质，添加辅助线

构造特殊三角形，是解题的关键.

6.如图1,点G为等边△力BC的重心，点。为BC边的中点，连接GD并延长至点。，使得。。=DG,连接GB,

GC,OB,OC

图2②

⑴求证：四边形80CG为菱形.

(2)如图2,以。点为圆心，OG为半径作。。

①判断直线力B与。。的位置关系，并予以证明.

②点M为劣弧BC上一动点(与点8、点C不重合)，连接并延长交AC于点E,连接CM并延长交48于点F,

求证：AE+4F为定值.

【答案】⑴见解析;

(2)①直线48是。。的切线；②见解析.

【分析】(1)如图1,延长BG交AC于点H,连接4D,由△4BC是等边三角形，G是重心，点。为BC边的中

点，得力D，BC,DB=DC,进而证明四边形BOCG是平行四边形，于是即可得四边形BOCG为菱形；

(2)①延长BG交2C于点H,连接4D,先证BG为/ABC的角平分线，进而求得“BG=48。=30。，又由

菱形的性质得NCB。=4GBC=30°,从而有乙4B。=/.ABG+4GBC+乙CBO=90°,于是根据切线的判定

即可得出结论；②在优弧BC上取一点N,连接BN、CN,由①得NOBC=30。，进而求得NN=|z

BOC=60°,再由圆内接四边形的性质求得NBMC=180。一NN=120。，从而根据角的和差关系求得n

ACF^Z.CBE,于是证明△BEC三△C凡4Q4S4)得4尸=CE,即可证明结论成立.

【详解】(1)证明：如图1,延长BG交4C于点H,连接AD,

图1

•・•△ABC是等边三角形，G是重心，点。为8c边的中点，

中线4D过点G,即4、G、D三点共线，AC=AABC=60°,AB=AC=BC,

：,ADl.BC,DB=DC,

-DO=DG,

・•・四边形BOCG是平行四边形，

,：AD1.BC,

••・四边形BOCG为菱形；

(2)①解：直线力B是。。的切线，理由如下：延长BG交AC于点H,连接2D,

图2①

・・・△ZBC是等边三角形，G是重心，点。为边的中点，

、

・•・中线40过点G,即/、G。三点共线，Z-BAC=/.ABC=/-ACB=60°,AB=AC=BC,AH=CHf

・・・BG为乙4BC的角平分线，

：.Z.ABG=Z.GB0=30°,

•・•四边形BOCG是菱形，

"CBO=乙GBC=30°,

：.Z.ABO=Z.ABG+Z.GBC+乙CBO=90°,

：.AB10B,

・,・直线ZB是。。的切线；

②证明：在优弧BC上取一点N,连接BN、CN,

A

图2②

由①得30。，

-OB=0C,

"OBC=乙OCB=30°,

.•/BOC=180°-乙OBC-(OCB=120°,

心=|ZB(?C=6O°,

・・•四边形BNCM内接于。0,

."MC=180°一乙N=120°,

"CBE+乙BCM=180°-乙BMC=60°,

-Z.ACB=AACF+乙BCM=60°,

.-.Z.ACF+乙BCM=乙CBE+乙BCM,

：.Z-ACF=乙CBE,

■：BC=AC,ABCE=ZX=60°,

△BEC=△CFX(ASA)

：.AF=CE

■：AE+CE=AC

■.AE+AF=AE+CE=AC,即4E+4F为定值.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱

形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的

判定定理是解题的关键.

7.已知△28C内接于O。.

图1图2图3

⑴如图1,过点B作BD14C于点N,交。。于点D,过点4作4E1BC于点E,交BD于点M,试探究4M与2D

的数量关系，并说明理由；

⑵如图2,在（1）的条件下，过点。作。H1BC于点H,试证明：AM=2OH-.

⑶如图3,作ABAC的角平分线4D交圆。于点D,若点P为劣弧BC上一动点，连接PB、PC,过点。作D”1PC

于点H,试猜想算手的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由.

Cn

【答案】（1）力M=理由见解析

⑵见解析

⑶今产的值是定值，定值为2.

