2025年上海高考数学二轮复习大题模拟卷5（解析版）

；题型必刷•大题仿真卷

大题仿真卷05(A组+B组+C组)

(模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟)

0---------------A组.巩固提升-----------♦>

一、解答题_

1.如图，在四棱锥尸中，底面是边长为2的菱形，且/。/8=60。，PA=PD=C，且

PB=2.

AB

(1)求证：平面尸/Z)_L平面/BCD；

(2)设E为PC的中点，求平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)arccos—.

7

【分析】(1)由已知可得尸“结合尸可得尸A/_L平面4BCD,再结合面面垂直的判定定

理即可证结论.

(2)以M为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得EAD的一个法向量，平面尸4D的一个法向量，利用向

量法可求平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小.

【解析】(1)取4D中点连接BM、PM.

因为PA=PD=母,所以所以尸M=])=7V22-12=1,

因为底面48CD是边长为2的菱形，且/。/3=60。，

所以△48。是等边三角形，所以且=百，

又PM=\,PB=2,所以尸笈=尸河2+台新2,所以8M.

又由于且5”、4。是平面4BCZ)上的两条相交直线，

故PA/JL平面48CZ).

又由于PMu平面尸,

所以平面尸40_L平面/BCD.

(2)以〃'为坐标原点，MA>MB-9为x、V、z轴正方向建立空间直角坐标系.

Z\

E

C

y

则P(0,0,l),4(1。0),5(0,V3,0),C(-2,V3,0),n(-1,0,0),

进而有E-1,

2'21

于是丽=(1,后0),DE=。李j

设平面EAD的法向量为々=(x),z),

6y=0

DBn{=x+•

则，1,令x=g\贝!Jy=_l,2=6,

■y+—z=0

2

所以平面防。的一个法向量*=(后

又平面PAD的一个法向量后=(0,1,0)，

々•%V7

故COS4,%=

7，

因此平面EBD与平面PAD所成锐二面角的大小为arccos——.

7

2.己知函数/口)=夕2，+5是定义域为R的偶函数.

⑴求实数a的值;

(2)已知关于x的方程2"/(x)+2)-左=0在xe[0,+⑹上有解，求实数人的取值范围.

【答案】(1)。=1

(2)^>4

【分析】⑴由/(-%)=f(%)可构造方程求得。的值;

(2)利用换元法令”2，,xe[0,+8),从而得到方程/+2/+1一人=0在此1时有解，再分参数，求出右边的

值域即可.

【解析】(1)由偶函数定义知：/(—X)-/(x),

即夕2-*+'=。-2-'+2、="2'+2一，，:.a=l.

2r

(2)由(1)知/(X)=2，+3,

2J(/(x)+2)-£=0,gp2X\lx+^+l\-k=Q,

即(2*『+l+2x2,一左=0,令t=2，”［0,+8),则此1,

贝|J方程/+2f+l-左=0在fNl时有解，

则a=产+2/+1,令g(/)=(/+l『2(1+1)~=4,t>4,则上24.

3.2024年法国奥运会落下帷幕.某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众,

得到他们对本届奥运会的满意度评分(满分100分)，平台将评分分为

［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］共5层，绘制成频率分布直方图(如图1所示).并在这些评分中

以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了

⑴求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；

(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概

率；

(3)己知这1000名观众的评分位于［50,80)上的均值为67,方差为64.7,位于［50,100］上的均值为73,方差

为134.6,求这1000名观众的评分位于［80,100］上的均值与方差.

【答案】(1)68

27

(2)—

-95

⑶这1000名观众的评分位于［80,100］上的均值与方差分别为87,17.7.

【分析】(1)根据百分位数的定义求解即可；

(2)先求出［90,100］的人数，利用对立事件结合古典概型求解即可；

(3)根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解.

【解析】(1)V20x0.35=7,

...第35百分位数为第7,8两个数的平方数竺产=68

(2)由图1可知，图2中［90,100］有2人,

所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为

事件A,

所以P(/)=l-与=1-史=幺.

