2025年上海青浦区高三一模数学试卷（含答案详解）

第一学期高三年级期终学业质量调研数学试卷

（时间120分钟，满分150分）

学生注意：

1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.

2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.

3.可使用符合规定的计算器答题.

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每

题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.在复平面内，复数z=l+gi（其中i是虚数单位）的共轨复数对应的点位于第象

2

限.

2.巳知集合A=[x\x=2k-l,ke-N},B^{-1,0,1,2,3},则4nB=.

3.不等式二22的解集为____.

X+1

4.已知直线4:犬+（1+y+m—2=0与直线4：3+2〉+8=0平行，贝!.

5.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为—.

6.已矢口数歹!J{a〃}满足q+2〃2+3%+-・・+仁=〃（〃+2）,贝ij%=.

7.在VABC中，己知/48=120。,42=2近，若3C=2AC,则VABC的面积为.

8.已知圆柱M的底面半径为3,高为抬，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱Af和

圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为.

9.（尤+y）（尤-y）6的展开式中，苫卜项的系数为.

10.已知函数y=的定义域为{-2,-1,1,2},值域为{-2,2},则满足条件的函数y=〃x）

最多有个.

11.若函数,=1咱（渥-舐+15）在区间（1,2）上严格递增，则实数。取值范围是

2

ABAC

12.已知A,民C是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是—.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16

每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代

表正确选项的小方格涂黑.

13.已知羽yeR且满足x>y,则下列关系式恒成立的是（）.

A-B-to（^2+i）>ln（r+i）

C.sinx>sinyD.x3>j3

14.若点尸（x,y,z）（孙ZWO）关于xOy的对称点为A,关于z轴的对称点为8,则A、8两点

的对称是（）.

A.关于xOz平面对称B.关于x轴对称

C.关于y轴对称D.关于坐标原点对称

15.已知函数y=/（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）=（x-l）（x-3）+0.01,

则关于函数y=/（x）在R上的零点的说法正确的是（）.

A.有4个零点，其中只有一个零点在区间上

B.有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间（1,3）上

C.有5个零点，两个正零点中一个在区间（0,1）上，一个在区间（3,+力）上

D.有5个零点，都不在（0,1）上

16.对于数列｛q｝,设数列｛%｝的前〃项和为臬，给出下列两个命题:①存在函数>=/（无）,

使得；②存在函数y=g（尤），使得n=g（a"）.则①是②的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相

应位置写出必要的

17.已知函数/(x)=(2cos2x-1)sin2x+；cos4x

（I）求/（x）的最小正周期及最大值；

（II）若万），且了（々）=专，求a的值.

18.如图，在三棱锥尸-ABC中，PABABC,AB=6,BC=2y/3,AC=2A/6,D,E

试卷第2页，共4页

分别为线段A3、3C上的点，且AD=2DB,CE=2EB,PD工AC.

⑴求证：DE//平面PAC；

⑵求证：PDJ_平面ABC；

19.第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产

的A.B、C三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该

公司每天产量如下表：(单位:个)

产品A产品B产品c

普通装n180400

精品装300420600

现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个.

(1)求"的值；

(2)用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，

求其中至少有一个精品装产品的概率；

(3)对抽取到的B款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10,方差为2,

精品装产品的平均数为12,方差为1.8,试估计这天生产的B款产品的某种指标的总体方

差(精确到0.01).

22

20.已知椭圆C:—+^=l,F为椭圆C的右焦点，过点F的直线I交椭圆C于A、

43

(1)若直线I垂直于x轴，求椭圆C的弦A8的长度;

⑵设点P(-3,0),当ZPAB=90°时，求点A的坐标;

(3)设点M(3,0),记MA、MB的斜率分别为勺和k2,求勺+&的取值范围.

21.已知函数y=/(%),其中f(x)=ex-1-21nx+x.

⑴求函数y=/(x)的单调区间；

⑵设函数g(x)=/(*)+21nx,问:函数'=8(尤)的图像上是否存在三点A,B,C,使得它们的

横坐标成等差数列，且直线AC的斜率等于y=g(x)在点B处的切线的斜率？若存在,

求出所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由；

(3)证明：函数y=图像上任意一点都不落在函数y=(x-2)3-3(尤-2)图像的下方

试卷第4页，共4页

1.四

【分析】求出复数的共轨复数即可得解.