Ln

【分析】（1）利用等角的余角相等求得=即可证明=

（2）过点C作直径CF,连接BF,利用等角的余角相等求得=推出4M=8F,再根据垂径定

理证明。”是△CBF的中位线，据此即可证明4M=2OH-

（3）在CH上截取CN=PB,证明△P8D三△NCD（SAS）,推出DP=ON,由等腰三角形的性质求得

PH=NH,推出PB+PC=2CH,据此即可求解.

【详解】（1）解：AM=AD,理由如下，

-BDVAC,AELBC,

"AND=乙BEM=90°,

-CD=CDf

：,Z-CAD=乙CBD,

：/D=90°-^CAD=90°-乙CBD=乙BME,

.-.AM=AD；

(2)解：过点。作直径Cr，连接BF,

・.£F是直径，

：^CBF=90°,

■:BD1AC,

"BNA=90°,

■,■CB=CB,

：.Z-F=Z-BAC,

：.Z-BCF=Z.ABD,

.•丽=福

；,BF=AD,

由⑴得24M=40,

：.AM=BF,

-OH1BC,

：.BH=CH,

-CO=OF,

・•.OH是ACBF的中位线，

.-.OH==^AM,即ZM=20H；

(3)解：今萨的值是定值，定值为2,

C/7

在CH上截取CN=PB,连接DB,DC,DP,DN,

A

〃D

'：PD=PD,

.•/PBD=乙NCD,

•・弘。是4b4c的平分线，

••.BD=CD,

：.BD=CD,

：.△PBD=△NCD(SAS),

；,DP=DN,

•・・DHJ.PC,

.'.PH=NH,

：.PB+PC=PN+CN+CN=2HN+2CN=2CH,

PB+PCc

CH=2.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理,等腰三角形的判定和性质，全等三角形

的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

8.己知直径ZB、CD互相垂直，点M是市:上一动点，连力M、MC、MD.

ee

BB

图1图2

(1)如图1,求证：MD-MC=V2MX；

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)如图L连接4C、AD.根据图示知四边形力MCD是圆内接四边形，则由托勒密定理可以求得

MC-AD+AM-CD^AC-MD.根据垂径定理、勾股定理易求AC=4。=曰CD,将其代入可以求得结论

MD—MC=^MAA；

(2)如图2,连接BC、BD.则四边形MCBD是圆内接四边形，则由托密勒定理得到

MD-BC+MC-BD=MB-CD根据垂径定理、勾股定理易求BC=BD=当CD

，则MD+MC=鱼”8,结合(1)得到MQ2—MC2=(MD+MC}(JAD-MC)=岳”•=2AM-MB,

进而即可得到结论.

【详解】(1)证明：如图1,连接力C、AD.

•••直径43、CD互相垂直，

■■■AC=AD,ACAD=90°,

AC=AD=*CD.

由托勒密定理得到MC-AD+MA-CD=AC-MD,即MC•*D+MA-CD=*D-MD,

V2

■.MC+—MA=MD

MD-MC=&MA.

(2)证明：如图2,连接BC、BD.

•••直径力B、CD互相垂直，

■.AC=AD,/.CAD=90°,

BC=BD=*D.

由托勒密定理得到MD-BC+MC-BD=MB-CD,即MD+MC=遮MB,

：.MD2-MC2=(MD+MC)(MD-MC)

=五AM-V2MB

=2AM-MB,

(MZ)2—MC2)(“。2一川。2)

-MA-MB-2,即-MA-MB-为定值.

A

图1图2

【点睛】本题考查了圆的综合题.其中涉及到了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质.难度较大.

9.如图，已知是O。中一条固定的弦，点C是优弧力CB上的一个动点(点C不与/、2重合).

图2

交于点N,求证：Z.ACO=乙BCD.

(2)如图2,设4B=8,半径为5,若CE平分NACB,交。。于点E,四边形力CBE的面积是否是定值？若

是定值，求出这个定值，若不是定值，求出四边形ACBE面积的取值范围.

【答案】⑴见解析

(2)8<S四边形AEBCW4。

【分析】(1)作直径CF,连接2F,运用圆周角定理解题即可.

