2025年中考数学二轮复习讲义：几何综合（3题型+7类型+解题模板+技巧讲义）解析版

压轴题解题模板04

几何综合

目录

・题型剖析•精准提分

题型一线段最值问题

①动点路径问题

②“胡不归”问题

③“将军饮马”问题

④“造桥选址”问题

题型二：面积平分问题

题型三面积最值问题

好题必刷•强化落实

题型剖析•精准提分

几何综合

题型一线段最值问题题型二面积平分㈣题

①动点路径问题①三角形

②"胡不归"问题②不规则图形

③"将军饮马'］问题

④"造桥选址”问题题型三面积最值问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

几何综合问题在中考中以填空题和解答题

几何综合

的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中

多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问

题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似

三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变

换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分

类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此

类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最

值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形

面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型

的考查热度.

题型一线段最值问题

分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题

解题模板:

①动点路径问题

【例1】(山东济宁-中考真题)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

(1)阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体ASCD-AB'C'D'(图1).因为在平面A4'C'C中，CCHAN,AA与相交于点A,所以直

线A5与A4'所成的NR4A就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC所成的角.

解决问题

如图1,已知正方体ABCD-AB'C'D,求既不相交也不平行的两条直线与AC所成角的大小.

(2)如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点.

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是」

②在所选正确展开图中，若点M到AB,8C的距离分别是2和5,点N到BO,BC的距离分别是4和3,

尸是上一动点，求PM+/W的最小值.

丙

【答案】(1)60°；(2)①丙；②10

【分析】(1)连接BC',则△ABC为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线胸与AC所成

角的大小；

(2)①根据正方体侧面展开图判断即可；

②根据对称关系作辅助线即可求得PM+PN的最小值.

【详解】解：(1)连接3C',

,/AC//AC,BA与AC相交与点A,

即既不相交也不平行的两条直线及V与AC所成角为NBA'。',

根据正方体性质可得：AB=BC=AC,

.••△ABC'为等边三角形，

?.ZBAC=6O°,

即既不相交也不平行的两条直线BA与AC所成角为60。；

(2)①根据正方体展开图可以判断，

甲中与原图形中对应点位置不符，

乙图形不能拼成正方体，

故答案为丙；

②如图：作M关于直线AB的对称点M',

连接MW',与4B交于点尸，连接

贝ljPM+PN=PN+PM'=NM',

过点N作BC垂线，并延长与Af肘交于点E,

,点M到BC的距离是5,点N到BC的距离是3,

NE=8,

:点M到AB的距离是2,点N到BD的距离是4,

二EM，=6,

""NM'=EM'2+NE2=V62+82=10,

故尸M+PN最小值为10.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识

点，读懂题意，明确尸河+PN最小时的情况是解题的关键.

【变式1T】(山东日照-中考真题)如图，R3ABC中，/C=90。，以A3为边在A2上方作正方形

过点。作。交CB的延长线于点R连接BE.

(1)求证：AABgABDF；

(2)P,N分别为AC,BE上的动点，连接AN,PN,若。P=5,AC=9,求AN+PN的最小值.

CPA

【答案】(1)见解析；(2)14

【分析】⑴根据正方形的性质得出BD=AB,/DBA=90。,进而得出NDBF=NCAB,因为/C=/DFB=90。.根

据AAS即可证得结论；

(2)根据正方形的性质AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短,

作DP」AC,交BE于点Ni,垂足为Pi,则AN+PN的最小值等于DPi=FC=14.

【详解】(1)证明：•.,RSA8C中，ZC=90°,DFLCB,

；./C=NDFB=90°.

•••四边形是正方形，

：.BD=AB,/DBA=90°,

VZDBF+ZABC^90°,ZCAB+ZABC^90°,

：.ZDBF=ZCAB,

:.△ABWABDF(AAS)；

(2)解：,:AABC出ABDF,

：.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=14.

如图，连接ON,

：BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，

：.AN=DN.

