2025年苏科版九年级数学寒假专练：圆、圆心角、圆周角（解析版）

专题02圆、圆心角、圆周角

嫌内容早知道

。巩固提升练（9大题型）

目录

题型一圆的相关概念............................................................................1

题型二圆的周长和面积问题...................................................................3

题型三圆心角概念辨析........................................................................5

题型四利用弦弧圆心角的关系求解...........................................................7

题型五利用弦弧圆心角的关系证明..........................................................10

题型六圆周角的概念及其定理................................................................12

题型七同弧或等弧所对的圆周角相等..........................................................15

题型八直径所对圆周角的有关性质求解........................................................17

题型九圆内接四边形的相关问题..............................................................19

。能力提升练

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

题型一圆的相关概念

☆技巧积累与运用

圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段。绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/随之旋转所形成的图形

叫

圆，固定的端点。叫做圆心，线段。/叫做半径.以点。为圆心的圆，记作，读作“圆

例题：（24-25九年级上•福建福州•阶段练习）下列说法，正确的是（）

A.优弧大于劣弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所对圆周角是直角

【答案】D

【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.根据圆的有关概念进行逐项

辨析即可得解.

【详解】/、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误；

8、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误；

C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误；

。、直径所对圆周角是直角，故该选项正确；

故选：D.

巩固训练

1.（23-24七年级下•山东荷泽•期末）下列说法中：

①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；

②同角或等角的余角相等；

③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；

④过圆内一点作出的最长弦只有一条；

⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形.

其中正确的个数是（）.

1个2.2个C.3个D4个

【答案】A

【分析】本题主要考查了平行线的性质，同角或等角的余角相等，点到直线的距离，正多边形的定义，熟

知相关知识是解题的关键.

【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①不符合题意；

同角或等角的余角相等，故②符合题意；

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③不符合题意；

过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦，故④不符合题

思；

所有边的长度都相等，所有角都相等的多边形叫做正多边形，故⑤不符合题意；

即：正确的有②，共1个，

故选：A.

2.（23-24九年级上,湖南湘西,期末）如图，是。。的直径，C是比t延长线上一点，点。在。。上，且

CD=OA,CD的延长线交。。于点若NE=30。，那么NC=.

【答案】15。/15度

【分析】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.熟练掌握等腰三角形的性质和三角

形外角性质是关键.

连接利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明NE=2NC,即可解决问题.

【详解】解：连接

E

OD—OA—OE，

・；CD=OA,/£=40。，

/.CD=OD=OE,

ZC=NDOC,NE=NODE,

.・.NE=ZODE=NC+/DOC=2ZC,

・•・2ZC=AE=30°,

/.ZC=15°.

故答案为：15。.

题型二圆的周长和面积问题

☆技巧积累与运用

圆的周长圆的面积,；

例题：（22-23九年级上•河北保定•期末）"易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦"，太极图是我

国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）.如图，在正方形的内切

圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是（）

【答案】B

【分析】为了方便求解令正方形的边长为1，那么圆的直径也就是1,可以表示出正方形和圆的面积，利用

图形的对称性可以得到太极图黑色和白色部分各占圆的一半，这样就能得出最后结果.

【详解】设正方形边长为1,

•••正方形面积耳=1x1=1,

圆的直径为1,则半径为

.••圆的面积邑=万]£|=（，

太极图是旋转对称图形，所以黑色和白色部分各占圆面积的一半,

太极图黑色部分面积邑=：邑=：*?=£,

•••所求概率为

J]O

故选8.

【点睛】本题考查了内切圆的知识，圆和正方形的面积，以及旋转图形的对称性，利用对称性得出黑色部

分占太极图的一半是解答本题的关键.

巩固训练

1.（23-24七年级上•山东潍坊•期末）已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均

为10厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使10人都坐下，并且10人之间

的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等.设每人向后挪动的距离为工厘

A.2兀（80+10）x8=2TI（80+X）X10B.2兀（80+10—x）x10=2兀（80+10）x8

2K（80+X）27ix802兀（80+10）2K（80+10+X）

C.---------------=-----------

108810

【答案】D

【分析】本题主要考查了圆的周长的计算,正确根据10人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上两

人之间的圆弧的长）相等列方程是解题的关键.设每人向后挪动的距离是xcm,则这10个人在以

（80+10+x）cm为半径的圆周上，根据10人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧

的长）相等，即可列方程求解.

