2025年人教版七年级数学下册全册教案

第七章相交线与平行线

7.1相交线

7.1.1两条直线相交

※教学目标※

1.理解对顶角和邻补角的概念并能在图形中辨认.（重点）

2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程.（重点）

3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力难点）

※教学过程※

一、新课导入

［情境导入］观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.

二、新知探究

（一）邻补角与对顶角的概念

［课件展示］

［提出问题］你发现了什么？？

直线与直线相交于一点，并形成了四个角.

［课件展示］

把四个角两两组合，按照两个角的位置关系将角分类.

Z1和Z2,Z1和Z4；

Z2和Z3,Z3和Z4.

有一条公共边，

另一条边互为反向延长线.

Z1和Z3；Z2和Z4.

顶点相同，角的两边互为反向延长线.

［归纳总结］

邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线,那么这两个角互为邻补角.图中N1的邻补角

有22,Z3.

c

2

AB

、o

对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角互为

对顶角.图中的对顶角是工2.

［典型例题］例1下列各图中，Z1与42是对顶角的是（D）

［归纳总结］对顶角是由两条相交直线构成的，交点就是公共顶点，两边互为反向延长线.

［典型例题］例2下列各图中，Z1与/2是邻补角的是—②—.

（二）邻补角与对顶角的性质

［课件展示］

思考：剪刀剪东西的过程中，你能说说/AOC与/AOD,ZAOC与/BOD这两对角的大小保持怎样的关系吗？

ZAOC和NAOD相加始终是一个180°的平角./A0C和NB0D的大小始终相等.

［课件展示］

思考：大胆猜想并验证相交线中角的大小关系，可以运用量角器测量或几何推导的方法进行证明.

猜想：对顶角相等.

方法一：量角器测量各个角的度数:

学生分组进行测量，说说看每组测得的角度，并说说各个角之间有什么关系，尝试自己得出结论.

方法二：几何推导证明：

已知：如图，直线AB与CD相交于点。.试说明/I=N3,Z2=Z4.

解：因为直线AB与CD相交于点0,所以/I+Z2=180°,Z3+Z2=180°.

所以/I=Z3.同理可得/2=Z4.

小结：对顶角相等.

［典型例题］例3如图所示，直线a,b相交，Z1=40°,求/2,Z3,Z4的度数.

分析：已知角的度数，通过邻补角的定义和对顶角的性质来求未知角的度数.

解：由邻补角的定义，得N2=180°-Zl=180°-40°=140°.由对顶角相等，得

Z3=Z1=40°,Z4=Z2=140°.

［归纳总结］请同学们自己尝试完成表格中的内容！

归类位置关系名称数量关系

N1和N2、1有.公共顶点

1N2和N3、2有.一条公共边邻补

rB互补

N3和N4、3另.一边互为反向角

N4和N1延长线

AD1有.公共顶点

N1和N3、2没.有公共边对顶

3两.边互为反向延相等

N2和N4角

长线

［针对练习］1.如图，若+Z3=60°,则Nl,Z2,Z3,Z4的度数分别为30°,150°,30°,150°.

2.如图，若/2是/I的3倍，则N1,Z2,Z3,Z4的度数分别为45°,135°,45°,135°.

3.如图，若1：2=2：7,则/I,Z2,Z3,Z4的度数分别为40°，140°,40°,140°.

三、课堂小结

四、课堂训练

1.下列说法正确的是（A）

A.互补的两个角是邻补角

B,相等的角是对顶角

C.有公共边的两个角互为邻补角

D.两边互为反向延长线的角是对顶角

2.如图，直线AB,CD,EF两两相交，若41+45=180。，找出图中与乙1相等的角.

解：二乙3（对顶角相等）,因为45+乙8=180°,且乙1+乙5=180°,所以48二41.

因为乙8=46（对顶角相等），所以乙6=乙1.综上可知，与乙1相等的角有43,乙6,乙8.

3.如图，直线AB,CD,EF,MN相交，若乙2=45,找出图中与乙2互补的角.

解：因为N1和/3都是22的邻补角，所以/1+Z2=180°,Z2+Z3=180°.

因为/6和/8都是/5的邻补角，所以/5+/6=180°,Z5+Z8=180°.

因为/2=/5,所以N2+Z6=180°,Z2+Z8=180°.

综上可知，与/2互补的角有Nl,Z3,Z6,Z8.