(3)由题意可知：落在设0,80)的频率为0.1+0.25+0.35=0.7,落在［80,100］的频率为0.3,

因为这1000名观众的评分位于［50,80)上的均值为67,方差为64.7,

位于［50,100］上的均值为73,方差为134.6,

所以［=67,s：=64,7,x=73,？=134.6,

设这1000名观众的评分位于［80,100］上的均值与方差分别为兀局,

0.70.3

所以元=73=x67+•x解得：X=87,

0.7+0.30.7+0.322

0.7回7+@-73）1+晨

s2[s；+（87-73）[=134.6,

0.7+0.3

解得：s；=17.7.

这1000名观众的评分位于［80,100］上的均值与方差分别为87,17.7.

22

4.在平面直角坐标系xoy中，己知椭圆「：才+皆=1(°>0)的左、右焦点为耳、F2.

(1)若直线/：苫+丁-4=0与y轴相交于点？/,工到直线/的距离为2逝，求砧•瓦万；

(2)若。=1,点A为椭圆「上的任意一点，设椭圆「的上、下顶点分别为〃1,初2，记片鸟的面积为H，

监的面积为$2,若£>$2,求|。旬的取值范围；

(3)若。=1,过点8(1,3)的直线与椭圆交于尸、。两点(尸在0的上方)，线段尸。上存在点使得

\BP\力\MP，求|,阿|,+|,讶,怕勺最小值.

【答案】⑴函・不=-64

⑵苧)

⑶噜

【分析】小问1：使用点到直线的距离公式结合向量的数量积求解，

小问2：表示出三角形的面积，利用椭圆的标准方程代入消元求解出相应的变量的范围，进而求出的

范围，

小问3：首先设直线尸。的方程，再设“国,必),。(%,%)，•(%,%),利用条件启=总结合韦达定理

将M（x°,%）的横坐标/用斜率上表示出来，再将m代入直线方程，求出为和斜率左的关系，进而利用斜率

左，求出M（x。,外）满足的直线方程，然后根据直线尸0的斜率不存在时，尸=］，-1］

BP\\MP\1（3、

由胃=置=］，解出满足斜率存在时的直线方程，最后利用将军饮马的思路，求对称点求出

I孙I+M段的最小值.

【解析】（1）由已知耳（。⑼，因为/：x+y-4=o,

|Q+O—4/~/、

所以巴到直线/的距离d」/,「=2后,所以”=8,所以外8,0,

VI2+12

又因为N（0,4）,所以恒=（8,0）,可=（一8,4）,诚•百=8x（-8）+0x4=-64；

（2）当a=l时，「：［+＜=1,则£（一1,0）,g（1,0）,

设孙NO,则岳=；区段.帆=河，邑=曰监弧巾|=；.26.国=6忖，

因为品＞$2,所以帆＞石国，EP/＞3x\又因为1+。=1,所以丁=311一；

所以31-亍＞3f,所以0vx2v$网=商+/卜+3

（3）显然点8（1,3）在椭圆外，设尸（再,％）,0（工2,%）,Af（x0,y0）,

22

当直线尸。的斜率存在时，设直线尸。的方程为＞-3=左（》-1）与椭圆方程亍+g=l联立消去九化简得

（4左2+3）尤2+（24左一8左2）尤+4kz-241+24=0,

_8甘-24k

x+x

l2-4r+3

则由A=（24左一8左2丫一4卜左2+3）（4-一24左+24）＞0,

4左2-24左+24

X[X

24F+3

BP\MP\1-巧=玉々

得"2+2«-2>0,所以">6-1或"v-Vi-1，由-^77=^7^，可得

BQ|W|1-x2x0-x2

8k2-2Ak8后2-48左+48

解得Xo=\+宁二2x牛4介2+3-4a2+34左—8

2—（X]+X2）、8甘-24k4人+1

2一

4左—8\4人+3

,0=左（%-1）+3=左T+3=而？消去％可得"""。，

4左+1

当直线尸。的斜率不存在时，P0：x=l,尸［,,

\BP\MP\1（3、

由位=置=§，可得满足方程/+5-4=°，

所以点n满足直线x+4y-4=0,且位于椭圆的内部，设尸2（1,0）关于直线工+外-4=0的对称点为

n-923

m=——

。（加,〃），贝上m-\1"J17

m+\,n24

+4-——4=0n二——

2217

又%（-1,0）,所以|孙|+\MF21=|孙|+\MD\>|7^Z）|=

8734

17

【点睛】在第三小问中利用直线尸。的斜率为“桥梁”求解出点M满足的直线方程是解决这一问题的关键点.

