2025年中考数学二轮复习：相似三角形的存在性问题 专项练习（含解析）

相似三角形的存在性问题专项练习

1.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=R/+乎X-手与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，点D

为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴，CD交x轴于点F,ACAD绕点C顺时针旋转得到4CFE，点A恰好旋转

到点F,连接BE.

(1)求点A、B、D的坐标；

(2)求证:四边形BFCE是平行四边形；

⑶如图2,过顶点D作DDi1x轴于点Di,点P是抛物线上一动点，过点P作PMLx轴，点M为垂足，使得△P

AM与4DDtA相似(不含全等).

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回笞这样的点P共有几个？

V-7|/一7V

DD

图1图2

2.如图1z抛物线y=a%?+.+。与x轴交于点A(-l,0)xB(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,-3).点P、Q是

抛物线y=。好+6%+。上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值.

(3)如图2,直线0Q与线段BC相交于点旦当4OBE与^ABC相似时，求点Q的坐标.

3.如图1,在直角坐标系中，直线y=-+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,对称轴为x=l的抛物线过

B、C两点，且交x轴于另一点A,连接AC.

(1)直接写出点A、点B、点C的坐标和抛物线的解析式；

⑵已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

⑶抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线L:y=a久2+(c-a)久+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原

点O对称的抛物线为L'.

(1)求抛物线L的表达式；

(2)点P在抛物线L上且位于第一象限过点P作PD±y轴,垂足为口.若4POD与AAOB相似，求符合条件

的点P的坐标.

5.如图1,已知抛物线yax2+bx+c经过原点0(0,0)、A(2,0),直线y=2x经过抛物线的顶点B,点C是抛

物线上一点，目位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB,过点C作CE〃x轴，分别交线段OB、AB于点E、F.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当BC=CE时，求证:△BCE^AABO;

(3)当/CBA=NBOC时，求点C的坐标.

6.如图1,抛物线y=ax2+4x+c过点A(6,0)、B(3,|)与y轴交于点C.联结AB并延长，交y轴于点D.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求aADC的面积;

⑶点P在线段AC上，如果△OAP和仆DCA相似，求点P的坐标.

7.如图1,直线y=+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B，抛物线y=-#++c经过点A、

B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.

①点M在线段OA上运动，若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称

M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.

8.如图1,已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,l)、C(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)联结AC、BC、AB,求/BAC的正切值;

⑶点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG±AP交y轴于点G,当点G在点A的上方，目

△APG与AABC相似时，求点P的坐标.

9.如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(l,0)和B(0,3),其顶点为D.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)求4ABD的面积；

(3)设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PHL对称轴，垂足为R若4DPH与^AOB相似,

求点P的坐标.

1~"~d~~11~勺

图1

10.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线y=-jx2+bx

+：的对称轴交于点C(2,2),抛物线的顶点为D.

⑴求k和b的直

(2)点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的坐标;

⑶在抛物线上是否存在点E，它关于直线AB的对称点F恰好落在y轴上如果存在直接写出点E的坐标；

如果不存在，请说明理由.

11.如图1,在直角坐标平面内，抛物线y=&+族-3与y轴交于点A,与x轴分别交于B(-l,0)xC(3,0)

两点，点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

图1

⑵联结口。求4ACD的面积;

(3)点P在直线DC上，联结OP,若以0、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标.

12.如图1,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线经过A、B两点，点P是线段AB上一动

点，过点P作PCLx轴于点C,交抛物线于点D.

⑴若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

①求点M、N的坐标;

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存

在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

1.满分解答

⑴由y=+呼尤—¥=](%—1)(X+7)=弋(久—3)2—2低得A(l,0),B(-7,0),D(3,-2V3).

o4,ooo

(2攻口图3,由CF=CA,CO_LFA,得FO=AO=L所以F(-l,0).

在RtADDiF中，DD]=2V3,FD1=2,所以DF=4,NDFDi=60°.

所以△CFA是等边三角形.

所以NECF=NDCA=NCFA=60。.所以EC//x轴.

由黑=券=之仆=扣尸=2.所以DC=6.所以EC=6.

又因为BF=BA-FA=8-2=6,所以BF=EC.

所以四边形BFCE是平行四边形.