如使得AN+PN最小，只需。、N、P在一条直线上，

由于点尸、N分别是AC和BE上的动点，

作。尸/LAC,交BE于点、Ni,垂足为尸/,

所以，4V+PN的最小值等于。P/=FC=14.

【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握正方形的性

质是解题关键.

【变式1-2】（江苏连云港-中考真题）如图，四边形ABCO为平行四边形，延长AD到点E,使班=加）,

且

（1）求证：四边形O3CE为菱形；

（2）若△D3C是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+/W的

最小值.

【答案】（1）证明见解析

⑵百

【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形的性质和DE=AD证明四边形D3CE为平行四边形，再根

据即可得证；

（2）先根据菱形对称性得，得到R0+PN=PM+7W',进一步说明尸河+PN的最小值即为菱形的高，再

利用三角函数即可求解.

【详解】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

•：DE=AD,

DE=BC,

又：点E在AD的延长线上，

DE//BC,

.•.四边形DBCE为平行四边形，

又：BE1DC,

，四边形DBCE为菱形.

（2）解：如图，由菱形对称性得，点N关于8E的对称点V在DE上,

PM+PN=PM+PN',

当尸、M、V共线时，

PM+PN=PM+PN'=MN',

过点。作D”_L3C,垂足为

DE//BC,

：.MN'的最小值即为平行线间的距离。”的长，

:△£>3c是边长为2的等边三角形，

,在的中，ZDBC=60°,DB=2,sinZ£>BC=—,

DB

DH=DB.sinZDBC=2x—=5/3,

2

/.PM+PN的最小值为£-

【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识,

运用了转化的思想方法.将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键.

【变式1-3］（2023-四川自贡-中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M,N分别

是斜边£）石，AB的中点，。石=2,AB=4.

(1)将ACDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M,N距离的最大值和最小值;

(2)将ACDE绕顶点C逆时针旋转120。(如图2),求肱V的长.

【答案】(1)最大值为3,最小值为1

⑵近

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线，得出CM,CN的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求

解；

(2)过点N作NP1MC,交MC的延长线于点P,根据旋转的性质求得ZMCN=12伊,进而得出ZNCP=60°,

进而可得CP=1,勾股定理解RtANCRRtAMCP,即可求解.

【详解】(1)解：依题意，CM=^-DE=1,CN=^AB=2,

22

当闻r在NC的延长线上时，的距离最大，最大值为CM+C7V=l+2=3,

当M在线段CN上时，的距离最小，最小值为OV-C0=2—1=1；

(2)解：如图所示，过点N作NPLMC,交MC的延长线于点尸,

A

N

D

图2

：ACDE绕顶点C逆时针旋转120°,

NBCE=120°,

ZBCN=ZECM=45°,

ZMCN=NBCM-ZECM=ZBCE=120°,

ZNCP=6O°,

：.NCNP=30°,

CP=-CN=1,

2

在RMOVP中，NP=NNC2—C产=如，

在Rt&WNP中，MP=MC+CP=\+\=2,

MN=^NP2+MP-=V3+4=A/7-

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角

三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键.

②“胡不归”问题

【例2】（2023-江苏泰州-三模）如图，已知RtAABC中，NC=90°,AC=6,AB=9,E是A3上的一点，8E=5,

点。是线段BC上的一个动点，沿AO折叠AACZ）,点C与C'重合，连接3C'.

A

DB

(1)求证：△AEC'S^AC§；

2

⑵若点产是BC上一点，且2尸=石，求的最小值.

【答案】（1）见解析

⑵|病

ApAC'

【分析】（1）折叠，得到AC/C=6,根据钻。的值，求出位的值’进而得到记=方‘再根据

ZEAC=ZEAB,即可得证;

27

（2）根据相似的性质得到—BC'=C'E,得到八7+—8<7'=尸。'+£0£/，得到当E',C/'三点共线时,

33

2

八7'+§2。'的值最小为E尸的长，过点E作EH工BC于点H,易得ABHES^CA,求出EH的长，禾U用勾

股定理求出E尸的长即可.