5.对于集合4={%,出，。3,…,2且"eN*,定义N+/={x+y|工€//€/且》片训.集合/中的元素个

数记为当|/+4=空心时，称集合N具有性质:r.

⑴判断集合4={1,2,3},4={1,2,4,5)是否具有性质r,并说明理由；

⑵设集合8={l,3,p,4}(，qeN,且3<p<q)具有性质「，若3+3中的所有元素能构成等差数列，求P、4

的值；

(3)若集合/具有性质「，且/+/中的所有元素能构成等差数列，问：集合/中的元素个数是否存在最大

值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)集合4具有性质「，集合4不具有性质r,理由见解析

(2)P，4的值分别为4,5或5,9

(3)存在最大值，最大值为4

【分析】(1)根据集合/具有性质「的定义进行判断，可得答案；

(2)写出3+3中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；

(3)一数列新定义得在集合/+/中，a1+a2<a1+a3<---<an^+an<an_l+an,得到%+%-2=出+册用，由

此分类讨论，可确定〃的取值，可得答案.

【解析】(D4+4={3,4,5},|4+阂=3,故集合I具有性质

4x3

4+4={3,5,6,7,9},区+阕=5<;一,故集合4不具有性质r

(2)因集合B具有性质「，

故忸+司=6,5+3={4,1+°,1+%3+p,3+q,p+公,

(i)^4<l+p<l+q<3+p<3+q<p+q,

1+q<3+〃<

则，2(/l+〃：)=4+(:l+q、)，解得{「夕_=4,

20+q)=(l+p)+(3+p)q

经检验，符合题意，故的值分别为4,5.

(ii)若4<1+P<3+夕<1+9<3+9<夕+9，

3+p<l+q

则2(l+p)=4+(3+0，解得〃.

/、/\/、\Q=y

2(3+。)=0+。)+(1+0)

经检验，符合题意，故的值分别为5,9.

(3)不妨设,,,<1<%，

则在集合/+/中，a1+a2<a1+a3<---<an_2+a„<%+an.

又4+N中的所有元素能构成等差数列，设公差为d,

则"=(%+%)-(%+。2)=(%+%)一(。"-2+%)，

即d=%-g=-an_2，故%+*=/+.

当〃>5时，&，。3，。"-2，。"一1是集合力中互不相同的4项，

从而|/+/|<映』，与集合/具有性质「矛盾.

当〃=5时，2a3=a2+a4,即a2M3M4成等差数列，且公差也为d,

故Z+4中的元素从小到大的前三项为1+%，。1+4，。1+%，

且第四项只能是4+。5或%+。3.

(i)若第四项为％+。5，则/+%+4=%+%，从而%-。4="=。3-。2，

于是/+%=/+%，故恒+/|〈咚“，与集合/具有性质：r矛盾.

(ii)若第四项为电+。3，则％+%+□=%+〃3,故％+2d=电.

另一方面，(〃4+。5)-(。1+?)=9",即。5=%+74.

于是％+〃5=2al+72=2a2+32=a3+a4,

故M+与集合A具有性质:r矛盾.

因此，77<4.

由(2)知，〃=4时，存在集合/具有性质「，

故集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.

【点睛】本题考查了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力,解答的关

键是理解新定义的含义并能依此解决问题，其中还要注意分类讨论与整合的思想方法.

♦>------B组•能力强化----------O

一、解答题

1.如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC=4,/8=/C,NBAC=90°,D为

TT

半圆弧BG的中点.若异面直线9和/C所成角的大小为7,求:

A

(1)该几何体的体积；

⑵直线BD和AB所成角的大小.

【答案】(1)8亚+40兀

71

⑵2

TT

【分析】(1)利用空间向量的坐标运算根据直线8。和/C所成角的大小为二，求出几何体的高，进而可

4

求体积；

(2)利用向量的坐标运算证明直线3。和垂直，即可求解.