【详解】解：设每人向后挪动的距离为x厘米.

根据题意得：2兀网+1。）=2兀（8。+1。+力

810

故选：D.

2.（23-24九年级上•河南•期末）如图，周长为16的正方形A8C。中，E、尸分别为AD、8c的中点，连

接所，以和CD为直径的两个半圆分别与斯相切，则图中阴影部分的面积为（结果保留兀）.

【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以据此即可求解.本

题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个

规则图形面积的加减来解答.

【详解】••・周长为16的正方形/BCD,

正方形的边长4,

...图中两个半圆的直径为4,

则其半径为2,

根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以十，

・•・阴影部分的面积为：下一兀乂七—要―？），

2

故答案为：8-2万.

题型三圆心角概念鸥析

☆技巧积累与运用

圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角.

例题：（2024七年级上,全国•专题练习）如图所示，//C2表示圆心角的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作

圆心角.

【详解】解：图。中乙4cB是圆心角.

故选：D.

巩固训练

1.（23-24九年级上•广东惠州•期中）已知。。的直径为10,48是。。的弦，AB=5,那么在G>O中弦42

所对的圆心角度数为.

【答案】60760

【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，连接04、OB,证明△0/2为等边三角形得到

ZAOB=60°即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键.

OA=OB=5,

而=5,

OA=OB=AB,

.•.△0/8为等边三角形，

ZAOB=60°,

即弦42所对的圆心角是60。.

故答案为：60°.

2.（22-23九年级上•福建福州,阶段练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中

心。2,恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P,且点P在小量角器对应的刻度为63。，那么点

P在大量角器上对应的刻度为.（只考虑小于90。的角）

【答案】54°

【分析】连接。1尸，。2尸，由点尸在小量角器对应的刻度，可知NO]Q尸大小，再。。2=。1尸，可求得/尸。。2

即为点尸在大量角器上对应的刻度.

【详解】连接。1尸，。2尸，如图所示：

•・・点P在小量角器对应的刻度为63°,

ZO,O2P=63°,

002=尸，

ZOiO2P=ZOiPO2=63°,

NPOn=180。-2x63。=54。，

二点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90。的角）.

故答案为：54。.

【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理.熟练掌握用量角器上测量圆心角,

并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键.

题型四利用弦弧圆心角的关系求解

☆技巧积累与运用

弧、弦、圆心角的关系

1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都分别相等.

例题：（24-25九年级上•河北邢台•阶段练习）如图，在。。中，满足万;不，若/8=6,则CD长可能

是（）

RD

A

A,1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查垂径定理，弧、弦之间的关系，取凝中点E可得。=8£>3,据此判断即可.

【详解】解：取介中点E,连接0E交48于尸，连接3E,

r取益中点E，AB=6,

彘=2EB>BF=；4B=3,0E1AB,

BE>BF,即BE>3,

'-AB=2CD，

・6=前，

:CD=BE>3,

各个选项中CD长可能是4,

故选：D.

巩固训练

1.（24-25九年级上•浙江湖州•阶段练习）如图，为。。的直径，点C是筋的中点，过点C作。

于点下，交。。于点。，若BE=6,BF=\,则。。的半径长是（）

A.J10B.4C.5D.—

3

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

先根据垂径定理和点C是弧3E的中点得从赤=①，而得出C0=8E=6,再利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：连接。。，如图，设。。的半径为r,

A

■.■CDLAB,NB为。。的直径，

:.BC=BD>CF=DF,

；点。是筋的中点，

:.CE=CB>

:.BE=CD

CD=BE=6

:.DF=-CD=3

2

•••BF=\,OD=r

:.OF=r-l,

.-.32+(r-l)2=r2

解得：r=5

。。的半径长是5,

故选C.

2.(24-25九年级上•辽宁大连•期中)如图，已知N3是。。的直径，点。是前的中点，ZAOC=70°,贝U4OD

的度数为.

【答案】55。/55度

【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得N8OO=NC。。，再由

ZBOD+ZCOD+ZAOC=l80°计算ZBOD的度数即可.