【详解】（1）解：•••沿M折叠AAQ,点C与C'重合,

AC'=AC=6,

;AB=9,BE=5,

：.AE=4,

..AE42AC62

AC'~6~3'AB~9~3

.AEAC

ACAB

又/EAC'=/EAB,

：.AAECSAACB；

(2)AAEC^AACB,

.ECAE2

'BC7-AC7-!

2

:.-BC'=EC',

3

2

・・.FC+-BC=FC+EC>EF

3

2

・・・当点E,点C,点尸三点共线时，/+有最小值为石尸的长,

如图，过点E作EHJ.BC于H,

VZC=90°,AC=6fAB=9,

•*-BC=JAB2—AC2=\81-36=3百，

VZACB=ZEHB=9Q09ZABC=NEBH,

：.AABC^AEBH,

.BEEH_BH

**AB-AC-BC

•_5__E__H___B_H_

*'9-V3Z/5；

•F*l°RW575

33

/.HF=BH-BF=—,

3

EF=-JEH2+HF2=2A/30,

3

尸c+ggc的最小值Ia.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理.解题的关键是熟练掌握相似三角

形的判定定理，证明三角形相似.

【变式2TX2023-广东广州-二模）如图①，在四边形A3CD中，AB=BC=AD,ZABC=90°,ZBAD=60°.

图1图2图3

⑴求/ACD的度数；

(2)如图②，/为线段CD的中点，连接5F,求证：2BF=CD+戊AB;

(3)如图③，若O8=SA8=2,线段3C上有一动点连接OM,将AOAW沿所在直线翻折至△<?尸河

的位置，尸为B的对应点，连接B4,PC,请直接写出4PC+B4的最小值.

【答案】⑴30。

(2)见解析

(3)ioVi7

【分析】⑴如图1中，连接80.求出NACB=45。，ZBCD=75。,可得结论；

(2)如图2中，连接3。，延长即到G,4吏得尸G=B尸,在FG上取一点E,使得DE=DC,连接EC.证

明AADC之A3OE(5AS),推出AC=8E=&AB,再证明ZEDG=Z£GD=15。，推出ED=EG,可得结论；

(3)如图3中，在A0上取一点K,使得0K=1连接CK.0C.证明/OKSAAOP,推出与=器=:,

推出KP=：PA,推出PC+[PA=PC+PK,由PC+PK2CK,推出当点尸与P'重合时，JAP+PC的值最小，

444

进而可得结论.

【详解】(1)解：如图1中，连接BD.

A

图1

-,-AB=AD,NR4D=60。，

「.△ABD是等边三角形，

:.ZABD=60°,BD=AB,

•;AB=BC,ZABC=90°,

/.ZDBC=90°-60°=30°,ZACB=ZBAC=45°,BD=BC,

/BCD=ABDC=|x(180°-30°)=75°,

ZACD=ZBCD-ZBCA=75°-45°=30°；

(2)证明：如图2中，连接30,延长正到G,使得FG=B尸,在FG上取一点石，使得。石=OC,连接

EC.

A

BFLCD,

:.ED=EC=CD,

.•.△EDC是等边三角形,

..ZADB=ZCDE=60°,

二ZADC=NBDE,

\DA=DB,DC=DE,

/.△ADC^ABDE(5AS),

/.AC=BE=^/2AB，

DF=FC,FB=FG,

，四边形3DGC是平行四边形，

BGLCD,

，四边形3DGC是菱形，

..ZBDC=ZCDG=75°,

・.•ZCDE=60°,

/.ZEDG=15°,ZEGD=15°,

ZEDG=ZEGD=15°,

ED=EG,

;.2BF=BG=BE+EG=AC+CD=®AB+CD;

(3)解：如图3中，在AO上取一点K,使得OK=；,连接CK,OC

图3

■：OB=^AB=2,

：.AB=BC=10,OA=8,

■,OB=OP=2,

.・•点尸在B尸上运动，设CK交圆弧于点P,连接OP.