【解析】(1)连接4。，由题意得&。关于平面对称，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设44]=h,

则A(0,0,0),B(0,2V2,0),C(2>/2,0,0),DQ&,2应,h),

所以丽=(2V2,0,/?),AC=(2V2,0,0),

因为异面直线BO和/C所成角的大小为

解得〃=2&，

\BD\-\AC\跖庐血V2

V=--AB-AC-h+--n-(—y-h

222

=--2V2-2V2-2V2+--7i-22-2V2=872+4V2TT；

22

(2)BD=(2V2,0,2VI),AB=(0,2A/2,0),

因为丽.刀=0，

JT

所以直线和43所成角的大小为

2.已知函数/(x)=Gcos2x+sinxcosx,

(1)若f(a)=]^-,求。；

（2）如果关于x的方程=m在区间（0/）上有两个不同的实数根，求实数加的取值范围

（由A[

【答案】（1）a=----^左左或。=—&k兀,左EZ；（2）加E{0}D1——,A/3UV3,l+——

124I2JI2J

【分析】（1）化简得到〃x）=sin12x+（j+等，计算/■,）=与叵.\«20+三|=3解得答案.

（2）g（x）=|〃x）卜sin[2x+q）+t,画出函数图像，根据函数图像得到答案.

【解析】(1)/(x)=V3cos2x+sinxcosx=+cos2x)+；sin2x=sinf2x+yj+

2

/(〃)=5山(2〃+工]+@=匕旦.sin(2a+^]=-

「I3J22I3J2

TTTTTT)7TTCTT

2a-\——=——F2k兀或2aH——=----F2k兀,故。=----^左乃或。=——卜k兀，ksZ

3636124

(2)设g(x)=/(x)|=5,2彳+：|+菖

sin

则g(x)=

.7l\6「a2乃

-sin2xH-------,xG—,—

I3j2[23.

画出函数图像，根据图像知：心=0或（加＜1+且或1-立〈加〈百

22

【点睛】本题考查了三角函数求值，函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

3.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400

名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃

油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.

购车意向

年龄段合计

愿意购买新能源车愿意购买燃油车

青年

中老年

合计

(1)完善2x2列联表，请根据小概率值a=0.01的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买

与年龄是否有关；

(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取5人，求这5人中

青年人数的分布和期望.

2n(ad-bcY

附:V=---------------------------------------------------n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【答案】(1)列联表见解析，有关

(2)分布列见解析，y

【分析】(1)根据题意分别求出愿意购买新能源车的中年人数和青年人数以及愿意购买燃油车中年人数和

青年人数，即可补全列联表，再根据/公式计算出，根据表格即可判断；

(2)先求出抽取9人中青年人数和中年人数，求出青年人数的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列,

再由数学期望公式即可求解.

【解析】(1)中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，

所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，

青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，

所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，

故2x2列联表如下：

年龄段购车意向合计

愿意购买新能源车愿意购买燃油车

青年20050250

中老年10050150

合计300100400

零假设:消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关,

n(ad-bc)2400(200x50-100x50)2

Z2®8.889>6.635=x

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~250x150x300x100001

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断〃。不成立,

即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；

2

(2)愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为

所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，记这5人中,

青年的人数为X,则X的可能取值为2,345,

「3

2r二工尸(X=3)=2

尸(X=2)=,=42'1)C：21'

50

eV1福5尸"5)=罟rr』i

所以X的分布列如下:

X2345

51051

P

42211421

则E(X)=2X2+3XW+4X』+5X-!-=W

'/422114213

所以这5人中青年人数的期望为

22

4.已知椭圆｝=的下顶点为A,右焦点为尸，离心率为苧，P是椭圆C上一动点，当

直线/P经过点尸时，原点。到直线/尸的距离为也.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设直线/尸与圆相交于点M(异于点A),M关于。的对称点记为N,直线/N与椭圆C

相交于点。(异于点A).

①若|/尸|=2|/叫，求△/尸。的面积；

k

②设直线ACV、尸。的斜率分别为匕、《，试探究广}是否为定值，并说明理由.

【答案】（1）［+必=1

⑵①至1;②证明见解析

9

【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得。，b,c,进而得到所求椭圆

方程；

（2）①设直线/P的斜率为左，则直线/P的方程为了=h-1,联立椭圆方程可得尸的坐标，联立圆方程可

得新的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求得0的坐标，由|/尸|=2|/时可得无，求得p,Q

坐标，以及|/以，由△/尸。的面积为:|力斗以。|,计算可得；②运用两点的斜率公式，分别计算线AW

的斜率为勺，直线尸。的斜率为左2，即可得证.

【解析】（1）据题意，椭圆。的离心率为鱼，即£=也.

