2025年中考数学二轮复习：第4章 圆 压轴题之动圆相切（一） （含解析）

第2节动圆相切(一)

前言：“动圆相切问题”是动点与圆的结合，按运动的分式可分别“圆心为动点”、“直径为动线段”两大类，从不

同的运动方式考虑恰当的方法得到相切.

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圆心为动点

切线判定：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.

即计算圆心到直线的距离d,当满足d=r时，即圆与直线相切.计算线段长度可考虑多用三角函数与相似三角形.

引例1：如图，直线1的解析式为y=-苧居点P坐标为(40),以点P为圆心，1为半径作圆，当点P以每秒

2个单位的速度向右移动时，时间t为何值时圆P与直线1相切？

解析：过点P作PHL直线1,垂足为H点，当PH=r=l时，即可得圆P与直线1相切.

当点P坐标为(20)或(2,0)时，PH=1,

-2-(-4)2-(-4)

L=---=1^2=2=3,

综上所述，t的值为1或3.

弓I例2:在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点O在对角线AC上，圆O的半径为2,如果。O与矩形ABCD

的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是_________

解析：圆o的半径为2,可得AO取值范围是?<2。<当

直径为动线段

切线判定定理：过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线.

根据相切得到的垂直关系确定直径或动点的位置，用三角函数表示线段长，由线段之间数量关系列方程得解.

引例3:在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,连接BD,点P从D点出发以每秒1个单位向点C运动，点Q从点

B出发以每秒2个单位向点D运动，当其中一个点到终点时另一点也停止运动.以PQ中点O为圆心，PQ为直

径作圆，运动时间t为何值时，圆。与BD相切？

解析：当PQLBD时，圆。与BD相切,

由题意得：DP=t,DQ=5-2t,若PA±BD,即京=:代入得：三=:，解得：t=?故当t的值为时，圆0

DQ4b—ZC41414

与BD相切.

真题演练

1.如图，直线a，b,垂足为H,点P在直线b上，PH=4cm,0为直线b上一动点，若以1cm为半径的。。与直

线a相切，则OP的长为.

2以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与。O相交，则b的取值范围是()

A.O<b<2y/2B.-2V2</?<2V2

C,-2V3<&<2V3D.-2V2</><2V2

3.如图，直线1:y=-"+1与坐标轴交于A、B两点，点M(m,0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个

单位长度为半径作OM,当。M与直线1相切时,则m的值为.

4如图，直线y=-江-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位

长度为半径作。P,当。P与直线AB相切时，点P的坐标是.

5.如图.AAOB中，ZO=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运

动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF,

则当点C运动了s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切.

6.如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=12,点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当

半径为6的。P与4ABC的一边相切时，AP的长为

7.如图，点A的坐标是(a,0)(a<0),点C是以0A为直径的。B上一动点，点A关于点C的对称点为P.当点

C在。B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=-《久-1有且只有一个公共点，则a的值等于

8.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点P是BC边上的动点，连结PM,以点P为圆心,PM长为

半径作OP.当。P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为.

9.已知如图：在平面直角坐标系xOy中，直线y=V3x-2遮与x轴、y轴分别交于A、B两点P是直线A

B上一动点，OP的半径为1.

(1)判断原点。与。P的位置关系，并说明理由；

⑵当。P过点B时，求。P被y轴所截得的劣弧的长；

(3)当。P与x轴相切时，求出切点的坐标.

10.如图在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4c

m/s,过点P作PQLBD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点。从点D出

发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s,以O为圆心.0.8cm为半径作0O，点P与点O同时出发，设它们的

运动时间为t(单位s)(0<t<》

(1)如图1,连接DQ平分/BDC时，t的值为;

(2)如图2,连接CM,若小CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

(3)请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3,在运动过程中，当QM与。O相切时，求t的值；并判断此时PM与OO是否也相切？说明理由.

11.如图，在RtAABC中,/ACB=9(T,AC=2cm,AB=4cm,动点P从点C出发，在BC边上以每秒Wcm的速度

向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C-A-B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒(0<t

<|),连接PQ,以PQ为直径作。O.

⑴当t=泄，求4PCQ的面积；

⑵设。O的面积为S,求S与t的函数关系式；

⑶当Q在AB上运动时，。0与RtAABC的一边相切，求t的值.

第2节动圆相切(一)

1.3cm或5cm.

2D.

