2025年中考数学分类复习：几何综合压轴题（原卷版）

专家19几何徐含小柚敷

■

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024•广东卷：旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定

与性质、勾股定理、解直角三角形本题型是中

2023•广东卷：矩形的性质、圆的切线的性质、含3。度角的直角三角形的考的几何压

广东卷性质、等腰直角三角形的性质与判定、中位线的性质定理、角平分线的判轴大题，是

定定理对学生所学

2021•广东卷：等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形知识的灵活

的面积、圆的切线的证明方法运用及分析

2024•广州卷：轴对称的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、圆问题解决问

周角定理的应用、锐角三角函数的应用、勾股定理的应用、切线的性质题能力的全

2023•广州卷：正方形的性质，全等三角形的判定和性质、旋转的性质、轴面考察，知

对称的性质识点范围

广州卷

2022•广州卷：菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、广，综合性

三角形的重心、解直角三角形等强，难度系

2021•广州卷：菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质数较大，既

2020•广州卷：圆与正多边形的综合以及动点问题能考察基础

2024•深圳卷：垂中平行四边形的定义、平行四边形的性质与判定、相似三知识和基本

角形的判定与性质、勾股定理、尺规作图、等腰三角形的判定与性质技能，又考

2023•深圳卷：相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、解直角三角查数学思想

形、矩形的性质方法和数学

2022•深圳卷：圆的性质、弧长公式、勾股定理、中位线、利用锐角三角函能力，区分

数值解三角函数度较大，同

深圳卷

2022•深圳卷：四边形的综合、全等三角形的判定、相似三角形的判定与性学们在复习

质、三角形角平分线的性质、勾股定理及应用时，要注重

2021•深圳卷：相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、等腰直角总结常考的

三角形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数几何模型，

2020•深圳卷：正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定举一反三。

与性质、相似三角形的判定与性质

•I

5年真题•分点精准练

广东卷

1.(2024・广东・中考真题)【知识技能】

(1)如图1,在VABC中，DE是VABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点。按逆时针方向旋转，得到

△AOC'.当点E的对应点E与点A重合时，求证：AB=BC.

【数学理解】

(2)如图2,在VABC中DE是VABC的中位线.连接C。，将△AOC绕点。按逆时针方向旋

转，得到AA'DC',连接A'B,CC,作△ABD的中线。尸.求证：2DFCD=BDCC.

【拓展探索】

一432

(3)如图3,在VA5C中，tan8="点。在A3上，AD=y.过点。作DEJL3C,垂足为E,BE=3,

32

CE=y.在四边形ADEC内是否存在点G,使得NAGD+NCGE=180。？若存在，请给出证明；若不存在，

请说明理由.

图1图2图3

2.(2023・广东•中考真题)综合探究

如图1,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,3D相交于点。，点A关于BD的对称点为4,连接4V交BD

于点E,连接C4'.

图1图2图3

⑴求证：AA'±CA;

(2)以点。为圆心，OE为半径作圆.

①如图2,。。与CD相切，求证：AA1=y/3CA'；

②如图3,。。与CV相切，AD=1,求。。的面积.

3.(2021・广东•中考真题)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB^CD,NABC=90。，点E、厂分别在线

段BC、AD上，KEF//CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求证：CF1FB；

(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；

(3)若EF=2,ZDFE=120°,求VAT史的面积.

广州卷

4.（2024•广东广州•中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZC=120°.点E在射线8C上运动（不与点8,点C

重合），AAEB关于AE的轴对称图形为△AEF.

⑴当/RV=30。时，试判断线段"和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；

（2）若AB=6+6A/L。。为AAEF的外接圆，设。。的半径为

①求「的取值范围；

②连接ED,直线阳能否与。。相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.

5.（2023•广东广州•中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边A。上一动点（不与点A，。重合）.边

关于班对称的线段为跳连接A尸.

（1）若NAB£=15°,求证：△ABE是等边三角形;

（2）延长E4,交射线助于点G；

①ABG/能否为等腰三角形？如果能，求此时/ABE的度数；如果不能，请说明理由;

②若AB=6+瓜,求厂面积的最大值，并求此时AE的长.

6.（2022•广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCD中，138A£）=120。，AB=6,连接BD.

⑴求8。的长；

（2）点E为线段上一动点（不与点8,。重合），点尸在边上，且BE=6DF,

①当CELAB时，求四边形ABE尸的面积；

②当四边形的面积取得最小值时，CE+gCF的值是否也最小？如果是，求CE+GCB的最小值；如

果不是，请说明理由.

7.(2021•广东广州•中考真题)如图，在菱形A8CD中，DAB=6Q°,AB=2,点E为边4B上一个动点,

延长8A到点孔使AF=A£,且CROE相交于点G

备用图

(1)当点E运动到中点时，证明：四边形。尸EC是平行四边形；

(2)当CG=2时，求AE的长；

(3)当点E从点A开始向右运动到点2时，求点G运动路径的长度.