【详解】因为Z=l+gi，

所以2=1i,

所以复数N对应的点在第四象限.

故答案为：四

2.{-1.1,3}

【分析】利用交集的定义求解.

【详解】因为A={T尤=24一1,左eN}={T,l,3,5,…},

所以Ac3={-l,l,3},

故答案为：{-U，3}.

3.[-5,-1)

【分析】化不等式一边为0,再转化成一元二次不等式求解即得.

x—3x—3Y+5

【详解】不等式土=22化为：2—-40,即=40,

x+1x+lX+1

(x+5)(x+l)<0

则，解得一5Wx<—1,

%+1w0

所以不等式二22的解集为-T).

故答案为：［-5,-1)

4.1

【分析】根据平行关系列出等式求解机的值并检验即可.

【详解】因为4与4平行，所以卜2=%。+向,解得〃?=一2或%=1.

当机=1时，直线4:x+2y-l=0,直线6：x+2y+8=0,两直线平行.

当〃7=—2时，直线4：尤_>_4=0,直线：-2x+2y+8=0,化简4为尤-丫-4=0,

此时两直线重合，不符合要求，舍去.

故答案为：L

5.72

答案第1页，共11页

【分析】求出两渐近线方程，得到。=)，从而得到离心率.

JT3冗

【详解】两条渐近线互相垂直，由对称性可知，两渐近线的倾斜角分别为二,二，

44

渐近线方程为y=±x,故。=匕，

所以渐近线的离心率为£=

a\a

故答案为：也

「133

6.----

66

【分析】由所给等式得6+2电+3/+…+(〃-1)为一]=(〃-1乂〃+1),两式相减可求得%的通

项公式，〃=66代入通项即可得解.

【详解】因为6+2%+3%H-----by=〃(〃+2)①，

当〃22时，q+2a2+3%H-----F(〃—1)4_]=(〃-1)(〃+1)②，

①一②得”=2〃+1,所以=2"+1(〃]2),

n

所以&6=蜷13・3

OO

133

故答案为：——

66

7.273

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出AC,再利用三角形面积公式计算即得.

【详解】在VABC中，^ACB=120",AB=2A/7,BC=2AC,

22

由余弦定理得28=Afi?=AC2+BC-2AC-BCcosl20°=1AC,

解得AC2=4,

所以7ABe的面积为工ACxBCxsin120。=AC?.立=2班.

22

故答案为：2后

8.3

【分析】求出圆柱M的体积，设圆锥N的底面半径为「，求出圆锥的高为6厂，从而得到

圆锥的体积，得到方程，求出答案.

【详解】圆柱〃的体积为兀百=9&兀，

答案第2页，共11页

设圆锥N的底面半径为广，则母线长为2r，故圆锥的高为反产二7

则L/一百厂=«^兀厂3,故RE兀厂3=9也无，解得厂=3,

333

故圆锥N的底面半径为3.

故答案为：3

9.-5

【分析】写出（X-4展开式的通项，利用通项求出/y3项的系数.

【详解】（X展开式的通项为给|=C"6TLyy,P。,1,2,3,4,5,6},

所以含X4J3的项为AC*+yC>4（_y）2=-5尤\3,即苫与3项的系数为f.

故答案为：-5

10.14

【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解.

【详解】由函数定义，转化为给-2,2安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数,

给-2取3个自变量，则2对应1个自变量，有C：种，

给-2取2个自变量，则2对应2个自变量，有C；种，

给-2取1个自变量，则2对应3个自变量，有C：种，

所以由分类加法计数原理知，共有C：+C；+C；=14种不同的对应方式,

故答案为：14

J_2

11.

8,3

【分析】由复合函数的单调性，函数，=加—8x+15（r>0）在区间（1,2）上严格递减,

Q

/'=3以2_840在区间上。,2）恒成立，即在区间（1,2）上恒成立，求出声在区间

（1,2）上的范围结合”0可得答案.

【详解】令，=办3—8了+15«>0）,贝=

函数y=log1（加-8x+15）在区间0,2）上严格递增,

2

由函数y=log?在区间（L2）上严格递减，

答案第3页，共11页

则y加-8x+15在区间（1,2）上严格递减，且f>0,

Q

则由/'=362-8W0在区间2）上恒成立，得aV&在区间2）上恒成立,

因为xe（1,2）时，所以awg.