•;OP=2,OK=\,AO=8,

2

1.OP?=OKOA,

.OP_OA

一~6K~~OP，

・.・ZPOK=ZAOP,

:APOKS小AOP,

.KPOK

-AP-OP-4'

:.KP=-PA,

4

:.PC+-PA=PC+PK,

4

-：PC+PK>CK,

当点P与P重合时，；AP+PC的值最小，

CK=y/BK2+BC2=^|J+102=,

■■■4PC+PA=4CK=IOA/17

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形

的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

【变式2-2](2023-广东广州-二模)如图，菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,点£、产分别为线段8、

上的动点，点G为边A8的中点，连接£F,FG.

⑴求8。的长；

(2)连接BE,若NCEB=2NDEF,求证：EB=CE+DF；

G)若CE=6BF,试求EF+&FG的最小值.

【答案】(1)4

(2)见解析

(3)5夜-卡

【分析】(1)证明△ABD是等边三角形，即可求解；

(2)延长30至N,使得DN=EC,在CB上取CM=EC,连接证明AOCM2ABCE,可得

ZCDM=ZEBCfDM=EB,证明四边形EMDN是平行四边形，可得DM=NE,即可得出=进

而证明NE=NF,即可得证；

(3)将△£FG绕点G逆时针旋转90。得到AOPG,连接P尸，则以］后尸G，当三点共线时，

EF+42FG=QP+FP=QF,此时EF+0/G取得最小值，G为A3的中点，当产为05的中点时(或者设

其他点为中点，再证明尸为中点)，过点尸作于点H,勾股定理解直角三角形，即可求解.

【详解】(1)解：,・•菱形ABCQ中，ZA=60°,

:.AB=AD,

;NA=60。，

・•・△ABO是等边三角形，

又丁AB=4,

BD=AB=4；

(2)解：如图所示，延长3。至N,使得DN=£C,在CB上取CM=EC,连接班

AGB

在ADCM与ABCE中，

DC=BC

<zc=zc

CM=CE

：.小DCM%小BCE

：・NCDM=NEBC,DM=EB

•・・△AO民"CD是等边三角形，

：.EM=ND=EC,ZECM=ZCDB=60°,

：.DN//EM,

・•・四边形EMDN是平行四边形，

ANE//DM,DM=NE,

:・EB=EN,

ZCEB=2ZDEF,

设ZCEB=2ZDEF=2a,则ZD£F=e

在ACEB中，Z.EBC=180。—2(z-60°=120°-2a,

NEBD=60°-ZEBC=2a-60°,

ZMDC=ZEBC=120°-2a

NE//DM

：.ZNEF=ZEDM=120°-2a,

ZNEF=ZNED+ZDEF=120°-2a+a=120°-a

在AAEF中，ZA7^=180-Z^-ZAEF=180o-(2«-60o)-(120o-a)=120°-a

ZNEF=ZNFE,

：.NE=NF,

：.ND+DF=EC+DF=EB■,

(3)如图所示，连接EG,PC,过点/作Ef/LDC于点b,

将AEFG绕点G逆时针旋转90。得到AQPG,连接尸F,

则PF=y[2FG，

当Q,P,P三点共线时，EF+y/2FG=Qp+FP=QF,此时EF+&FG取得最小值,

△PbG是等腰直角三角形，

ZGPF=45°,

vQI*三点共线

NQPG=135。，

ZEFG=135°,

为AB的中点，当厂为的中点时，

GF//AD,FB=DB,则C^_LD3,

:.FG=FB,CF=yj3FB.

,/CE=yj3BF

：.CF=CE,

ZDCF=30°

1QQO_3Q。

・・・ZDFE=ZCFD-ZCFE=90°--------------=15°

2

5LGF//AD,ZADB=60°

：.ZGFD=120°,

：.NG庄=135。，

・・・当尸是30的中点时，。，尸，尸三点共线,

过点尸作出LCO于点H,

HF=—DF=y[3,EC=FC=—BC=2yj3,HC=—FC=3

222

/.EH=EC-HC=2y/3-3,

222

在RtZXEEH中,EF=>]EH+HF=J（26-3）+MJ=,24-12坦=3也-屈,

'：FG=-AD=2,

2

FQ=EF+V2FG=372-76+2V2=572-76,

即£尸+应歹6的最小值为5应-«.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转

的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZBAD=120°,AB=6,连接8。.