【详解】解：•.•点。是前的中点，

ZBOD=ZCOD,

ZAOC=70°,

2ZBOD=1SO0~ZAOC=180°-70°=110°,

ZBOD=55°.

故答案为：55。.

题型五利用弦弧圆心角的关系证日月

☆技巧积累与运用

利用弧、弦、圆心角的关系证明相关结论

例题：（24-25九年级上•云南玉溪•期中）如图，A,B,C,。是。。上的四点，且=则N8与CD

的大小关系为（）

A.AB>CDB.AB=CDC.AB<CDD.不能确定

【答案】B

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系.根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可.

【详解】解：•.•4D=8C,

■■AD=BC>

'-AD+AC=BC+AC,

即DAC=BCA，

AB=CD.

故选：B.

巩固训练

1.（23-24九年级上•江苏南京•期中）如图，在。。中，弦48的长度是弦长度的两倍，连接ON,OB,

OC,OD,则//OB24coD.（填或"="）

【答案】>

【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点。作交N3于点尸，先根据垂径定理

1------1

证明//=3/=万/8,/E=BE，根据等弧所对的圆心角相等可得N40E=ZBOE=-ZA0B，再证＞CO,

可得NBOE>ZCOD,进而推出4408>2ZCOD.

【详解】解：过点。作交48于点尸，连接BE.

1------

AF=BF=-AB,AE=BE^

NAOE=NBOE^-ZAOB,

2

又,:AB=2CD,

BF=CD,

在RtZ\B£尸中，BE>BF,

BE>CD,

：.NBOE>NCOD,

-ZAOB>ZCOD,

2

即NAOB>2ZCOD,

故答案为：>.

2.（24-25九年级上•甘肃陇南•期中）如图，CD是。。的直径，AC,AB,是。。的弦，AB//CD.

⑵如果弦42的长为8,42与CD间的距离是3,求8的长.

【答案】⑴见解析

⑵C0=1O

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线.

(1)过点。作。尸_LN8,延长。尸交。。于点E1,根据题意可得：CE=DE＞AE=BE＜推出北=而，

即可证明；

(2)根据垂径定理可得4F=4,再根据勾股定理求出0/=5,即可求解.

【详解】(1)证明：如图，过点。作A8,延长。尸交。。于点E,

CD是。。的直径，AB//CD,

…CE=DE，AE=BE，

••CE-AE=DE-BE即就=砺，

:.AC=BD；

(2)•・•OFLAB,

AF=-AB=4,

・・•ZB与CD间的距离是3,AB//CD,

:.OF=3,

OA=y]AF2+OF2=V42+32=5,

OC=OD=OA=5,

CD=OC+OD=10.

题型六圆周角的概念及其定理

☆技巧积累与运用

1.圆周角定义：

像图中//£8、ZADB./4C8这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

1、顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆心角定理：

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径，高考物理。

3、圆周角的特点：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内的部分是圆的弦.

4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：解题规律：

5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周

角定理

例题：（24-25九年级上•云南红河•期中）下列语句中正确的是（）

A.相等的弧所对的圆周角也相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.圆的对称轴是直径D.三点确定一个圆

【答案】A

【分析】本题考查了圆的认识，垂径定理和确定圆的条件，解题的关键是掌握以上知识点.

根据圆周角定理，垂径定理，确定圆的条件和圆的对称轴求解判断即可.

【详解】解：/、相等的弧所对的圆周角也相等，所以/选项正确；

2、平分弦（非直径）的直径一定垂直于该弦，所以8选项错误；

C、圆的对称轴是直径所在的直线，所以C选项错误；

D,不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以。选项错误.

故选：A.

巩固训练

1.（24-25九年级上•福建厦门•期中）如图，点4瓦。在。。上，点。在。。外，CD与。。交于点E,AC,

BE于点、F.下列角中，弧/E所对的圆周角是（）

A./ADEB./ABEC.ZAFED.NAOE

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.直接运用圆周角的定义进行判断即

可.

【详解】解：弧/£所对的圆周角是：N4BE或NACE,

故选：B.