且由f=23a—8x2+15>0,得a>g,

O

则实数a取值范围是［，|.

故答案为：（：，1•.

12.（-1,2）

AB-AC

【分析】由诲「等价于衣在荏上的投影，故可结合投影性质，得到当前与而反向

共线时，正在布上的投影取最小，当文与而同向共线时，无心在丽上的投影取最大,

再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解.

ABAC

【详解】下年等价于正在幕上的投影，

如图1,在单位圆圆。上任取两点A、B,

则对任意的当历与而反向共线时，衣在而上的投影取最小,

作。/，”于点加，设A3=2x,取A3中点P,^OC=PM=1,

贝l]AP=x,AM=\-x,贝l|

AB-AC

由0<x<l,故-i=^i-=x-l>-1.

如图2,在单位圆圆。上任取两点A、B,

则对任意的A8,当云与通同向共线时，衣在通上的投影取最大,

答案第4页，共11页

作CWLAP于点设A3=2x,取AB中点P,有OC=PM=1,

ABAC,

贝l]AP=x,AM=l+x,则而=l+x,

ABAC(..、

综上所述，e(-l,2).

|AB|

故答案为：(-1,2).

AB-AC

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到干事表示正在通上的投影，从而数形结

合，借助投影性质解题.

13.D

【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、累函数的性质、正弦函数的图象性质求

解.

【详解】对A,取尤=-1,、=-2,则A错误；

x+1y+1

对B,取x=-l,y=-2,则In2<ln5,即ln(*2+1)(皿9，B错误；

对C,取x=",y=?,满足…，但sin¥<sin=,C错误；

6363

对D,因为累函数/(元)=无3在定义域R上单调递增，且x>y,所以V>y3,D正确；

故选：D.

14.D

【分析】运用空间向量坐标表示以及对称中的坐标特点可解.

【详解】点尸(乎工0)关于xOy的对称点为A,则A坐标(x,y,-z)；

答案第5页，共11页

点尸(x,y,z)(xyz丰0)关于z轴的对称点为B,则B坐标(-x,-y,z)；

则根据坐标特点知道A、2两点关于原点对称.

故选：D.

15.D

【分析】根据题意，由函数零点的定义可判断x>0时，函数/(X)有两个零点，然后结合函

数奇偶性的性质，即可得到尤<0,尤=0时的零点，从而得到结果.

【详解】由于函数y=是定义在R上的奇函数，故/(0)=0,即0是函数的一个零点；

当x>0时，f(x)=(x—l)(x—3)+0.01=X1—4x+3.01,

此时函数在(0,2)上单调递减，在(2,y)上单调递增，且

f(0)=3.01>0,/(1)=0.01>0,/(2)=-0.99<0,

即此时函数在(L2)和(2,—)内各有一个零点，在(0,1)上无零点，

又函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，

故函数在(-2,-1)和(-%-2)也内各有一个零点，

综合上述可知函数有5个零点，都不在(0,1)上

故选：D

16.B

【分析】取特例可知①推不出②，根据反函数可知满足②能推出①，结合充分条件、必要条

件的概念得解.

【详解】取5,=%=。，存在y=/(x)=0,使得j=/(%)成立，

此时由函数定义知，不存在函数y=g(x),使得〃=g(a“)，

当存在函数y=g(x),使得〃=g(%)成立时，

由于“与。”为—对应关系，所以。“就可以写成y=g(x)的反函数，

即％可以用〃表示，即存在函数%=gT("),

所以存在S“=/i(")=〃q,)=/{gT(〃)},

答案第6页，共11页

综上可知，①是②的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】关键点点睛：对于新概念问题需要去理解，本题理解了之后，可以根据函数的概念

去判断

①②之间的推出关系得解.

【详解】第（I）题，化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期和最值.第（II）题,

是给值求角问题，要先限定范围.

2\1

（I）,因为"》）=（2cosx-1sin2x+—cos4x

72

=cos2xsin2x+—cos4x

2

=g(sin4犬+cos4x)

V2.71

=^-sin(4x+—)

所以〃尤)的最小正周期为最大值为

因为所以4a+卜(学,学).

2444

因为/(£)=*,所以/(a)=*sin(4a+J=*,即sin(4e+?)=L

所以4a+?=/，故々=篝.

