2025年中考数学二轮复习讲义：阴影部分面积求解问题（原卷版）

重难点突破03阴影部分面积求解问题

目录

・题型特训•精准提分

方法一直接公式法

方法二和差法

题型01直接和差法

题型02构造和差法

题型03割补法

类型一全等法

类型二等面积法

类型三平移法、旋转法

类型四对称法

题型04容斥原理

题型特训-精准提分

【基础】设。0的半径为R,n°圆心角所对弧长为I,n为弧所对的圆心角的度数，则

扇形弧长公式[=噤（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表

lol）

示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.）

nnR21,

扇形面积公式Sc扇形=360=2ZR

圆锥侧面积公式S圆锥侧=Tirl（其中1是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）

圆锥全面积公式S圆锥全=nrl+nr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

圆锥的高h,圆r2+h2=I2

锥的底面半径r

【方法技巧】

1）利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果.在弧长公式

[=峭中，已知1,必R中的任意两个量，都可以求出第三个量.

180

2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然

后直接代入公式S扇形=嘿或S扇形=中求解即可.

3602

3）扇形面积公式S扇形=|ZR与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、

把弧长1看成底，R看成底边上的高即可.

4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，1,n,R中的任意两个量，都可以求出另外两个量.

5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即

27TL寝，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n。之间的关系，有时也根据圆

锥的侧面积计算公式来解决问题.

6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的

弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开

后的扇形半径两个概念.

【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图

形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方构造和差法

法全等法

等面积法

和差法割补法平移法

旋转法

对称法

容斥原理

1）直接用公式求解.

图形公式

S阴影=S扇形ABC

A)c

VB

S阴影=SAABC

4

B

S阴影=S四边形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解.

①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形士S常见图形）

图形面积计算方法图形面积计算方法

AS阴影=S、ACB-S扇0S阴影一S扇形AOB—

形ABDSAAOB

BXc

S阴影=SaAOB-S扇,1）S阴影=S扇形BAD-

形CODS半圆AB

S阴影=S半圆AB-CLs阴影=s扇形之和

_nnR2_TIR2

SAAOB

3602

ABJvJ

S阴影=S扇形EAF-

SAADE

巨l

,4^---------R

②构造和差法（所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形，然后进行相加减。）

图形公式

S阴影=S扇形AOC+SABOC

S阴影=SAODC-S扇形DOE

S阴影=S扇形AOB-SAAOB

第4+

F_Br,_B

出S阴影=S扇形BOE+SAOCE-S扇形COD

A（：0A（：0.

3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用

公式法或和差法创造条件，从而求解.

①全等法

②等面积法

图形公式

S阴影=S扇形COD

P0P0

④旋转法

图形公式

4E4ES阴影一S扇形AOE

­@3

S阴影二S扇形BOD

心D

A。£AdE

E/：S阴影=S扇形ABE-S扇形MBN

J

八MB"/IMB"

当阴影部分是由几个图形叠加形成时,

1）需先找出叠加前的几个图形；

2）然后理清图形之间的重叠关系.

图形（举例）公式

S阴影=S扇形BAB'+S半圆AB-S半圆AB

1

2ASB

B

S阴影二S半圆AC+S半圆BC-SAACB

CA

CS阴影=S扇形AEC+S扇形BCD-SAACB

ADEB

方法一直接公式法

1.（2022•湖北武汉•校考三模）如图，4B是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、C4为半径向内作直角

扇形，再以。为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若48=10,则阴影部分的面积

为（）

A.167rB.127rC.87TD.47r

2.（2023・四川成都•校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,以B为圆心，BC的长为半径画弧,

交4。于点E.若将一骰子（看成一个点）投到矩形2BCD中，则骰子落在阴影部分的概率为

3.（2023・吉林长春•吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在RtAABC中，/.BAC=90°,BC=6,点、D是

BC的中点，将2。绕点A按逆时针方向旋转90。得4）.那么图中阴影部分的面积为

方法二和差法

题型01直接和差法

4.（2019上•河北石家庄•九年级统考期中）已知点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC,AB=10,

BC-.AC=3:4,阴影部分的面积为.

