2025年中考数学二轮复习：图形的对称 压轴解答题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：图形的对称压轴解答题练习题

解答题(共25小题)

1.如图，在等边△ABC中，点、D是BC边上一点、(点。不与8,C重合)连接A。，点。关于

直线A8的对称点为点E,连接。E交A8于点N.在上取一点尸，使/EFD=/BAC,延长跖交

AC于点G.

(1)若/BAD=a,求/AGE的度数(用含a的代数式表示)；

(2)用等式表示线段CG与Z5E之间的数量关系，并证明.

2.在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=2,BC=4,AC的中垂线DE交AC于。，交BC于点E.

(1)如图1,连接AE,则AE=；

(2)如图2,延长。E交A8的延长线于点R连接CR请求出CF的长；

(3)如图3,点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值

3.(1)如图1,已知在正方形ABCD中，点E、尸分别在边BC、。。上运动，当NEAF=45°时，求证:

DF+BE=EF；

(2)如图2,若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到且/2=/。=90°,点及尸分别在边BC、

。。上运动，且4瓦49=紧84£>,试猜想⑴中的结论还成立吗？请加以说明.

4.进行了如下的操作:

图1

操作一：如图1,将RtaABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE.

(1)如果AC=5cm,BC=】cm,可得△ACZ)的周长为；

(2)如果NCA£＞：/BAD=1：2,可得NB的度数为；

操作二：如图2,李静拿出另一张Rt^ABC纸片，将直角边AC沿直线。折叠，使点A与点E重合,

若AB=10aw,BC=8cm,请求出BE的长.

5.如图，在△ABC中，AB^AC,AB的垂直平分线交48于N,交AC于M.

(1)若/8=70°,则/MWA的度数是.

(2)连接MB,若AB=8aw,△MBC的周长是14a”.

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点尸，使由P,B,C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置

并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

6.根据以下素材，解决问题:

因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8,宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、

横式的无盖纸盒.装饰竖式、横式的无盖纸盒.

4

素材1彩纸的裁剪方案:

A方案B方案

4

44

C方案D方案

素材21个竖式无盖纸盒所需彩纸1个横式无盖纸盒所需彩纸

问题解决

问题1现有彩纸17张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，

且17张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是,一共

可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程.

问题21若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共2022个，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余

料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？

7.教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容.

(1)对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).

如图，在△ABC中，ZABC=80°,/ACB=

50°,8尸平分NABC,CP平分NAC8,求/

BPC的度数.

解：「BP平分NA8C（已知），

11

，乙PBC=^ABC=1x80°=40°.

同理可得NPC5=

O

,/ZBPC+ZPBC+ZPCB^180°

（_______________）,

ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB（等式的性

质）

=180°-40°-__________

问题推广：

(2)如图1,在△ABC中，ZABC.NACB的角平分线交于点尸，将△ABC沿。E折叠使得点A与点

尸重合，若Nl+N2=108°,求N8PC的度数；

(3)如图2,在△A8C中，NBAC的角平分线与△ABC的外角的角平分线交于点P,过点8作

于点H,若乙4c8=84°，则/尸度.

活动主设计一款日常的多功能椅子

题

素材1座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要

座椅来提供舒适的工作和休息.

图1是某折叠式靠背椅的实物图.图2是椅子合拢状态的侧图示意图，其中椅面、靠背和

椅腿在侧面示意中分别对应CE,FG、8尸和A。，椅腿A。，8C可绕连结点。转动，椅面

底部有一根可以绕点X转动的连杆用），靠背与椅腿的夹角NGF2在转动过程中形状保持

不变.此时椅面CE和靠背FG平行.注：三角形内角和为180。

素材2图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角ZHDA变小，使HD与椅面CE

贴合，此时椅面CE与地图平行.

G

素材3座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学期标合理的座椅，可以起到减轻腿部

肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用.现代人体工学用椅靠背

建议倾斜角度一般在105°〜120°,现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，

又能基本满足人体工学对椅背的要求.