4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE是一条射线，Z1:Z3=2:7,Z2=70°.

（1）求Z1的度数；（2）试说明OE平分ZCOB.

解：(1)因为/1:/3=2:7,Zl+Z3=180°,所以/1=180°=40°.

(2)因为N1+N2+/COE=180°,Z2=70°,所以/COE=180°-Zl-Z2=70°.

所以/2=NCOE.所以OE平分NCOB.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

在上册的学习中，学生已经接触了通过说理的方式得出两角相等.本节课学生通过度量等方法，能够猜想出“对

顶角相等”的性质，并通过推理得到一般结论.因此本节课需要重视从动手操作到推理的教学过程，这是学生对知

识从感性认识到理性认识的发展，了解从特殊到一般的归纳方法.另外，如何把图形语言翻译成符号语言，也是对学

生提出的新的挑战，为今后证明的学习与几何证明打下基础.

第七章相交线与平行线

7.1相交线

7.1.2两条直线垂直

※教学目标※

1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.(重点)

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.(重点)

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，发展推理能力和数学表达能力.(难点)

※教学过程※

一、新课导入

［情境导入］观察下列图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？

日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？

二、新知探究

(-)垂直、垂线、垂足的概念

［课件展示］

在相交线的模型中，固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时，a,b所成的角a也会发生变化.

［提出问题］(1)当/a分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？

(2)当/a为90。的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？

a与b垂直，记作a_Lb.

［提出问题］如图，直线AB,CD相交于点0,当/A0C=90°时，ZBOD,ZAOD,NB0C的度数是多少？为什么

C

AOB

D

由对顶角和邻补角的性质可知，当/A0C=90°时，ZBOD=ZA0D=ZB0C=90°.

［归纳总结］

垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.

垂直的表示方法：如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB±CD.

如果用1、m表示这两条直线，那么直线1与直线m垂直，可记作：

互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的0点）.

［典型例题］例1⑴如图1,直线m,n交于点0,Zl=90°,则m=Ln；

（2）若直线AB,CD相交于点0,且AB_LCD,则/B0D=90°；

⑶如图2,B0±A0,/B0C与/BOA的度数之比为1：5,那么NC0A=72°,/BOC的补角为盘。.

m

_____i1

图1。On图2

A

（二）垂线的画法及基本事实

探究：（1）画已知直线1的垂线能画几条？

（2）过直线1上的一点A画1的垂线，这样的垂线能画几条?

（3）过直线1外的一点B画1的垂线，这样的垂线能画几条?

.B

~1

如图，已知直线1和1上的一点A,过点A画1的垂线.

1.放;2.靠；3.移；4.画.

［归纳总结］

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

注意：

1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；

2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”强调唯一性.

（三）点到直线的距离

［课件展示］

在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.

如图，从A点向已知直线1引一条垂直的线段AD（即点A到直线1的垂线段）和几条不垂直的线段AB,AC,

AE.

说一说：

1.线段AB,AC,AD,AE中谁最短？

2.你能用一句话表示这个结论吗？

［归纳总结］

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

线段AD的长度叫作点到直线的距离.

四、课堂训练

1在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都

相等，可以判定两条直线互相垂直的是（D）.

A.®2）B.①（WC.②G）D.①②o

2.如图，下列说法正确的是（D）

A.线段AB叫作点B到直线AC的距离

B.线段AB的长度叫作点A到直线BC的距离

C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离

D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离

4

3.如图，直线AB,CD相交于点E,EFlAB于E,若aCEF=58°,则乙BED的度数为32。.

4.如图，A01FD,0D为乙BOC的平分线，0E为射线0B的反向延长线，若乙AOB=40。，

求乙EOF,乙COE的度数.

解：因为AO1FD,且4AOB=40°,

所以乙BOD=90°-40°=50°.

所以乙EOFBOD=50°.

又因为OD平分4BOC,

所以乙BOC=2ZBOD=100°.

所以4COE=180°-ZBOC=180°-100°=80°.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

垂线的性质和定义，都是通过操作、探究获得的.对于探究垂线的性质，需要让学生动手画图，再经过小组讨

论，体会垂线的存在性和唯一性，归纳出“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质；

“垂线段最短”的性质在日常生活中有着广泛的应用，可以由实际问题引入，由解决实际问题结束.教学时，应多举

一些生活中的实例，让学生体会数学与生活的联系，同时发展学生的抽象概括能力和空间观念.

