2025年新高考数学复习突破讲义：指数与指数函数（含解析）

专题09指数与指数函数

【考点预测】

1、指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果x"=°，那么x叫做。的“次方根，其中（〃>1,〃eN*），记为后，"称为根指数，。称

为根底数.

（2）根式的性质：

当〃为奇数时，正数的“次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

（3）指数的概念：指数是幕运算.”（〃片0）中的一个参数，a为底数，〃为指数，指数位于底数的右上

角，幕运算表示指数个底数相乘.

（4）有理数指数幕的分类

〃个

①正整数指数幕“一-~•,“*、；②零指数幕。。=1（"0）；

③负整数指数幕底”=-1伍#0，ne"④0的正分数指数塞等于0，0的负分数指数越没有意义.

a11

（5）有理数指数基的性质

①aS"=a"'+"（a>0，机，〃e。）；②（屋‘）"=a"'"（a>0，m,〃e。）；

③（仍）"'=a""'（a>0，b>0，机€0）;g>0，m'

2、指数函数

y=ax

0<〃<1a>\

A

11^1

।

"1i

图

O\1Tr11

象

①定义域R,值域（0,+oo）

②/=],即时x=0，y=l,图象都经过（0,1）点

性

③优=°，即x=l时，J等于底数。

质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

x

⑤x<0时，4*>1；x>0时，0<优<1x<0时，0</<1；x>0时，a>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【方法技巧与总结】

1、指数函数常用技巧

(I)当底数大小不定时，必须分“0>1”和“0<a<l"两种情形讨论.

(2)当0<°<1时，x—+00,>->0;。的值越小，图象越靠近夕轴，递减的速度越快.

当a>l时xf+8，夕—0；。的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

(3)指数函数歹=/与>=的图象关于〉轴对称.

a

【典例例题】

例1.(2024•内蒙古包头•一模)已知=二jW〉。)是奇函数，则武()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】因为b>o,则函数/卜)=?|^^>0)的定义域为R，

即/'(X)是定义在R上的奇函数，则"0)=0，

A_1

则/(0)===0,所以6=1.

经检验，当6=1时，/(尤)为奇函数，满足题意.

故选：D.

例2.(2024・高三・重庆长寿・期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=2x-2x,

则/(-3)=()

4749

A.-----B.-2C.0D.—

88

【答案】B

【解析】因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，

所以〃-3)=-/(3)=-(2?-2x3)=-2,

故选：B.

例3.(2024・高三・黑龙江哈尔滨•期末)已知/(力为奇函数,g(x)为偶函数，且满足〃x)+g(x)=e，+x,

则g(x)=()

.ex-e~x-ex+e-x"ex-e~x-2x「e"-e~x+2x

A.-------B.---------C.----------------D.----------------

2222

【答案】B

【解析】由题意知，“X)为奇函数，g(x)为偶函数,

则f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

/(x)+g(x)=e'+x〃x)+g(x)=e，+x

所以即《

/(-x)+g(f)=eT-x-/W+gW=e-x-x

解得g(x)=£*

故选：B

例4.(2024・高一•吉林长春•期中)函数/=(。2-50+7)优+6-20是指数函数，则有()

A.a=2或a=3B.a=3

C.a=2D.a>2,且QW3

【答案】B

【解析】由指数函数的概念，得/-54+7=1且6-2a=0,解得a=3.

故选：B

例5.(2024・高三•江西•开学考试)函数/•卜)=2)!_的图象大致为()

【解析】/(_)==-/(x)，且函数定义域为｛x|xw。｝,关于原点对称，所以/(无)为奇函数，排除

z—Z

当x>0时，2i-2->0,所以/(x)>0,排除B,经检验A选项符合题意.

故选：A.

例6.(2024・高三・山东济南•开学考试)函数/(无)=:］的图象大致为()

【解析】由函数=/(-x)=^^=/(x),令0,解得XH±1,

则其定义域为{x|xw±l},关于原点对称,

3°+30

所以函数在定义内为偶函数，排除C,D选项,因为/(0)=中=-2,观察选项可知，选A.