2.（21-22九年级上•江苏常州•期中）如图，CD是。。的直径，点N在。C的延长线上，乙4=18。，4E交

OO于点3,且48=。。.则

【答案】540

【分析】根据圆的基本性质，可得乙0EB=40BE,乙402=18。，从而得至!]40班=4。8石=乙4+乙4。8=36。，继而

得到乙8OE=108。，即可求解.

【详解】解：•••CD是。。的直径，

••OD=OE=OB,

・••乙OEB=乙OBE,

•；AB=OD,

：.AB=OB,

^Z.AOB=Z.A,

山=18°,

山。庆］8。，

：.4OEB=KOBE=U+UOB=36°,

."OE=108°,

：./.EOD=180°-N5OE-^403=54°.

故答案为：54。

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键.

题型七同弧或等弧所对的圆周角相等

☆技巧积累与运用

圆周角的特点：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内的部分是圆的弦.

圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：解题规律：

解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角

定理

例题：（24-25九年级上•河北唐山•期中）如图，点B,C均在。。上，若NOBC=23。,则//=

（）

A.67°B.68°C.62°D.72°

【答案】4

【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识.先利用等边对等角求出

ZOCB=ZOBC=23°,由三角形内角和定理求出NBOC=134。，最后由圆周角定理即可求出答案.

【详解】解：••・NOBC=23。，OB=0C,

ZOCB=ZOBC=23°,

ZBOC=180°-ZOCB-ZOBC=134°,

.­.ZA=-ZBOC=67°,

2

故选：A

巩固训练

1.（24-25九年级上•吉林松原•阶段练习）如图，点/,B,C,D都在。。上，02L0C,若//=65。，则

NCOD的度数为（

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂线的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：在同圆

或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

根据圆周角定理可得NBOD=2//=130。，由_LOC可得/30C=90。，再根据/COD=N8OD-28OC

即可得出答案.

【详解】解：根据圆周角定理可得：

N3OO=2//=65°x2=130°,

OB1OC,

.\ZBOC=90°,

ZCOD=ZBOD-NBOC=130。-90。=40°,

故选：C.

2.（2025・甘肃•模拟预测）如图，△4BC内接于。。，A8是。。的直径，。是。。上一点，若C是丽的

中点，连接。C,8c=50。，则44CD=_.

【答案】10。/10度

【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，直角三角形两锐角互余等知识.

如图所示，连接首先由直径得到N/CB=90。，然后求出乙4=90。-/8=40。，根据圆周角定理得到

480c=2N/=80。，进而求出/COD=NBOC=80。，然后求出乙4OD==20。，最后

利用圆周角定理求解即可.

【详解】如图所示，连接

•・•45是。。的直径，

：.ZACB=90°

-ZOBC=50°

.・・/4=90。一/5=40。

ABOC=2/A=80°

•・・。是丽的中点

-BC=CD

；.NCOD=NBOC=8U。

：,AAOD=\80°-/COD-ZBOC=20°

：.ZACD=-ZAOD=10°.

2

故答案为：10。.

题型八直径所对圆周角的有关性质求解

☆技巧积累与运用

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例题：（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图48为直径，448=30。，则/840为（）

A.30°B.50°C.60°D.55°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，根据彳5=府，得出//皿=44CD=30。，再结合N8为直径，所以

ZADB=90°,即可作答.

【详解】解：•.•小;S，

:.NABD=NACD=30°,

■：AB为直径，

ZADB=90°,

贝I]N84D=90°-30°=60°,

故选：C

巩固训练

1.（24-25九年级上•陕西西安,阶段练习）如图，是。。的直径，C、。是。。上的两点，AC=AD，若

Z.AOD=50°,则-4的度数为（）

A.75°B.65°C.55°D.50°

【答案】B

【分析】先利用圆周角定理可得/曲=25°,然后利用G=得/田=25。，根据圆周角定理得

ZC=90°,再根据三角形内角和定理进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系.

【详解】解：,2/00=50。

■.ZABD=-Z/kZ>=25°

2

-■AC=AD

.-.ZABC=Z/W=25°,

•••48是。。的直径，

.-.ZC=90°,

：.AA=180°-ZC-Z/W=180°-90°-25°=65°.

故选：B.