2a2

当直线/尸经过点尸时，直线/P的方程为±+4=1,即6x-cy-6c=0,

c-b

由原点。到直线z尸的距离为心，可知产7,即产，=4

2yjb2+tc22yjb2+c22

联立可得，a=2,c=6故〃=/一,2=1.

所以椭圆C的方程为二+F=l.

4-

（2）①据题意，直线/P的斜率存在，且不为0,

设直线/P的斜率为左，则直线/尸的方程为尸船-1,

2

联立?+/=1,整理可得(1+4/)/-8履=0,

8k

所以》=0或》=

1+4左2

8k4k2~r

所以点尸的坐标为1+4/'4/+1,

联立y=AX-1和/+>2=1,

整理可得(1+/b2-2h=0,所以x=o或

1rft

(2kk2-r

所以点M的坐标为[1+左2'后

显然，是圆。的直径，故

所以直线/N的方程为k

k

［±-i

用代替人得点。的坐标为刀上，弓一

8k4_r、

即。-

左2+4'4+左2,

①由|，尸|=2］，〃|可得，xp=2XM,

8k二2・普解得』f

即

1+4左2

根据图形的对称性，不妨取左=交，

2

'A51A(oB7、

则点尸，2的坐标分别为［卷一「周一，；)

故|虫=竽，园=孚.

所以A/P0的面积为［/尸=J_XtAX还=竺/.

21112399

222

lr-1lr+1Jr-1

②直线■的斜率.亏=丁

4F-14-r

4左2+14+42_左2一1

直线尸。的斜率幻=

8k—8k5k

1+4左2左2+4

得证.

【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，以及直线与圆的方程

联立，解方程求交点，考查直线的斜率公式的运用以及“设而不求，整体代换的思想”，化简整理的运算能力,

计算量较大，属于中档题.

5.已知。为实数，/(x)=(x+a)ln(x+l).对于给定的一组有序实数(后,加)，若对任意为，x2e(-l,+oo),

都有［g-〃再)+加］［g-〃％)+小］NO,则称伍，加)为/(x)的“正向数组”.

⑴若a=-2,判断(0,0)是否为f(x)的“正向数组”,并说明理由；

(2)证明：若化加)为“X)的“正向数组”，则对任意x>T,都有近-”x)+〃7W0；

(3)己知对任意/,(7'伉)J-(%))都是/(x)的“正向数组”，求a的取值范围.

【答案】(1)(0,0)不是/(力的“正向数组”;

(2)证明见解析；

(3)。的取值范围是(-叫1].

【分析】(1)代入有〃x)=(x-2)ln(x+l),根据函数性质得到〃x)的正负时不同取值情况即可；

(2)假设存在%>-1,使得辰-/(%)+加>0,通过正向数组定义转化得对任意x>-l,6-/(x)+加20恒成立,

设尸(x)=(x+a)ln(x+l)-Ax-加，再利用函数的性质即可证明假设不成立；

(3)代入有r(xo)x-/(x)+/(xo)-xor(xo)>O恒成立或八%)x-/(x)+/(%)-％/(%)V0恒成立,设

g(x)=/(x)-r(x0)x,求出g(x0)是g(x)的最大值或最小值时。的取值范围即可.

【解析】⑴若a=-2,/(x)=(x-2)ln(x+l),

对住,优)=(0,0),即[AX1-/(X1)+777][AX2-/(X2)+7H]=/(X1)./(X2),

而当％e(0,2),尤2©仅,+8)时，

/(X])=(X[-2)ln(x1+1)<0,/(x2)=(x2-2)In(x2+1)>0,

即/(』)•/(xJ<0,不满足题意.

所以(0,0)不是〃x)的“正向数组”.

(2)反证法:假设存在％>T,使得质-/(力+%>0,

V化加)为〃x)的“正向数组”，

对任意芯>-1，都有[Ax0-/(x0)+m\-\lcc'o-f(x'o)+m]>0.

，对任意x>T,6-/(x)+机20恒成立.