-1

故选：A

例7.(2024・高三・安徽合肥•期中)将甲桶中的。升水缓慢注入空桶乙中，/min后甲桶剩余的水量符合指数

衰减曲线了=展叱假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再等加min甲桶中的水只有J升，则〃?的值为

O

()

A.5B.6C.8D.10

【答案】D

a

ae5n

2

【解析】由题意可得：,

(5+加)〃_a

etc一

8

5n1=-1ln2；

5n=ln-,n

22

5+m

5+m5+m

1ln21—=3,解得加=io.

e5

8W'2

故选：D.

例8.(2024・高一・四川成都•期中)函数三4的定义域为()

「x-5

A.(-8,2]B.(-℃,5)U(5,+co)

C.[2,+oo]D.[2,5)U(5,+⑹

【答案】D

包二士的定义域满足，2—420

【解析】函数/(%)=解得x22且xw5.

x-5x-5w0

故答案为：D

例9.（2024・高三・江苏连云港•阶段练习）已知函数〃x）=22;g.2m-6

⑴当XG[0,4]时，求/'（x）的最大值和最小值；

⑵若玉40,4],使〃x）+12-“220成立，求实数”的取值范围.

【解析】（1）令Z'=/e[l,16],

2

故1(x)=22x_：.2田一6ng(f)=/_5f—649

-,

4

当/=g时，g⑺取得最小值，最小值为-?，

又g⑴=-10,g（16）=256-86=170,

故/'（/X、）的最大值为170,最小值为-十49；

(2)22x-1-2x+1-6+12-a-2x>0,即2?工一(。+5)+6NO,

令2*=fe[l,16],故:一(0+5)/+620在川[1,16]上有解,

a+546

=t+—,只需：

max

其中尸/+：在—1,网上单调递减，在fe（跖16]上单调递增,

又当％=1时，＞=1+6=7,当，=16时，y=16+一=,

168

13191

故。+5K---,解得a<~—,

OO

91

故实数。的取值范围为—oo,——

8

]xax2-4x+3

例10.（2024・高一・河北保定•期中）已知函数/（尤）3)

⑴若。=-1,求/（力的单调区间

⑵若/'（X）有最大值3,求。的值

（3）若/（力的值域是（0,+e）,求。的值

-X2-4X+3

【解析】（1）当。=一1时，/（x）I

令g（x）=-d-4x+3,由g（x）在（-叫-2）上单调递增，在（-2,+8）上单调递减,

而V=在R上单调递减,

所以/'(X)在(-0),-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增，

即/(x)的单调递增区间是(-2,+8),单调递减区间是(-咫-2).

(2)令g(x)="d-4x+3,/(x)=ljI,

由于/(X)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,

a>0

因此必有1,2、3a-4,•解得。=1,即/(x)有最大值3时，a为I.

g㈠=-----=-1

Iaa

(1、g(x)

(3)由指数函数的性质知，要使了=心的值域为(0,+力)，

应使g(无)=。尤2-4尤+3的值域为R,

因此只能。=0(因为若。片0,则g(x)为二次函数，其值域不可能为R),

故a的值为0.

【过关测试】

一、单选题

2、+2，x43

1.(2024•江苏南通二模)已知函数/'(x)h小>3则/(顺9)=(

10C.辿82

AB.D.—

-1T99

【答案】B

2%+2-x,x<3

【解析】因为/(x)=°

［七/>3

13

由于log,9>3,贝。/(log29)=/(|log29)=/(log23)=2^+^1?=3+1=y.

故选：B

2.(2024•内蒙古包头•一模)已知/@)=白|伍>0)是奇函数，贝同=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】由函数=e>0)是奇函数，可得/(0)=U=£1=0,

3X-1

解得6=1,即函数/(x)=

3X+1

3X-1

又由函数/（x）=的定义域为R,且〃f）==一/仅），

3'+13一工+113'+1

r+1

所以函数/（x）为奇函数，所以b=l符合题意.