2.（24-25九年级上•北京•阶段练习）如图，点4B,C,。在圆上，NC=90。，点。为蕊的中点,

AC=l,DB=2,BC的值为.

c

D

【答案】V7

【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据/C=90。，可得4B是直径，根据点。

为罚的中点，可得4D=2D,根据勾股定理可得48=2收，在瓦A4BC中，运用勾股定理即可求解.

•.-ZC=90°,

••.AB是直径，

ZADB=90°,

,点。为益的中点，

•*.AD=BD=2,

•••AB=-JAD2+BD2=722+22=2血，

在尺中，BC=dAB2-AC?=426j一廿="

故答案为：V7.

题型九圆内接四边形的相关问题

☆技巧积累与运用

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的

外接圆.如图中的四边形48。叫做。。的内接四边形，而。。叫做四边形/BCD的外接圆.

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角.

例题：(2025•甘肃兰州•模拟预测)如图，四边形/8C。内接于。O,连接40,DO,已知△4。。是等边

三角形，。。是N4DC的平分线，贝U//8C=()

B

rr^-------

A.30°B.40°C.60°D.80°

【答案】C

【分析】本题考查的是等边三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的

关键.

根据等边三角形的性质、圆内接四边形的对角互补计算即可.

【详解】解:••・△/”是等边三角形，

ZODA=60°,

•・•。。是。的平分线，

ZODA=ZODC=60°,

ZADC=120°,

•・•四边形内接于oo,

ZADC+ZABC=180°f

=180°-120°=60°,

故选:C.

巩固训练

1.（2021九年级•安徽•专题练习）如图，四边形4BCZ）内接于OO,为直径，zC=120°.若4）=2,则

AB的长为（）

八C

O

A.V3B.2C.2百D.4

【答案】D

【分析】连接OD,根据圆内接四边形的性质求出〃1=6（）。,得出是等边三角形，根据等边三角形的

性质得出。D=O/=4D=2,求出直径即可.

【详解】解：连接OD,

nc

•・•四边形48co是。。的内接四边形，

.-.zJ+zC=180°,

vzC=120°,

•,.ZL4=60°,

，：OD=OA,

・•.—）是等边三角形，

­.AD=OD=OA,

-AD=2f

'.OA=OD=OB=2f

••・43=2+2=4,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出

4+/。=180。是解此题的关键.

2.（24-25九年级上•福建厦门・期中）如图，四边形是。。的内接四边形，AB=AD.若NC=70。,

则ZABD的度数为

【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，根据圆内接四边形的对角互补，求出一/的度数，等边对等

角，求出一/8。的度数即可.

【详解】解：••・四边形A8CO是。。的内接四边形，ZC=70°,

.­.ZT1=180O-ZC=110O,

AB=AD,

ZABD=；（180。-乙1）=35。；

故答案为：35。.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一、单选题

1.（24-25九年级上•江苏常州•期中）如图，N8是。。的弦，交。。于点C,点。是。。上一点,

连接8。，CD.若NCDB=25。,则N/C2的度数为（）

A.100°B.155°C.130°D.125°

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆内接四边形，根据/CD8=25。，结合圆周角定理求出

ZADB=50°,再根据圆内接四边形对角互补得到//C2的度数.

【详解】解：如图，连接4D,

•••48是。。的弦，交。。于点C,

■AC=BC>

ZADC=ZCDB=25°,

ZADB=50°,

.­.Zy4C5=180°-50°=130°,

故选：C.

2.（24-25九年级上•全国•期末）如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，40与5c的延长线交于点E,

氏4与的延长线交于点RNDCE=85。，N尸=28。，则NE的度数为（）

A.38°B.48°C.58°D.68°

【答案】4

【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键

是熟练掌握相关的判定和性质.根据三角形外角的性质得出/B=ZDCE-ZF=85。-28。=57°，根据圆内接

四边形的性质得出/BAD=ZDCE=85°,最后根据三角形内角和定理求出结果即可.

【详解】解：：/DCE为ABC尸的外角，

/.ZB=NDCE-N尸=85°-28°=57°,

•..四边形488是。。的内接四边形，

ABCD+ABAD=\^0°,

•：ADCE+ABCD=\^°,

：./BAD=ZDCE=85°,

：.ZE=180°-ZS-ABAD=38°,

故选：A.