素材4通过将靠背与椅腿8尸的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档,

在椅面CE下H点、与E点之间设置成三个卡档，来调整靠育GF和椅面CE的角度以满足

不同的需要，图4是舒适档.椅面倾角a为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺

时针为负倾角.靠背倾角P为靠背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角.

档位参数测量数据图示

舒适档靠背倾角105°

椅面倾角a10°

工作档靠背倾角95°

任务1根据素材1：回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得N£CB=150°,/OBA=70°,延

长GF,与地面54的夹角为a,求a.

任务2根据素材1,2,回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点/,探究与/

尸CE的数量关系.

任务3根据素材3,4,回答问题：

从舒适档调整为工作档时，椅腿FB与地面AB的夹角始终为0.

①请用0表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角NGFB=.

②求从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GE需要转过多少度？

9.如图1,有一张矩形纸片ABC。将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EE交

边于点E,交8c边于点F,分别连接ARCE和AC(如图2).

(1)求证：①△AOEgZXCOF；②四边形AFCE是菱形；

图1图2

10.(1)发现：如图①所示，在正方形A8CZ)中，E为A。边上一点，将△AEB沿3E翻折到处,

延长所交C£＞边于G点，求证：ABFG咨ABCG.

(2)探究：如图②，在矩形A8CD中，E为边上一点，且AO=8,AB=6.将AAEB沿BE翻折到

ABEF姓,延长EF交8C边于G点，延长8尸交CD边于点“，且FH=CH,直接写出AE的长.

11.如图，为探究一类矩形ABCO的性质，小明在8c边上取一点E,连接DE,经探究发现：当。E平分

NAOC时，将△ABE沿AE折叠至△Af'E,点尸恰好落在上，据此解决下列问题:

(1)求证：4AFD沿LDCE；

(2)如图，延长CF交AE于点G,交AB于点、H.求证：EF-DF=GF-CF.

12.如图，C为线段8。上的一个动点，分别过点8,。作A8_L8。，EDLBD,连接AC,EC.已知AB

=5,DE=1,BD=8,设C£)=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值.

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+4+J(12-x)2+9的最小值.

13.如图1,矩形ABCD中，点E,F分别在A。，8c上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在

上的一点H处，点。落在点G处，EF与4C交于点。.

(1)求证：四边形CfWE是菱形；

(2)如图2,AB=4,8C=8,点H与点A重合时，求。尸的长.

G

14.如果两个角之差的绝对值等于60°,则称这两个角互为等差角，即若|Na-/0|=60°,则称Na和

NB互为等差角.(本题中所有角都是指大于0°,且小于180°的角)

(1)若/I和/2互为等差角.当Nl=40°,则/2=.当/1=90°，则/2

(2)如图1,将一长方形纸片沿着EP对折(点P在线段BC上,点E在线段AB上)使点B落在点B.若

ZEPB'与/夕PC互为等差角，求NBPE的度数；

(3)再将纸片沿着FP对折(点F在线段或上)使点C落在点C'.如图2,若点、E,C,P

在同一直线上，且/夕PC与NEPF互为等差角,求NEPF的度数(对折时，线段尸8'落在NEPF

内部).

15.己知点A(xi,yi),B(%2,")，则AB之间的距离为一切尸+(为一内尸.

(1)若已知点A(-l,1),B(1,0),求线段AB的长；

(2)在(1)的条件下，若存在点C8,》，请判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若y=7妤—2乂+5+75—6%+45,求当x为何值时，y取最小值.

16.如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点。(0,2),点尸(1,0),线段。E和EF构成一个“L”

形，另有点4(7,5),点8(7,-1),点C(6,-1),连A。，BE,CF.若将这个“L”形沿y

轴上下平移，当AD+OE+BE的值最小时，E点坐标为；若将这个“L”形沿x轴左右平

移，当AO+OE+EP+B的值最小时，E点坐标为.

17.如图，在平面直角坐标系中，点A(-3,0),点8(-1,5).

(1)①画出线段A8关于y轴对称的线段CD；

②在y轴上找一点尸使丛+PB的值最小(保留作图痕迹)；

(2)按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段C£＞找一点0使NA4Q=45°.