令尸(x)=(x+a)ln(x+l)-Ax-m,则尸(x)40在上恒成立，

F((x)=ln(x+l)+工+；=ln(x+l)+——^+(1-左),

设G(x)=F'[x)=ln(x+l)+--；+(1一)),

G'(H=」一-a—1x+2—a

')x+1(x+l)2(x+l)2，

则当。>1时，G(无)在(Ta-2)上为负,在(“-2,+8)上为正,

所以G(x)=〃(x)在(T,a-2)上单调递减，在(“-2,+动上单调递增;

若尸，(a-2)<0,当X--1,尸<x)f+8,当x-»+8,N(X)->+8,

即存在户'(X])=尸'(%2)=0，使斤'(X)在(-1,西)上为正，在(占,%)上为负，在(工2,+8)上为正，

所以FQ)在(T,xJ上单调递增，在(再,％)上单调递减，在(乙，+8)上单调递增，

又当Xf-l,尸(x)f-8,当Xf+8,尸(x)f+8,则F(x)的值域为R；

若/("2)20,r(x)>r(a-2)>0,F(x)在(-1,+8)上单调递增,

又当XT■-1,尸(x)f-oo,当xf+8,F(x)->+oo,则F(久)的值域为R.

当时，G(x)=(2「0,G(x)=F(x)在(T+8)上单调递增,

又当F(x)T•-00,当Xf+8,9(x)f+oo,

必存在尸(不)=0,使斤'(X)在(-1,再)上为负，在(X],+8)上为正，

所以FQ)在(-1,再)上单调递减,在(西,+8)上单调递增,

又当XfT,尸(X)f+8,当xf+8,/(x)f+8,贝I]F(X)的值域为[尸(国),+8).

由值域可看出，与尸(x)VO在(-L+S)上恒成立矛盾.

一对任意x>-l,都有foc-/(x)+机40.

(3)V(/'(X。)都是“X)的“正向数组”，

.对任意X],x2e(T,+8),都有

[/'(%)再-)+"%)-％](%)][尸(%)&-f(%)+/(%)-)[20,

则，'(%)尤-〃%)+，(％)-％/'(入0)2。恒成立或/'(尤0)》-，(无)+，(%)-%/''(%)40恒成立,

即/(X)-/(%)无4/(尤0)-/(%)无0恒成立或/'(力-，(龙()卜。/(%)-/«0)/恒成立,

设g(x)=/(x)-1f(尤o)x=(尤+a)ln(x+l)-1f(xo)x,

则/(%)-广(%)%=8(%)，

即g(%)是g(x)的最大值或最小值.

l

g'(x)=/'(x)_/'(Xo)=ln(x+l)+^^一/'(X0)=ln(x+l)+^^+[l_/'(x())],

人"T"J.Jx-I*J.

,,

jag^xo)=/(x0)-/(x0)=o.

当a>l时，由(2)可得，8@)=(》+°)1!1(_¥+1)--'。0)_¥=尸@)+加的值域为R,无最大值或最小值;

当aVI时,g〈x)=ln(x+l)+合+[1-尸(％)]在(-1,+8)上单调递增,

又g'(Xo)=/'(Xo)-/'(Xo)=O,则g'(x)在(T,%)上为负，在(%,+」)上为正,

所以g(x)=/(x)-&)x在(-1,%)上单调递减，在(x。,+动上单调递增,

则g(X。)是g(X)的最小值，满足g(x)=/(x)-最(%)X2/(X。)-广(%)%,

此时对任意X],x2G(-1,+<»),都有

xXXxXxxxxx

[_f(o)1-/(1)+/(o)-J'(o)][/*(o)2-/(2)+/(o)-xof'(xo)]>0.

二。的取值范围是(-8』.

【点睛】关键点睛：本题第2问的关键是运用反证法，通过函数的图象与性质推理出与假设矛盾的结论，

最后即得到证明；本题第3问的关键是理解“正向数组”的变形推理得到/(x)-//'(x0)x。恒

成立或/(力-/'(%),"/)-/(%区恒成立,并构造函数g(x)=/(x)(x°)x,得到g(x0)是g(x)的

最大值或最小值，最后结合前面的证明得到结果.

o-----------c组•高分突破-----------<>

一、解答题

1.已知在△4BC中，角42,C所对的边分别为“，瓦C,且满足a=J5b,a>c,

siib4+cos(5+C)=cos(5-C)；

⑴求角C的值；

(2)若△4BC的面积为:，求△4BC的周长.