5.（2023•青海・统考中考真题）如图，正方形ABC。的边长是4,分别以点A,B,C,。为圆心，2为半径

作圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留兀）.

6.（2023・湖南娄底•统考一模）如图，在等腰直角三角形4BC中，ZC=90°,AC=",以点C为圆心画弧

与斜边力B相切于点D,交2C于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是.

7.（2023・山东济南・统考中考真题）如图，正五边形48CDE的边长为2,以4为圆心，以AB为半径作弧BE,

则阴影部分的面积为（结果保留兀）.

题型02构造和差法

8.（2023・四川泸州・统考模拟预测）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。为RtAABC的

内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留TT）（）

A-TB.6—乎C.5一午D.3+全

9.（2022・湖北恩施・统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=4,乙4=30。，以点2为

圆心，4D的长为半径画弧交力B于点E,连接CE,则阴影部分的面积是（）

D

AEB

A.3—ITB.3IT—C.—TtD.-it—3

3333

10.（2023・安徽•模拟预测）如图，o。的半径为2,AB=2®则阴影部分的面积是.（结果保留兀）

11.（2023上•安徽六安•九年级校考期末）如图，在RtAABC中，4C=90°,乙4=60°,AC=2.点、D为BC边

的中点，以点。为圆心，CB长为直径画半圆，交AB于点E,则图中阴影部分的面积为.（结

果保留无）

12.（2022.广东江门•鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如图，在半径为遮，圆心角等于45。的扇形2。8内部作

一个正方形CDEF,使点C在。4上，点D、E在。8上，点尸在脑上，则阴影部分的面积为.

13.（2022•福建・一模）如图，在平行四边形纸板4BCD中，点E,F,。分别为4B,CD,BD的中点，连接

DE,OF,BF.将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为.

14.（2023•广东梅州•校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知。£»经过原点。，与x轴、y轴分别交于

A、8两点，点B坐标为（0,2代），。。与OD交于点C,ZOCX=30°,则圆中阴影部分的面积

为.

15.（2023・河南周口・淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形力MB的圆心角=60。，将扇形4MB

沿射线MB平移得到扇形CMD,已知线段CN经过初的中点E,若4M=2百，则阴影部分的周长为.

16.（2024•西藏拉萨•统考一模）如图，等腰A/IBC的顶点A,C在。。上，BC边经过圆心0且与。。交

于。点，NB=30°.

（1）求证：4B是。。的切线；

（2）若4B=6,求阴影部分的面积

17.（2023・山西长治・统考模拟预测）如图，在AABC中，C4=CB,AB=4,点。是4B的中点，分别以点力、

B、C为圆心，40的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H,若点E、F是线段4c的三等分点时,

图中阴影部分的面积为（）

R

A.8V2-2TTB.16V2-4nC.8V2-4itD.16&-2TT

18.（2022・湖北武汉•校考模拟预测）已知AB是O。的直径,D4DE、BC是O。的三条切线，切点分别为2、E、

B,连接。E.

图1图2

（1）如图1,求证：OE2=DE•CE；

（2）如图2,AD=1,BC=3,求图中阴影部分的面积.

题型03割补法

类型一全等法

19.（2022上•安徽阜阳•九年级校考期末）2B是O。的直径，弦CD1AB,a=30°,CD=48，则S阴影=

C.疑D.4兀

20.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，AB=1,以点2为圆心，矩形的长力。为半径画弧,

交BC于点E,交4B的延长线于点F,若4E恰好平分NB4D,则阴影部分的面积为（）

「TT-A/2-IC2V^"+TT

A.1D.-----------------D.V2-1

2•4

21.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，正方形4BCD的边长为2,对角线相交于点。，以点8为圆心,

对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为.