故选：D.

3.（2024•辽宁葫芦岛•一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标

准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的壶，若视力4.0的视

则视力4.9的视标边长约为（）

1]

A.啊B.阿cW

【答案】A

【解析】由题意可得，视力4.9的视标边长约为:

_9_

10x=10x1()7=10元=%^cm.

故选：A.

4.（2024・江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯・开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一绕以太阳为焦点的

2兀-

椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长。与公转周期7有如下关系：八行d,其中“为

太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星

的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【解析】设火星的公转周期为工，长半轴长为外,火星的公转周期为石，长半轴长为。2,

a。①

4GM

则，7；=87；,且

2%

4GM*②

故选：B.

5.（2024・高三•北京顺义・阶段练习）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使

用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的

里氏震级其计算公式为M=lg/-lg4,其中A是被测地震的最大振幅，4是标准地震的振幅.某地发

生了地震，速报震级为里氏7.2级，修订后的震级为里氏7.6级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之

比为（）

40

A.IO-0-4B.10°2C.IO0-4D.—

【答案】C

/A

【解析】由M=lg/-lg4,可得M=lg7,即7=10",4=4x10%

Ao4

当〃=7.6时，地震的最大振幅为4=4X10"6,

当M=7.2时，地震的最大振幅为4=4xl0/2,

所以修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是3=警票TO%-%=10。4.

故选：C.

ex

6.（2024•高三・山西运城•期末）已知/（无）=上/是奇函数，则4=（）

1-e

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】c

【解析】由题意得“r）=-/（x）,即上二=-——,

l-e-ax1-铲

故=e

所以"一x=x,解得a=2.

故选：c

丫2.qx

7.(2024•黑龙江•二模)已知.>0且"1,若函数=为偶函数，则实数”()

A.3B.9C.—D.一

39

【答案】B

【解析】已知"0且awl,若函数/卜)=*1|为偶函数，则有/(-x)=/(x),

即(一无)2.3-'化简得《=33所以。=9.

ax+\优+13、

故选：B

2

8.(2024・高三・广东广州•阶段练习)若/x)=3a-为奇函数，贝叱=()

''3X+1

11

A.1B.0C.-D.一

23

【答案】D

【解析】由解析式知：函数定义域为R,又为奇函数，

/21

所以/(0)=3a-——-=3a-l=0na=§,

故/(x)=l--—=

3X+13T+1

由〃_x)=工==±±=一〃M，为奇函数，满足题设.

I737+11+3*

所以a=g.

故选：D

9.(2024・高三•云南昆明•阶段练习)若命题“Vx<2,2，<a”为真命题，则实数。的取值范围为()

A.(一94]B.(Y,4)C.[4,+oo)D.(4,+8)

【答案】C

【解析】函数y=2-'在R上单调递增，当x<2时，2222=4，

“Vx<2,2£<a”为真命题,则。24,即实数a的取值范围为[4,+8).

故选：C.

10.(2024・高三・浙江丽水・开学考试)函数〃x)=l-3,的值域是()

A.(-8,1)B.(-oo,l]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】A

【解析】由指数函数的性质，可得3工>0,所以1-3*<1，即/(x)的值域是(-8,1).

故选：A.

11.(2024・高三•湖南衡阳•阶段练习)集合/={xeN11V2，一V4},则集合3=|%=log”b,a,be/}的元素个

数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

x1

【解析】^={xeN|l<2-<4}={l,2,3})

则加=log21=log31=0或冽=log22=log33=1或加=log32或冽=log23,

所以8={0,1』0832』083},元素个数为4.

故选：B.

12.(2024・辽宁・一模)若函数/(X)=3-2F+*在区间(1,4)内单调递减，贝段的取值范围是()

A.(-0>,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+8)

【答案】A

【解析】设“")=3","=-2/+ax,贝!]/(")=3"在(一8,+s)上单调递增.