①在图中取点E,使得BE=BA,且则点£的坐标为

②连接AE交8于点。，则点。即为所求.

18.对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方

法来研究一种新的四边形--------筝形.

定义:在四边形ABCD中，若AB=AD,BC=CD,我们把这样四边形ABC。称为筝形

性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：

从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是;

从边看：筝形有两组邻边分别相等；

从角看：;

从对角线看：.

判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明.

方法1：从边看：运用筝形的定义；

方法2：从对角线看：；

如图，四边形4BCD中，.求证：四边形ABCD是筝形

应用：如图，探索筝形ABC。的面积公式(直接写出结论).

19.如图1,有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形.

(1)拼成的正方形的面积是,边长是；

(2)仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，

在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理

由.图1图2

20.如图，在矩形A8CD中，AB=10,16,点E在射线8c上，连接AE,将AABE沿AE折叠，使

得点B的对应点落在点斤处.

(1)若点£为的中点，连接C8,判断AE与C8的位置关系，并说明理由；

(2)若点8落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求BE的长；

(3)连接若以点A、B'、。为顶点的三角形是直角三角形，直接写出8E的长.

D

C

备用图

21.在平面直角坐标系中，经过点"(0,机)且平行于x轴的直线记作直线>=机.给出如下定义：①把

一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴

对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂

直于这条线段②将点P(x,y)关于y轴的对称点记作点Pi,再将点Pi关于直线y=m的对称点记作点

P2,则称点尸2为点尸(x,y)关于y轴和直线y=机的”青一对称点”.例如：点P(3,1)关于y轴和

直线y=3的”青一对称点”为点尸2(-3,5).

(1)点A(3,4)关于y轴和直线y=l的“青一对称点”4的坐标是；

(2)点B(3m+n,m-n)关于y轴和直线y=m的”青一对称点”B1的坐标是(-9,5),求m和n

的值；

(3)若点C(6尤-5,2尤+1)关于y轴和直线＞=机的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x

的整数解有且只有一个，求机的取值范围.

22.如图，在正方形A8CD中，尸为边4?上一点，E为边BC延长线上一点，且CE=AF,连接EF,与

对角线AC相交于点G.

(7)求证：FG=EG；

(II)求证：AF+AD=V2XG；

(III)连接8G,点P,M,N分别是4BGE三条边BE,8G,EG上的动点,若AO=6,AF=2,求PM+PN

的最小值(直接写出结果即可).

AD

BCE

23.如图，ZkABC中，NA=30°,ZACB^ZABC,D是AB边上一动点，连接CD将△ACD沿CD翻

折后得到△AC。，射线CA与射线AB相交于点E.

(1)若△AOE是直角三角形，求NAC。的度数；

(2)若DE中有两个角相等,求ZACD的度

数.A备用图1备用图2

24.(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边8c和AB上，DF=AE.求证：DF±AE；

(2)如图2,在矩形ABC。中，将四边形A尸GZ)折叠，得到四边形EFGP,EP交CD于点H,点A落

AD34

在BC边上的点E处，折痕交边于尸，交边CD于G,连接AE交GP于点。.若一=且tcm/CGP=

AB43

GF=3亚,求AE与CP的长.

25.如图①，在长方形A8CO中，已知AB=10,AD=6,动点尸从点。出发，以每秒2个单位的速度沿

线段DC向终点C运动，运动时间为/秒，连接AP,把△ADP沿着AP翻折得到△人£P.

(1)如图②，射线PE恰好经过点2,试求此时t的值.

(2)当射线PE与边AB交于点。时，是否存在这样的/的值，使得QE=Q8?若存在，请求出所有符

合题意的t的值；若不存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

解答题(共25小题)

1.如图，在等边△ABC中，点。是BC边上一点(点。不与8,C重合)BD<CD,连接A。，点。关于

直线A8的对称点为点E,连接。E交A8于点N.在A。上取一点尸，使/EFD=N8AC,延长跖交

AC于点G.

(1)若NBAD=a,求/AGE的度数(用含a的代数式表示)；

(2)用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明.

【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】(1)60°+a；(2)CG=竽。E.