8.（2020•广东广州•中考真题）如图，O。为等边/ABC的外接圆，半径为2,点O在劣弧48上运动（不与

点A,8重合），连接D4,DB,DC.

（1）求证：DC是NADB的平分线；

（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理

由；

（3）若点分别在线段C4,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置,

的周长有最小值b随着点。的运动，/的值会发生变化，求所有/值中的最大值.

深圳卷

9.(2024,广东深圳•中考真题)垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的

两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行

四边形”.

(1)如图1所示，四边形A5CD为“垂中平行四边形"，AF=下，CE=2,则AE=；AB=

(2)如图2,若四边形A6CD为“垂中平行四边形”，且48=瓦＞,猜想A尸与CD的关系，并说明理

由；

(3)①如图3所示，在AABC中，BE=5,CE=2AE=12,AC交AC于点E,请画出以BC

为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具)；

②若AABC关于直线AC对称得到VAB'C，连接CB',作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P,

连接QE,请直接写出PE的值.

10.(2023,广东深圳•中考真题)(1)如图，在矩形45co中，E为2。边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CF_LBE交匹于点尸，求证：LABEmAFCB；

②若S^ABCD=20时，则BECF=.

(2)如图，在菱形ABCD中，cosA=1,过C作CE1AB交2B的延长线于点E,过石作石尸1AD交4。于

点、F,若S菱形ABCD=24时，求EF.3C的值.

(3)如图，在平行四边形ABCD中，ZA=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上，且CE=2,点/为BC上

一点，连接政，过E作EGLEF交平行四边形A3CO的边于点G,若所・EG=76时，请直接写出AG的

长.

EE

D,CD,C

ABAB

备用图

11.(2022・广东深圳・中考真题)一个玻璃球体近似半圆。AB为直径，半圆。上点C处有个吊灯E£EF//AB,

COLAB,所的中点为0,04=4.

(1)如图①，CM为一条拉线，河在上，。〃=16。/=0.8,求CD的长度.

⑵如图②，一个玻璃镜与圆0相切，H为切点,M为08上一点，为入射光线，为反射光线，

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZC0H=—，求ON的长度.

4

⑶如图③，M是线段。8上的动点，为入射光线，/"。〃=50°,四为反射光线交圆0于点N,在河从

0运动到8的过程中，求N点的运动路径长.

12.(2022•广东深圳・中考真题)(1)【探究发现】如图①所示，在正方形ABC。中，E为AO边上一点，将AAEB

沿BE翻折到△3EF处，延长所交C。边于G点.求证：ABFG^ABCG

图①

(2)【类比迁移】如图②，在矩形ABC。中，E为AD边上一点，且相＞=8,43=6,将474£6沿3匹翻折到

△BEF处,延长EF交2c边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.

(3)【拓展应用】如图③，在菱形ABC。中，AB=6,E为CD边上的三等分点，/。=60。,将丫40£沿4£

翻折得到AAFE,直线EP交于点P,求CP的长.

BB

备用1备用2

13.（2021•广东深圳•中考真题）在正方形ABC。中，等腰直角尸，ZAFE=90°,连接CE,〃为CE中

⑴①器=

②NHBF=

③小明为了证明①②，连接AC交皿于。，连接所证明了器和器的关系，请你按他的思路证明

①②・

PA

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,益=五="NBDA=NEAF=8

（0°<0<90。）求:

①工（用左的代数式表示）

②翁（用鼠。的代数式表示）

14.（2020•广东深圳•中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E,

A,。在同一条直线上）,发现3E=DG且B比。G.小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答:

背景图图1

（1）将正方形AMG绕点A按逆时针方向旋转,（如图1）还能得到3E=OG吗？如果能，请给出证明.如

若不能，请说明理由:

（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形A8CZZ将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如

图2）试问当SEAG与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论8E=OG仍成立？请说明理由;

ApAft9

⑶把背景中的正方形改成矩形AMG和矩形”处且前=而二，心％止8,将矩形血G绕

点A按顺时针方向旋转（如图3）,连接。E,BG.小组发现：在旋转过程中，是定值，请求出这

个定值.

1年模拟•精选模考题

15.（2024•广东佛山,二模）已知点E是边长为2的正方形ABCD内部一个动点，始终保持ZAED=90°.

图1

DF

【初步探究】（1）如图,延长DE交边2C于点八当点厂是2C的中点时‘求益的值;

DF

【深入探究】（2）如图,连接CE并延长交边AD于点当点”是AD的中点时，求笠的值;

AE

DF

【延伸探究】（3）如图,连接班并延长交边C。于点G.当DG取得最大值时，求爷的值.

AE

16.(2024•广东广州,二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,44C=90。，。、E分别是3C、

AC上一点，且80=正(7后；

2

图1图2

(1)如图1,当/54。=30。时，求CE的长度.