⑴求3。的长；

（2）点E为线段8。上一动点（不与点8,。重合），点F在边上，且BE=^DF,

①当CELAB时，求四边形所的面积；

②当四边形A8EF的面积取得最小值时，CE+gCF的值是否也最小？如果是，求CE+bCF的最小值；如

果不是，请说明理由.

【答案】⑴BD=66；

(2)①四边形ABE尸的面积为7vL②最小值为12

【分析】(1)证明AABC是等边三角形，可得2。=3内，即可求解；

(2)过点E作AZ)的垂线，分别交AZ)和8c于点M,N,根据菱形的面积可求出MN=36,设BE=x,

则EN=；x,从而得到EM=MN-EW=36-gx,再由8£=代。尸，可得。F=*彳，从而得到四边形

的面积s=S/ABO-S/OEF=普卜-3石『+与1,①当CELAB时，可得点E是△ABC重心，从而得到

BE=CE=|B(9=|X3目=2G,即可求解；②作CHLAD于X,可得当点£和F分别到达点。和点X位置时,

CF和CE分别达到最小值；再由5=哈1-3石丁+^^,可得当尤=30，即8£=3超时，s达到最小值,

从而得到此时点E恰好在点0的位置，而点P也恰好在点H位置，即可求解.

【详解】(1)解：连接AC,设AC与3。的交点为O,如图，

:四边形ABCD是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NOAB,

VZBAD=120°,

N042=60。，

AABC是等边三角形，

.".BO=AB-sin60°=6x妇=3百，

2

BD=2BO=6A/3；

(2)解：如图，过点E作AO的垂线，分别交AZ)和3c于点M,N,

「△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=6,

由（1）得：BD-6A/3;

菱形A8CO中，对角线30平分NA8C,AB//CDfBC=AB=6,

:.MNLBC,

VZBAD=120°,

・•・ZABC=60°,

JNEBN=3U。；

：.EN=^BE

S^ABCD^AC-BD=MN-BC,

:.MN=3E，

设限X,贝|JEN=L,

2

JEM=MN-EN=3V3--X,

2

**S菱形ABCD=AD・MN=6x3y/3=18\/3,

**•S』ABD=5S菱形ABCD=9A/3,

•：BE=6DF,

.BEA/3

・・Dk=—i==——x,

V33

2

SADEF=DF>EM=--—x（3y/3--x]=-^-x+-x,

22312J122

记四边形ABEB的面积为s,

：.s=SAABD-SADEF=9y/3-=*1-3河

:点E在2。上，且不在端点，；.0＜8氏以），即0＜》＜6君;

①当CEL4B时，

OBLAC,

...点E是△ABC重心，

22r-r-

JBE=CE=-BO=—x3百=2百，

33

止匕时S=^（26-36『+^^=76，

当CELAB时，四边形ABEF的面积为;

②作C//L4Z）于H,如图，

VCOLBD,CHLAD,而点E和尸分别在2。和AZ）上，

/.当点E和尸分别到达点。和点H位置时，CB和CE分别达到最小值;

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12.0°,

：.ZADC=6Q°,

△ACD是等边三角形，

：.AH=DH=3,

:.CH=38

2AL27港

$一]2（%/4

•••当X=，即BE=3百时，S达到最小值,

YBEfDF,

：.DF=3,

此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点H位置，

二当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值,

/.CE+V3CF的值达到最小，

其最小值为co+@CH=3+石X36=12.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直

角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解

直角三角形等知识是解题的关键.