第七章相交线与平行线

7.1相交线

7.1.3两条直线被第三条直线所截

※教学目标※

1.理解“三线八角”中没有公共顶点的角的位置关系，知道什么是同位角、内错角、同旁内角.（重点）

2.通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征重点）

3.能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.（难点）

※教学过程※

一、新课导入

［问题导入］两条直线AB和EF相交，能形成具有什么关系的角？

1.邻补角；2.对顶角.

必

F

请同学们自己说说这些角是哪些？

二、新知探究

（-）同位角、内错角、同旁内角

［课件展示］

探究：若再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？有什么特点？

简称“三线八角”.

一、同位角

观察/I与N5的位置关系

①在直线EF的同旁（左边）［一同位角

②在直线AB、CD的同一侧（上方）

图中的同位角还有哪些？

N2和/8,N3和N7,/4和N6

C.(l)，(2),(3)D,(2),(3),(4)

［归纳总结］

下列变形图中的与/2是同位角吗？为什么？这样的图形有什么特点？

图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.

二、内错角

F

①在直线EF的两侧

②在直线AB、CD之间J内珀用

［典型例题］例2如图，与/I是内错角的是(B)

［归纳总结］

下列变形图中的/I与/2是内错角吗？为什么？这样的图形有什么特点？

tJN八

图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角.

三、同旁内角

观察/I与/5的位置关系:

E.

4

1

AB

①在直线EF的同旁（左边）

同旁内角

②在直线AB、CD之间3-

A)

［归纳总结］

下列变形图中的N1与/2是内错角吗？为什么？这样的图形有什么特点？

图形特征：在形如字母“U”的图形中有同旁内角.

［归纳总结］

基本形象

角的名称角的特征相同点共同特征

图形记法

有

必

①三

截线:同侧

线

条

篁

同位角被截线:同旁都在截类

三

②这

线同侧有

没

角

都

截线:同侧点

顶

公

同芳内角共

被截线:之间示

表

③都

都在被

的

间

角

截线:两侧截线之之

系

关

内错角Z位

被截线:之间间S-

［典型例题］例4如图，直线DE截AB,AC,构成8个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角.

解：两条直线AB,AC被直线DE所截，所以8个角中，

同位角有：Z1与28,Z2与N5,Z3与N6,Z4与/7；

内错角有：Z1与N6,Z4与N5；同旁内角有：Z1与N5,Z4与/6.

三线八角手势表示法：（手势可以帮助同学们加强记忆）

同位角内错角同旁内角

三、课堂小结

四、课堂训练

1.如图，乙1和乙2不能构成同位角的图形是(D)

ABCD

2.如图，下列说法错误的是(A)

A.42和46是同位角

B.A3和A4是内错角

C.41和43是对顶角

D.Z3和Z5是同旁内角

3.如图，直线DE,BC被直线AB所截.

(1)41与42,Z1与乙3,与44各是什么关系的角？

(2)如果41=44,那么41与乙2相等吗？与43互补吗？为什么？

解：(1)Z1与乙2是内错角，21与43是同旁内角，与44是同位角.

(2)如果乙1=44,由对顶角相等，得乙2=44,那么乙1=乙2.

因为23和24互补，即24+23=180°.又21=44,所以41+乙3=180°,即41与43互补.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

由于角的形成与两条直线的相互位置有关，学生已有的概念是两相交直线所形成的有公共顶点的角（邻补角、对

顶角等），在此基础上引出了这节课的新内容:两直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的八个角的位置关系一

一同位角、内错角、同旁内角.研究这些角的关系主要是为了学习平行线的判定与性质做准备.这节课在相交线与平

行线的学习中，有着承上启下的作用.

第七章相交线与平行线

7.2平行线

7.2.1平行线的概念

※教学目标※

1.了解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系.（重点）

2.掌握平行公理以及平行公理的推论.（重点）

3.会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.（难点）

※教学过程※

一、新课导入

［问题导入］前面我们学的两条直线具有怎样位置关系？

两条直线相交。（其中垂直是相交的特殊情形）

生活中两条直线除了相交以外，还有什么情形呢？下面我们一起来体会一下.

不相交.

二、新知探究

（-）平行线的定义及表示

［课件展示］

思考：如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a,直

线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a与

直线b不相交的情况呢？

［归纳总结］

在木条转动过程中，存在直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行.记作“a〃b”.