(2)运用勾股定理求出。尸的值并通过S四边形4EBC—^AABE+求出面积与的关系即可.

：./.FAC=90°,

.•ZACO=90°—4F,

♦:CD1AB,

.・ZBDC=90。,

:/BCD=90。-48,

对于露ZF=ZB,

：.Z-ACO=乙BCD；

(2)解：如图2,

图2

"£*平分乙4。8,

：.AE=BE,

・•・当。点在方方运动时，乙ACE=CBCE,连接OE,

^OEIAB,设垂足是尸,

：.AF=FB=4,

•-OF=y/OA^-AF2=3,

：,EF=OE-OF=2,

illi

.」S四边形AEBC=^AABE+S^ABC=QAB・EF+-AB-CD=-x8x2+-x8-CD=8+4£D

・••当CD=C'F=8时,S四边形AEBC最大为40.

...8<S四边形.Be440.

【点睛】本题主要考查圆周角定理的运用，能够运用圆周角定理证明角度关系，垂径定理求线段长度是解

题关键.

10.如图，已知BC是。0的弦，A是。。外一点，ZkABC为正三角形，D为BC的中点，M为。。上一点.

A

（1）若AB是。0的切线，求NBMC；

（2）在（1）的条件下，若E,F分别是AB,AC上的两个动点，且NEDF=120。，的半径为2,试问BE+CF

的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）60°；（2）BE+CF的值是定值,BE+CF=V3.

【分析】（1）连接BO,由AB是切线可以得到NABO的度数，由AABC为等边三角形，得到NOBC的度数，

然后得到NBOC,根据圆心角与圆周角的关系得到NBMC的度数.

（2）作DH1AB于H,DN1AC于N,连结AD,OD,如图2,根据等边三角形三角形的性质得AD平分

ZBAC,ZBAC=60°,则利用角平分线性质得DH=DN,根据四边形内角和得NHDN=120。,由于NEDF=120。，所

11

以NHDE=NNDF,接着证明aDHE三zXDNF得至UHE=NF,于是BE+CF=BH+CN,再计算出BH斐BD,CN=-DC,则

BE+CF=|BC,于是可判断BE+CF的值是定值，为等边aABC边长的一半，再计算BC的长即可.

【详解】（1）解：如图，连接BO,

■.■AB是圆的切线，

.-.ZABO=90°,

••,△ABC是等边三角形,

.-.Z.ABC=60°,

.­.Z.CBO=90°-60°=30°,

vBO=CO,

.-.ZBCO=ZCBO=30°,

.­.Z.BOC=120°,

1

.,.Z.BMC=-Z-BOC=60°

（2）解：BE+CF的值是为定值.

理由：作DH1AB于H,DN1AC于N,连结AD,OD,如图2,

••・△ABC为正三角形，D为BC的中点,

•••AD平分NBAC,ZBAC=60°,

.*.DH=DN,ZHDN=120°,

vZEDF=120°,

••ZHDENNDF,

^△DHE和4DNF中，

（4DHE=乙DNF

.•JDH=DN,

l乙HDE=Z.NDF

.-.△DHE=ADNF,

••・HE=NF,

••.BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN,

在RtaDHB中，vzDBH=60°,

.-.BH=|BD,

同理可得CN=|OC,

.-.BE+CF=|DB+|DC=1BC,

VBD=V3,

••.BC=2V3,

•••BE+CF=V3,

・•.BE+CF的值是定值，为：V3.

【题型2动点最值问题】

F,BG与4D交于点H.

(1)求证：ZGBC=^BAC.

(2)如图2,点。落在BG上.

①求证：△48C为等边三角形;

②如图3,若。。的半径为2,点P是直线BD上的动点，将点P绕点。逆时针旋转120。得点Q,连接

OP,OQ,PQ,BQ.求。P+8Q的最小值.

