2025年山东济南中考数学一轮复习：二次函数的角度、相似问题（二阶）（学生版+教师版）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的角度、相似问题(二阶)学生版

考法探究突破

考法一相似三角形问题

1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：

(1)找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在

隐含的等角；

(2)表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段

长；

(3)建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要

按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计

算求解.

考法二角度问题

2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为

特殊角，再结合锐角三角函数求解；

3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过

解直角三角形求解或通过平行线求解.

题型分类过关

类型一相似存在性问题

考法一相似为条件

1.(2023天桥一模节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一

经过A(—2,0),与y轴交于点5(0,4),直线X=3

与X轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式.

(2)正比例函数的图象分别与线段A5,直线％=3交于点。,

E,当△500与△OCE相似时，求线段0。的长度.

考法二相似三角形存在性

2.(2023高新二模节选)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y

=—|x+3的图象与％轴交于点A,与y轴交于3点，抛物线＞=一%2

十法+c经过A,5两点，在第一象限的抛物线上取一点Z),过点。

作DCLx轴于点C,交直线AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点。，使得和AACE相似？若存在，请求出点

。的

坐标，若不存在，请说明理由.

类型二角存在性问题

考法一特殊角

3.(2023天桥二模节选)如图，抛物线y=Q%2+b%+6(aWO)与％

轴交于4(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2)若在线段上存在一点使得NBMO=45°,过点。作

交C5的延长线于点“，求点”的坐标.

考法二相等角

4.(2023槐荫二模节选)如图，已知以。为顶点的抛物线y=aP+

版+3经过A(-3,0),8两点，与y轴交于。点，对称轴为直线

x=~2.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接5C,N8C0和NAC。有怎样的数量关系，请说明理由.

考法三相等角为条件

5.(2024历下一模节选)在平面直角坐标系％2y中，直线y=1+l

与y轴交于点4,与％轴交于点5,抛物线V：y=a%2+b%+c经过点

A,且顶点在直线A3上.

(1)如图，当抛物线的顶点在点5时，求抛物线M的表达式；

(2)在(1)的条件下，抛物线M上是否存在点。，满足NA5C=

NA50.若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

考法四二倍角

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=夕一2的图象分别交工

轴，y轴于A,8两点，抛物线y=/+Z?%+c经过点A,B点P为第

四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线的函数表达式.

(2)当NPA4=2N5AO时，求点P的坐标.

考法五A+B=C型角度问题

7.如图，抛物线＞=a%2+云+4经过点A(-2,0),点3(4,0),

与y轴交于点C,过点C作直线8〃％轴，与抛物线交于点。，作

直线BC,连接AC

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)E是抛物线上的点，求满足NECD+NC4O=90°的点E的坐

标.

达标演练检测

1.如图，已知二次函数y=a%2+b%+c(aWO)的图象经过A(―1,

0),5(4,0),C(0,2)三点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点。是该二次函数图象上的一点，且满足NDR4=NCA0(O

是坐标原点)，求点。的坐标.

2.(2023济阳一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(%

—3)2+4过原点，与％轴的正半轴交于点A,已知5点为抛物线的

顶点，抛物线的对称轴与％轴交于点D

(1)求a的值，并直接写出A,5两点的坐标；

(2)若尸点是该抛物线对称轴上一点，且N50尸=45°,求点尸的

坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线>=#+法+<:与％轴交

于点A(1,0)和点5,与y轴交于点。(0,-4),点尸是抛物线

上的动点(不与点4B,。重合).设点尸的横

坐标为阴，过点尸作PZUX轴，垂足为点D

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)若点尸在第三象限，且tanNC尸。=2,求机的值.

4.如图，抛物线产一步十-4与x轴交于4B两点(点A在

点B的左侧)，与y轴交于点C,连接BC,点、P是抛物线上的

一个动点，且点P的横坐标为才(0＜彳＜6),连接AP,过点A作

BC的平行线交抛物线于点D,连接DP.

(1)求点A,B,C的坐标；

(2)当t=2时，求证：XADP是直角三角形；

(3)连接PC,过点P作PELPC,交直线AD于点E,连接AC,

CE,是否存在点P,使得APCE与△AOC相似？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的角度、相似问题(二阶)学生版

考法探究突破

考法一相似三角形问题

1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：

(1)找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在

隐含的等角；

(2)表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段

长；

(3)建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要

按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计

算求解.

考法二角度问题

2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为

特殊角，再结合锐角三角函数求解；

3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过

解直角三角形求解或通过平行线求解.