【考点定位】本题考查了二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的性质.考查了三角函

数式的化简、求值，故考查了运算求解能力.

18.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用三角形等比例性质，根据线面平行的判定推理即得.

（2）连接DC,根据给定条件，根据勾股定理及余弦定理求得CD，A3,根据面面垂直性

质定理CD_L平面上4B,从而利用线面垂直的性质定理得CD_LP£>,最后利用线面垂直的判

定定理证明即可.

【详解】（1）因为。、E分别为线段AB、BC上的点，且AD=2DB,CE=2EB,

所以DE//AC,又ACu平面PAC,DE.平面PAC,所以DE//平面PAC.

答案第7页，共11页

(2)因为A8=6.BC=2石,AC=2«,所以AB?=6?=+AC?=36,

所以ZACB=90。，cos/ABC=2^=走，连接。C,又BD=2,

63

所以C£>2=22+(2石)2—2x2x2gxcos/ABC=8,所以8=20,又AT>=4,

所以CZ^+AD?=AC2,所以CD_LAB,

因为平面PAS_L平面ABC,交线为43,CDu平面ABC,

所以CD_L平面BIB,尸£>u平面上钻，所以CD_LPD,

因为PD_LAC,ACC|CD=C,AC,CDu平面ABC,

所以PD_L平面ABC.

19.(1)100；

⑵2；

io

(3)2.70.

【分析】(1)由分层随机抽样的抽样比直接计算即可；

(2)由古典概型结合组合数公式即可求解；

(3)根据分层抽样总体的方差公式求解即可.

【详解】(1)由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为

«+300+180+420+400+600=M+1900.

现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中8款产品有30个,

180+42030

则--------=—,解得“=100.

77+1900100

(2)设所抽取的样本中有P个精品装产品，则5=黑，解得。=3,

所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品.

cf-q9

因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为

C；10

答案第8页，共11页

180x10+420x12-4

（3）由题意，某项指标总体的平均数为--------------------------=11.4,

600

所以由分层抽样的总体方差公式可得$2=器［2+（11.4-10）2］+募［1.8+（114-12月

1809942054675

=——x——+——x——=——=2.70

6002560025250

20.(1)3

⑵A（0,-君）或A（0,百）

V15姮

(3)

【分析】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解；

（2）利用点尸和点尸的中点为可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求

得点A坐标；

（3）第三问需分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率不存在时，设斜率

为左，设点A2坐标，写出直线方程，最终将匕+向转化为与斜率％的关系，可通过直线方

程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题。

【详解】（1）由题意可知，ci?—/=在一3?=1，

...尸（1,0），又：当直线I垂直于x轴时，直线/的方程为x=l,

x-l

3

由仃J，得，y=±—,

—+—=12

143

3

.•.弦A3的长为2x5=3.

（2）NPAB=90°,且直线/过点尸，

：.^PAF=90°,在咫△2LF中，尸（-3,0）,P（l,0）,

•1•斜边PF的中点（-1,0），恰为椭圆的左焦点F',

A尸尸=2,又由椭圆的定义可得AF=2a-AF=4—2=2,

点A在线段正尸的垂直平分线上，又A在椭圆上，

A为椭圆的上顶点或下顶点，

...4（0,-百）或A（0,百）.

答案第9页，共11页

33

(3)当直线A8的斜率不存在时，不妨设A1,,B\1,

22

0--0+-

3,

••左=22

3-13-14

故尤+女2=。；

当直线A8的斜率存在时，设斜率为屋则直线AB：y=fc(x-l),设4(修,月),^(冷,'2)，

y=k^x-\)

由”11得，(3+42)为2-8左2尤+(4左2一12)=0,

143

8/4左2-12

・・%]+/=—;,XX9=——Z------

124V+3124左2+3

左(石一1)k[x-1)左(2七/一4(再+%2)+6)

%%2

••k]+k-2~।

再一3%-3%一33再入2-3(玉+%)+9

8左224—32^+24%2+18)

4左2+36k

化筒得女1+左2

4k2-12~~24p~~~~16左2+15

----------------1-9

4k2+34公+3

0＞匕+左2=

①当斤＞0,

立；

0＜勺+左2=

②当人＜0,

等式成立;

③当左=0,“1+