【答案】①见解析

⑵①见解析；②。P+BQ的最小值是2V7

【分析】(1)根据圆周角定理得出丽=而，乙4EC=90。，再由等腰三角形的性质得出NB4C=24C4D,

继续利用圆周角定理即可证明;

(2)①由(1)=^BAC,根据垂径定理的性质及等腰三角形的性质确定NCBA=NB4C=乙4CB,

再由等边三角形的判定即可证明;

②连接。C,QC,如图，则NBOC=120°,证明△BOPmaCOQ,得出NOCQ=NOBP,求出

乙BCQ=30°+60°=90°,故可判断点。的运动轨迹是过点C且垂直于8c的直线，作点B关于CQ的对称点

N,连接NQ,可得。、N、0三点共线时，OQ+NQ最小，OP+BQ取得最小值，然后解直角三角形求出。N

即可解决问题.

【详解】(1)证明：•.“£»是。。的直径，弦BC1力。于点E,

-.BD=CD,AAEC=90°,

：./-BAD=Z.CAD.Z.CAE+zC=90°,

=2/.CAD,

・•・BG1/C于点产，

・・ZBFC=90°,

.•ZCBF+4c=90。，

：./.CAE=乙CBF,即NC/。=Z.CBG,

：/GBC=^BAC-

(2)①证明：由(1)得NGBC=YB4C,

•・•点。落在BG上，BCLAD,BG1AC,

：/CBG=Z-ABG=乙BAD=Z.CAD,AB=AC,

.\Z-CBA=Z.BAC,Z-ABC=Z-ACB,

：.Z-CBA=Z.BAC=Z-ACB,

・•.△ABC是等边三角形；

②解：连接。&QC,如图，贝!］。8=。。，ABOC=2/-BAC=120°,

"OCB=30°

MPOQ=120°,

：.Z-BOP=乙COQ,

-OB=OC,OP=OQ,

••.△BOPN2XCOQ,

：/OCQ=Z-OBP,

♦：OB=OD/BOD=2乙BAD=60°,

.•.△BOD是等边三角形，

.•zOCQ=Z.OBP=60°,

MOCB=30°,

:ZBCQ=300+60°=90°,

.・•点Q的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线，

如图，作点3关于CQ的对称点M连接NQ,

则BQ=NQ,

：.OP+BQ=OQ+NQ,

.•.当OQ+NQ最小时，OP+BQ最小，

•••两点之间线段最短，

.•・。、N、Q三点共线。Q+NQ最小，即。P+BQ最小，如图所示，

在直角三角形BOE中，OB=2/0BE=30°,

：.OE=^OB=1,BE=W0E=V3,

.-.CN=BC=2BM=2V3,

••.NE=V3+2V3=3V3,

在直角三角形ONE中，ON=河2+EQ2=J12+(3V3)2=25

即。P+BQ的最小值是2V7.

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、

解直角三角形、勾股定理、旋转和轴对称的性质等知识，综合性较强、难度较大，熟练掌握相关图形的判

定和性质、正确添加辅助线、得出RQ+OR的最小值是解题关键.

12.如图，四边形4BCD内接于。。，4c为。。的直径，乙ADB=4CDB.

⑴试判断△力8c的形状，并给出证明；

(2)若AB=V2,AD=1,求CD的长度.

⑶在（2）的条件下，如图2,若E是线段4C上的动点，连接EB,将△BEC绕点B逆时针旋转得到aABF,①

求证：人尸是。。的切线；②连接EF,如图3,求EF的最小值.

【答案】⑴△A8C为等腰直角三角形，证明见解析

⑵6

⑶①证明见解析；②迎

【分析】（1）由4C为。。的直径得乙48。=90。，再根据乙4DB=NCDB得通=就，即得=BC,即可

求证；

（2）利用勾股定理求出4C,进而利用勾股定理可求出CD的长度；

（3）①由等腰直角三角形的性质可得NB4C=N8Ca=45。，由旋转的性质可得N84F=N8CE=45。，即

可得NC4F=NB4C+NB4F=90。，即可求证；②由旋转的性质可得△EBF为等腰直角三角形，即得

EF=V2BE,当BE1AC时，BE最短，此时点E和圆心。重合，即BE的最小值等于圆的半径1,据此即可求

解.

【详解】（1）解：△力BC为等腰直角三角形.

