2025年新高考数学复习突破讲义：导数的概念与运算（含解析）

专题14导数的概念与运算

【考点预测】

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数/（X）在x=x0处瞬时变化率是1面包=1而〃/+-）-/（＞）,我们称它为函数了=/（X）在x=x0

Arf0Arf0Ax

处的导数，记作/''（xo）或y'L』.

知识点诠释：

①增量■可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：©与0之间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当Axf0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包=/（M+AX-（X。）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即r（Xo）=lim—=lim小。+Ax）-/（x。）.

。AxAx

2、几何意义

函数y=/（x）在x=x。处的导数尸（%）的几何意义即为函数y=/（x）在点尸（看,%）处的切线的斜率.

3、物理意义

函数S=S⑺在点0处的导数，&）是物体在％时刻的瞬时速度V，即丫=5&）；V=V⑺在点八的导数

M«o）是物体在小时刻的瞬时加速度°,即a=M（/o）.

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f{x）=c（。为常数）/'(x)=0

y(x)=x"(aeQ)/'(%)=CLX~X

f(x)=ax(Q>0,qw1)f\x)=ax]na

/(x)=loga%(a>0,aw1)/'(x)=；

xma

/(x)=e'/'(x)=e'

/(x)=lnx

/v)=-

f(x)=sinx/'(x)=cosx

f(x)=cosX/'(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则：[/(X)土g(x)]'=/'(x)±g'(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+/(x)g'(x);

贝I]rZW-i=/(E>g(x)-/(x)g'(x)

(3)函数商的求导法则：g(x)*O

'g(x)g2(x)

3、复合函数求导数

复合函数y=/[g(x)]的导数和函数y=/3),"=g(x)的导数间关系为K=yuux：

【方法技巧与总结】

1、在点的切线方程

切线方程y-/(x0)=f'(x0)(x-x0)的计算：函数y=/(x)在点A(x0,/(x0))处的切线方程为

y=fM

y-/(Xo)=/'(XoXx-Xo)，抓住关键0

k=f'g)

2、过点的切线方程

设切点为尸(X。，%),则斜率后=/'(Xo),过切点的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因为切线方程过点/(正，〃)，所以〃n/'CvoX"?-X。)然后解出X。的值.(X。有几个值，就有几条

切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

【典型例题】

例1.(2024・高三・全国・专题练习)已知函数/■@)=詈+2尤，则曲线y=/(x)在x=o处的切线方程为()

A.2x-2y+l=0B.x+y-l=O

C.x-y+l=OD.2x-y+l=O

【答案】C

【解析】由题意知/'(x)=sin；：cosX+2,/⑼之，

；・曲线V=/(x)在尤=0处的切线斜率为/''(0)=曰手限+2=1,

e

曲线y=/(x)在无=0处的切线方程为y-l=x,S.x-y+i=O.

故选：C.

例2.(2024・高二•全国・竞赛)若点尸是曲线＞=/一Inx上任意一点，则点尸到直线y=x-2的最小距离为

().

A.-\/2B.5/3C.2D.y/s

【答案】A

【解析】•..y'=2x-g,设为所求的点，

y0=%o-lnx0,

得x0=l,%=1,则点尸到直线y=x-2的最小距离为卜?=JL

故选:A.

例3.（2024・高三•江西抚州•阶段练习）如图1,现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器，以2cm3/s

的速度向该容器内注入溶液，随着时间f（单位：S）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2

所示，忽略容器的厚度，则当/=兀时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

7?

图1图2

A.画cm/sB.汽m/sC.V150.V150.

-------cm/snU-cm/s

6兀5兀3兀----------------2兀

【答案】c

【解析】设注入溶液的时间为t（单位：S）时，溶液的高为〃cm,

则;兀-h=2t,得〃=$15。，.

因为勿=4快,

所以当/=无时，〃=』］咫=妪0,

3V7t337r

即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为近（

:m/s.