22.（2022・青海・统考中考真题）如图，矩形力BCD的对角线相交于点O,过点。的直线交4。，BC于点E,F,

若48=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为

23.（2022上•江西南昌.九年级统考期末）如图，半径为10的扇形。A8中，AAOB=90°,C为弧48上一点,

E.若NCDE=40。，则图中阴影部分的面积为（）

A40110

A.—71B.——71C.—71D.10TT

399

类型二等面积法

24.（2023•辽宁锦州・统考二模）如图，在△48C中，AB=AC,以4C为直径的。。与BC分别交于点

E,连接4E,DE,若NBED=45。，AB=2,则阴影部分的面积为（）

25.（2023・山西大同•校联考模拟预测）阅读与思考

下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：

通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题

在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，

比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三

角形，再运用全等三角形的性质解决此问题.

例：如图1,。是AABC内的点，且2D平分ABAC,CD1AD,连接若AdBC的面积是10,求图中阴影

部分的面积.

该问题的解答过程如下：

解：如图2,延长CD交4B于点E.

AC,

•*.Z.DAB=ADAC.

'：AD1CD,

：.Z-ADC=^ADE=90°.

在AAOE和Aaoc中,

Z.DAB=/-DAC

AD=AD

Z.ADC=Z.ADE

△ADE=^ADC(ASA').

，SAADE=S&ADC(依据*)，ED=DC.

任务:

(1)上述解答过程中的“依据*”是指」

(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整;

(3)如图3,在AABC中，Z.ABC=90°,AB=BC,4。平分NB4C交BC于点CEJ.4。交AD的延长线于点

E,连接BE.若BE=5,请直接写出4。的长.

图3

26.(2023上•辽宁抚顺・九年级统考期末)如图,C,。是以为直径的半圆上的两点，连接BC,CD,AC,BD,

则图中阴影部分的面积为

类型三平移法、旋转法

27.(2023・山西大同•校联考模拟预测)如图，正六边形4BCDEF内接于半径为8cm的O。中，连接CE,AC,

AE,沿直线CE折叠，使得点。与点。重合，则图中阴影部分的面积为()

A

BF

D

A.3275cmB.875cm2C.Sircm2D.+3n)cm2

28.（2023・浙江•模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边48是半圆的直径,

半圆。2过C点且与半圆。1相切，则图中阴影部分的面积（)

AA.——7-TCB.9cD

9-%-i

29.（2018・山西・统考中考真题）如图，正方形A3CD内接于。O,。。的半径为2,以点A为圆心，以AC

长为半径画弧交A5的延长线于点肛交的延长线于点R则图中阴影部分的面积为（）

A.4TI-4B.47i-8C.8K-4D.871-8

类型四对称法

30.（2017上•山东东营•九年级校联考期末）如图，以48为直径，点。为圆心的半圆经过点C,若AC=8C=

V2,则图中阴影部分的面积是.

H

31.（2023・广西北海・统考三模）如图，在平行四边形4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，EF过点。，交

4。于点R交BC于点E.若4B=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积是（）

A.1.5B.3C.6D.4

32.（2023•河北保定・统考一模）如图，在正方形4BCD中，AC和8。交于点0,过点。的直线EF交48于点E（E

不与4,B重合），交CD于点F.以点。为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影

33.（2022•山东荷泽・统考二模）如图，等边三角形ABC内接于。0,半径。力=3,则图中阴影部分的面积

是,（结果保留n）

34.（2023•江苏南通统考二模）如图，在。。中，弦4B垂直于半径。C,垂足为。，点E在。C的延长线上,

（1）求证：直线4E是。。的切线;

（2）若OE=6,sinzE=求图中阴影部分的面积.

题型04容斥原理

35.（2022上.重庆•九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在RtA4BC中，ZC=90°,分另！J以48、BC、"边

为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当4B