3.（24-25九年级上•广东广州•期中）如图，ZUBC中，NACB=90°,ZA=25°,以。为圆心、为半径

的圆交/2于点。，则乙4CD=（）

【答案】B

【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得再由等腰三角

形的性质求出/BCD,则"CL•与/BCD互余，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.

【详解】解：,•,4C8=90。，乙4=25。，

：.ZB=65°,

•；CD=CB,

/B=/BCD=65。,

/.ZBCD=180°-ZB-ZBCD=180°-2x65°=50°,

.•./ZCZ）=90。-50。=40。，

故选：B.

4.（2025•甘肃兰州•模拟预测）如图，是OO的直径，C,。是OO上两点，BA平分/CBD,若

ZAOD=50°f则//的度数为（）

A.50°B.55°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到

ZABC=ZABD,再根据圆周角定理得到乙4c5=90。，ZABD=^ZAOD=25°,然后利用三角形的内角和

定理求解即可.

【详解】解：/平分NC8。，

ZABC=ZABD,

・・,/8是。。的直径，ZAOD=50°,

ZACB=90°,ZABD=-ZAOD=25°,

2

则ZABC=25°,

ZA=180°-ZC-/ABC=180°-90°-25°=65°,

故选：C.

5.（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在△ABC中48=75。，DEJ.AC于点E,交48于点

AE=CE,以点C为圆心◎长为半径作弧，交。E于点尸，连结CF交N8于点G.若CG=FG=2,则

长为（）

A.2B.4C.26D.4若

【答案】B

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内

角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键.

连接4尸，根据线段垂直平分线的性质可得/尸=。/，结合题意证尸C是等边三角形，根据等边三角形"三

线合一”可得/G4B=3O。，在△N8C中三角形内角和定理求出N/C8=N8=75。，得出/8=/C=4.

【详解】解：连接4尸，如图.

-：DE±AC,AE=CE,

AF=CF,

由题意可知C尸=C4,

AF=CF=CA=4,

.•・△/FC是等边三角形，

ZACF=NCAF=60°,

-,CG=FG=1,

:.ZCAB=-ZCAF^?,0o,

2

•••4=75。，

ZACB=ZB=1(180°-NCAB)=75°,

AB=AC=4,

故选：B,

二、填空题

6.（24-25九年级上,全国•期末）如图，点A、B、C在。。上，44c2=43。，则'

【答案】86

【分析】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出乙4。8=2乙4。8是解此题的关键.

直接根据圆周角定理即可得出答案.

【详解】解：•.•N/C8=43°,

:.NAOB=2NACB=86。,

故答案为：86.

7.（24-25九年级上•浙江・期中）如图，4B是。。的弦，C是优弧力上一动点，连接4C,BC,M,N分别

是4B,8C的中点，连接ACV.若48=8,ZACB=45°,则ACV的最大值为.

【答案】4亚

【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到

MN=；AC,推出当/C取得最大值时，就取得最大值，当/C是直径时，/C最大，即可求解；

【详解】解：..・点M，N分别是AB,2c的中点，

:.MN=-AC,

2

.•.当/C取得最大值时，就取得最大值，当NC是直径时，NC最大，

连接力0,80,如图所示：

是等腰直角三角形，

.■.AO=BO=—AB=442

2

二直径为80

:最大=4也.

故答案为：4^/2.

8.（23-24九年级上,浙江杭州,期中）已知，如图42,是。。的弦，NB=30。，点C在弦48上，连结

CO并延长交。。于点。，ND=35。，则/54D的度数是

D

【答案】65。/65度

【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线04,本题属于基础题

型.连接根据圆的半径都相等即可求出答案.

【详解】解:连接3,

OA=OB,

Z0AB=AOBA=30°,

OA=OD,

:.ZD=ZDAO=35°,

:.ZBAD=350+30°=65°,

故答案为：65°.

9.（24-25九年级上•山东泰安,阶段练习）如图，是。。的直径，点C,。都在上，且

Z.BAD=30°,ZCOD=60°,若/C=5,则42的长为.

【答案】10

【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，证明A/OC是等边三角形是本题的关键.

