2025年新高考数学复习专项训练：直线与圆对称问题八大题型（原卷版）

专题2-1直线与圆对称问题八大题型汇总

。常考题型目录

题型1点关于点对称..............................................................2

题型2点关于直线对称............................................................3

题型3直线关于点对称............................................................5

题型4直线关于直线对称..........................................................5

题型5圆关于点对称..............................................................7

题型6圆关于直线的对称..........................................................8

题型7圆与圆关于直线对称........................................................9

题型8反射光线问题.............................................................11

但知识梳理

知识点一.轴对称

1.两点关于直线对称设Pl,P2,关于直线।对称，则直线P1P2，与I垂直，目P1P2的中

点在I上。这类问题的关键就是根据"垂直"和"平分”构造方程组。

特别的，A(x,y)关于x轴对称的点为A1(x,-y)

A(x,y)关于y轴对称的点为A1(-x,y),

A(x,y)关于x=a对称的点为A(2a-x,y),

A(x,y)关于y=b对称的点为A1(x,2b-y),

A(x,y)关于y=x+b对称的点为A1(y-b,x+b),

A(x,y)关于y=-x+b对称的点为A1(b-y,b-x)0、、//

2.两直线关于直线对称：设k,12关于直线I对称。

(1)当三条直线11,12,1共点时,I上任一点到11,12,的距离相等，且k上的

任意一点关于I的对称点一定在直线12上。

(2)当11//12//1时,11到I的距离等于L至！11的距离。

知识点二.中心对称

1、两点关于点对称：设匕f,yiJ,P(a,b),贝!IP】(xr,yr)关于P(a,b)对称

的点为P2(2a-%1,2b-yi)，即P为线段PF2P的中点。

特别的，A(x,y)关于原点的对称点A1(-x,-y)

2、两直线关于点对称：设直线li,b关于点P对称，这时k上的任意一点关于P的对称点

在b上.且k〃b

但题型分类

题型1点关于点对称

【方法总结】

点关于点对称实质：该点是两对称点连线段的中点

方法：利用中点坐标公式

说明：平面内点关于P(a㈤对称点坐标为(2。-%,26-2))平面内点

AG,%),A'(X2,乃)关于点五产,归比]对称；

I227

【例题U2023•全国•高二课堂例题)已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,。-1)关于点(3,4)

对称，则防=()

A.—5B.14C.—14D.5

【变式1-1]1.(2023・全国•高二专题练习)已知直线2x—y+r=。与圆C：(x+l)2+

(y—3/=产(r>o)交于A,B两点，且线段4B关于圆心对称，则r=()

A.1B.2C.4D.5

【变式1-1】2..(2023・全国•高二专题练习)点4(-3,l),C(l,y)关于点8(-1,-3)对称，则

【变式1-U3.(2023秋•高二课时练习)已知不同的两点P(a,-b),Q(b+l,a-1)关于点

（3,4）又寸称，贝!Jab=.

【变式1-U4.（2023秋•高二课时练习）已知A,B两点是圆C:/+（y-I）2=4上的两

点，若A,B关于直线x+ay-3=0对称，则实数a=_；若点A,B关于点（1,2）对

称，则直线AB的方程为.

题型2点关于直线对称

【方法总结】

实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线

1.当直线斜率存在时：方法：利用"垂直"和"平分"这两个条件建立方程组，就可求出

对称点的坐标，

一般地：设点（府,yo）关于直线Ax+By+C=0的对称点（乂，y'）,则

-1；

<x-%IBJ

A』+3^±A+C=0

[22I

2.当直线斜率不存在时：点（%,%）关于x=加的对称点为（2m-x.,凡）

【例题2]（2022秋•四川泸州•高二统考期末）点（0,0）与点（-2,2）关于直线I对称，则I的方

程是（）

A.x+y+2=0B.x—y+2—0C.x+y—2=0D.x—y—2=0

【变式2-1]L（2023•全国•高二课堂例题）已知直线=3x+3,则点P（4,5）关于I的

对称点的坐标为.

【变式2-1】2.（多选）（2023秋・江西宜春•高二江西省宜丰中学校考开学考试）下列说法

正确的是（）

A.过(久】，乃),(切，火)两点的直线方程为上江=工

y2~yi%2Tl

B.直线％-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

C.点(1,0)关于直线y=x+1的对称点为(-1,1)

D.直线7nx+y+m=0(mGR)必过定点

【变式2-1]3.(多选)(2022秋・广东珠海・高二珠海市第一中学校考期末)下列结论正确

的是()

A.若直线a尤+y+l=0与直线4x+ay+2=。平行，则它们的距离为?

