2025年上海高考数学复习热点题型专练：解答压轴题（五大题型）（原卷版）

热点题型•解答题攻略

专题06解答压轴题(五大题型)

♦>----------题型归纳•定方向-----------*>

题型01新定义导数.............................................................................1

题型02导数在三角函数的应用...................................................................3

题型03导数与数列.............................................................................4

题型04数列综合...............................................................................5

题型05导数、数列与常用逻辑用语..............................................................6

*>----------题型探析•明规律----------*>

【解题规律•提分快招】

1、同新法的三触复天稹式:①藏5逊，如ae。豆nZ可以同柘版ae”山力晶叫捶而后造函数而尸.；@

QabQabx

比商型，如一<—可以同构成——<——，进而构造函数段)=——；③和差型，如e"±a>b±lnb,同构后可以

aInbIneflInbInx

构造函数_/(x)=针fcr或/(x)=x±lnx.

2、涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻

找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

3、“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转

换有

(1)VX1，X2ED,兀q)>g(X2)钙/(x)min>g(x)max.

⑵3x2eD2>/(Xi)>g(X2)<^/(X)min>g(X)min.

(3)3.XieZ)i，Vx2eZ)2,Xxi)>g(x2)«/(x)max>g(x)max.

4、数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项

和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

函额61一薪兔叉导数

【典例1-11.(2023•上海黄浦•二模)三个互不相同的函数尸〃x),y=g(x)与尸不%)在区间。上恒有

/(x)>/z(x)>g(x)或恒有f(x)<h(x)<g(x),则称y="(X)为y=或恒)与y=g(x)在区间D上的“分割函

(1)设4(力=4苍，2(彳)=工+1,试分别判断>=4(x),y=力2(x)是否是y=2/+2与了=一一+4x在区间

(-00,+00)上的“分割函数”，请说明理由；

(2)求所有的二次函数〉=ax2+cx+d(av=o)(用。表示c,d),使得该函数是>=2/+2与y=4x在区间

(-8,+00)上的“分割函数”；

(3)若[加,〃]U[-2,2],且存在实数上,6,使得口=苗+6为y=，-4x2与y=4/_16在区间[加，同上的“分割函

数"，求”-加的最大值.

【典例1-2】.(2024-2025・上海高三•专题练习)若函数/(无)在区间/上有定义，且Vxe/,则

称/是的一个“封闭区间”.

⑴己知函数/(无)=x+sinx,区间/=[0/](r＞0)且f(x)的一个“封闭区间”,求厂的取值集合；

⑵己知函数g(x)=ln(x+l)+%3,设集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的个数；

(ii)用表示区间可(。＜6)的长度，设加为集合P中的最大元素.证明：存在唯一长度为加的闭区

间D,使得。是g(x)的一个“封闭区间”.

【变式1-1】.(23-24高三下•上海浦东新•阶段练习)设函数＞=/(x)的定义域为开区间/,若存在不e/,

使得V=〃x)在x=x。处的切线/与＞=的图像只有唯一的公共点，则称y=〃x)为建函数”，切线/为

一条“乙切线”.

(1)判断y=x-l是否是函数y=hu的一条屋切线”，并说明理由；

⑵设g(x)=e2=6x,求证：y=g(x)存在无穷多条“切线”；

⑶设/(x)=x3+ax2+l(0＜x＜c),求证：对任意实数。和正数c,V=/(x)都是“函数”

【变式1-21.(2024・上海嘉定•一模)设A为非空集合，函数的定义域为。.若存在使得对任意

的xe。均有/(力-/伉)©/,则称/国)为函数/(x)的一个A值，毛为相应的A值点.

⑴若/=[-2,0],/(司=5加.证明：x°=2E+；7aeZ是函数“X)的一个A值点，并写出相应的A值；

⑵若/=[0,+s)J(x)=f,g(x)=x2+x+l.分别判断函数/(x)、g(x)是否存在A值？若存在，求出相应的

A值点；若不存在，说明理由；

(3)若4=(-%0],且函数/(x)=liu+"2(aeR)存在A值，求函数的A值，并指出相应的A值点.

【变式1-3].(2024・上海普陀・二模)对于函数了=/(x),xeO]和y=g(x),XED2,设鼻必=，若

X〕，x2&D,且国片工2，皆有|/(再)-〃々)国|g(±)-g(尤2)|"＞。)成立，则称函数户/⑴与〉=g(x)“具

有性质H(ty\

⑴判断函数〃x)=x2,丈e[l,2]与g(x)=2x是否“具有性质〃⑵”，并说明理由；

(2)若函数/(X)=2+X2,工€(0,1]与8(幻」“具有性质收)”，求/的取值范围；

⑶若函数〃尤)=《+2111》-3与＞=8(乃"具有性质*⑴"，且函数y=g(x)在区间(0,+co)上存在两个零点为,

%2'求证演+%>2.