【分析】(1)由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解；

(2)在CG上截取CM=BD,连接BE,BM交AD于点H,连接BE,AE,再证明四边形E3MG

是平行四边形，可得CG=2BD,记A3与。E的交点为点N,则由轴对称可知：DE±AB,NE=ND,

再解RtABND即可.

【解答】解：⑴如图1,

：△ABC是等边三角形,

，ZBAC=60°

■:/EFD=NBAC,

：.ZEFD=6QQ,

9：ZEFD=Zl+ZBAD=ZUa,

Zl=60°-a,

・.・NAGE+N1+NBAC=18O°,

ZAGE=18O°-60°-Zl=120°-Zl,

ZAGE=120°-(60°-a)=60°+a；

(2)CG=理由如下：

如图2中，在CG上截取CM=B。，连接8M,BE,AE,交A0于点”,

•••△5C4为等边三角形，

AZABC=ZC=60°,BC=AB,

.•.△ABDmABCM(SAS),

・・・N3=N4,

,/NAHM=N3+N5,

ZAHM=Z4+Z5=60°,

'：ZEFD=ZBAC=60°,

/AHM=/EFD,

:・EG〃BM,

丁点D关于直线AB的对称点为点E,

：.AE=AD,BE=BD,ZABE=ZABC=60°,

.•.ZEBC=120°,

.\ZEBC+ZC=180o,

J.EB//AC,

・•・四边形EBMG是平行四边形，

：.BE=GM,

；・BE=GM=BD=CM,

:・CG=2BD,记AB与。石的交点为点N,则由轴对称可知：DE±AB,NE=ND,

在RtADA®中，DN=BD・sin/ABC=导BD,

：.DE=2DN=V3BD,

.CG2BD2V3

"DE一取BD―3'

：.CG=缘DE.

【点评】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质,

解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键

2.在中，ZB=90°,AB=2,8C=4,AC的中垂线DE交AC于。，交BC于点E.

(1)如图1,连接AE,则AE=-；

-2-

(2)如图2,延长。E交的延长线于点R连接CR请求出CP的长；

12

(3)如图3,点P为直线。E上一动点，点。为直线上一动点，则BP+P。的最小值为_事_.

【考点】轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理.

【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】(1)-；

2

(2)5；

12

(3)——.

5

【分析】(1)先由线段垂直平分线的性质得AE=CE,设A£=CE=尤，则8E=BC-CE=4-x,在Rt

△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

(2)先由线段垂直平分线的性质得设AP=CP=y,则2尸=>-2,在RtZXBb中，由勾股

定理得出方程，解方程即可；

(3)连接CB,过2作尸于交直线。E于P,如图3所示：

【解答】解：(1)是AC的中垂线，

：.AE=CEf

设AE=CE=x,贝ljBE=BC-CE=4-x,

在RtZVIBE中，由勾股定理得：22+(4-x)2=7,

解得：%=

即AE=

,—，5

故r答案为：~；

(2)TOE是AC的中垂线，

：.AF=CF,

设AF=CF=y,则3尸=>-2,

在RtZXBC/中，由勾股定理得：(y-2)2+42=/,

解得：y=5,

即。月的长为5；

(3)方法一：连接CR过5作尸于交直线QE于P,过P作尸于如图3所示:

・・・。6是AC的中垂线，

：.AF=CFf

：.NAFD=NCFD,

VP'MXCF,PQLBF,

：.PM=PQ,

则点M与。'关于DE对称，此时BPy+P'M=BP'^PQ,

即BP+PQ的值最小=3M,

由(2)得：AF=CF=5,AB=2,

：.BF=AF-AB=3,

9：ZCBF=180°-ZABC=90°,

ii

・•・ABCF的面积=^CFXBM=^BFXBC

.BFxBC3x412

..BM=-—=—=-p-,

CF55

12

即BP+PQ的最小值为m，

故答案为：—.