③“将军饮马”问题

【例3】

【变式3-1](23-24九年级上-黑龙江大庆-期中)如图，以矩形Q4BC的顶点。为原点，所在的直线为无

轴，0C所在的直线为V轴，建立平面直角坐标系.已知Q4=3,OC=2,点E是A8的中点，在。4上取

一点、D,将△3D4沿翻折，使点A落在边上的点尸处.

(1)直接写出点E、尸的坐标；

(2)连接EF交8。于点G,求△BGE的面积.

(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值

和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由.

【答案】⑴E(3,1)；F(1,2)

(2)A3GE的面积为g

⑶在x轴、y轴上存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小；

35

四边形MNFE的周长最小为5+直线肱V的函数解析式：y=―-x+--

44

【分析】(1)根据。4=3,OC=2,点E是A3的中点，即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得M="=2,

CF=1,即可得到点尸的坐标；

FGDF2

(2)利用折叠性质可以得到AB=AD=BF=DF=2,DF〃BE,从而得到△DFG^ABEG,-=—,

EGBE1

利用比例性质可以得到，利用同高可以得到上班=；,根据S△舸=1即可求出ABGE的面积；

1、2BEG1

(3)如图，作点E关于x轴的对称点为E，，点F关于y轴的对称点为尸，连接£尸，E尸与x轴、V轴上

交于点M、点N,此时的点M、N使得四边形跖VFE的周长最小，利用勾股定理求出EF'=5,EF=^[5,

即可得到四边形MM花的周长最小值；将点后(3,-1),点r(-1,2),代入>=依+》，利用待定系数法即可求

出直线的函数解析式；

【详解】(1)解：；0A=3,OC=2,

.•.点A(3,0),点C(0,2),点3(3,2),

丁点E是的中点，

，点E(3,l)；

将ABDA沿3D翻折，使点A落在BC边上的点尸处.

/.BF=BA=2,CF=1,

点尸(L2)；

(2)沿8。翻折，使点A落在BC边上的点尸处.

/.ZABD=ZFBD=-x90°=45°,

2

:.AB=AD=BF=DF=2,DF〃BE,

即：/DGF=NBGE,ZFDB=ZGBE

：.ADFGS*EG

FGDF_2

EG~BE

...竺=3,即：*

EG1SABEG1

,•,5A^=|BE-BF=1X1X2=1,

•<_lc_1

••>/\BGE_31ABEF~3，

/.△3GE的面积为1；

(3)在X轴、y轴上存在点M、N,使得四边形跖VFE的周长最小；

如图，作点E关于x轴的对称点为二，点尸关于y轴的对称点为尸，连接E户，Eb与无轴、y轴上交于

点/、点N,此时的点M、N使得四边形正的周长最小；

''七

由对称性可知：点E'(3,-l),点F(-l,2),ME=ME',NF=NF',

在RtABE尸中，

：BE'=2—(—1)=3,M'=3_(—l)=4,

E'F'=5,

：.ME+MN+NF=ME'+MN+NF'=E'F'=5,

又：EF=y/BE2+BF2=A/12+22=,

BE+MN+NF+EF=5+y/5■,

四边形MNEE的周长最小为：5+5,

设直线MN的函数解析式、=履+》，

•.•直线经过点已(3,-1),点/(-1,2),代入得：

3k+b=-l

一k+b=2,解得：

35

直线MN的函数解析式…+“

【点睛】本题考查线段长度与点的坐标的转化，折叠的性质，相似三角形判定与性质及同高转化面积比，

待定系数法求函数解析式，线段和最小问题的基本解题思路是利用对称转化为两点之间的距离问题，综合

性较强，熟练掌握折叠性质及线段和最小的方法是解决本题的关键.

【变式3-2]（天津西青-一模）如图①，将一个矩形纸片。4BC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3,0）,

点C的坐标是（0,2）,点。的坐标是（0,0）,点E是的中点，在。4上取一点。，将AB/M沿80翻折，

使点A落在3c边上的点尸处.