在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.

注意：平行线的定义包含三层意思：

（1）“在同一平面内”是前提条件；

（2）“不相交”就是说两直线没有交点；

（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段.

前面我们已知通常用表示平行.例如：

A------------------BABHCD

C------------------D读作：Z5平行于CD

“读作：。平行于6

小结：在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有平行与相交两种.

［典型例题］例1在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（A）

A.相交或平行B.相交或垂直

C.平行或垂直D.不能确定

（二）平行线的画法及推论

［课件展示］

画一画：按照下面的步骤动手画出平行线.

（1）放；（2）靠；（3）推；（4）画.

探究：（1）经过点C能画出几条直线？

无数条.

⑵与直线AB平行的直线有几条？

无数条.

⑶经过点C能画出几条直线与直线AB平行？

1条.

⑷过点D画一条直线与直线AB平行，与（3）中所画的直线平行吗？

平行.

你能对这些情况进行归纳总结吗？

［归纳总结］

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

C

--------------------------------a

AB

平行公理的推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

几何语言表达：

'/a/7c,c〃b,（已知）

/.a〃b.（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

［典型例题］例2农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即

可.如图2,插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧

苗与第①行秧苗也平行.这种做法的依据是（D）

A.两点确定一条直线

B.两点之间，线段最短

C.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

D.平行于同一条直线的两条直线平行

三、课堂小结

1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

2.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

四、课堂训练

1.下列错误说法的序号是①②③.

①两条直线不相交就平行

②在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行

④平行于同一条直线的两条直线互相平行2.如图，直线AB,CD,EF两两相交，若41+45=180。，找出图中与

相等的角.

2.下列推理正确的是（C）

A.因为a//d,b//c,所以c〃d

B.因为a//c,b//d,所以c〃d

C.因为a//b,a//c,所以b//c

D,因为a〃b,c//d,所以a//c

3.如图，若AB〃CD,经过点E可画EF〃AB,贝EF与CD的位置关系是EF〃CD,理由是如果两条直线都

与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

学生在之前的学习中已初步接触了平行线，所以本节课重点内容是通过学生观察、画图和讨论，共同探索平行

公理，从而发展学生的实践能力和自主学习的习惯.但是，七年级学生的抽象思维能力还处于初级阶段，因而对于

平行公理推论的理解存在困难，要逐步运已学的知识帮助学生理解.

第七章相交线与平行线

7.2平行线

7.2.2平行线的判定

第1课时平行线的判定

※教学目标※

1.掌握两直线平行的判定方法.（重点）

2.了解两直线平行的判定方法的证明过程.（重点）

3.灵活运用两直线平行的判定方法证明直线平行难点）

※教学过程※

一、新课导入

［问题导入］问题1两条不重合的直线的位置关系有哪几种？

相交（包括垂直）和平行两种.

问题2怎样的两条直线平行？

在同一平面内，不相交的两条直线平行.

问题3上节课你学了平行线的哪些推论？

1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

思考：根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.但是，由于直线无限

延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法

呢？

二、新知探究

（-）利用同位角判定两条直线平行

［课件展示］

上节课我们已经学习过平行线的画法，你还记得吗？

（1）放；（2）靠；（3）推；（4）画

思考：（1）画图过程中，什么角始终保持相等？（同位角）

（2）直线a,b位置关系如何？（平行）

（3）将其最初和最终的两种特殊位置抽象成几何图形.

（4）由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？

［归纳总结］

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

应用格式：因为N1=N2（已知）,

所以同位角相等，两直线平行）.

A

［典型例题］例1如图，你知道木工用图中的角尺画平行线的道理吗?

同位角相等，两直线平行.

练一练：1.如图，在直线AB外取一点P,经过点P作AB的平行线，这种画法的依据是同位角相等，两直线平行.

2.如图，Z1=55°,Z2=125°,直线AB与CD平行吗？为什么？

解：平行.因为Nl=55°,所以/DMN=180°-Z1=125°.所以/DMN=/2=125°.（同位角相等，两直线平行）

（二）利用内错角、同旁内角判定两条直线平行

同理能否利用内错角、同旁内角来判定两条直线平行呢？

［典型例题］例2如图，由N3=Z2,能推得a〃b吗？试一试.

解：因为=Z3（对顶角相等），Z3=Z2（已知），

所以/I=/2.所以a〃b（同位角相等，两直线平行）.