方法二：

作点B关于OE的对称点肛交。尸于G,过点〃作HQLAB于。，交DE于点P,如图4所示:

则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，

由对称得：ZAFD=ZCFD,ZAFD=ZHFD,BP=HP,FB=FH,

：.ZCFD^ZHFD,

.,.点C、H、尸三点共线.BP+PQ=HP+PQ=HQ,

由“垂线段最短”得：8P+PQ的最小值为

在等腰△Bf'H中，'：FB=FH,过8作于

:.HQ=BM(等腰三角形两腰上的高相等).

由方法一得：BM=

12

C.BP+PQ的最小值为g.

,,……,12

故答案为：—.

图3

【点评】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形

面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键.

3.(1)如图1,已知在正方形ABC。中，点E、尸分别在边8C、0c上运动，当/EA尸=45°时，求证:

DF+BE=EF；

(2)如图2,若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且/8=/。=90°,点E、F分别在边BC、

OC上运动，S.AEAF=^ABAD,试猜想(1)中的结论还成立吗？请加以说明.

【考点】翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】证明题；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)(1)中的结论仍然成立，理由见解答.

【分析】(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△AZJG,然后推出NAFG=/APE=45°,判定

△AFG名AAFE,得至!j然后等量代换即可解决问题；

(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,然后推出NAFG=/BA。，判定△AFG

0△AFE,得到FG=ER然后等量代换即可推出上面的结论仍然成立.

【解答】(1)证明：如图1,把△A2E绕点A逆时针旋转90°,使与4。重合，得到△AOG,

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

:四边形ABC。是正方形，

...NA£)G=/A8E=/A£)F=N3AD=90°,

...点C、D、G三点共线，

'：ZBAD=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZDAF^90°-45°=45°,

又；/DAG=NBAE,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即/曲G=NME,

XVAG=A£,AF=AF,

:.△AFGQXAFE(SAS),

:.FG=FE,

5L'：FG^FD+DG,DG=BE,

：.DF+BE=EF-,

(2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下：

如图2,把△A8E绕点A逆时针旋转90°,使与重合，得到△AOG,

图2

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

：/B=NAOC=90°,

：.ZADG=ZABE=ZADF=90°,

...点C、D、G三点共线，

1

,/ZEAF=寺/BAD,

ZBAE+ZDAF=专/BAD,

又「ND4G=N8AE,

1

・•・ZDAG+ZDAF=*/BAD,

即NHG=NE4E,

又\・AG=AE,AF=AF,

：.AAFG^AAFE(SAS),

；・FG=FE,

又•：FG=FD+DG,DG=BE,

：・DF+BE=EF.

【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形

深入理解题意是解决问题的关键.

李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作:

操作一：如图1,将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE.

(1)如果AC=5c机，BC=1cm,可得△AC。的周长为12c〃z；

(2)如果NCA。：NBAD=1：2,可得N2的度数为36°；

操作二：如图2,李静拿出另一张Rt^ABC纸片，将直角边AC沿直线折叠，使点A与点E重合,

若A8=10cm,BC=8cm,请求出BE的长.

【考点】翻折变换(折叠问题).

【答案】见试题解答内容

【分析】操作一：⑴由翻折的性质可知：2r»=AD于是AD+DC=BC,从而可知△AC£＞的周长=BC+AC；

(2)设NCAO=x,则/BA£)=2x,由翻折的性质可知/C8A=2x,然后根据直角三角形两锐角互余可

知：x+2x+2尤=90°.

操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得。C的长，在Rt^ACZ)中，利用勾股定

理可求得的长，由翻折的性质可知：DE=DA,最后根据计算即可.

【解答】解：操作一：(1)翻折的性质可知：BD=AD,

：.AD+DC=BC=1.

：.△ACZ)的周长=CD+AD+AC=BC+AC=l+5=12cm.

故答案为：12c〃z.

(2)设/C4O=x,则/B4Z)=2x.

由翻折的性质可知：ZBAD=ZCBA=2x,

,：ZB+ZBAC=90°,

.*.x+2x+2x=90°.

解得；x=18°.

・・・2x=2X18°=36°.

：.ZB=36°.

故答案为：36°.

操作二：在Rt^ABC中，AC=<AB2-BC2=6.