证明：Tac为O。的直径，

.-./LABC=90°,

•：Z-ADB=乙CDB,

：.AB—BC,

.,.AB=BC,

・•.△ZBC为等腰直角三角形；

（2）解：・.・AB=BC=凡A.ABC=90°,

：.AC—y[2AB=V2xV2=2,

・•・AC为。。的直径，

：.Z.ADC=90°,

'-CD=7AC2—AD2=422—12=V3；

（3）①证明：•・•△48C为等腰直角三角形，

.-.^BAC=ABCA=45°,

由旋转可得，NB4F=NBCE=45。，

：./.CAF=4BAC+^BAF=45°+45°=90°,

即4C14F,

“C为o。的直径，

MF是。。的切线；

②由旋转可得，△BAFwABCE,

：.BF=BE,Z.ABF="BE,

■.^ABF+乙ABE=乙CBE+AABE=^ABC=90°,

即NEBF=90°,

・•.△EBF为等腰直角三角形，

.,,EF=s[2BE,

当BE1AC时，BE最短，此时点E和圆心0重合，即BE的最小值等于圆的半径1,

・•.EF的最小值为鱼.

【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，

切线的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键.

13.如图，在矩形4BCD中，AD=4,^BAC=30°,点。为对角线力C上的动点(不与2、C重合)，以点。为

圆心在4C下方作半径为2的半圆0,交2C于点E、F.

D\---------------------------

⑴当半圆。过点力时，求半圆。被4B边所截得的弓形的面积；

⑵若M为丽的中点，在半圆。移动的过程中，求BM的最小值；

⑶当半圆。与矩形4BCD的边相切时，求4E的长.

【答案】⑴半圆。被4B边所截得的弓形的面积为凯―旧

(2)当点M在BF上时，BM有最小值，最小值为2-一2；

⑶2E的长为2或6—竽.

【分析】(1)设半圆。与4B交于H,过点。作0N1AB于N,由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求

AN=NH=2®乙4。"=2/20N=120。，由扇形面积公式和三角形面积公式可求解；

(2)过点B作8Plzc于P,由题意可得点M在平行于"且与"的距离为1的直线上，则当点M在斯上时,

8M有最小值，即可求解；

(3)分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解.

【详解】(1)解：如图1,设半圆。与力B交于H,过点。作0N14B于N,

ABAC=30°,ONLAB,

•••ON=1,AN=>/3ON=V3,N力。N=60°,

•••OA=OH,ONLAB,

•••AN=NH=V3,^AOH=24AoN=120°,

••・半圆。被4B边所截得的弓形的面积=胃岁一Jx2Kxi=3一班;

□oUZ3

(2)解：如图2,过点B作BP1AC于P,

乙BAC=30°,

AB=V3SC=4V3,AC=2BC=8,

vBF1AC,ABAC=30°,

BP=^AB=2V3,

・•・M为丽的中点，

.••OMIAC,OM=2,

•••点M在平行于AC且与4c的距离为2的直线上,

二当点M在BF上时，BM有最小值，即最小值=2遮一2；

(3)解：如图，当半圆。与力B相切于点G,连接。G,

•••^CAB=30°,

•••AO—20G—4,

.・・/E=AO—OE=4—2=2；

当半圆。与BC相切于点M,连接OM,

・・.O'MIBC,

・•・Z-COrM="AB=30°,

・•.O'C=2x^=迫

V33

AE'=8-2-虫=6-%

33

综上所述：4E的长为2或6—竽.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，扇形面积公式，利用分类讨论思想解决

问题是本题的关键.

14.问题背景：在Rt△ABC中，乙4=90。，AB=AC,由勾股定理可知：BC=&AB.

⑴问题探究：如图①，BC是O。的直径，点4在O。上，AB=AC,P为弧BmC上一动点（不与B,C重

合），求证：=PB+PC.请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程.

（2）类比迁移：如图②，。。的半径为4,点4B在。。上，C为。。内一点，AB=AC,ABLAC,垂足为

A,求0C的最小值.