3兀

故选：C

例4.（2024・山东济南•一模）与抛物线x?=2了利1圆Y+3+1）2=1都相切的直线的条数为（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】D

【解析】设直线与抛物线无2=2y相切的切点坐标为（7,；〃），由y=求导得了=一

因此抛物线X2=2v在点。,?2）处的切线方程为y-；/=《X-）,即比一y一?2=0,

Il-l;21

依题意，此切线与圆尤2+（了+1）2=1相切，于是I211，解得"0或;±2也，所以所求切线条数为3.

+1

故选：D

例5.（2024•福建漳州•一模）若曲线y=ae-+x在点（2,2+a）处的切线方程为y=4x+b,贝1]0+6=（）

A.3B.-3C.0D.1

【答案】C

【解析】因为y=ae>2+x,则j/=ae>2+l,

[Q+1=41Q=3

由题意可得：。Ac，解得L,所以0+6=0.

[8+0=2+«[6=-3

故选：C.

例6.（2024・高三・广东•阶段练习）已知函数/3=3办2+/+1（*0）在点（1,〃1））处的切线与直线

/:x+2y-l=0垂直，则ab的最大值为（）

A.1B.vC.-D.2

24

【答案】A

【解析】f'（x）=ax+b,

因为函数/（x）在点（1,/■⑴）处的切线与直线/:x+2y-l=0垂直，

所以/'⑴=2,即a+b=2,贝心力不可能同时为负数，

当a>0,b<0或。<0,6>0时，ab<0,

当Z>=0,〃=2时，ab=0,

当。>0,b>0时，ab/+b）=口

一2

当且仅当“=6=1时，取等号，

综上所述，成的最大值为1.

故选：A.

例7.（2024糊北一模）已知函数/（力为偶函数，其图像在点。，/⑴）处的切线方程为x-2y+l=0,记〃力

的导函数为/'（力，则/'（—1）=（）

11

A.—B.-C.—2D.2

22

【答案】A

【解析】因为/(X)为偶函数，所以/(x)=/(f),两边求导，可得

[〃x)]=[/(_x)]n/，(x)=r(T}(r)n"x)=-/，(-).

又〃x)在(1J⑴)处的切线方程为：x-2y+l=0,

所以外)=；.

所以/'(-1)=-/■'⑴=1.

故选：A

例8.(2024•河南开封二模)已知函数/(x)=2，，则函数/(无)的图象在点(OJ(O))处的切线方程为()

A.x-^-1=0B.x-y+l=0

C.x」n2-y-l=0D.x-\n2-y+\=0

【答案】D

【解析】函数/(x)=2*,求导得/(x)=2'ln2,则八0)=ln2,而"0)=1,

所以所求切线方程为了-1=山2•(尤-0),gpx-ln2-y+l=0.

故选：D

例9.(2024・高三•全国•阶段练习)若函数/(外=。111X-5，(0>0,6>0)在点(1,_^1))处的切线的斜率为1,

则log?(a•6)的最大值为()

11

A.-B.—C.—2D.1

24

【答案】C

【解析】由已知/'。)=3+4，所以八1)=。+，=1,

XX

\=a+b>2y/~ab,得ab«(,所以log2(ab)«-2,

当且仅当a=6==时等号成立.

故选:C.

例10.(2024・江西上饶•一模)已知函数/(x)=xe*,则下列说法正确的是()

A./(X)的导函数为/'(x)=(x-l)e，B./(X)在(-1,+⑹上单调递减

C./⑺的最小值为—D./(x)的图象在尤=0处的切线方程为y=2x

【答案】C

【解析】A：/(x)=xer^>f'(x)=e+xe=(x+1)eA,因此本选项不正确；

B：由上可知：/'(x)=e*+xe*=(x+l)e)