【答案】(l)c=:

4

⑵1+6

【分析】(1)由$3+侬(8+。)=3(8-。)，利用两角和差的余弦公式化简得siiL4=2sin5sinC,再根据

题中条件利用正弦定理进行化简求出sinC="l,最后根据角的大小关系，确定角C的值；

2

■JT

(2)由4=回，C=~,借助余弦定理求出6=c,即△/BC为等腰直角三角形，再根据ZUBC的面积为

),求出。,6,c的值，即可得到的A/BC的周长.

【解析】(1)由题意得：siib4+cos^cosC-sin5sinC=cos^cosC+sinBsinC,

BP：sirk4=2siiiSsinC,

•/a=41b，/.siib4=V2sin5，

6

又sin5wO,因止匕sinC=»,

2

因为Q〉c,因此/>C,故C为锐角，

IT

因此。=%

4

JT

(2)由Q=y/2b，C=—,

则由余弦定理：c?=G+b?—2abcosC=2b?+b?—Zxjib?X叵=b?,得：b=c,

2

因此可得：B=C=，71N=7Tg,因此，ZUBC为等腰直角三角形，

42

又S=N=：得:b=c*，"=$/卜闫=1

因此，△4BC的周长为1+VL

2.已知△N2C和所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,/A4c=120。，。是线段2c

的中点，AD=43.

(1)求证：ADLBE；

⑵设/E=2,在线段/£上是否存在点尸(异于点A),使得二面角4-8尸-C的大小为45。.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)根据余弦定理计算3c=2后，根据勾股定理得到月。2确定平面H8E,得到证

明.

(2)建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面4BF的一个法向量为7=(0,1,0),平面C2厂的一个法向

量为的=。，周一,2，根据向量的夹角公式计算得到答案.

\)

【解析】⑴BC2=/162+/152-2^C-745-cosl20°=4+16+8=28,故BC=2后,

BD=yf7,则BO?=/32+AC)2,故/。1/8,

又N£)_LZE,平面ZBE,AEcAB=A,故/D_L平面48E,

8Eu平面48E,i^ADLBE,

(2)△NBC和所在的平面互相垂直，则平面/8Cn平面4DE=AD,

4。1ZE且4Eu平面4DE,故NE_L平面4BC,

如图所示：以AB,AD,AE分别为xj,z轴建立空间直角坐标系，

ZM

则4(0,0,0),5(2,0,0),C(-2,273,0),设尸(0,0,a),ae(0,2],

平面Z8F的一个法向量为%=(0,1,0),

—.fw,•BC=2y/3y-4x=0

设平面CBE的一个法向量为%=(x,%z),则^____.-

n2-BF=—2x+az=0

，解得“=26,不满足题意.

综上所述：不存在点尸，使二面角的大小为45。.

3.为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位:

g/m3）与样本对原点的距离x（单位：加）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表

99999

£(x,-q2

XyU之(%-盯Z(x,-可(凹-刃E(%-谓乂%-刃

Z=1Z=1Z=1i=li=\

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

（1）利用样本相关系数的知识，判断歹=。+爪与/=，+。哪一个更适宜作为平均金属含量了关于样本对原点

的距离X的回归方程类型？

⑵根据（1）的结果回答下列问题：

（i）建立了关于X的回归方程；

（ii）样本对原点的距离X=20时，金属含量的预报值是多少？

（3）已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本少（单位：元）与％＞关系为少=100（y-lnx）（14x4100）,

根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？

【答案】（i）y=c+4

X

⑵（i）y=100-—；（ii）99.5g/m3

X

⑶10

【分析】（1）根据所给数据求出相对应的相关系数，即可判断；

（2）（i）由（1）及所给数据求出力、a,即可得到回归方程；（ii）将x=20代入计算即可；

（3）依题意，可得犷=100（）（100-J-lrw］,令/（x）=100-?-lnx,利用导数求出函数的单调性，即可

求出函数的极大值点，从而得解.

9

2（占-可（%-刃

26.13

【解析】（1）因为＞=。+区的线性相关系数4=i=l«0.898,

1~99760x14.12

区（占一亍一刃2

V/=1i=l

9

£(%-筋)(%-刃

一1.40

y=c+4的线性相关系数弓i=l»-0.996,

ri~~9V0.14xl4.12

X£(%-琦£(力-刃2

i=lZ=1

；用＜同，

..y=c+-更适宜作为平均金属含量V关于样本对原点的距离x的回归方程类型.

X

9

.