(3)①如图4,设P,噂(久一l)(x+7))作PH±x轴于H.

亨(h—DG+7)育

如果詈=箸=¥=冬那么==了解得x=-n.

②这样的点P共有3个.

考点伸展

这样的点P为什么共有3个呢?

因为RtA。。通的两个锐角不相等，过点A可以画4条直线：直线DA；直线DA关于x轴对称的直线；还

有两条直线关于x轴对称，与x轴正半轴的夹角等于^ADDl.

这4条直线，每条直线与抛物线都有两个交点，其中一个交点是点A,另一个交点是点P.在这4个点P中，

有1个就是点D.所以这样的点P共有3个.

2.满分解答

⑴设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+l),代入“2,-3)彳等32=-3.解得a=l.所以抛物线的解析式为y=(%-3)(%

+1)=x2—2%—3.

(2)如图3,作PFJ_x轴交OD于点F.

由0(0,0)、D(2,3｝得直线OD的解析式为y=—|乂

设P^X'X2-2x—3),F@—|x).所以PF=—|x—(x2—2%—3)=-x2+|x+3.

①如图3,当点P在y轴右侧时，SpoD=SPFO+SPFD-^PF-(xD-x0)=PF.

②如图4,当点P在y轴左侧时，SPOD=SPFD—SPFO=[PF•(如—%。)=PF.

所以SPOD=-X2+|%+3=-fx-i)+日

所以当X=扣寸,SAPOD取得最大值，最大值时今

4lo

(3)由B(3,0)、C(0,-3),得直线BC的解析式为y=x-3.

已知A(-1,O).B(3,0)、C(0,-3),设E(x,x-3),所以.AB=4,BC=3&,OB=3,BE=V2(3-x).

因为NOBE=NABC,所以分两种情况讨论△OBE与△ABC相似.

①如图5,当言=券寸.滔上=矗解得x=l.所以E(l,-2).

如图6,作EG±x轴于G.QH±x轴于H,所以EG〃QH.所以黑=第=2.

UriU(J

设Cm2—2m—3),所以—(m2—2m-3)=27n.整理，得m2—3=0.

解得叫=但啊=-遮所以Qg—2⑼或(-其28).

图5图6

②如图7,当需=詈时，誓到=斗，解得比=*所以£©—2

如图8,由EG〃QH彳导器=器=3.

设Q(m,m2—2m—3),所以—(十—27n-3)=3zn.整理，得m24-m-3=0.

由j,日—1+V13—1—V13

斛得m1=--一,m2=--一.

所以QF磬，上署)或(菅空二更)

考点伸展

第⑵题还可以这样考虑：如图9,设直线OD与抛物线交于点G.

3

联立y=一产解得G

ly=x2—2x—3

所以2£==i

人GDxD-xG7'

所以SpGD~SpFG+SpFD=^PF•(%。—%G)=£尸「

z4

又因为△POD与△PGD是等高三角形，

所以普=黑=3斤以Sp°D=：SPGD=PF.

SpGDGD77

3.满分解答

(1)A(-4,0),B(6,0),C(0,3).

抛物线的解析式为：y=-i%2+；%+3.

o4

⑵如图2,作PHLBC于H,PELx轴交BC于点E.

在RtACOB中,OB=6,OC=3,所以.BC=3逐.

在APHE和aBFE中,NPEH=NBEF,/PHE=NPFB,所以NHPE=/CBO.

所以cos4HPE=coszCBO=案=2=『.所以PH=手PE.

所以当PE取得最大值时，PH也取得最大值.

设P(A?——+-x+3),E(x，——x+3).

所以PE=--X2+-x+3—(----x+3\—--X2+-x---(X—3尸+-

84\2/8488

所以当x=3时，PE、PH取得最大值.此时P(3吟).

(3)已知A(-4,0),B(6,0),C(0,3),所以AC=5,AB=10,BC=3V5

所以sinzCXB=I，s,mZ-CBA=g

分两种情况讨论4QAB与公ABC相似.

①如图3,点Q在x轴上方，此时NQ为钝角.

当△QABs/iCAB时，点Q与点C重合，不符合题意舍去.

当小QAB-ACBA时，点Q与点C关于直线x=l对称.所以Q(2,3).