当x>T时，/(x)>0,函数/(x)单调递增，因此本选项不正确；

C：由上可知：/'(x)=(x+l)e\

当x>-1时,/气)〉0,函数/(尤)单调递增,

当x<-l时,r(x)<0,函数“X)单调递减，

所以当x=-l时，函数f(x)的最小值为因此本选项正确；

D：由上可知/'(x)=(x+l)e)因为，(O)=l,/(0)=0,

所以/(无)的图象在x=0处的切线方程为、=》，因此本选项不正确，

故选：C

例11.(2024•高三・山东济宁•开学考试)函数〃x)=log2(3x)在点吗,o］处的切线方程为()

A.3x-j^-l=0B.3%-3>-1=0

C.3x—(ln2)y—1=0D.3x-(31n2)y-l=0

【答案】c

即3x-(ln2)y-1=0.

故选：C

例12.(2024・高三・河南•专题练习)已知函数/(x)=a/+2x的图象经过点2(1,1),则函数/⑴在点A处的切

线方程是()

A.x+y-2=0B.2x+y-3=0

C.2x-y-l=0D.3x+y—4—0

【答案】B

【解析】将点的坐标代入/(x)=or4+2x,得l=a+2,解得。=-1,故/1(x)=-x"+2x,

由/'(%)=-4x3+2,所以点A处切线的斜率为/'(1)=-4+2=-2,

故所求的切线方程为V-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.

故选：B.

例13.(2024•吉林白山•二模)已知函数/(x)=21nx-mx+2.

⑴若加=3,求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若Vxe(O,y)J(x)VO,求实数加的取值范围.

【解析】(1)/(x)=21nr-3x+2=/@)=：-3,

因此/'⑴=一1,而/。)=一1,

故所求切线方程为了+1=-卜-1),即x+V=O；

(2)依题意，21nx-mx+2<0,故/21nx+2对任意xe(0,+co)恒成立.

令g(x)=21+2(x>0),则g[x)=­：产,

令g[x)=O,解得x=l.

故当xe(O,l)时,g'(x)>O,g(x)单调递增;

当xe(l,+co)时，g'(x)<O,g(x)单调递减，

则当x=l时，g(x)取到极大值，也是最大值2.

故实数加的取值范围为[2,+8).

例14.(2024・高三•全国・专题练习)设曲线"X)=x"M(〃eN*)在点(LD处的切线与x轴的交点的横坐标为天,

求再无2尤3X4…X2020的值•

【解析】由/(x)=x"M,求导得/'(x)=("+l)x",则八1)=〃+1,

HVI

因此曲线在点(LD处的切线方程为"i+Dl),令…，得X=E即

12320201

=XXXX

所以再％退匕…％。2。7T7,"myT2021

例15.(2024・高二・江苏南通・期末)已知函数=

⑴求函数〃x)的极值点；

⑵记曲线C：V=/(x)在x=0处的切线为/,求证，/与C有唯一公共点.

【解析】(1)=r(x)=f2；j+l,

A,(\—x^+x+l„1iV5

令/r(x)=-—==)

当不<萼时,/'(x)<0J(x)单调递减,

当二5<X<上手时，/(x)>0J(x)单调递增,

当x>¥时，/'(x)<OJ(x)单调递减，

所以函数/(x)的极值点为第6；

(2)由(1)可知：/(x)=f：x+l“(0)=],而/(0)=0,

所以切线/的方程为y=x,

2

由/(x)=":*=x=>x=0,或x+l=e，‘

当x=0时，尸0,此时，/与C有公共点(0,0),

当x+l=e*时，iSg(x)=ex-x-l^>g,(x)=ei-l,

当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(xL=g(0)=。，

gPg(x)=eY-x-l>0^eA>x+l,当且仅当x=0时取等号，

所以由尤+l=e、=>x=0,即片。，止匕时/与C有公共点(0,0),

综上所述：/与C有唯一公共点.

例16.(2024・四川•模拟预测)已知加>0,〃>0,直线y=1x+m+l与曲线y=ltu-"+3相切，贝！]

e

m+n=.