［归纳总结］

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

应用格式：因为/I=Z2（已知），所以a//b（内错角相等，两直线平行）.

［典型例题］例3如图，如果/I+Z2=180°,能判定a//b吗？

解：能.理由如下：因为/I+Z2=180°（已知），Zl+Z3=180°（邻补角的性质）,

所以/2=Z3（同角的补角相等）.所以a//b（同位角相等，两直线平行）.

［归纳总结］

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

应用格式：因为/I+/2=180°（已知），所以a//b（同旁内角互补，两直线平行）.

@VZ2=Z6（D知）,

AB//CD（同位角相等，两直线平行）.

②=Z5（已知），

...ABCD（内错角相等，两直线平行）.

③4=180°（已知），

ABCD（同旁内角互补，两直线平行）.

［归纳总结］

判定两条直线平行的方法

文字叙述符号语言图形

同位角相等,•;N1=N2（已知）,

两直线平行aHb.

内错角相等，•.•N3=N2（已知）,

两直线平行aHb.

同旁内角互补,•.•N2+N4=1807已知）,上

两直线平行aHb.

三、课堂小结

中W在U同一个平面内，两条直线不

定义'去相交

_'平_行线_的"4H-------------------------

.判定八X同位角相等，两直线平行

Y判定方法为内错角相等，两直线平行

Y同旁内角互补，两直线平行

四、课堂训练

i.根据图形完成填空：

AB〃CE（内错角相等，两直线平行）.

（2）vZ1+_Z3_=180°（已知），

CD〃BF（同旁内角互补，两直线平行）.

③N1+Z5=180°（已知）,

同旁内角互补，两直线平行）.

Z4+_Z3_=180°（已知），

，AB〃CE（同旁内角互补，两直线平行）.

2.如图，给出下列条件.其中，不能判定a〃b的是（D）

A.45+乙1=180°B.42+乙4=180°

C.乙1二乙4D.乙2二43

3.如图.⑴从乙1=44,可以推出竺〃虫，理由是内错角相等，两直线平行.

⑵从/ABC+4BCD=180。,可以推出AB〃CD,理由是同旁内角互补，两直线平行.

（3）从43=乙2,可以推出AD〃BC,理由是内错角相等，两直线平行.

（4）从45=4ABC,可以推出AB〃CD,理由是同位角相等，两直线平行.

4.如图，已知41=43,AC平分心DAB,你能判定哪两条直线平行？请说明理由.

解：AB〃CD.理由如下：；AC平分乙DAB（已知），，21=乙2（角平分线定义）.

又乙1=23（已知），.•・42=23（等量代换）.

AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

上节课我们学习了平行线的定义和画法，这节课仍用平行线的定义和画法来引入，让学生在未知中激发学习兴

趣和探索欲望.学生掌握了平行线的画法，但是并不知道它的原理，这个阶段的学生无法进行深奥的论证，只能用

既定的事实，帮助学生理解什么样的条件可以判定平行.另一个需要注意的地方是，学生的证明基础薄弱，在教会

学生分析、推理、论证时，要足够细心，更要教会学生有条理讲逻辑的发展推理思维.

第七章相交线与平行线

7.2平行线

7.2.2平行线的判定

第2课时平行线判定方法的综合应用

※教学目标※

1.灵活选用平行线的判定方法进行证明.（重点）

2.掌握平行线的判定在实际生活中的应用.（难点）

※教学过程※

一、新课导入

［复习导入］到目前为止，判定两直线平行的方法有哪些?

(1)定义法：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.(这条在做题时不实用)

(2)平行公理的推论：若a〃b,b〃c,贝a〃c.

(3)判定方法1：同位角相等，两直线平行.

(4)判定方法2:内错角相等，两直线平行.

(5)判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.

二、新知探究

(-)平行线的判定的综合运用

［典型例题］例1如图，E在AB上，F在DC上，G在BC延长线上.

(1)如果NB=ZDCG,可以判定哪两条直线平行？为什么？

(2)如果ND=ZDCG,可以判定哪两条直线平行？为什么？

(3)如果/D+ZDFE=180°,可以判定哪两条直线平行？为什么？

BCG

解：(1)AB〃CD.同位角相等，两直线平行

(2)AD/7BC.内错角相等，两直线平行

(3)AD〃EF.同旁内角互补，两直线平行.

