2025年中考数学二轮复习：第4章 圆 压轴题之弧中点的构造 （含解析）

第4节弧中点的构造

前言：纵观中考题中的圆的综合题，有些问题出现得很多，比如切线的判定，有些是条件出现得很多，比如本

节所要介绍的“弧中点”，对于常见条件，总结其常用的处理方法，有助于高效解题.

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与垂径定理相关

若点P是AB中点连接0P,则OPXAB.

若过点P作MN〃AB,则MN是。0的切线.

变换条件：连接BP、AP,若NBPN=NA,则MN是。。的切线.

引例1：如图，BD为公ABC外接圆OO的直径，且/BAE=/C.

(1)求证：AE与。0相切于点A;

(2)若AE||BC.BC=2小,AC=2vx求AD的长.

解析:⑴如图，连接OA交BC于点H,

,?BD是直径，ZBAD=90°,

,.-ZBAC=ZD=ZOAD,且/OAD+/OAB=90。，

/.ZBAE+ZOAB=90°,ZOAE=90°,

；.OA_LAE,

；.AE与圆。相切于点A.

(2)：人£〃：6(2,；.0人，：8€：,，点人是弧8€：中点，

AB=AC=2a,又.BH=CH=夕，

勾股定理得：AH=1,设半径为r,则OB=r,OH=r-l,

在RtAOHB中,。"2+BH2=OB2,

代入得：(r-I)2+(V7)2=r2,解得：r=4,

；.BD=2r=8,在RtAABD中，

勾股定理可得：AD=2V14.

与圆周角定理相关

若点P是AB中点点C是圆上一点，贝！］/PCA=/PCB.

特别地，若点P是半圆中点，则NPCA=NPCB=45。.

若连接PA、PB,则NPBA=NPCA=NPCB=NPAB.

可得：APDAs/^PAC;△PDB^APBC.

可得：ACAPMCDB;△CAD^ACPB.

引例2:如图，AD是△ABC的外接圆。O的直径，点P在BC延长线上，且满足/PAC=/B.

(1)求证：PA是。。的切线；

(2)弦CELAD交AB于点F,若AF-AB=12,求AC的长.

5'P

D

解析：(1)VZB=ZD,且/ADC+NCAD=90。,

ZPAC+ZCAD=90°,即AD_LAP,

；.PA是。O的切线.

(2)VAD±CE,.\AE=AC,AZACE=ZADC,

*.•ZADC=ZABC,AZACE=ZABC,

/.AAFCsAACB,；.AFC=ACB,

.*.AC2=AF-AB=12,.*.AC=2V3

AC的长为2V3

真题演练

1.如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C、D.AC与BD相交于点E,CD2=CE-CA„

分别延长AB、DC相交于点P,PB=BO,CD=2但则BO的长是_______.

2如图，OO是4ABC的外接圆，ZBAC的平分线交。O于点D,交BC于点E,过点D作直线DF/7BC.

(1)判断直线DF与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若4B=6,AE=W^,CE=W，求BD的长.

3.如图，四边形ABCD内接于OO,ABAD=90。,点E在BC的延长线上，且乙DEC=4BAC.

⑴求证：DE是。。的切线;

(2)若.2C||DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长.

4.如图，AB是。O的直径，C为。O上一点,AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.

(1)求证：ZCAD=ZCAB;

⑵若S==2跖求CD的长.

5.如图，在直角三角形ABC中,NACB=90。,点H是△ABC的内心,AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交

于点D,连结DB.

(1)求证：DH=DB;

(2)过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F,已知CE=1,OO的直径为5.

①求证：EF为。O的切线；

②求DF的长.

6.如图，AB是。0的直径，点C为BD的中点CF为。。的弦，且CF±AB,垂足为E,连接BD交CF于点

G,连接CD、AD、BF.

(1)求证：ABFG=ACDG;

(2)若AD=BE=2,求BF的长

7.如图,△ABC内接于。O,AD平分NBAC交BC边于点E,交。O于点D,过点A作AFLBC于点F,设。。的

半径为R.AF=h.

⑴过点D作直线.MN||8C,求证：MN是。。的切线；

(2)求证：ABAC=2Rh;

(3)设/BAC=2a,求暗的值(用含a的代数式表示).

8.已知：AB为。O的直径，延长AB到点P,过点P作OO的切线，切点为C,连接AC,且.4C=CP.

(1)求/P的度数;

⑵若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E,且DE.DC=20,求OO的面积.(兀取3.14)

9.如图，M、N是以AB为直径的。0上的点且4V=BN,弦MN交AB于点C,BM平分^ABD,MF1BD

于点F.

(1)求证：MF是。O的切线；

(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.

10.如图1,在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，过点C作NBCD=NACB交。O于点D,连接AD

交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.

(1)求证：ED=EC;

(2)求证：AF是。O的切线；

(3)如图2,若点G是小ACD的内心，BCBE=25,求BG的长.

11.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于点D,0为AB上一点，经过点A、D的。O分别

交AB、AC于点E、F,连接OF交AD于点G.

(1)求证：BC是0O的切线；

(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长；

(3)若BE=8,sinB=卷,求DG的长,

第4节弧中点的构造

1.4

解析：：CD2=CE-CA,.♦.△CEDs^CDA,

；./CDE=/CAD,；.CD=BC,连接OC,贝!!OC_LBD,

易证△POCs/\PAD,.*.答D=PO=I，，PC=4V2

易证△PBC-APDA,需=■，代入得:矗=第,

解得：r=4,，BO的长是4.