【答案】（1）见解析

（2）472-4

【分析】（1）将绕点N顺时针旋转90。到△4BQ的位置，由旋转的性质可得：Z.QBA=Z.PCA,

AP=AQ,PC=QB,根据圆的内接四边形的性质可证点。，点8,点尸共线，根据勾股定理可证血

PA=PQ=PB+PC；

（2）连接。4将△CMC绕点/顺时针旋转90。至△瓦4B,连接。8,0E,则可得EB=。。，AE=。4=4,

/-EAB=L.OAC,根据勾股定理可求0E=4V2,根据三角形三边关系可得BE>0E-OB=4V2-4（当点B

在0E上时，取等号)，即可求0C的最小值.

【详解】⑴将绕点/顺时针旋转90。到△ABQ的位置，

证明：•••8C是直径，

：.^BAC=90°=ABPC,

■：AB=AC,

：./.ACB=/.ABC=45°,

由旋转可得“B4=NPCA,PA=AQ,PC=QB,

•■■^PCA+APBA=180°,

：./.QBA+乙PBA=180°,

■■Q,B,P三点共线，

：./.QAB+Z.BAP=/.BAP+"AC=90°,

：.QP2=AP2+AQ2=24P2,

：.QP=aAP=QB+BP=PC+PB,

力AP=PC+PB；

(2)

如图②：连接。4将△。4C绕点/顺时针旋转90。至△EAB,连接。B,OE,

,：AB1AC,

：.Z-BAC=90°,

由旋转可得：EB=OC,AE=OA=4,AEAB=AOAC,

：.Z.EAB+乙BAO=2BAO+Z.OAC=90°,

.•.在Rt△CME中，OE=7AE2+4。2=4vL

vBE>OE-OB-4V2-4（当点3在。E上时，取等号），

・••OC最小值是4/一4.

【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理.三角

形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决

问题，属于中考压轴题.

15.【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点4为。。内一定点，点P为。。上一动点，确定点P的位置，使线段4P最长.

【问题解决】以下是小华的方法：

如图①，连结4。并延长交。。于点P,点P为所求.

理由如下：在O。上取点P'（异于点P）,连结API0P'.

接下来只需证明4P>AP.

请你补全小华的证明过程.

【类比结论】点力为。。外一定点，点P为。。上一动点，设。。的半径为r,4。的长为机，则线段4P长度

的最大值为，线段力P长度的最小值为.（用含八爪的代数式表示）

【拓展延伸】如图②，在半圆。中，直径力B的长为10,点D在半圆。上，2。=6,点C在丽上运动，连结

AC,“是4C上一点，且ND”C=90。，连结B凡在点C运动的过程中，线段长度的最小值为.

【答案】【问题解决】见解析；【类比结论】m+r,m—r；【拓展延伸】V73-3

【分析】本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线并能够根据点的运动情况确定H点的运动轨迹是解题的关键.

［问题解决］根据三角形三边关系求解即可；

［类比结论］结合晌题解决怵解即可；

［拓展延伸］取4。的中点连接BD,HM,由题意点H在以“为圆心，MD为半径的OM上，推出当M、

H、B共线时，的值最小.

【详解】解：［问题解决］如图①，连接4。并延长交。。于点P,点P为所求.

p

理由如下：在O。上取点P'（异于点P）,连接4P'、0P'.

在△AOP，中，o4+op，>ap-

•••OP=OP',

OA+OP>AP',

即4P>AP'；

［类比结论］如图，线段4。交。。于点P,4。的延长线交O。于点P,

由［问题解决］知，此时4P长度最大为。4+0P=爪+r,

当点P在P位置时，4P长度最小为。4—OP=zn—r,

线段2P长度的最大值为巾+r,线段4P长度的最小值为m-r,

故答案为：m+r；m-r；

［拓展延伸］解：如图②，取2。的中点M,连接BD,HM,BM.

•••ADHC=90°,

:•乙AHD=90°,

•••点H在以M为圆心，MD为半径的OM上,

•••MH=MD=^AD=3,

・••当M、H、B共线时，BH的值最小,

•••AB是直径，

.­.Z.ADB=90°,

BD=7AB2一力。2=V102-62=8,

•••BM=VFD2+MZJ2=,82+32=V73，

的最