因为/(x)=3-2*+©在区间(1,4)内单调递减，所以函数"=-2x2+ax在区间(1,4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：解得a«4.

故选：A

13.(2024・高三・北京•阶段练习)若函数/卜)=小4工+(2-1>2、有最小值，则/的取值范围是()

A.尺)B.(0,1]C.D.

【答案】A

【解析】设加=23则m>0,f(x)=g(m)=tm2+(2t-l}m,(m>0)有最小值.

当/<0时，二次函数g(m)开口向下，无最小值；

当/=0时，g("?)=-加无最小值；

7/_11

当/>o时，若g(M在(o,+e)上有最小值，则对称轴-与」>o,解得

故选：A

14.(2024•高二・河北•学业考试)已知函数/。)=2一”一25+〃.若函数/⑴的最大值为1,则实数二=()

7799

A.——B.-C.——D.-

8888

【答案】B

【解析】/(X)=2--2(2-)2+47,令"2-屋(0,+⑹，

(1¥1117

则y=—2/+/+〃=J.+Q,当/=a，x=2时，ymax=—+a=1,解得Q二

故选：B

15.(2024・高三湖南常德•阶段练习)设函数〃"V2)(°〉。，且的值域是[4,+8),

[3+logax,(x>2)-

则实数”的取值可以是()

A.(•,+«))B.(2,+“)C.(1,2]D.(VI,2]

【答案】D

【解析】由题，当x42时，0<2*44,4V8-2*<8,

当x>2时，

若0<a<l,y=3+log.x单调递减，所以ye(-oo,3+log.2),

不满足〃x)的值域是[4,+8)；

若a>1,>=3+10gM单调递增，所以ye(3+k>g“2,+oo),

要使/(x)的值域是[4,+s),则有4V3+log02<8,解得④<aV2.

故选:D.

16.(2024・高三・广东中山•阶段练习)若函数/'(尤)=/-e1,则下述正确的有()

A./(x)在R上单调递增B./(x)的值域为(0,+8)

C.y=〃x)的图象关于点(g,0)对称D.y=〃x)的图象关于直线X对称

【答案】AC

【解析】因为y=e*是定义在R上的增函数，y=ej是定义在R上的减函数，

所以/(x)="-ei在R上单调递增，故A正确；

因为/(0)=e°-e=l—e<0，故B错误；

…11i-LI-.i-*«4L1-x

因为/(/+x)+/q_x)=g2-e2+e2_e2-e2_e2+22_Q2=0,

所以y=/(x)的图象关于点(g,o)对称，故c正确，D错误.

故选：AC.

17.(2024・高三・湖南衡阳•阶段练习)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：。C)满足函

数关系y=e"+&(e=2.力8…为自然对数的底数，k,6为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在

14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是()

参考数据：2.85^172,2.76«387

A.6e(5,6)

B.若该食品储藏温度是21℃,则它的保鲜时间是16小时

C.左＜0

D.若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃

【答案】ACD

【解析】在函数了=/+匕中，当x=0时，e〃=192,由2.85^72,2.76q387知，be（5,6）,故A正确;

当x=14时，并”=48,所以y*=黑=：,则e’J：,

19242

21t+z)7i3A

当x=21时，e=(e)-ex192=24,故B不正确;

由得故C正确；

由了296,得96Wa1=192（gJ，所以xV7,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

18.（2024・广东•模拟预测）若盯=3,则

【答案】±273

【解析】当x＞0）＞0时,=Jxy+yjxy=273,

当x<0,y<0时,=~\JxyH—yjxy=—25/3.

故答案为：±2百

19.（2024・高三•内蒙古鄂尔多斯•期末）德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对

1+2+3+…+99+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现

一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数/■（》）=不、，则

表/I急卜£1"黑卜/giG,

2023

【答案】

2

AxAx4Idx4

【解析】由函数可得+—+Y—=/一+―--=1,

J\)4x+2八…1)4X+24『'+24、+24+2x4、

1

令"

2024岛“盛卜•“磊H貌

2023202220212

S=f

2024202420242024

2023

两式相加，可得2s=2023,所以S=一

20.(2024・高三•上海浦东新•期中)已知＞=是奇函数，当x20时，=则总［的值

是.