解析：⑴相切.

：AD平分NBAC,.•.点D是弧BC中点，连接OD,贝UODLBC,又：DF〃BC,.•.OD，DF,，DF是圆O的切

线.

(2)连接CD,可证AAEBs/iCED,

.•噌=笫代入得：>=弟解得：⑶=率,，.BD=CD=等,，BD的长为粤.

~5~

(1)如图，连接BD,・・・NBAD=90。，.・・BD是直径，

VZBAC=ZBDC,ZBDC+ZCBD=90°,

.\ZBAC+ZCBD=90°,又NDEC=NBAC,

/.ZDEC+ZCBD=90°,/.ZBDE=90°,即BD_LDE,

ADE是圆。的切线.

(2)VBD_LDE,AC//DE,BD±AC,D是弧AC中点，易证△BAD^ABCD,/.AC=AB=8,记BD与AC交点为H,

射影定理可得：CD2=CB-CE,

代入可得：CD=4,；.BD=4V5

易证ADHC-ADCB,可得:霁=黑，代入得:尊=提解得:CH=喳AC=受

BCBD84V555

故AC的长为胃.

解析：(1)连接0C,贝！|OC_LDC,：AD_LDC,，0C〃AD,；.NDAC=NAC(X5.0A=0C,NAC0=NCAB,；.NCA

D=ZCAB;

(2)连接CB,则/ACB=90。，XZDAC=ZCAB,.\ADAC^ACAB,.•.空=二设AD=2m,则AB=3m代入得：

CABA

景=黑解得：m=2,.\AD=4,CD=J(2V6)2-42=2vx.'CD的长为：2V2

解析：⑴连接BH,

易证N4HB=90°+|ZXCB=90°+45°=135°,

ZBHD=45°,XZBDH=90°,AABDH是等腰直角三角形,DH=DB.

(2)①连接OD,TAD平分NBAC,；.D是弧BC中点,

.".ODXBC,VEF/7BC,.'.ODXEF,

；.EF是圆。的切线.

②记BC与OD交点为M点则DM=CE=1,

•・•AB=5,/.OD=OB=-ABOM=-,BM=2

222f

•••tanZ-OBM=BCEF,•••Z-F=乙ABC,

4

L34八C4510

•••tanzF=-,・•・DF=-OD=-x-=—,

43323

；.DF的长为与

6.解析:(1)由题意可得:NCDB=/CFB,/CGD=/BGF,连接BC,•.•点C是弧BD中点，；.CD=BC,又BC=BF,

CD=BF,.,.△BFG^ACDG(AAS).

(2)考虑到DC=CB=BF,；.BD=CF,设半径为r,则BD2=(2r)2-22=4r2-4,CE2=r2-(r-2)2=4・4,

CF2=4CE2=16r-16故4r2-4=16r-16,解得：尸1(舍)或3,EF=V32-l2=2Vx.•.BF=2值.

解析：(1)连接OD,：AD平分/BAC,.,.弧BD=MCD,；.OD_LBC,；MN〃BC,；.OD_LMN,；.MN是圆O的切线.

(2)延长DO与圆交于点Q,连接AQ,：AF_LBC,DQ±BC,.'.AF/7DQ,AZEAF=ZADQ,.1.AAFE^ADA

Q,—=—,gpAEAD=AFDQ,连接CD,易证△ACD^AAEB,.'.NCE=ADAB,即AEAD=ABAC,AABAC=AFD

Q,.,.ABAC=2Rh.

Q

(3)延长BA至点G使得BG=AC,又NDBG=NDCA,DB=DC,ADBG^ADCA,AB+AC=AB+BG=AG,

过点D作DHLAG交AG于点H,则H是AG中点,

4B+4C

AHAB+ACAB+AC

costz2—2coscr.

ADAD2ADAD

8.解析：(1)连接OC,则NOAC=/OCA,.

：AC=CP,；./CAP=/CPA,又CP是圆O的切线，则OC_LCP,.,./OAC+/OCA+/P=90。，，/P=30。.故/P

的度数是30°.

(2)连接BC,易证ADEBs^DBC,

npnp_

:芍=云BPDB2=DEDC=20,.,.DB=2V5

AB=2710,071=OB=V10,S=nr2-3.14x10=31.4

解析：(1)连接OM,贝！jOM=OB,ZOBM=ZOMB,

M

D

wN

VMB平分NABD,.,.ZOBM=ZFBM,AZOMB=ZFBM,

,/ZBMF+ZFBM=90°,AZFMB+ZOMB=90°,gpZOMF=90°,MF是圆。的切线.

(2)•.,点N是弧AB中点，.•.NABN=45o=NBMN,

I—Ix—T-nrncnrcn/NCNB/IsX/pg34

易证NCBNBM,=代入恬：-=—,

NBNM4NM

解得：NM=.CM=NM-NC=段-3=4

故CM的长为!

10.解析：(1)易证/EDC=NECD,；.ED=EC.

(2)连接OA,则OALBC,

VZBAD=ZADC,AABCD,

又CF=AC=AB,；.四边形ABCF是平行四边形.

；.AF〃BC,，OA_LAF,；.AF是圆O的切线.

(3)易证△BEAsABAC,.*.BA2=BEBC=25,BA=5,连接AG,ZBAG=ZBAE+ZDAG,ZBGA=ZBCA+ZCAG,

又/BAE=NBCA,ZDAG=ZCAG,

/.ZBAG=ZBGA,；.BA=BG,.\BG=5.

IL