题型02导数在三角函数的应用

【典例2-11.(2024•上海徐汇・一模)已知定义域为。的函数y=/(x),其导函数为丫=/(无)，若点(x。,%)

在导函数y=/，(x)图象上，且满足了'(七)―/'(%)20,则称升为函数y=/(x)的一个“7类数”，函数y=f(x)

的所有“T类数”构成的集合称为“T类集”.

⑴若〃x)=siru,分别判断］和?是否为函数y=/(K)的“T类数”，并说明理由；

⑵设y=((久)的图象在R上连续不断，集合河={x"'(x)=0).记函数y=”久)的"T类集”为集合S,若

SuR,求证：〃工0；

(3)已知〃x)=-'cos(8+°)(。>0),若函数y=f⑶的“T类集”为R时(P的取值构成集合A,求当夕e/时

CD

0的最大值.

【变式2-1】.(2024•上海崇明•一模)定义:若曲线g和曲线g有公共点P,且曲线G在点尸处的切线与

曲线C?在点P处的切线重合，则称G与G在点P处“一线切”.

⑴己知圆(、-°)2+/=/&>0)与曲线了=X2在点(1,1)处“一线切”，求实数。的值;

⑵设/(x)=/+2x+“，g(x)=ln(x+l),若曲线>=/(x)与曲线>=g(x)在点尸处“一线切”，求实数a的值;

(3)定义在R上的函数y=/(x)的图象为连续曲线，函数》=/(幻的导函数为歹=/'(x),对任意的xeR,都

有以〃x)|

W||/(x)|<V2成立.是否存在点尸使得曲线J，=/(x)sinx和曲线昨1在点尸处“一线切”？若存在，请求

出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式2-2】.(22-23高三上•上海长宁•期中)已知V=A«(X)是定义在［p,q］上的函数，如果存在常数M>0,

对区间［p,q］的任意划分：

n

p=x0<xl<x2<...<xn_l<xn=q(ne2V,n>3),£\m(x,.)-m(xw)|<Af恒成立，则称函数y=m(x)为区间

Z=1

［p,q］上的“有界变差函数”;

⑴试判断函数〃x)=sinx-cosx是否为区间上的“有界变差函数”，若是，求出M的最小值；若不是,

说明理由；

⑵若y=g(x)与了=/(x)均为区间［p,g］上的“有界变差函数”，证明：尸(x)=g(x)+/z(x)是区间3q］上的“有

界变差函数”；

71

,,/、XCOS—°C不是［01］上的"有界变差函数”;

(3)证明：函数°(x)=2x

0x=0

题型03导数与数列

【典例3-1】.(2023•上海嘉定一模)已知例x)=W，g(x)2U.

ex

(1)求函数了="X)、y=g(x)的单调区间和极值；

(2)请严格证明曲线y=/(x)、y=g(x)有唯一交点；

(3)对于常数。[0,口，若直线＞和曲线y=/(x)、kg(x)共有三个不同交点区办(乙,。)、(七,。)，其

中X]＜%＜退，求证：小马、x3成等比数列.

【典例3-2】•(24-25高三上•上海浦东新•期末)过曲线y=/(x)上一点尸作其切线，若恰有两条，则称尸

为“X)的“A类点”；过曲线y=/(x)外一点。作其切线，若恰有三条，则称。为〃x)的“3类点”；若点五

为“X)的“A类点”或“B类点”，且过及存在两条相互垂直的切线，则称五为〃x)的“C类点”.

⑴设〃x)=4,判断点尸(LI)是否为〃x)的“A类点”，并说明理由；

⑵设=x3-mx,若点2(2,0)为/(X)的“3类点”，且过点。的三条切线的切点横坐标可构成等差数列,

求实数加的值；

⑶设〃幻=看，证明：了轴上不存在〃x)的“。类点”.

【变式3-1].(23-24高三下•上海闵行•阶段练习)已知函数/(x)=Inx,取点(％,/(%)),过其作曲线/(幻=向

切线交V轴于点(0,%)，取点(电，/'(出))，过其作曲线/(x)=liu作切线交》轴于(。吗)，若%wo,则停止

操作，以此类推，得到数列氏.

(1)若正整数加＞2,证明%,=lna小-1

(2)若正整数a，2,试比较册与册_「2大小；

(3)若正整数左》3,是否存在人使得为,出，…，4依次成等差数列？若存在，求出上的所有取值，若不存在，

试说明理由.