②点Q在x轴下方，不妨设/ABQ为钝角.

如图4,当小BAQ^ACAB时,—=—=—=2.所以AQ=2AB=20.

ABAC5

作QH_Lx轴于H.在RtAAQH中，AQ=20,sinzC4S=，所以QH=12,AH=16.

所以OH=AH-AO=16-4=12.此时Q(12,-12).

经检验，点Q(12,—12)在抛物线y=—+3上.

o4

根据对称性，点Q(12,-12)关于直线x=l的对称点Q(-10,-⑵也在抛物线上.

如图5,当小BAQ-ACBA时,*=黑=竽所以AQ=当4B=竽.

DCjyjb3DD

在RtAAQH中，AQ=竽,sin“8A=所以QH==£.

所以OH=4"—4。=£一4=g.此时Q(g，-g)

经检验，点Q(竽-三)不在抛物线y=-#+$+3上.

考点伸展

第⑴题求抛物线的解析式可以这样考虑：

由y=-3%+3彳导B(6,0)、C(0,3).

因为对称轴为x=l,所以抛物线与x轴另一点A(-4,0).

所以抛物线的解析式为y=-^x-6)(%+4)=-i(x2-2x-24)=~^x2+^x+3.

4.满分解答

(1)将A(-3,0)、B(0,-6)分别代入y=aY+(c-a)x+c得fa-3(c-a)+c=0,

解得a=-l,c=-6.所以抛物线L的表达式为y=-x2-5%-6.

(2)如图2,由抛物线L的表达式为y=-x2-5x-6^-(x+2)(%+3、得抛物线L的表达式为.y=(x

—2)(x—3)=x2—5x+6.

已知A(-3,0)、B(0,-6),设.P(X'X2-5x+6).

因为NPDO=NAOB=90。,分两种情况讨论△POD与△AOB相似.

①如图3,当等=得=2时,DO=2DP.所以%2-5%+6=2x.

整理，得久2一7久+6=0.解得xi=1遥2=6.所以P(l,2)或(6,12).

②如图4,当器=黑=T时,DP=2DO.所以x=2(x2-5x+6).

整理，得2x2-llx+12=0.解得/=I，久2=4.所以P(|国)或(4,2).

考点伸展

第⑵题还可以这样考虑：

已知A(-3,0)、B(0,-6),设P(m,n).

因为NPDO=NAOB=90。,分两种情况讨论△POD与△AOB相似.

①如图3,当案=总=2时巴=2.所以点P在直线y=2x上.

D1(JA77T

产[=1,产2=6,

联立'="一齐+6,解得葭=2,\=12.所以P(1,2)或(6,12).

(y=2x,

②如图4,当等=器=取寸.巴=1所以点P在直线y=i%±.

UrUDN771，Z

3

4仔2=4,

2

fy=%-5x+6,|y.=—,卜2=2・

联立=,解得*4所以P(I，0或(4,2).

5.满分解答

⑴因为抛物线与x轴交于0(0,0)、A(2,0)两点，所以对称轴为直线x=l.

因为顶点B在直线y=2x上，所以B(l,2).

设抛物线的表达式为y=ax(x-2),代入点B(l,2)狷2=-a.

解得a=-2.所以抛物线的表达式为y--2x(x-2)=-2x2+4x.

/B

(2)如图2,因为CE//x轴，所以NCEB=NBOA.

因为BA=BO,当BC=CE时，等腰三角形BCE与等腰三角形ABO的底角都相等.[\

所以△BCEsAABO,图2

(3)如图3,因为/BFE=/BEF,NBFE=NCBA+NBCF,/BEF=NBOC+NOCE,所以NBCF=NOCE.

如图4,作BMXCE于M.设CE与y轴交于点N.设C(x,-2x2+4x).

由tan/BCF=tan/OCE,得—=—.

CMCN

所:以2-(-2%2+4%)_-ZM2+M束攵壬里彳目2(%-1)2_-2%(%-2)

X-1X''X-1X'

因为点C与点B、O不重合，所以xri,x/).