（2）如图②，若点尸是线段ZM上的一个动点（点P不与点。，A重合），过点P作;WLD3于点H,设OP

的长为无，△。尸”的面积为S,请求出S关于x的关系式；

（3）如图③，在x轴、y轴上是否分别存在点"、N,使得四边形跖VFE的周长最小？若存在，请求出四

边形AfiVFE周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】（1）点E的坐标是（3,1）,点尸坐标为（1,2）；（2）S=；_]+：（l<x<3）；（3）存在，在无轴、V

轴上分别存在点N（0,£|,使得四边形跖VFE的周长最小，最小值为5+百.

【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；

（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH,PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；

（3）作点F关于y轴的对称点F,点E关于x轴的对称点日，连接EF交y轴于点N,交x轴于点M,此

时四边形MNFE的周长最小，求出E，和F的坐标直接求线段长度即可.

【详解】解：（1）•・•点A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,2）,

・・・OA=3,002,

卞艮据矩形OABC知AB=OC=2,BC=OA=3,

由折叠知DA=DF=OC=2,

AOD=OA-DA=1,

・••点F坐标为（1,2）,

•・•点E是AB的中点，

.\EA=1,

・••点E的坐标是（3,1）；

(2)如图2

•.,将ABDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，

，BF=AB=2,

.".OD=CF=3-2=1,

若设OP的长为x,

则，PD=x-l,

在RtAABD中，AB=2,AD=2,

/.ZADB=45°,

在RtzxPDH中，PH=DH=DPX2^=^(X-1),

22

.•.S=:xDHxPH=!x巫(x-1)x走(x-1)=---+-(l<x<3)；

2222424

(3)如图3

作点F关于y轴的对称点F,点E关于x轴的对称点日，连接EF交y轴于点N,交x轴于点M,此时四

边形MNFE的周长最小，

可求，点F(1,2)关于y轴的对称点F(-1,2),点E(3,1)关于x轴的对称点日(3,-1),

用两点法可求直线EF的解析式为：y=-=3x+；5,

44

当x=0时，y=|-,当y=0时，x=g,

N(0,—),M(—,0),

43

此时，四边形MNFE的周长=EF+EF=J（—1—3）2+（2+iy+J2?+12=5+6;

...在x轴、y轴上分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+6.

【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定

理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键.

【变式3-3】（陕西宝鸡）问题提出

（1）在图1中作出点8关于直线AC的对称点Q

问题探究

（2）如图2,在AABC中，AB=AC=6,ABAC=120°,。为AC的中点，P为线段上一点，求AP+DP

的最小值.

问题解决

（3）如图3,四边形A5CD为小区绿化区，DA=DC,NADC=90。，A3=6+6括，BC=12,ZB=30°,

AC是以。为圆心，ZM为半径的圆弧.现在规划在AC，边BC和边AC上分别取一点尸，E,F,使得

尸+PE+EF+PR为这一区域小路，求小路长度的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）36；（3）645+2g

【分析】（1）根据对称性即可作图；

（2）作点A关于3C的对称点4,连接4。交于点尸，此时AP+DP值最小，连接4C,根据图形的

特点及等边三角形的性质即可求解；

（3）因为。尸为定值，所以即求PE+EF+EP的最小值，连接。尸，BP,分别以AB,BC所在的直线为对

称轴作点P的对称点匕，尸2,连接4心，此时PE+£F+政的值最小，即为《心长，根据图形的特点、等

边三角形的性质与勾股定理即可求解.

【详解】解：（1）如图1所示，点8'即为所求.

BC

图1

(2)如图2,作点A关于BC的对称点4,连接4D交BC于点尸，此时AP+DP值最小，连接4c.

ZBAC=120°,

/.ZA'AC=60°.

*/A4垂直平分8C,

AAVC为等边三角形.

•点。为中点，

A'DIAC,

：.AP+DP=A'D=3y/3.

A

图2

(3)要求DP+PE+EF+FP的最小值，因为OP为定值，

所以即求PE+EF+FP的最小值.