B.点(5,0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(-3,4)

C.原点到直线々％+(2k+l)y-3k-1=0的距离的最大值为世

D.直线土+产匕=1与坐标轴围成的三角形的面积为租2+m

m2m+2

【变式2-1]4.(2023•全国•高二专题练习)已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于

直线x-y+l=0对称,则圆C的标准方程为()

A.(x+I)2+(y—l)2=9B.(x—l)2+(y—l)2=81

C.x2+(y+l)2=9D.x2+y2-9

【变式2-l]5.(2023,全国偏二专题练习居点4(a+2,b+2),B(b—4,a—6)关于直线4x+

3y—11=0又寸称，贝！Ja=；b=.

【变式2-1]6.(2023•全国•高二专题练习)设点P(2,5)关于直线久+y=1的对称点为Q,

则点Q的坐标为过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程

为.

【变式2-1]7.(2023秋•河北保定・高二河北省唐县第一中学校考阶段练习)已知直线，的

方程为3x-4y+2=0.

⑴求圆心为(1,0)且与直线而切的圆的标准方程；

⑵求直线X-y-l=。与2%+y-2=0的交点力坐标，并求点4关于直线/的对称的点的坐

标.

题型3直线关于点对称

【方法总结】

直线关于点对称实质：两直线平行

法一：转化为"点关于点”的对称问题（在/上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），

求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）

法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线

距离相等）

【例题3]（2023・全国•高二专题练习）直线2%-y+3=0关于点P（3,2）对称的直线的一般

式方程为—.

【变式3-1]1.（2023秋•高二课时练习）直线/：2%-3y+1=0关于点4（-1,-2）对称的

直线，'的方程为.

【变式3-1]2.（2023•全国•高二课堂例题）求直线3x-y-4=0关于点（2,-1）对称的直

线I的方程.

题型4直线关于直线对称

【方法总结】

1：当卜与/相交时方法：此问题可转化为"点关于直线"的对称问题

2：当11与/平行时方法：对称直线与已知直线平行

【例题4】（2023秋•山西大同•高二大同一中校考阶段练习）已知直线■.l1-.y=ax+3与关

于直线y=X对称，，2与，3：X+2y-1=。平行，贝！ja=（）

A.-iB.iC.-2D.2

22

【变式4-1]1.（2023•全国•高二专题练习）若直线、：y-2=（k-1）久和直线％关于直线

y=x+1对称,则直线%恒过定点（）

A.（2,0）B,（1,-1）C.（1,1）D.（-2,0）

【变式4-1J2.（2023•全国•高二专题练习股直线％-2y-2=。与%关于直线刀2%-y-

4=。对称，则直线12的方程是（）

A.llx+2y—22=0B.llx+y+22—0

C.5x+y—ll=0D.10x+y-22=0

【变式4-1]3.（多选X2023•江苏•高二假期作业）已知直线%:ax-y+1=0,l2-.x+ay+

1=0,aeR,以下结论错误的是（）

A.无论a为何值，I1与％都互相平行

B.当a变化时，。与%分别经过定点4（0,1）和以-1,0）

C.无论a为何值，4与%都关于直线％+y=。对称

D.若11与0交于点M,则|MO|的最大值是世

【变式4-1]4.（2022秋・湖北黄冈•高二统考期中）过直线y=x+l上的点P作圆

2

C：（x-I）+（y-6尸=2的两条切线4,12,当直线k，I2关于直线y=x+1对称时，两切

点间的距离为（）

A.1B.2C.V3D.V6

【变式4-1]5.（多选）（2023秋・河北唐山•高二唐山一中校考期末）如图所示，边长为2的

等边△04B从起始位置（。&与y轴重合）绕着。点顺时针旋转至。B与x轴重合得到△OA2B2,

在旋转的过程中，下列说法正确的是（）

A.线段4B的中点在圆/+y2=3上运动

B.直线4遇2与直线8/2关于直线比-y=0对称

C.边&&与边Bi/所在直线的交点为(3-旧,3-g)

D.4WB的角平分线所在直线方程是y=^-x,直线。4的方程为y=乎比

Z4

【变式4-1】6(2023秋・湖南邵阳•高二校考阶段练习直线53x-y-3=。关于直线S%+

y-l=。的对称直线方程为.

题型5圆关于点对称

【方法总结】

转化为圆心关于点对称问题

【例题5](2021秋•江苏南通・高二金沙中学校考阶段练习)圆(x+2)2+外=6关于点

P(l,l)对称的圆的方程为()

A.(x—4)2+(y—2)2=6B./+(y—4)2=6

C.(x+2)2+(y+2产=6D./+(y+4)2=6

【变式5-1】1.(2023•全国•高二专题练习)已知圆C:。+y2=25，则圆C关于点(-3,4)对

称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25

【变式5-1]2.(2023・全国•高二课堂例题)已知P是圆C：(x-5)2+(y-5)2=r2(r>0)

上的一个动点，它关于点力（9,0）的对称点为Q,O为原点，线段OP绕原点。逆时针方向

旋转90。后，所得线段为OR,求|QR|的最小值与最大值.