【变式3-2].(23-24高三上•上海静安•阶段练习)已知函数/(x)=x(e'-l)-"2.

(1)若"=；,求/(x)的单调区间；

⑵若xe(O,l]时/(x)V0恒成立，求实数a的取值范围.

(3)定义函数y=4X),对于数列｛%｝、｛4｝,若。“=/(〃),/色,)=",则称｛与｝为函数＞=〃x)的“生成数

列”，也｝为函数P=/(x)的一个“源数列”.

①已知/(x)=e»,也｝为函数y=/(x)的“源数列”，求证：对任意正整数"，均有"4("-1)2；

x

②已知/(x)=2+x,｛an｝为函数y=f(x)的“生成数列”，也｝为函数y=/(x)的“源数列”，｛叫与物,｝的

公共项按从小到大的顺序构成数列｛cj，试问在数列｛c.｝中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.

【变式3-3].(24-25高三上•上海•阶段练习)设a>0,/(x)==".

(1)求函数y=/(K)的单调区间；

(2)求证:/(》"14-〃')；

(3)设函数y=O(x)与y=q(x)的定义域的交集为。，集合4口。.若对任意/e/,都存在国,吃€。，使得

外,毛,为成等比数列，且?(西)4伉),0(%)成等差数列，则称y=°(x)与了=q(x)为〜关联函数”.求证：若

y=/(%)与y=g(x)为"[1,+8)关联函数"，则ae[l,e4).

【变式3-4】.(2024-2025・上海高三•专题练习)已知函数y=〃x),其中〃x)=；苫3-分，keR港点A

在函数N=/(x)的图像上，且经过点A的切线与函数>=/(x)图像的另一个交点为点3,则称点8为点A的

一个“上位点”，现有函数了=/口)图像上的点列M，M2,…，使得对任意正整数"，点%都

是点/角的一个“上位点”.

(1)若左=0,请判断原点。是否存在“上位点”，并说明理由；

⑵若点的坐标为(3匕0),请分别求出点〃2、M3的坐标；

⑶若的坐标为(3,0),记点到直线J=m的距离为力.问是否存在实数〃z和正整数T,使得无穷数列

力、分....办+“…严格减？若存在，求出实数加的所有可能值；若不存在，请说明理由.

【变式3-5】.(2024•上海黄浦•二模)若函数>=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切

线为函数y=/(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数>=的图象的一对“同切点

⑴分别判断函数/(尤)=sinx与力(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

(2)若aeR,求证：函数g(x)=tanx-x+a(xe有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；

(3)设力eN*,/ia)=tanx-x+〃7i(xe(-5,9)的零点为％,求证：“存在se(2兀向，使得点(s,sins)

与&sin。是函数y=sinx的图象的一对，同切点,”的充要条件是“t是数列｛/｝中的项”.

题型04数列综合

【典例4-1】•(22-23高三上•上海浦东新•阶段练习)已知无穷数列｛%｝满足凡其中

〃=1,2,3,…，对于数列｛。,｝中的一项ak,若包含ak的连续J(422)项%,限…,。<左W，+/f满足

aa

为<,+\<1■><%+/_](，W&4，+/—1)或者%>aM>•-->%+/_],则称%,为+1，…,i+j-i为包含外的长度为J的“单

调片段”.

⑴若aa=si嗒，写出所有包含生的长度为3的“单调片段”；

(2)若对任意正整数左，包含，的“单调片段”长度的最大值都等于2,并且%=9,求｛%｝的通项公式；

(3)若对任意大于1的正整数左，都存在包含，的长度为人的“单调片段”，求证：存在正整数N。，使得“2乂

时，都有卜"-。％|="-乂.

【变式4-1】.(2022・上海嘉定•模拟预测)若项数为灯后eN*且左》3)的有穷数列｛%｝满足：

a-展他-。3区,"呷%%,则称数列｛an)具有“性质M”.

(1)判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

(2)设口=1,2,I),若数列｛%｝具有“性质M”，且各项互不相同.求证：“数列｛%｝为

等差数列”的充要条件是“数列｛超｝为常数列”；

(3)已知数列｛%｝具有“性质若存在数列｛《｝,使得数列｛%｝是连续上个正整数1,2,…,左的一个排

列，且Iq-gI+1g-%IhIak-\~ak\=+2,求左的所有可能的值.