化简彳导2(x—l)=-2(x—2).解得X=I所以C

考点伸展

第⑴题求抛物线的表达式，先要确定点B的坐标，然后可以设一般式，代入0、A、B三点的

坐标列方程组；也可以设顶点式，代入点0或点A的坐标列关于a的方程；还可以设交点式，代入点B的坐

标列关于a的方程.

第⑵题当(CB=CE时，△CBE与△BEF是两个有公共底角的等腰三角形，这两个三角形相似.又因为.△BEF

-△BOA,,根据相似三角形的传递性，可得.△BCE-△AB0.

6.满分解答

,(36a+24+c=0,(__i

⑴将A(6,0)、B(3,|分别代入y=收+4x+a得19。+I2+C=三,解得「n］一京’

所以抛物线的表达式为y=-|x2+4x-6,C(0>-6).

⑵如图2,由A(6,0)、B(3,|淄直线AB的解析式为y=-|x+3.邛4

所以D(0,3),CD=OC+OD=9.\/\

所以5皿；=55。4="9*6=27.'

22RU

(3)如图3,由A(6,0)、C(0,-6)、D(0,3),得CD=9,OC=OA=6,AC=6V2.

所以NCAO=NACO=45。.

分两种情况讨论4OAP和4DCA相似.

①如图4,当务=鄂寸,'=等所以AP=4V2.

作PH，OA得等腰直角三角形△PHA,所以PH=AH=4.

所以OH=OP-PH=6-4=2.此时P(2,-4).

②如图5,当*齐寸，?=焉所以在=2

在等腰直角三角形△PHA中，PH=AH=

所以OH=OP-PH=6-皆*此时P

考点伸展

图4、图5中点P的位置又是经典.

图4中，tan/OPH弓图5中，tan/OPH=1.

如果tana=|,tan/?=那么a+p=45°.

7.满分解答

(1)将点A(3,0)代入y=-|%+g得c=2.所以y=-|x+2,B(0-2).

设抛物线的交点式为y=-|(x-3)(x-几),代入点B(0,2｝得-4n=2.

解得n=-,所以y=-|(x-3)(x+|)=-|x2+yx+2.

(2)①在RtAAPM中，tan^PAM=^=|.

因为△BPN与4APM有一组对顶角，如果它们相似，那么△BPN是直角三角形.

⑴如图2,当NBNP=90。时,BN〃x轴点N与点B关于抛物线的对称轴对称抛物线的对称轴为直线久=：,,所

以点N的横坐标为|.所以,

（ii）如图3,当NNBP=90。时，作BH±MN于H,那么黑=|.

由HB=得m=|[(­|m2+ym+2)-21.解得m=p所以M传，。)

②m的值为表-：或-L

考点伸展

最后一小题分三种情况讨论：

①如果P为NM的中点，那么yN=2yp.

解方程—（爪2+与根+2=2（—］爪+2）,整理，得2nl2—7租+3=0.

解得m=会如图4所示），或m=3（舍去）.

②如果N为PM的中点，那么yp=2yN.

解方程一［爪+2=2（-1根2++2）,整理，得47n2-11m—3=0.

解得m=-｝（如图5所示），或m=3（舍去）.

4

③如果M为PN的中点，那么yp=-yN.

解方程一［根+2=-（一（62+孩7n+2）,整理，得——2m—3=0.

解得m=-l（如图6所示），或m=3（舍去）.

8.满分解答

⑴设抛物线的解析式为y=ad+bx+c.

c=3,

WA(o,3).B(4,D、C(3,0)分别代入彳导16a+46+c=1,

9a+3b+c=0.

解得a=^,b=-|,c=3所以y=|x2-|x+3.

(2)如图2,由A(0,3)、B(4,l)、C(3,0),得AC2=18,BC2=2,AB2=20.

所以AC2+BC2=AB2.

所以△ABC是直角三角形,NACB=90。.

所以tan®C=算=舟/

(3)设点P的坐标为(久《久2-|久+3).

如图3,作PH±y轴于H,那么△AHP^AAPG.

如果△APG与4ABC相似，那么△AHP与4ABC也相似.

分两种情况讨论小AHP与△ABC相似：

①如图4,当需=m=3时,HA=3HP.

nrCD

解方程|x2-jx+3-3=3居得x=ll,或x=0.此时P(ll,36).