【答案】2

【解析】设切点坐标为(%,%),对函数y=lnx-〃+3求导得；/=}

则切线斜率后='=得％o=e,

/e

所以为=lne—〃+3=4—〃,_^j^=--e+m+l=2+m,

0e

贝U4—〃=2+加，即冽+〃=2.

故答案为：2.

例17.(2024・四川•模拟预测)写出与函数/'(x)=sinx在尤=0处有公共切线的一个函数g(x)=

【答案】x2+x(答案不唯--)

【解析】由题〃。)=0,/，(x)=cosx,r(0)=l,答案不唯一，满足g(0)=0,g'(O)=l即可.

^g(x)=x2+x,JJ]i]g，(x)=2x+l,显然满足g(O)=O,g，(O)=l.

故答案为：x2+x(答案不唯一).

例18.(2024・四川广安•二模)已知/(工)=尤2一》+1,则曲线>=〃工)在点(1,7(1))处的切线方程为

【答案】V=x

【解析】由/(x)=x2-x+l求导得/'(x)=2x-l,则八1)=1,而/⑴=1,

所以所求切线方程为尸l=L(xT),即了=壬

故答案为：>=x

例19.(2024・四川遂宁•二模)已知/(x)=eX-x,则曲线了=/(无)在点工/⑴)处的切线方程为.

【答案】J=(e-l)x

【解析】f'(x)=Qx-\,贝==又〃l)=eJl=e-l,

故切线方程为(e-l)=(e-l)(x-1),即y=(e-l)x.

故答案为：y=(e-l)x.

【过关测试】

一、单选题

1.(2024・高三•全国・专题练习)函数/(力=/&>0)的图象在点(％,明处的切线与x轴交点的横坐标为

(keN*),4=16,贝1_]°]+%+%=()

A.21B.24C.30D.36

【答案】A

【解析】由了=x2(x>0),得了'=2无，

所以了=尤2@>0)在点血,d)处的切线方程为=2&(x-a«),

即2%x-y-d=0,令y=0,得工=3/，

所以%+1=|&，又4=16,

故｛为｝是首项为16,公比为〃的等比数列.

所以为+/+%=16+16+16=21.

故选：A

2.(2024・高三•河南•专题练习)曲线/(x)=2(x+0在点他/⑼)处的切线方程为()

A.4x+y+2=0B.4x+y-2=0

C.4x-y+2=0D.Ax-y-2=0

【答案】c

【解析】因为〃x)=2(x+e，),所以八x)=2(l+e],

所以所求切线的斜率为:(0)=4,又"0)=2,

所以所求的切线方程为了一2=4x,即4x-y+2=0.

故选：c.

Y

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ax+p,若曲线了=/(x)存在与y轴垂直的切线，则。的最大值

为()

1111

A.—B.—C.-rD.T

eeee

【答案】c

【解析】由〃尤)=◎+：,得八x)=a+一，

ee

因为曲线了=〃X)存在与歹轴垂直的切线，所以方程/'(x)=o有实根，

即方程。=一y—1有实根.

e

设g(x)=一y—1，则g'(x)=2一—Y，当尤e(-8,2)时，g'(x)>o,g(x)单调递增,

ee

当xe(2,+oo)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,故g(x)Vg(2)=士，

e

又当x趋向于负无穷大时，g(x)也趋向于负无穷大，当％趋向于正无穷大时，g(x)趋向于0,

所以aWg(2)=l，

e

则a的最大值为二，

e

故选：C.

二、多选题

4.(2024•浙江金华•模拟预测)已知函数〃x)=+3-4x+4(xe［0,3］),则()

A.函数/(x)在区间@2］上单调递减

B.函数/(x)在区间［0,3］上的最大值为1

C.函数/(X)在点(1,7(1))处的切线方程为y=-3x+y

D.若关于x的方程〃x)=a在区间［0,3］上有两解，则

【答案】AC

【解析】因为/(x)=；x3一代+4,xe［0,3］,

所以/(x)=x~—4=(x+2)(x—2),

令/'(尤)>0,即尤>2；令/'(x)<0,BP0<x<2,

所以函数/(x)在区间。2］上单调递减，在［2,3］上单调递增，故A正确；

因为〃0)=4,/⑶=1,

所以函数/(X)在区间［0,3］上的最大值为4,故B错误;

因为/''⑴=-3,/(1)=1,

所以函数"X)在点(1,7(1))处的切线方程为了—=-3(》-1),

即1y=—3尤+可，故C正确；

4

因为/(2)=-］,函数“X)大致图象如图，

要使方程"X)=。在区间［0,3］上有两解，

则故D错误.