由翻折的性质可知：ED=AD,DCLAB.

11

TS^ABC=•BC=^AB.CD,

.\10CZ)=6X8.

・•・8=4.8.

在Rt^AOC中，AD=VXC2-CD2=^62-4.82=3.6.

.••E4=3.6X2=7.2.

：.BE=IQ-7.2=2.8.

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得C。的长度是解题的关键.

5.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M.

(1)若NB=70°,则NNMA的度数是50°.

(2)连接"8,若A8=8C7W,△M8C的周长是14cm.

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点P,使由P,B,C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置

并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

【考点】轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得NA的度数，根据直角三角形两锐角的

关系，可得答案；

(2)根据垂直平分线的性质，可得AM与M3的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之

间线段最短，可得P点与〃点的关系，可得PB+PC与AC的关系.

【解答】解：(1)若NB=70°,则NNMA的度数是50°,

故答案为：50°；

(2)如图：

①「MN垂直平分AB.

：.MB=MA,

又MMBC的周长是］4cm,

*.AC+BC=14cm,

・・BC^6cm.

②当点尸与点〃重合时，P3+CP的值最小，周长的最小值是8+6=14c%,

【点评】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出尸8=出.

6.根据以下素材，解决问题：

因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8,宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、

横式的无盖纸盒.装饰竖式、横式的无盖纸盒.

814

素材1彩纸的裁剪方案:

A方案B方案

4

44

C方案D方案

素材21个竖式无盖纸盒所需彩纸1个横式无盖纸盒所需彩纸

问题解决

问题1现有彩纸17张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料,

且17张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是4D，一共可

以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程.

问题2若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共2022个，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余

料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸?

【考点】剪纸问题；一元一次方程的应用.

【专题】数形结合；分类讨论；运算能力.

【答案】问题1、4D,一共可以做成32只竖式无盖纸盒；

问题2、至少需要1011张彩纸.

【分析】问题1、易得应选择4D方案,设A方案的彩纸。张，则。方案的彩纸(17-a)张，进而

根据4义4的正方形的个数和1X1的正方形的个数相等列出方程求解即可；

问题2、设装饰竖式无盖纸盒尤个，则装饰横式无盖纸盒(2022-x)个.得到可能的方案选择，根据

所给图形判断出两种类型的方案分别需要的彩纸的张数，进而根据两种方案得到的小正方形的个数等于

需要的小正方形的个数，判断所得解是否符合即可.

【解答】解：问题1、•••只有A方案和。方案中没有4X3的长方形,

应选择的两种裁剪方案是A、D.

设A方案的彩纸a张，则。方案的彩纸（17-a）张.

.♦.4X4的正方形有2a+17-a=（a+17）个，1义1的正方形有16（17"）个.

."+17=16(17-cz).

解得：a=15.

.\17-a=2(张).

故答案为：A、D.

答：一共可以做成32只竖式无盖纸盒;

问题2、设装饰竖式无盖纸盒尤个，则装饰横式无盖纸盒（2022-尤）个.

竖式纸盒需要4X4的正方形尤个，1X1的正方形x个;

横式纸盒需要4义3的长方形（2022-x）个，1X1的正方形2（2022-尤）个.

一共需要4X4的正方形x个，4X3的长方形（2022-x）个，1X1的正方形（4044-x）个.

X2022—X

①选择4、8两种方案.需要用A方案的彩纸超8方案的彩纸丁张.

2022-%

-----------x8=4044-x.

2

解得：尤=1348.

13482022-1348,

・••彩纸的张数为：-+----------------=1011(张).

2

久一(2022-久)

②选择A、C两种方案.需要用C方案的彩纸（2022-尤）张，A方案的彩纸:,-----------------=(%-1011)

2

张.

4X(2022-%)=4044-x.

解得：尤=1348.

・•・彩纸的张数为：(2022-1348)+1348-674=1011(张).

2022—X—X

③选择8、C两种方案.需要C方案的彩纸x张，8方案的彩纸---------=（1011-X）张.

4x+8(1011-x)=4044-x.

解得：x=1348.

，彩纸的张数为1011张.