【变式4-2】.(2023・上海崇明•一模)已知数列｛叫满足旧-

⑴若数列｛%｝的前4项分别为4,2,%，1，求生的取值范围；

(2)已知数列｛a„｝中各项互不相同.令超=腐-。，用|("=1,2,…，〃-1),求证：数列｛a“｝是等差数列的充要条件

是数列也｝是常数列；

加一1

(3)已知数列｛%｝是加(加EN且加23)个连续正整数1,2,加的一个排歹U.若£院-=加+2,求

k=\

m的所有取值.

题型05导数、数列与常用逻辑用语

【典例5-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)对于一个各项非零的等差数列｛%｝,若能从中选出第匕，右，…，左”

(《<&<..<<)项,能构成一个等比数列也｝,则称也｝为｛。“｝的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷

项，则称其为“完美等比子列”.

⑴若数列%=2",">0,〃eN,直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”.

(2)对于数歹U%=3〃-1,〃>0,〃eN,猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如

果不存在，请说明理由.

(3)证明：各项非零的等差数列｛4｝中存在“等比子列”的充要条件是数列｛4｝满足4=kd(d为公差，

kwQ,kwO).

【变式5-1].(2024•上海青浦・二模)若无穷数列也,｝满足：存在正整数7,使得。“+r=%对一切正整数”

成立，则称｛%｝是周期为T的周期数列.

⑴若a“=sin(吧+?](其中正整数加为常数，«eN,H>l),判断数列&｝是否为周期数列，并说明理由；

vm3)

(2)若4+i=%+sin4("eN,〃Nl),判断数列｛%｝是否为周期数列,并说明理由；

(3)设｛4｝是无穷数列,已知％=%+sin%(〃eN,〃汕.求证：“存在4,使得｛%｝是周期数列”的充要条件

是“｛6J是周期数列”.

【变式5-2】.(2023•上海浦东新•模拟预测)设7=/(x)是定义在R上的奇函数.若y=〃"(x>())是严格

减函数，则称了=/(x)为“。函数”.

⑴分别判断了=-布|和》=5向是否为。函数，并说明理由；

(2)若y二丁二-：是。函数，求正数。的取值范围；

(3)已知奇函数昨尸(x)及其导函数昨F(x)定义域均为R.判断"y=F'(x)在(0,+8)上严格减”是

“7=尸卜)为。函数”的什么条件，并说明理由.

【变式5-3】.(24-25高三上•上海•期中)若定义在R上的函数y=/(x)和y=g(x)分别存在导函数和

g'(x).且对任意实数x,都存在常数坪使/'(x)N好(x)成立，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“「-控

制函数”，称左为控制系数.

(1)求证:函数/(x)=2x是函数g(x)=sin尤的“2-控制函数”；

⑵若函数/«)=---4^-12/-20》是函数8("=二的""控制函数，，，求控制系数上的取值范围；

(3)若p(x)=e'+小一、，函数了=4(x)为偶函数,函数V=p(x)是函数了=4(x)的“1-控制函数”,求证:“加=1”

的充要条件是“存在常数。，使得P(x»q(x)=c恒成立”

o-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、解答题

1.(2023•上海嘉定一模)对于函数y=/(x),把/'(X)称为函数y=/(x)的一阶导，令/'(x)=g(x),则将g'(x)

称为函数y=/(x)的二阶导，以此类推…得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.

⑴己知函数/(x)=e，+"lnx-x2,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.

(2)现定义一个新的数列：在V=/(%)取为=/⑴作为数列的首项，并将"'(1+«)]„,»>1作为数列的第"+1项.

我们称该数列为V=/(x)的“"阶导数列”

①若函数g(x)=x"数列｛%｝是V=g(x)的力阶导数列“，取7”为口｝的前〃项积，求数列

的通项公式.

②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“”阶导数列”为严格减数列且为无穷数列,

请写出它并证明此结论.(写出一个即可)

2.(2024・上海宝山•一模)已知y=/(x),y=g(x)都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数左，当〃?、〃

分别是y=/(x)和〉=g(x)的驻点时，记Ax=|加-"I,若AxV后，则称f(x)和g(x)满足尸㈤性质；当再、x2eR,

且g®)*g®)时，记绅=??一坐,若公”上,则称/(x)和g(x)满足。⑻性质.

g(%)-g(无2)

⑴若〃x)=2x+l,g(x)=x,判断〃x)和g(x)是否满足0(2)性质，并说明理由；

⑵若〃x)=(x-l)2,g(x)=W，且〃X)和g(x)满足P⑴性质，求实数。的取值范围；

e

⑶若V=/(x)的最小正周期为4,且g(T)=/(T),g⑴=〃D.当xe［T3］时，y=/(x)的驻点与其两侧区间

的部分数据如下表所示：

X-1(-1,1)1(1,3)3

/'(x)0+0