解析:确定两个相切的时刻，当b=±2•时，直线与圆相切，故若直线与圆相交，则b的取值范围是-2&<b

<2夜，故选D.

3.2-2*或2+2V5.

解析：点M到直线1的距离为2,即可得圆M与直线1相切.过点M作MHXAB交AB于H点，当圆M与

直线1相切时，MH=r=2,tanNABO=/.BH=4,BM=2V5

M点在B点左侧时，点M坐标为(2-2V5,0),

M点在B点右侧时，点M坐标为(2+2V5,0),

综上，m的值为2-2而或2+2V5.

4.(一”，0)或(-1,0).

解析：若圆P与AB相切，则点P到直线AB的距离为1,

可得AP=|,又点A坐标为(-4,0),

故点P坐标为(-£，0)或(-1,0).

y

5解析：易证CD〃AB,当圆C与直线EF相切时,

CF=r=1.5cm,CE=-CF=-x-=—,

4428

1515171717

CO=2CE=—,AC=8--=—^t=—^2=—

444f48f

6.y3V13.

解析：当圆p与BC边相切时，过点P作PH_LBC交BC则PH=6,^UEADHP^ADCA,DPDA=PH=C=卷

解得：DP=^DA=^,.-.AP=^.

当圆P与AB边相切时，过点P作PMLAB交AB于M点，则PM=6,过点D作DNLAB交AB于点N,易证

ABND^ABCA,可得：—="，解得：DN=2的？,易证△AMP^AAND,—="，解得：AP=3g.综上,AP

ACABAQDN

的长为葭或：3g,

ry3V10

10

解析：确定点P轨迹，考虑AP=2AC始终成立，可得点P轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆，若圆与直

线y=-夫-1相切，则半径等于点O到直线y=-紧-1的距离，用面积法可求d=甯，故r=嘴，则a=

3V10

10

y

解析：圆不可能与AB、BC边相切.

当圆P与CD相切时，即PM=PC

如图所示，设BP=x,贝!j.PM=V42+x2,PC=8-居则+*=8-%,解得x=3.

当圆P与AD相切时，即PM=r=8,解得.PB=4百.综上,BP的长为3或4禽

解析：⑴过点0作OHLAB于点H,可得(OH=V3,.\0H>r,故点。在圆外.

⑵记圆P与y轴另外一交点为C,连接PC,则NBPC=120。,则弧BC=1-271-1=拳故圆P被y轴截得的弧长

(3)圆P与x轴相切，即点P到x轴距离为1即可，|yp|=1,

当yp=-1时，y/3x-2V3=-1,解得：x2

当yP=l时，V3x-2V3=1,解得：久=2+今

故切点的坐标为（2-争0）或（2+争0）.

10.解析:⑴由题意得：PB=4t,PQ=3t,BQ=5t,CQ=8-5t,.若DQ平分/BDC,则CQ=PQ,即8-5t=3t,解得：t=l,

故t的值为1；

⑵过点M作MHXBC交BC边于点H,

若小CMQ是以CQ为底的等腰三角形，则H为CQ中点，则=|CQ=等,MQ=PQ=3t,

8一5t

易证器=3代入得：*=那得：”篇故t的值为

⑶①由于点o与直线MQ均为运动的，可取对角线BD为参照物.过点O作OELBD交BD于点E,则

OD=3t,OE^-OD又MN=PQ=m•4t=3t,；.OE<MN,.•.点O始终在QM所在直线的左

55544

侧.

②过点。作FGLBD交BD于点F,则FGXMQ,垂足记为G,

若圆。与四边形相切，

贝！JOG=FG-FO=3t-^=^=0.8,解得：t=

即当t=gs时，圆与QM相切,

此时若圆。与MP也相切，则MO平分/PMQ,即tan/OMG=tan22.5。,

nr13e9412T—innA416

DF=-DrlO=-x-=—,又P8=4x-1

553533

AFlcP=.10——29x-4=—34,GQ=—34

5315y15

43426一

...MG=3x；-套="又OG=r=0.8cm,

・•・tanNOMG=^tan22.5。,

此时PM与圆。不相切.

2

H.解析：⑴当t=1时，CP=^-cm.CQ=2cm,SPCQ=|xyX2=ycm.

(2)当0<t<2时，PQ2=PC2+CQ2=(V3t)2+(4t)2=19t2,

PQ兀,

_c219

.・.PQ—y/19t,r=