先根据圆周角定理，得NBOD=2NB4D=60。,再证明△/OC是等边三角形即可.

【详解】解：-.-ZBAD=30°,

ZBOD=2ZBAD=60°.

•••ZCOD=60°,

ZAOC=180°-ZBOD-ZCOD=60°.

又O/=OC,

:.A/OC是等边三角形.

OA=AC=5.

AB=2OA=10.

故答案为：10.

10.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）在。。中，为直径，AB=10,点M、点N均在。。上,

MN1AB,将点8沿直线翻折，翻折后点B的对应点为点。，若4D=2,则"D的长为.

【答案】2厢或2A

【分析】本题考查了对称的性质，以及勾股定理的应用，连接。河，根据由折叠的性质得出。3=8或12,

进而求得。夕=1,由勾股定理求得尸然后根据勾股定理即可求得的长.

【详解】解：连接加，

••・将点B沿直线翻折，MN1AB,

；.PD=PB=LBD,AMPA=90°,点。在直线上，

2

为直径，/8=10,

OA=OB=OM=5,

当点。在线段4B上时，如图，

DO

•.•/8=10,AD=2,

/.DB=AB—AD=8,DO=OA—AD=3,

；.PD=PB=—BD=4,

2

：.OP=DP-OD=\,

■■Rt△尸（W中，PM2=OM2-OP2=52-I2=24,

RtADPM中，DM=ylPD2+PM2="+24=2屈，

当点。在线段NB外时，如图,

M

•••/8=10,AD=2,

：.DB=AB+AD=\2,D0=0A+AD=7,

.-.PD=PB=-BD=6,

2

：.OP=OD-DP=1,

R^APOM中,PM2=OM"-OP1=52-I2=24,

.•.RtanPM中，DM£PD°+PM。=府+24=2a，

综上所述，"D的长为2而或

故答案为：2厢或2妒.

三、解答题

11.（24-25九年级上•甘肃白银•期中）如图，CD是。。的直径，3E是。。的弦，DC,匹的延长线相交

于点A,若N/=20。，CD=2AB.求ZE和的度数.

【答案】NE=40。，NDOE=60。.

【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识.连接8。，根据CD=2/2,

可得OB=OE=AB,结合NN=20。，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解.

【详解】解：连接2。，如图，

■■CD是。。的直径，CD=2AB,

OB=OE=AB,

OB=AB,

.-.ZA=ZBOA=20°,

AEBO=//+NBOA=40°,

：OB=OE,

ZE=ZEBO=40°9

・•./DOE=/A+/E=6。。.

12.（24-25九年级上•福建厦门•期中）如图，△48。中，AB=AC,以ZB为直径作。O,交BC边于点、D,

交CZ的延长线于点E,连接4。、DE.

⑴求证：BD=CD；

（2）若/8=5,4。=3,求。E的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）DE=4

【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得4D/5C,再根据等腰三角形三线合一即可得到助=。。；

（2）由等腰三角形和圆周角定理可得NE=/C,即得Z）E=DC,再利用勾股定理求出80即可求解；

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

【详解】（1）证明：以吕是。。的直径，

・•・NADB=90。,

即AD1BC,

••・AB=AC,

：.BD=CDy

（2）W：-AB=AC,

・•・/B=/C,

•••NB=/E,

・•.ZE=ZC,

：.DE=DC,

-ZADB=90°,AB=5,40=3,

BD=CD=VAB2—AD2=A/52—32=4，

DE=4.

13.（24-25九年级下•全国•期中）如图，四边形是OO的内接四边形，是。。的直径，

ZACB=30°,AB=2,点。为就的中点.

⑴求。。的半径；

⑵求/D4C的度数.

【答案】⑴2

⑵ZD/C=30°

【分析】（1）首先根据圆周角定理得到N诩C=90。，然后根据含30。角直角三角形的性质求出直径，进而

求解即可；

（2）首先求出48=60。，然后根据圆内接四边形的性质得到40=120。，然后根据点。为云的中点得到

AD=CD,进而求解即可.

【详解】（1）解：；8c是。。的直径，

/.ABAC=90°,

AB=2,NACB=3Q°,

BC=2AB=4,

：.OB=OC=LBC=2；