2022—%

④选择8、。两种方案.需要。方案的彩纸x张，8方案的彩纸—•:—张・

2

16x+8x------=4044-x.

13x=-4044.

不合题意，舍去.

⑤选择C、。两种方案.需要C方案的彩纸(2022-X)张，。方案的彩纸[X-(2022-x)]=(2x-2022)

张.

4(2022-x)+16(2x-2022)=4044-x.

29x=28308

28308

不合题意，舍去.

答：至少需要1011张彩纸.

【点评】本题考查一元一次方程的应用.根据题意判断出两种方案组合下分别需要的彩纸的张数是解决

本题的易错点；找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键.

7.教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容.

(1)对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).

如图，在△ABC中，NABC=80°,ZACB^

50°,8尸平分/ABC,CP平分NACB,求

8PC的度数.

解：平分乙48c(已知)，

11

：.2LPBC=-^/.ABC=x80。=40°.

同理可得NPCB=

25°.

VZBPC+ZPBC+ZPCB=180°(三角形

内角和定理),

JZBPC=180°-ZPBC-ZPCB(等式的性

质)

=180°-40°-25°

=115°.

问题推广:

（2）如图1,在AABC中，ZABC,/AC8的角平分线交于点P,将△A8C沿。E折叠使得点A与点

尸重合，若Nl+/2=108°,求NBPC的度数；

（3）如图2,在AABC中，/B4C的角平分线与△ABC的外角/CBM的角平分线交于点P,过点8作

BH_LAP于点”，若NACB=84°，则48度.

【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义；三角形内角和定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力.

【答案】（1）25,（三角形内角和定理），25°,115°；

（2）117°,

（3）48.

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；

（2）先由折叠的性质和平角的定义得到NAED+NAOE=126°,进而求出NA=54°,同（1）即可得

到答案；

（3）先由角平分线的定义得到乙BAC=24BAP,/CBM=2/CBP,再由三角形外角的性质得到NC3P

=ZBAP+42°,根据三角形外角的定理推出NP=42°,再由垂线的定义得到NBHP=90°,则NP8H

=180°-NP-N8H尸=48°.

【解答】解：（1）：8尸平分/ABC（已知），

11

ZPBC=^ZABC=Jx80°=40°.

同理可得NPC5=25°.

VZBPC+ZPBC+ZPCB=180°（三角形内角和定理），

：.ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB（等式的性质）

=180°-40°-25°

=115°.

故答案为：25,（三角形内角和定理），25°,115

(2)由折叠的性质可得ZADE=ZPDE,

VZ1+ZA£P=18O°,/2+NA。尸=180°,Zl+Z2=108°,

：.2ZAED+2ZADE=252°,

?.ZAED+ZADE=126°,

ZA=180°-ZAED-ZAD£=54°,

VZA=54°,

?.ZABC+ZACB=180°-ZA=126°,

平分NA8C,CP平分/ACS,

AZABC=2ZPBC,/ACB=2/PCB,

：.2/PBC+2NPCB=126°,

gpZPBC+ZPCB=63°,

.\ZBPC=180°-NPBC-NPCB=111°,

(3)YAP平分N8AC,BP平分/CBM,

；./BAC=2/BAP,ZCBM=2ZCBP,

•；NCBM=ZBAC+ZACB,

：.2ZCBP=2ZBAP+M°,BPZCBP=ZPBM=ZBAP+41°；

•；ZPBM是△ABP的外角，

：.ZPBM=ZBAP+ZP,

：.ZP=42°,

:BHLAP,

即/BHP=90°,

：.ZPBH=1SO0-/P-N8Hp=48°；

故答案为：48.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关

知识是解题的关键.

8.综合与实践.

活动主设计一款日常的多功能椅子

题

素材1座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要

座椅来提供舒适的工作和休息.

图1是某折叠式靠背椅的实物图.图2是椅子合拢状态的侧图示意图，其中椅面、靠背和

椅腿在侧面示意中分别对应CE,FG、3尸和AD,椅腿AD,可绕连结点。转动，椅面

底部有一根可以绕点H