2025年新高考数学重难点专练：空间直角坐标系建系方法（六种）（原卷版）

重难点04空间直角坐标系建系方法（六种）汇总

题型解读

题型1利用共顶点的互相垂直题型4利用正棱锥的中心与高

的三条棱建立空间直角坐标系,所在直线建立空间直角坐标系

题型利用线面垂直建立空间重难点空间直角坐标系

204题型5利用图形中的对称关系

直角坐标系建系方法（六种）汇总建立空间直角坐标系

题型3利用面面垂直关系建立

L7题型6做线面垂直辅助线建系

空间直角坐标系

满分技巧/

技巧一.建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行：

1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。

2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。

3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方

向时，中指所指的方向即为z轴正方向。

4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。

5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示

几何体。

技巧二.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系

V

B

x

技巧三.利用线面垂直建系

技巧四.利用面面垂直建系

技巧五.利用正棱锥的中心与高所在直线建系

技巧六.利用图形中的对称关系建系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称

性可建立空间直角坐标系.

13M题型提分练

题型1利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系

【例题1］（2023秋•天津津南•高二校考期末次口图AE1平面ABC。,CF//AE,AD//BCfAD1AB,AB=AD=

1,AE=BC=2CF=2.

(1)求证：8尸〃平面2DE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求平面8DE与平面夹角的余弦值.

【变式1-111.(2023春・全国•高一期末)如图,边长为2的正方形4BCD中，点E是4B的中点，点F是BC

的中点，将^AEDADCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A',连接EF、A'B.

(1)求证：A'D1EF；

(2)求直线AD与平面EFD所成角的正弦值.

【变式1-112.(2023春•天津红桥•高一统考期末)如图，在底面是矩形的四棱锥P-4BCD中，PA，平面

ABCD,PA=AB=2,BC=4,£1是PO的中点.

(1)求证：CD，平面PAD；

(2)求平面瓦4c与平面ac。夹角的余弦值；

(3)求B点到平面瓦4c的距离.

【变式1-1]3.(2023秋・新疆•高二校联考期末汝口图，在正方体48C0-4B1C也中，。是4c的中点，「是

的中点.

(1)证明：也〃平面。。6.

(2)求平面ACC1和平面BCP所成锐二面角的余弦值.

【变式1-U4.(2023秋•云南保山・高三统考期末)如图，在四棱锥P-4BCD中，PA1平面28C。,底面

4BCD是矢巨形,PA=AD=4,“是PD上一点,PB||平面71cM.

(1)求证：AMJ_平面PCD；

(2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线CD与BM所成角的正切值为企；

②直线PC与平面48CD所成角的正弦值为|；③点。到平面ACM的距离为平；

若,求平面M4B与平面MBC夹角的余弦值.

【变式1-1]5.(2023春福建龙岩•高二统考期末)如图，在直三棱柱力BC-4出6中，4&=AB=2,E

为的中点，平面&BC，平面力.

⑴求证：AEIBC；

(2)若AAiBC的面积为2a,试判断在线段4C上是否存在点D,使得二面角2-8。-C的大小为学.若存

在，求出器的值；若不存在，说明理由.

题型2利用线面垂直建立空间直角坐标系

【例题2](2022春•云南保山•高二统考期末)如图，在四棱锥P-4BCD中,PA1平面ABCD,AD||BC,AD=

2BC,A48c是等边三角形,PA=AB=1.

⑴求证：平面PCD1平面P4C；

(2)求平面24C与平面PBC夹角的余弦值.

【变式2-1]1.(2023秋•新疆乌鲁木齐•高二乌鲁木齐101中学校考期末)如图，在四棱锥P-2BCD中，

AD//BC,AADC=APAB=90°,BC=CD=1AD为棱4D的中点，异面直线P4与CD所成的角为90°.

(1)在平面248内是否存在一点M，使得直线CM〃平面P8E，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在,

请说明理由;

(2)若二面角P-CD-4的大小为45。，求P到直线CE的距离.

【变式2-1]2.(2023春・江西萍乡•高二萍乡市安源中学校考期末)如图，直四棱柱-2/心。1的

底面4BCD为菱形,且N4BC=60°,AA1=AB=2,E,F分别为BC,a/i的中点.

(1)证明：平面EFG1平面.

(2)求平面EFG和平面&B1CD的夹角的余弦值.

【变式2-1]3.(2022秋•安徽亳州•高二校联考期末)如图，在三棱推P-ABC中，底面是边长为4的正

三角形，PA=2,P4，底面ABC,点E,F分别为AC,PC的中点.