故选：AC.

5.(2024・高三・云南曲靖■阶段练习)己知函数/(x)=sin®x+o),如图，A,B是直线y=1■与曲线y=/(x)

的两个交点，若|/2|=三，则下列说法正确的是().

,c兀

A.①=2,^=--B./(x)在上单调递增

|_O0_

C.x=-||是/（X）的一条对称轴D.y=x-等是曲线/(x)的一条切线

【答案】AD

【解析】设贝-网=g.

因为sin（0X］+夕）=；,sin（o%2+"）=；，

所以ox+9=—+2kn,cox+(p=---b2E,k£Z,

x626

2兀

所以(ox+(p-+9)=gP®(X-X)=y

2T21即@=2.

又因为I（g）=sin1|^+（|=O,且二兀,o1为下降零点,

LL…2(DTI…，r

所以----F/=兀+2左兀,k£Z,

3

兀

即9=—§+2kn,k£Z,

故取。=J.故/'（x）=sin（2x-3.所以A选项正确；

当xe,2x-^e\-^,o\,显然不是单调增区间，所以B选项错误；

将X=-1J代入方程得/（X）=sin12x之一2）=sin[-?]w±l,显然不是对称轴，

所以C选项错误；

令/'（"=2（\）5[2%一3=1得%=5+也或%=标，

（八A

取点0,一事得其中一条切线为y=x-叱，所以D选项正确.

故选:AD.

6.（2024・广东・二模）已知函数/卜）=》3_3/+1的图象在点（/MJ®））处的切线为。，则（）

A.。的斜率的最小值为-2B.。的斜率的最小值为-3

C./（）的方程为y=lD.〃的方程为y=9x+6

【答案】BCD

【解析】因为/'（x）=3d-6x=3（x-l）2-32-3,所以/,“的斜率的最小值为-3.

因为广（0）=0,/（0）=1,所以/。的方程为k1.

因为/‘（T）=9J（-l）=-3,所以乙的方程为y+3=9（x+l）,即了=9x+6.

故选：BCD.

7.（2024高三・江苏镇江•期中）已知函数/（无）=-f+x+l的导函数为/■'（%）,两个极值点为。，广，则（）

A.7'（x）有三个不同的零点

B.a+，=0

c.〃a）+/（尸）=1

D.直线y=x+i是曲线y=/(x)的切线

【答案】BD

【解析】由函数小)=春+》+1,可得/'(耳=-3/+1,令9)=0,解得x=土*

当xe(-哈一半)时，/'(x)<0,“X)单调递减；

当xe(_g,g)时，/(x)〉0,/(x)单调递增；

当xe(*,+oo)时,/'(x)<0,/(x)单调递减;

所以，当一*寸，函数小)极小值，极小值为〃1…浮。，

当X=时，函数/(x)极大值，极大值为“X)极大值=/毛=1+啜>0,

且两个极值点之和为0,所以B正确；

又由当Xf丹时，/(x)<0,且函数连续不间断，所以函数/■(“在*,+8上有且仅有一个零点，所以A

I3>

不正确；

由/(&)+/(夕)=1-罕+1+乎=2,所以C错误；

当尤=0时,可得/'(0)=1,/(0)=1,

所以曲线y=/(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+l,所以D正确.

故选：BD.