［典型例题］例2如图，已知/1=75°,Z2=35°,Z3=40°,试说明：a//b.

解：是N2,N3所在三角形的外角，.♦./4=/3+/2=75°,

又/1=75°,.\Z1=Z4,.\a//b.

［典型例题］例3如图，E,F分别是线段AC,AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE,CF,ED,若/1=/2,Z

ABC=ZACB,ZEBD=ZD,试说明：FC〃ED.

cD

解：VZ1=Z2,ZABC=ZACB,/.ZEBD=ZFCB,

VZEBD=ZD,.".ZFCB=ZD,；.FC〃ED.

(二)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的.

思考：如何确定两条直轨是否平行？

思考：我们知道，平行与同一条直线的两条直线平行，那么在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

为什么？

猜想：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

在同一平面内，b_La,c±a,试说明：b//c.

解：如图，：b±a,c_La（已知）,

/.Zl=Z2=90°（垂直的定义）.

b〃c（同位角相等，两直线平行）.

此处符号表示“因为”，符号“二”表示“所以”.

探究：小组讨论看看还有哪些方法可以说明.

［归纳总结］同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

几何语言：：b，a,cJ_a（已知），，b〃c（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）.

［典型例题］例4如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得/I=90°,你能通过

度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说明理由.

解：测出N2,Z3,Z4,Z5中任意一个角为90°即可验证,

理由是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

三、课堂小结

平行线的定义

「如果两条直线都与第三

［平行线的有

L条直线平行，那么这两

/3推论厂〔条直线也相互平行.

平行线

的判定

方法

’在同一平面内，如果两条直、

线都垂直于同一条直线，那

〔么这两条直线平行.

四、课堂训练

1.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（B）

A.第一次向右拐40°,第二次向左拐140°

B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°

C.第一次向右拐40°，第二次向右拐140°

D.第一次向左拐40°,第二次向左拐140°

2.下列四个图形中，Z1=Z2,能够判定AB〃CD的是（B）.

3.如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条0D.李师傅

用量角仪测得/A=70°,木条OD与AB的夹角/BOD=82°,要使OD〃AC,木条OD绕点O按逆时

针方向至少旋转(A)

A.12°B.18°C.22°D.24°

4.如图，点E、F分另1j在CD、AB上，连接BE、CF、DF,BEJ_DF于点G,ZC=Z1.

(1)求NCFD的度数；

(2)若N2+/D=90°,试说明AB〃CD.

解：（1）VBE±DF,AZEGD=90"..\Zl+ZD=90o.VZC=Z1,

.,.ZC+ZD=90°.AZCFD=90°.

（2）由（1）可知NC+ND=90°.VZ2+ZD=90",：.ZC=Z2.

；.AB〃CD.

5.如图，MF±NF于F,MF交AB于点E,NF交CD于点G,Nl=140°,N2=50°,试判断AB和

CD的位置关系，并说明理由.

解：过点F向左作FQ,使乙MFQ=42=50°,则AB〃FQ,且乙NFQ=4IVIFN-aMFQ=90°-50°=40°.

又41=140°,所以41+4NFQ=180°.所以CD〃FQ.所以AB〃CD.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

本节课的重点主要体现在两个方面，一是运用习题巩固平行线的多种判断方法、锻炼学生的解题能力、发展灵

活应用思维；二是学习一个新的平行线判定方法一一“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，其本质

是平行线判定定理的推论，它的学习有助于学生提高解题技巧.在教学时注意让学生去感受数学语言的简洁和趣味,

发展学生的分析、推理能力.

第七章相交线与平行线

7.2平行线

7.2.3平行线的性质

第1课时平行线的性质

※教学目标※

L掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补，并能熟练运用.（重点）

2.通过独立思考，小组合作，运用猜想、推理的方法，提升自己利用图形分析问题的能力.（难点）

※教学过程※

一、新课导入

［复习导入］根据右图填空:

①如果41=4C,

那么_AB_CD_（同位角相等，两直线平行）.

②如果41=4B,

那么_EC_〃_BD_（内错角相等，两直线平行）

③如果42+4B=180°,

那么_EC_〃_BD_（同旁内角互补，两直线平行）

问题：通过上题可知平行线的判定方法有哪些？

1同位角相等，两直线平行；

2.内错角相等，两直线平行；

3.同旁内角互补，两直线平行.

思考：反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢?