⑴求证：平面BEF1平面PAC；

⑵在线段PB上是否存在点G使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为乎?若存在确定点G的位置；

若不存在，请说明理由.

【变式2-1J4.(2023秋•山东济南•高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末如图在三棱柱4BC-&&的

中，8C=BBi，BC]CiBjC=O,AO1平面BB^C.

(1)求证:ZB1BQ

(2)若乙BiBC=60°,直线4B与平面BBiGC所成的角为30°,求二面角4-B】Ci-4的正弦值.

【变式2-1]5.(2023秋•辽宁营口•高二统考期末)已知三棱柱/IBC-4/iG,44]=有=BC,^BAC=

30°,4在平面ABC上的射影为B,二面角&-4C-B的大小为45。，

(1)求44与BC所成角的余弦值；

⑵在棱441上是否存在一点E，使得二面角E-BC-Bi为90。，若存在，求出点的值，若不存在，说明理

由.

【变式2-1】6(2023春•吉林长春•高一长春十一高校考期末如图在四棱锥P-4BCD中PA1平面2BCD,

AB//CD,且CD=2,AB=1,BC=242,PA=2,AB1BC,N为PD的中点.

(1)求证：AN〃平面PBC；

(2)求平面P4D与平面PC。夹角的余弦值；

⑶点M在线段4P上,直线CM与平面PAD所成角的正弦值为等,求点M到平面PCD的距离.

题型3利用面面垂直关系建立空间直角坐标系

【例题3](2023春•河南南阳•高二统考期末)三棱柱ABC-4/©中，平面4。的&1平面4BC,△ABC是

等边三角形，乙=45°,441=2V2,XC=2.

⑴证明：平面4BC1平面ABC；

(2)求二面角4-BCi—Bi的平面角的余弦值.

【变式3-1]1.(2023春・全国•高一期末)在三棱锥P-4BC中，BC1平面P4B,平面PAC1平面4BC.

(1)证明：PA_L平面力8C；

(2)若。为PC的中点，且PA=2mB,AB=BC,求二面角力-BD-C的余弦值.

【变式3-1]2.(2023春・江苏苏州•高一江苏省昆山中学校考期末)如图，三棱锥P-4BC,PA=PB=

3,AB=AC=4,ABAC=6»(0<0<n),平面P4B1平面ABC,点M为线段PC上的动点.

(1)若点M为PC的中点时力M1AB,求BC的长；

(2)当。=用寸，是否存在点M使得直线BM与平面ABC所成角的正弦值为等？

【变式3-1]3,(2023春•高二校考期末)如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB〃CD,

ABLBC,/.DAB=60°,AB=AD=4,AE1DE,AE=DE,平面28E与平面CDE交于EF.

⑴求证：CD//EF；

(2)若EF=CD,求二面角力-BC-F的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在点M使得AMLEM?若存在，求BM的长；若不存在，说明理由.

【变式3-1]4.(2023春・浙江台州•高一温岭中学校考期末)如图，已知四棱台4BCD-4遇©。1的底面

是菱形，且乙4BC=60。，侧面力BB1&是等腰梯形，AB=3ArBr=6,BB1=2Vxec】=4,E为棱0%上一

点，且。送=

(1)求证：平面力BB1A11平面力BCD；

(2)若过点C,E的平面a与B。平行，且交直率于点F,求二面角尸-CB-。的余弦值.

【变式3-1]5.（2023春・广西南宁・高二宾阳中学校联考期末）图1是由矩形4DEB、RtAABC和菱形BFGC

组成的一个平面图形，其中4B=1,BE==BF=2"FBC=60。.将其'沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连

接DG,如图2.

FGBC

图1图2

⑴证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面4BC1平面BCGE；

（2）求图2中8G与平面力CGD所成角的正弦值.

【变式3-1]6.（2023春•四川宜宾•高二统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面力BCD是一个边长为

4的菱形，且NBCD=60。，侧面P4B是正三角形.

(1)求证：AB_LPD；

（2）若平面P28，平面，求平面P4B与平面PCD所成角的正弦值.

【变式3-117.（2023秋•浙江嘉兴•高三统考期末）如图，在三棱锥力-BCD中，平面力CD1平面BCD

Z.ACD=乙BCD=30°,点E在棱上,S.BC=3BE=2AC=V3DC=6.