如图，连接OP,BP,分别以相，BC所在的直线为对称轴作点〃的对称点P2,连接耳鸟，此时

尸£+£F+EP的值最小，即为耳舄长.

"?ZABC=30°,

：.NRBP]=60°,

.•.△印8鸟为等边三角形，即片鸟=期.

BR=BP=BP?,

PyP2=BP,

/.DP+PE+EF+FP的最小值为DP+BP.

当。，P,3三点共线时值最小，

由题知3c=12,AB=6+6也,ZABC=3Q°,

：.AD=DC=6,

DB=而+(6+6圾2=645+2百.

【点睛】此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用.

④“造桥选址”问题

【例4】（23-全国）有一条以互相平行的直线a,6为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B,现在要在河上建

一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）

【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案.

【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄8作河岸的垂线并且等于河的宽度,

然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M,

过点Af作4亚_!_。与6相交于点N,

连接AM、BN,则⑷W+ACV+3N即为最短路径,

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大.

【变式4-1】（湖北黄石）已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离

AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，

M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2屈B.1+3括C.3+历D.屈

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河宽，连接AB，，与靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一条

河岸，则MN〃:BB，且MN=BB1于是MNBB，为平行四边形，故MB，=BN；根据“两点之间线段最短"，AB,

最短，即AM+BN最短，此时AM+BN=ABl

【详解】解：如图，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河宽，连接AB，，与靠近A的河岸相交于M,作MN垂

直于另一条河岸，

则MN〃BB，且MN=BB,,

于是MNBB，为平行四边形，故MB，=BN.

根据“两点之间线段最短”，AB，最短，即AM+BN最短.

：AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，

二在RTAABC中，AC=7AB2-BC2=6，

在RTAABC中，B，C=1+3=4千米，

AB，=7AC2+BC2=2V13千米；

故选A.

c

【点睛】本题考查了轴对称一最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需

要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，

往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化.

【变式4-2］（23-24全国）如图所示，某条护城河在CC处角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经过两

座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到B的路

程最短，请确定两座桥的位置.

【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点A向下平移至点尸，点B向右平移至点G,构造平行四边形进

行求解即可.

【详解】解：如图所示，

将点A向下平移至点尸，使"的长等于河宽，将点B向右平移至点G,使3G的长等于河宽；连接G尸，

与河岸相交于点E'，D0；过点作DDUCD于点。，过点E'作EEUCE于点E,则DD',EE'即为两桥

的位置.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行

四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答.

【变式4-3】已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为1千米，卜、2两村庄的直线距离42=10千米,

A、8两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，M点为靠近A

村庄的河岸上一点，求AM+BN的最小值.

【答案】屈.

【分析】作32'垂直于河岸，使28'等于河宽，连接与靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一条

河岸，则〃比T且于是夕为平行四边形，故MB，=BN；根据“两点之间线段最短“，AB'

最短，即AM+BN最短，此时AM+BN=A8.

【详解】作8B'垂直于河岸，使88'等于河宽，连接48',与靠近A的河岸相交于作MN垂直于另一

条河岸，

则MN〃BB'且MN=BB'，于是为平行四边形，

故MB'=BN,

当时，AM+BN最小，

"：AB=10,BC=l+3+l=5,

...在RdABC中，AC=JAB?-BC2=5若，

在RdAB'C中，B'C=5—1=4千米，

AB=VAC2+BC2=A/91.

【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”,但许多实际问题没这么简单,

需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，

往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化.

题型二：面积平分问题

解题模板:

根据瘫判献题所属的面积平分模型

利用模型技巧构造面积平分线

分析几何特征并根据数量关系列式计算

技巧精讲

1:利用中线平分图形面积的方法

类别问题情境图示作法

过的顶点力作一条直线，平

过点A作△从8c的中线4。,直线40即为所求直线

分三角形的面积

B小IDC

三角形

A

过△ABC的AC边上的点F作一条过点A作△AB。的中线4E,连接EF,作40〃EF,

直线，平分三角形的面积连接0F,直线DF即为所求直线

B/DEC

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