题型分类过关

类型一相似存在性问题

考法一相似为条件

1.(2023天桥一模节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—

#经过A(—2,0),与y轴交于点5(0,4),直线X=3

与％轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式.

(2)正比例函数丁=日的图象分别与线段A5,直线％=3交于点。,

E,当△500与△OCE相似时，求线段0。的长度.

解：(1);抛物线

y=-4：2+A%+C经过A(—2,0),B(0,4)两点,

,2

12

.—-X(—2)—2b~\~c=0,

.・《2

C=4,

6=1

解得一’...该抛物线的表达式为y=—白2+%+4.

1c=4,2

(2)VA(-2,0),B(0,4),：.OA=2,OB=4.^RtAAOB

中，A5=JoA2+OB2=J22+42=2V5.•/△BDO与△OCE相似，

111

：.ZBDO=ZOCE=9Q°.9：S^AOB=-OAOB=-ODAB,A-X2X4

222

=-ODX2V5,：.OD=—.

25

考法二相似三角形存在性

2.(2023高新二模节选)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y

=一%+3的图象与％轴交于点A,与y轴交于3点，抛物线＞=一%2

+法+c经过A,5两点，在第一象限的抛物线上取一点Z),过点。

作。CJ_x轴于点C,交直线A5于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点。，使得和AACE相似？若存在，请求出点

。的

坐标，若不存在，请说明理由.

解：⑴在>=一1+3中，令％=0,得y=3,令y=0,得％=4,

AA(4,0),5(0,3),将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物

2.3

'—42+4/)+r=0b——,

线>=一炉+法+c中，得'解得4I.抛物

。=3，c=3,

线的函数表达式为尸一/+%+3.

(2)存在.如图，过点5作于点设。。，0),

+HH,3).

O-1o

：.EC=--t+3,AC=4~t,BH=t,DH=~t2+—t,DE=~t2+4t.

44

50石和△ACE相似，ZBED=ZAEC,：.ABDE^^ACE^

ADBEsAACE.①当△BDEsAACE时,ZBDE=ZACE=9Q°,

此时5Z)〃AC,可得。(彳，3).②当△时，ZBDE=

：

ZCAE.'JBHLCD,.NBHD=90°,—DH=tanZBDE=tanZCAE

=—,即

AC

/.t(4—t)=(—.t+3)(一/+'1)，

解得力=0(舍)，B=4(舍)，办=空，；.D(―?—).

12129

综上所述，点O的坐标为(号，3)或(H，三).

类型二角存在性问题

考法一特殊角

3.(2023天桥二模节选)如图，抛物线yuad+bx+e(aWO)与工

轴交于4(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2)若在线段5。上存在一点M,使得/BMO=45°,过点。作

OH_LOM交C5的延长线于点求点”的坐标.

解：(1)•.•抛物线丁=0?+法+6经过点A(-1,0),B(3,0)

a—hI6—00——2

两点，?解得’•.・抛物线的表达式为：y

、9Q+3b+6=0,(b=4,

—2x2+4x+6.

(2)由(1)得，点。(0,6).设直线的表达式为>=丘+的

;直线5C经过点5(3,0),C(0,6),

3k+c=0,k——7

解得’.•.直线的表达式为y=—2x+6.

C=6,、c=6,

设点”的坐标为(租，-2m+6),如图，过点"作"KJ_y轴于点K,

过点M作MSJ_y轴于点S.则NMSO=NOKH=90°,\'OH±OM,

：.ZMOH=90°,VZWO=45°,；.△MO"是等腰直角三角形，

OM=OH.*.*ZMOS+NKO"=90°,ZOHK+/KOH=90°,

ZMOS=ZOHK,：.△OMS^△HOK(AAS),MS=OK,OS

=HK.：.M(2m—6,冽)...,点Af(2m—6,nr)在直线y=—2%+6

上，一2(2m—6)+6=m>解得机=5，则一2m+6=—，，•••当

NOM5=45。时，点”的坐标为

考法二相等角

4.(2023槐荫二模节选)如图，已知以。为顶点的抛物线丁=。(+

法+3经过A(—3,0),5两点，与y轴交于。点，对称轴为直线

x=-2.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接5C,4BCO和NACD有怎样的数量关系，请说明理由.

解：(1)•.•抛物线》=依2+法+3经过人(-3,0),对称轴为直线

/h

——=—2,

X——2.'2a

9a—3b+3=0,

Q=1,

解得.••抛物线的表达式为丁=?+4%+3.