②如图5,当器=筹=争寸，HA=^HP.

tirDoD

解方程次-1+3-3=%得X=苗或X=0.此时P(y-y).

考点伸展

如果第(3)题求点G的坐标，也需要先求点P的坐标.

如图4,HG=1HP=芳，此时OG="+HG=36+/=苧所以G(0,

如图5,HG=3HP=17,止匕时OG=yP+HG=17+^=可所以G(0弓)

9.满分解答

⑴已知抛物线y=必+.+c与x轴交于点A(l,0),可设y=(x-l)(x-x2).

代入点B(0,3),得.亚=3.

所以.y=(x-l)(x-3)=x2-4x+3=(x-2)2-1顶点D的坐标为(2,-1).

(2)如图2,设抛物线的对称轴与x轴交于点M，作BNXDM于N.

已知A(l,0)、B(0,3)、D(2,-l),那么M(2,0),N(2,3).

所以SAABD=S四边形BADN—SABDN=S梯形BAMN+SAADM—SABDN

=-(l+2)x3+ixlxl-ix4x2=l.

(3)设点P的坐标为3久2一4久+3).

分两种情况讨论4DPH与4AOB相似：

①当**3时.…:曹3=3.

整理，得一-7久+10=0.解得x=5,或x=2.此时P(5,8)(如图3所示).

②当黑(X2-4X+3)-(-1)1

x-231

整理，得3x2-13x+14=0.解得x=(或x=2.此时P(J，—§(如图4所示).

考点伸展

第⑵题也可以这样分割4ABD:如图5,设BD与x轴交于点E,那么AE将4ABD分为两个有公共底边的4BA

E和4DAE,这两个三角形高的和等于B、D两点间的竖直距离.

由，得直线为.丫=一.所以(，)

B(0,3)sD(2,—BD2%+3E|O,AE=5.所以SABD=SBAE+^DAE=-AE(B0

11

+DM)=-x-x4=l.

w

0

•D

图5

10.满分解答

⑴将点C(2,2)代入y=kx+3狷2k+3=2.解得k=

由抛物线的对称轴x=2b=2彳导b=l.

(2)如图2,由y=—得x+3彳导B(0,3).

由y=—+久+;=_；(%_2)2得D(2,|)

由B(0,3)、C(2,2)、D(2,g得BC=布,CD=j.

图2图3

因为BG〃CD,当G在B下方时,NGBONBCD.分两种情况讨论相似:

①当作=一时,BG=CD=，此时G(0,；(如图2所示).

DCCDZZ

②当兽=W时BG=*2.此时G(0,l)(如图3所示).

（3）点E的坐标为（2,|域（（-吗.

考点伸展

第⑶题的解题思路是这样的：如图4,作EHLy轴于H.

当点F落在y轴上时，设AB垂直平分EF于G那么/EFH=/A.

由于tan/A=票=/可设EH=m,FH=2m,那么EF=V5m.

在RtABFG中，FG=些？n,所以BG=叱m,BF=三6.

244

所以OF=0B—BF=3—所以。"=OF+FH=3-+27n=3+三小.

444

所以E（m>3+凯）

2

将点E（m>3+1m）代入y=—1%+%+（得3+|m=—1m?+7n+（

整理，得zn?-m-2=0.解得m=2,或m=-l.

所以点E的坐标为（（2。（如图4所示），或（（-1，?（如图5所示，局部放大）.

11.满分解答

⑴因为抛物线与x轴交于B(-l,0)sC(3,0)两点，所以y=a(x+l)(x-3).

对照y=ax2+bx-3,根据常数项相等，得-3a=-3.解得a=l.

所以.y=(%+1)(%-3)=x2-2x-3=(x-I)2-4.顶点为D(l,-4).

(2)如图2,由A(0,-3)、C(3,0)、D(l,-4),可得AC2=18,AD2=2,CD2=20.

2

所以CD=4c2+4。2.所以△ACD是直角三角形,/CAD=90°.

所以SACD=lAC-AD=|V18xV2=3.

⑶第一步,先探求ZOCD=ZBAC.

如图3,由C(3,0)、D(l,-4),可得tan/DCO=^=2.

如图4,作BH±AC