4

【答案】-五/-0.16

【解析】因为＞=是奇函数，所以/(-x)=-/(x),

4

故答案为：一石.

21.(2024・高三・北京顺义・期末)已知函数＞=在R上是奇函数，当x40时，/(x)=2x-l,则

【答案】-/0.5

2

【解析】•••函数y=在R上是奇函数，=

故答案为：y.

22.(2024・高三•河北张家口•开学考试)若函数了=(2'-加二力犬是R上的偶函数，则实数冽=.

【答案】1

【解析】设/卜)=(2'-"2一、卜5,则该函数为R上的偶函数，

则对任意的xeR,f(-x)=-f(x),即(2一，-m-2x\(-x)5=(2l-m-2T).x5,

整理可得2-x+2A-m(2A+2-x)=(l-m)(2x+2-x)=0,

所以，1-=0,解得m=l.

故答案为：L

23.(2024・高一•全国•课时练习)函数①了=4、②了=Y；③了=-4)④了=(-4)*；⑤了=兀*,；=4x2；

⑦了二式；⑧y=(a-中，是指数函数的是.

【答案】①⑤

【解析】因为指数函数为了=优(。>0且。/1),故①⑤正确；

由幕函数定义知，>=/是幕函数，故②不正确；

由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；

对于⑧，当。=2时，y=(0-l)'=1\不是指数函数.

故答案为：①⑤.

24.(2024・高三・北京•开学考试)函数=；+的值域为.

2r-l,x<0

【答案】(-1,0］口(1,+8)

【解析】当x>0时，/(%)=1+1>1,

当xS0时，则_1<2工-1〈2°-1，即-1<2—140,

综上/"(X)的值域为(-1,。］口(1,+3)，

故答案为：(-l,0］u(l,+<»).

25.(2024•高三・全国・专题练习)由命题“存在xeR，使/T-加外”是假命题，得加的取值范围是则实

数。的值是.

【答案】1

【解析】命题“eR，使-/V0”是假命题，

可知它的否定形式“VxeR,eK-m>0”是真命题，

则VxeR,刃<』T,

因为|x*0,

所以小吆1,

可得7M的取值范围是(-8,1),

而(-co,a)与(-8,1)为同一区间，

所以。=1.

故答案为:1.

26.(2024・高三•上海浦东新•期中)已知"x)=2*+x,则不等式川2x-3|)<3的解集为.

【答案】(1,2)

【解析】函数了=2X/=x都是R上的增函数，则函数/(尤)=2，+x是R上的增函数，

不等式/(2尸3以30/(|2x一3|)〈/(1)03-3卜1,贝！］一1<2》一3<1,解得l<x<2,

所以不等式f(|2X-3|)<3的解集为(1,2).

故答案为：(1,2)

27.（2024・高三・河南信阳•阶段练习）设函数/（无）=优。+5>0且。#1）在区间（0,1）单调递减，则。的取值

范围是.

【答案】［2,+8）

【解析】若了=/在（。,+8）单调递增，

要满足题意，贝l］y=f-办+1要在（0,1）单调递减，故1并，即。“；

若0<a<l,了=/在（0,+⑹单调递减，

要满足题意，贝匕=x2-"+1要在（0,1）单调递增，故•jwO，即。40,不满足0<。<1,故舍去；

综上所述：“的取值范围是［2,+8）.

故答案为：［2,+co）.

28.（2024・高一・江苏宿迁•期末）若命题“改e+8）,2工-加<0”是假命题，则加的取值范围为.

【答案】m<V2

【解析】因为2*-机<0”是假命题，

所以“Vxe—,+°°^,2*-加20”是真