出=4,

(2)令y=%2+4%+3=0,则(％+1)(X+3)=0,解得％1=—1,

%2=-3,/.A(-3,0),B(-1,0).令X=0,则y=3,：.C(0,

3),：.OB=1,OC=3,.,.tanNBCO=竺=±'•当％=—2时，y=

JOC3,

-1,：.D(-2,-1),而A(-3,0),C(0,3),：.AD=

22/22

J(-2+3)+(-1-0)=V2,8=](-2—0)+(-1-3)=

2V5,AC=Js2+32=3V2,：.AC2+AD2=CD2,：.ZCAD=90°,

.*.tanZACD=—=^=-=tanZBCO,ZACD=ZBCO.

AC3V23

考法三相等角为条件

5.(2024历下一模节选)在平面直角坐标系％Oy中，直线y=$+l

与y轴交于点A,与％轴交于点5,抛物线M：yuQp+Zur+c经过点

A,且顶点在直线上.

(1)如图，当抛物线的顶点在点5时，求抛物线"的表达式；

(2)在(1)的条件下，抛物线M上是否存在点C,满足NA5C=

NA50.若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)将％=0代入y=1+l,得y=l,.*.A(0,1),将y=0

代入y=|x+l,得％=—2,:.B(—2,0).

二•抛物线M的顶点在点5(-2,0)且过点4(0,1),

设y=a(%+2)2,将A(0,1)代入y=a(%+2)2,得a=5.,.抛

物线的表达式为y=[G+2)2.

(2)作0关于A5的对称点O,则设垂足为。，则点。

为。与。的中点，如图所示.•直线A5的表达式为产$+1,.二。。

的表达式为y=~2x,

联立"解得:；'即。(-1，0(-1,|).设直

{y=-2x,I/—E'

线50的表达式为y=Ax+b,将点5(-2,0)和点0(一，§代

4

0=—2k-\-b,k一,

入，可得，解得3故直线50的表达式为尸|x

8

-=~-k+b,b

V553

(y=3%+5,

十1联立1:3,2则!(%+2)2=|X+：解得％1=—2(舍

3(y="+2),433

去),%2=3将％=/代入尸3+上得尸学所以点C的坐标为居，

考法四二倍角

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=$—2的图象分别交工

轴，y轴于A,5两点，抛物线y=%2+b%+c经过点A,A点尸为第

四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线的函数表达式.

(2)当/尸24=2/氏40时，求点尸的坐标.

解：(1)令％=。，得尸%—2=—2,则—2).

令y=$一2=0,解得％=4,则A(4,0).把A(4,0),5(0,一

7

4-4/7-Pr=0b=——

2)代入y=?+版+c中，得一‘解得2’.•.抛

、c=-2,c=-2,

物线的表达式为尸炉一夕―2.

(2)设点A关于y轴的对称点为4,则A'B=AB.：.ZBAO=ZBA'O.

直线AB交抛物线于点P・・••/P&!=/BA0+NA4O=2NA40.TA

(4,0),AAr(-4,0),设直线ArB的表达式为y=kx+bCk^0\9：B

-4/c+b=0,k=一—

(0,—2),•••解得2J直线AB的表达式

、b=一2,b=—2,

为y=一夕—2.再令y=一|x—2=x2一夕一2,得%2—3x=0.解得x=0

(舍去)或％=3.点尸的坐标是(3,—£).

考法五A+B=C型角度问题

7.如图，抛物线y=af+b%+4经过点A(—2,0),点5(4,0),

与y轴交于点。，过点。作直线CD〃％轴，与抛物线交于点。，作

直线5C,连接4C

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)E是抛物线上的点，求满足NECD+NCAO=90°的点E的坐

标.

解：(1)...抛物线yuaf+bx+d的图象经过点A(—2,0),点5

(4,0),

4a—2b+4=0,

、

16Q+4b+4=0,、b=1,

•••抛物线的表达式为尸一#十%+4.

(2)令％=0,贝ljy=4,：.C(0,4).如图,

①当点石位于直线CD下方时，过点E作EfUCD,垂足为R设满

足条件的点E(t,-#+t+4)在抛物线上,则尸。，4),CF=t,

EF=4一(一|t2+t+4)=手-t,

VZECD+ZCAO=90°,ZACO+ZCAO=90°,：.ZECD=

112{

ZACO,tanZACO=tanZECD,即生=型，解得力=

OCCF4t

0(舍去)，/2=3,，E(3,I).②当点E位于直线CD上方时，过点

石作石F」直线8,垂足为尸，设网s,—|s2+s+4),则FQs,4),

CF'=s,”，=—#+s+4—4=—#+s.根据题意，当NECD=

NACO时，tanNACO=tanNEC。，即”=空，.•.马=11^,解得

OCCF,4s

si=0(舍去)，S2=1,J.所以，点E的坐标为(3,|)或(1，

达标演练检测

1.如图，已知二次函数y=a%2+b%+c(aWO)的图象经过A(―1,

0),5(4,0),C(0,2)三点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点。是该二次函数图象上的一点，且满足NZ)R4=NCA0(0

是坐标原点)，求点。的坐标.