8.(2024・高三・福建福州•期中)已知直线/与曲线/(x)=lnx+x2相切，则下列直线中可能与/平行的是()

A.3%-歹一1=0B.2x-j;+l=0C.4x-y+l=0D.5x-y+3=0

【答案】ACD

【解析】"x)=lnx+/,x>0,贝lJ/(x)=L+2x22&,当且仅当工=2x即x=m等号成立，

xx2

根据导数的几何意义知，切线的斜率左220，因为切线与直线/平行，所以/的斜率/22夜，

选项A中直线的斜率为3>2行，符合题意；

选项B中直线的斜率为2<2逝，不符合题意；

选项C中直线的斜率为4>20，符合题意；

选项D中直线的斜率为5>2逝，符合题意；

故选：ACD.

9.(2024・高二•山东淄博•阶段练习)已知/(x)=?,下列说法正确的是()

A./(x)在x=l处的切线方程为y=x+lB./(x)的单调递减区间为(e,+s)

C.〃尤)在x=l处的切线方程为y=x-lD./(X)的单调递增区间为(e,+8)

【答案】BC

【解析】对于AC,〃1)=乎=0,由/(x)=(,得/，(x)=上管，

所以切线的斜率左=/'(1)=号"=1,所以/'(x)在x=l处的切线方程为y=x-l,所以A错误，C正确,

对于BD,函数的定义域为(0,+功，/，(x)=上黑，

由/中)〉0,得1一lnx>0,解得0<x<e,

由广(x)<0,得l-lnx<0,解得x>e,

所以/(X)在(0,e)上递增,在(e,+8)上递减，所以B正确,D错误，

故选：BC

10.(2024・高三•广东珠海•开学考试)已知函数/(x)=x-sinx,则()

A.1(X)为其定义域上的增函数B.1(X)为偶函数

C./(力的图象与直线>=1相切D./卜)有唯一的零点

【答案】AD

【解析】由题意，

在/(x)=x-sinx中，定义域为R,

/,(x)=l-cosx>0,

为R上的增函数，A正确；

f(-%)=~x+sinx=-f(x\,

••"(x)为奇函数，B错误；

:当/'(x)=0时，解得：x=2fcr(A:eZ),

此时f(^)=2hi-sinZfei=2hteZ),

/.斜率为0的切线为2E小eZ),不可能为直线j=l,

•♦•C错误；

/(x)为R上的增函数,40)=0,

•••/(X)有唯一的零点，D正确.

故选：AD.

11.（2024•高三•福建厦门•阶段练习）已知直线/与曲线/'（无”Inx+Y相切，则下列直线中可能与/垂直的是

（）

A.x+4v=0B.-J2x+3y=0C.42x+4y—0D.V2x-y—Q

【答案】AC

【解析】/（X）的定义域为（0,+e）,

■.-f'（x）=-+2x>2y/2,即直绷的斜率无z20，

设与/垂直的直线的斜率为加，贝1］斤=-，，所以-,1血，.YIWMVO.

mm4

对于A,直线的斜率为机=-!，故A正确；

4

对于B,直线的斜率为机=-@<-变，故B错误；

34

对于C,直线的斜率为小=-变，故C正确；

4

对于D,直线的斜率为机=拒>0，故D错误.

故选：AC.

12.（2024・高二•江苏苏州•阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血

管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度。随时间，的变化而变化，甲、乙两人服用该

药物后，血管中药物浓度随时间f变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）

A.在:时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同

B.在与时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同

C.在，2,可这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同

D.在，人］和也看］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同

【答案】AC

【解析】选项A,在4时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确;

选项B,在4时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的/'&）不相等，

说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；

选项C,由平均变化率公式知，甲、乙两人在也出］内，

血管中药物浓度的平均变化率均为'I）-1（2）,即选项©正确；

与一右

选项D,在［彳心］和也闻两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为

和，⑷?&）,显然不相同，即选项D不正确.

’2—’1‘3—’2

故选：AC.

三、填空题

13.（2024・湖南衡阳•二模）曲线〃x）=xln（2x-l）+占在点