二、新知探究

平行线的性质

［课件展示］探究1画两条平行线a〃b,然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角.任选一组同位角

度量，把结果填入下表，由此猜想两条平行线被第三条直线所截的同位角有什么关系：

角Z1Z2Z3Z4

度数

角Z5Z6Z7Z8

度数

观察：Z1-48中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想:

猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角.

思考1：如果改变截线位置，你的猜想是否还成立？

思考2:两如果两直线不平行，上述结论还成立吗？

［交流讨论］学生动手操作、观察并思考，小组之间交流讨论，猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

［归纳总结］一般地，平行线具有如下性质:

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

符号表示：：a〃b（已知），Z2（两直线平行，同位角相等）.

［典型例题］例1如图，a#b,41=60。，则42的度数为（D）

A.900B.100°C.110°D.120°

［课件展示］探究2在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似地,

已知“两直线平行，同位角相等"，能否得到内错角之间的等量关系？

分析：

两条直同位角转@内错角、

线平行相等同旁内角

［提出问题］如图，已知a〃b,那么乙2与乙3相等吗？为什么?请尝试写出几何求解过程.

分析：两直线平行得同位角相等，进行角的转化，即可证明.

a"-N1=N2I_N3=N2

N1=N3（对顶角相等j'

解：；a〃b

乙1=乙2（两直线平行，同位角相等）.

又•.21二乙3（对顶角相等），

•・23=22（等量代换）.

［归纳总结］性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

符号表示：・••a〃b（已知），，42=A3（两直线平行，内错角相等）

［课件展示］探究3类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？如图，已知a〃b,那么42与

44有什么关系呢？为什么？

解：能.乙2+44=180°.

理由如下：

a〃b,

乙1=42（两直线平行，同位角相等）.

又乙1+乙4=180。（平角的定义），

,22+44=180。（等量代换）.

［归纳总结］性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

符号表示：a〃b（已知），Z2+Z4=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

［典型例题］例2如图是一块梯形铁片的残余部分，量得4A=100。，4B=115。，梯形的另外两个角的度数分别是

多少？

\_______I

AB

解：因为梯形上、下底互相平行，所以6与4D互补，ZB与乙C互补.

于是ND=180°-4A=180°-100°=80°,AC=180°-ZB=180°-115°=65°.

所以梯形的另外两个角分别是80。、65。.

平行线的性质：

性质1:两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3:两直线平行，同旁内角互补.

四、课堂训练

1.如图，直线a〃b,直线b垂直于直线c,那么直线a垂直于直线c吗？为什么?

ab

解：a，c.因为两直线平行，同位角相等.

2.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（D）

A.内错角相等B.同位角相等

C.同旁内角互补D.以上都不对

3.如图，如果AB〃CD〃EF,那么ABAC+4ACE+ZCEF=(C)

A.180°B.270°

C.360°D.540°

4.如图，若AB〃DE,AC〃DF,试说明4A+4D=180。.请补全下面的解答过程，括号内填写依据

D/P

B---------幺

解：AB〃DE（已知）,

,-,AA=_ACPD_（两直线平行，同位角相等）.

•••AC#DF（已知），

.'.ZD+^ZCPD_=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

ZA+ZD=180°（等量代换）.

五、布置作业

见《练习册》.

※教学反思※

本堂课是在学生学习和掌握了平行线的判定的基础上，研究平行线的性质，它既包含了相交线的内容又包含了

平行线的内容.平行线的性质和判定是一个互逆的命题，这种互逆思想的学习也为我们将来学习其它几何图形的性质

和判定提供了范例，发展学生的自主学习能力.

第七章相交线与平行线

7.2平行线

7.2.3平行线的性质

第2课时平行线的性质与判定的综合应用

※教学目标※

1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.（重点）

2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.（难点）

※教学过程※

一、新课导入

［复习导入］1.平行线的判定

文字叙述符号语言图形

同位角相等,N1=N2（已知）,c

两直线平行aHb.ra

国2

内错角相等,・「N3=N2.（已知）,

两直线平行aHb.

同旁内角互补,•.'Z2+Z4=180°（已知），

两直线平行aHb.

2.平行线的其他判定方法

如图1,若a/7b,b〃c,则a//c.

（在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行）

如图2,若a_Lb,ale,贝b〃c.

（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）

----------------b

____□____J

--------------------c_______________________a

图1图2

3.平行线的性质

图形已知结果依据

同

位两直线平行

角al