(a—b+c=0,a——-,

解：(1)由题意，得116a+4b+c=0,解得抛物线的

(c=2，c=2,

表达式为y=—呆+|%+2.

(2)当点。在％轴上方时，过点。作CD〃A5交抛物线于点。，如

图.45关于抛物线的对称轴对称，C,。关于抛物线的对称轴对称,

四边形A5OC为等腰梯形，

：.ZCAO=ZDBA,即点。满足条件，：.D(3,2).当点。在入轴

下方时，ZDBA=ZCAO,BD//AC,C(0,2),故可设直线AC的

表达式为丁=履+2,把A(—1,0)代入可求得左=2,故直线AC的

表达式为y=2%+2.可设直线50的表达式为y=2%+加，把5(4,0)

代入可求得加=—8,故直线BD的表达式为y=2x-8.联立直线BD

和抛物线的表达式可得1-3解得“一4,或

22,

Vy7=--2x+-2x+\y=0

•—18).综上可知满足条件的点。的坐标为(3,

ly=-18,

2)或(一5,-18).

2.(2023济阳一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=aG

—3)2+4过原点，与入轴的正半轴交于点4,已知5点为抛物线的

顶点，抛物线的对称轴与入轴交于点D

(1)求。的值，并直接写出A,5两点的坐标；

(2)若尸点是该抛物线对称轴上一点，且N50尸=45°,求点尸的

坐标.

解：(1)将点O的坐标代入抛物线表达式，得

0=。(0-3)2+4,解得。=—々则抛物线的表达式为：y=--(x

-3)2+4,则点5(3,4),由抛物线的对称性知，点A(6,0).

(2)过点P作PHLOB于点H.在RtAOBD中，OD=3,BD=4,

则OB=5,

则1211/05£)=丝=2=121101,则sina=m,设尸"=3%,则5H=4%,

BD45

PB=5x,'：ZBOP=45°,则尸”=0"=3%,则OB=5=BH+OH二

3x+4x,贝！］X=*则P0=5。一5尸=4—5%=热即点尸的坐标为(3,

3

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=*+fct+c与％轴交

于点A(1,0)和点5,与y轴交于点。(0,—4),点尸是抛物线

上的动点(不与点A,B,。重合).设点尸的横

坐标为出过点尸作尸。，入轴，垂足为点D

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)若点尸在第三象限，且tanNC尸。=2,求机的值.

解：(1)把点。(0,—4)代入y=#+Z?x+c,得c=-4.

把点A(1,0)代入尸豕+法一4,得。=*

抛物线的函数表达式为尸学+$—4.

(2)设尸(租，|m2+|m-4),如图，过点C作CG'PD于点G,

则NPGC=NCGD=90°.（0,—4）,，OC=4.•.•尸。，为轴，

.•./尸。。=90°.又•.•NZ）OC=90°•.四边形OOCG是矩形，...OG

=OC=4,DO=CG=—m,.,.PG=yG—yp=-4—Qm2+|m—4^=

--m2--m.'.'tanz^CPD=2=—=2,——=2,解得mi=――,

33PG-加一我8

W2=0（舍去），故根的值是一9

O

4.如图，抛物线y=—92+%+4与X轴交于A,B两点（点A在

点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC,点、P是抛物线上的

一个动点，且点P的横坐标为才(0＜彳＜6),连接AP,过点A作

BC的平行线交抛物线于点D,连接DP.

(1)求点A,B,C的坐标；

(2)当t=2时，求证：XADP是直角三角形；

(3)连接PC,过点P作PEVPC,交直线AD于点E,连接AC,

CE,是否存在点尸，使得APCE与△AOC相似？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

(1)解：在y=—#+%+4中，令y=0,得一#+%+4=0,解得

为=—2,%2=4.•.•点A在点5的左侧，.*.A(—2,0),B(4,0).

令％=0,得y=4,：.C(0,4).

(2)证明：由(1)知5(4,0),C(0,4),

：.OB=OC=4,.*.ZCBO=45°.

^ADZ/BC,：.ZDAB=ZCBO=45°,

设直线AD的表达式为y=~x+b,

将点A(—2,0)的坐标代入，得0=2+b,解得。=—2.

故直线AD的表达式为y=-x-2