(1)证明:DE1平面AC。；

(2)设F是4B的中点，点G在棱BC上,且EF〃平面力DG,求二面角E-AD-G的余弦值.

题型4利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系

【例题4](2022秋•新疆阿克苏•高三校考期末)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面4BCD为正方形，顶

点P在底面上的射影为正方形的中心O,E为侧棱PC的中点.

(1)求证：P4〃平面BDE；

⑵若48=2V2,四棱锥P-28CD的体积为号,求PB与平面D8E所成角.

【变式4-1]1.(2023春•陕西宝鸡•高一宝鸡中学校考期末)如图，在三棱锥P-4BC中,AB=AC,D为

BC的中点,PO1平面ABC,垂足。落在线段4。上，已矢口BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)求异面直线4尸，8c所成角的大小；

⑵在线段2P上存在点M且4M=3,探究二面角力-MC-B的大小并说明理由.

【变式4-1]2.(2023春•江苏南通・高二统考期末)如图，在三棱锥P-28C中，AC，BC,D是AC的中

点，E是AB上一点，AC1平面PDE.

p

⑴证明：DE〃平面PBC；

(2)若AC=BC=4,PD=PE=2,求二面角D-PB-E的正弦值.

【变式4-1]3.(2023秋・江苏南京•高三南京市第一中学校考期末)如图，三棱锥E-和尸-均

为棱长为2的正四面体，且A,B,C,D四点共面，记直线AE与CF的交点为Q.

(2)求二面角A-QD-C的正弦值.

题型5利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系

【例题5】(2023秋•河北•高三校联考期末)如图，圆柱0'。的轴截面4BCD是边长为4的正方形，EF为圆

。的直径，ADOF=60°.

F

(1)求点4到面BDF的距离；

(2)求平面AEF与平面8EF夹角的余弦值.

【变式5-1]1.（2023春•广东广州•高一华南师大附中校考期末）已知圆台。1。2的轴截面为，圆台

的上底面圆半径与高都等于1，下底面圆半径等于2，点E为下底圆弧6的中点，点N为上底圆周上靠近点4

的弧初的四等分点，经过。1，。2，7三点的平面与弧⑦交于点M,且E,M,N三点在平面28CD的同侧.

Q）判断平面。15MN与直线CE的位置关系，并证明你的结论；

（2）P为下底圆周上左半部分（靠近。点）的一个动点，且与M点在CD的不同侧，当四棱锥P-4BCD的体积等于

近时，求二面角N-PM-。的余弦值.

【变式5-112.（2023春•贵州•高二校联考期末）如图，已知正三棱柱XBC-ABC中，点E,F分别为棱

的中点.

（1）若过4民尸三点的平面，交棱斗心于点P,求篝的值；

（2）若三棱柱所有棱长均为2,求生E与平面4EF所成角的正弦值.

【变式5-1]3.（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆

心为底面直径,△48。为底面圆。的内接正三角形，且△4BD的边长为百，点E在母线PC上，且4E=显,

CE=1.

p

（1）求证：直线PO〃平面BDE,并求三棱锥尸-BDE的体积：

（2）若点M为线段P。上的动点，当直线DM与平面4BE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面4BE的距离.

【变式5-1]4.（2023春福建厦门•高二厦门外国语学校校考期末）如图，已知圆柱的上、下底面圆心分

别为。是圆柱的轴截面，正方开乡内接于下底面圆

P,Q,4416ABCDQ,AB=a,AAr=6.

B

⑴当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是仆PBC的重心;

⑵在（1）条件下，求平面24。与平面PBC所成二面角的余弦值.

题型6做线面垂直辅助线建系

【例题6]（2023春•全国•高一期末）如图，在三棱柱ABC-4/©中,AB1AC,顶点在&底面4BC上的

射影恰为点且力

B,B=AC=ArB=2.

G4

R

(1)求证：&G_L平面484/1

(2)求棱与BC所成的角的大小；

(3)在线段BiG上确定一点P，使4P=V14,并求出二面角P-4B的平面角的余弦值.

【变式6-1]1.(2023春•北京海淀•高二清华附中校考期末)四棱锥P-ABCD中，PAl^ABCD,PA=

CD=1,AB=BC=2,PC=3,AB//CD.

Q)求证:BC1平面PAB；

(2)求二面角a-PD-c的余弦值.

【变式6-1]2.(2023春•安徽芜湖•高二统考期末)在三棱锥p-ABC中，底面△ABC是边长为2的等边

三角形，P4=PB