题型6圆关于直线的对称

【方法总结】

转化为直线过圆心问题

【例题6]（2023•全国•高二课堂例题）若圆C:/+/+2%-4y+3=。关于直线2ax+

by+6=。对称，则由点（a,6）向圆所作的切线长的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

【变式6-1]1.（2023秋•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前3世纪，古

希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第

七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定

值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点

2（-1,0）和B（2,l）且该平面内的点P满足|P4|=V2|PB|若点P的轨迹关于直线山久+ny-

2=0（m,n>0）对称，则。+:的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【变式6-1]2.（2023•全国•高二专题练习）已知圆0-1）2+（y—2）2=4关于直线ax+

by-2=。对称，则-a?+炉的最小值为（）

A.B.谑C.-D.1

555

【变式6-1】3.（2023•全国•高二专题练习）点M、N在圆C：/+y2+2"+2my—4=0

上，目M、N两点关于直线x-y+l=0对称，则圆C的半径（）

A.最大值为了B.最小值为'C.最小值为学D.最大值为瞥

【变式6-1]4.（多选）（2023秋・全国•高二随堂练习）（多选）若圆上的点（2,1）关于直线

x+y=。的对称点仍在圆上，且圆的半径为一,则圆的标准方程可能是()

A.x2+y2=5B.(x—l)2+y2—5C.x2+(y+l)2=5D.(x—l)2+(y+I)2=5

【变式6-1]5.(多选)(2023秋•广东广州•高二广州市天河中学校考期末)已知圆

M-.(X一1)2+(y-2)2=1,则()

A.mM关于直线x-y+l=0对称

B.圆M关于直线x+y+l=。对称的圆为(％+3)2+(y+2尸=1

C.直线/过点(2,0)且与圆M相切，则直线/的方程为3x+4y-6=0

D.若点P(a,6)在圆M上,则J(a+3Q+(6—2尸的最小值为3

【变式6-1]6.(2023•全国•高二课堂例题)圆。：/+(y—2)2=16关于直线a久+by-12=

。对称，动点S在直线y+b=0上，过点S弓|圆C的两条切线S4sB,切点分别为4B,则直线

48必过定点，那么定点的坐标为.

【变式6-1]7.(2023・全国•高二专题练习)已知圆C经过点4(1,2)和8(5,-2),且圆C关于

直线2x+y=。对称.

(1)求圆C的方程；

⑵过点。(-3,1)作直线1与圆C相切，求直线]的方程.

题型7圆与圆关于直线对称

【方法总结】

转化为圆心关于直线对称问题

【例题7](2023•全国•高二专题练习)已知圆C1：%2+y2=4与圆。2关于直线2久+y+5=0

对称，则圆的标准方程为()

A.(%+4)2+(y+2)2=4B.(%—4)2+(y—2)2=4

C.(%+2)2+(y+4)2=4D.(%—2)2+(y—4)2=4

【变式7-1]1.(2023秋,高二课时练习)若圆％2+y2-ax+2y+1=。与圆％2+y2=1

关于直线y=%-1对称，且过点C(-a,a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为

()

A.y2—2%+2y+8=0

B.y2+2%—2y+8=0

C.y?+4%—4y+8=0

D.y2—4%+4y+8=0

【变式7-1]2.(2023・全国•高二专题练习)已知圆Ci：/+y2+2%_2y+1=0,圆C?与

圆Ci关于直线％-y-l=0对称，则圆的方程为()

A.%2+y2—4%+4y+7=0B.%2+y2-4%—4y+7=0

C.%2+y2+4%4-4y+7=0D.%2+y2+4%—4y+7=0

【变式7-1]3.(2022秋•浙江•高二浙江省余姚市第五中学校联考期中)在平面直角坐标

2

系%。y中，若圆Ci：(%+4/+(y-1/=r(r>0)上存在点P,且点尸关于直线y=久+1的

对称点Q在圆。2：(%-4)2+*=4上，贝什的取值范围是()

A.(3,7)B.[3,7]

C.(3,+00)D.[3,+oo)

【变式7-1]4.(多选)(2023・全国•高二专题练习)已知圆％2+y2+2x-4y+l=0关于

直线2a%-by+2=0(a,beR)对称，则下列结论正确的是()

A.圆％2+y2+2%_4y+1=0的圆心是(一1,2)

B.圆％2+y2+2%-4y+1=。的半径是2

C.a+b=1

D.ab的取值范围是（-82

【变式7-1]5.（多选）（2023秋•全国•高二阶段练习）已知直线I:3久+2y+m=0,圆C:

/+*+4久一）/+：=0,则下列说法错误的是（）

A.若m=5+g或5-g,则直线I与圆C相切

B.若爪=5,则圆C关于直线I对称

C.若圆E：/+*+1久一2y-*=0与圆C相交，且两个交点所在直线恰为I,则巾=2

D.若m>5,圆C上有且仅有两个点到I的距离为1,则5+V13<m<5+3旧

【变式7-1]6.（2023・全国•高二专题练习）已知圆C[:Q+3）2+（y-2）2