(2)如图2,过点E作EFJ.BC,交3C于点F,作产GJLAD,交48于点G,求证：BG+CE=—BC.

2

⑶连接OE,当DE的长度最小时，求VADE的面积.

17.(2024•广东河源•一模)如图1,在正方形ABCD中，AB=12,点E是对角线BD上的动点(点E不与点。

重合)，连接AE,过点E作£F_LAE,交BC于点F.

⑴求证：AE=EF-

(2)如图2,连接EC,作AEFC的外接圆团。，交边CD于点G,连接PG,若tan/ECG=；,求。。的直径长;

(3)如图3,设国。交BD于另外一点若BH=DE,求AABE1的面积.

18.(2024•广东深圳•三模)(1)问题呈现：如图1,NABC和VADE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°

ABAD连接CE,求更的值;

且n---二---3D

BCDE4CE

(2)类比探究:如图2,VABC是等腰直角三角形，ZACB=90。，将VABC绕点A逆时针旋转60。得到VAOE,

连接3DEC,延长EC交8。于点F设AB=6,求跖的长;

(3)拓展提升：如图3,在等边VABC中，AB=6,AD是3C边上的中线，点M从点A移动到点，连接

MC,以MC为边长，在MC的上方作等边△初VC,求点N经过的路径长.

图1图2图3

19.(2024•广东珠海•三模)如图1，点。为矩形ABCD的对称中心，AB=4,AD=8,点E为AD边上一点

(0<AE<3),连结EO并延长，交于点F.四边形TW庄与AQFE关于E尸所在直线成轴对称，线段》尸

交AD边于点G.

图1备用图

⑴求证：GE=GF.

(2)当A£=2£)G时，求AE的长.

(3)令AE=a,DG=b.

①求证：(4-o)(4-Z?)=4.

②如图2,连结OQ,OD,分别交AA32于点H,K.记四边形OKGH的面积为H，ADGK的面积为S?,

当。=1时，则b的值为一，5的值为一.

20.(2024•广东广州•三模)如图1,点2在直线/上，过点B构造等腰直角三角形ABC,使N54C=90。,

SLAB=AC,过点C作CD，直线/于点D,连接AD.

图1图2

⑴小娟在研究这个图形时发现，/54。=/或心=90。，点4。应该在以BC为直径的圆上，则NADB的

度数为，将射线AD顺时针旋转90。交直线/于点E,可求出线段AD,BD,CD的数量关系为

(2)小娟将等腰直角三角形ABC绕点8在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD,BD,CD的数量关系

是否变化，请说明理由：

⑶在旋转过程中，若CD长为1,当△ABD面积取得最大值时，请求出此时AD的长.

21.（2024•广东惠州•三模）某兴趣小组在数学项目式学习活动中拟做以下探究：在Rt^ABC中,

AT）1

NC=90。，AC=BC,。是AB边上一点，且一=-（〃为正整数），£■是AC边上的动点，过点。作DE

BDn

的垂线交直线BC于点产.

【初步感知】⑴如题1图，当w=l时，该兴趣小组探究得出结论：AE+BF=^-AB,请写出证明过程；

2

【深入探究】（2）如题2图，当a=2时且点P在线段BC上时，试探究线段第BF,四之间的数量关系,

请写出结论并证明；

【深入探究】（3）请通过类比、归纳、猜想、探究，归纳出线段至BF,四之间数量关系的一般结论.

22.(2024•广东深圳•三模)【问题呈现】

(1)如图①，在凸四边形ABCD中，DA=DB,ZABD=60°,连接AC,^DCB=30°,某数学小组在

进行探究时发现CD?、C*和CT之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以CD为边作

等边ACDE,连接跖，则易证且NEC8=90。，止匕时3E=AC,CE=CD,进而推导出。?、

圆2和CT之间的数量关系

【类比探究】

(2)如图②，在凸四边形ABCD中，AD=BD,ADVBD,/BCD=45。,连接AC,(1)中的结论是否

改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明.

【实际应用】

(3)工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形ABCD零件(CD>AD),如图③所示.其中AB=4厘米，

AD=5厘米，DELAB,垂足是E,且E是4B的中点，且/ADE=/DCB,连接B£>,AC.在尝试画图的

过程中，王师傅发现。hCT??和C4之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出CD?,CB2»CA2

之间的数量关系，并证明此结论.

AEB

图①图②图③

23.(2024•广东深圳,二模)【问题提出】

(1)如图1,在正方形A2CZ)中，点E,尸分别在边和对角线AC上，ZEDF=45。，点,G,H分别在边

和CD上，ZDGE=ZFHD=135°,求证：ADEG^^FDH；

【尝试应用】

(2)如图2,在矩形ABCZ)中，AB=3,AD=4,点E,尸分别在边A8和对角线AC上，NED尸=45。，AE=2,

求CP的长；

【拓展提高】

(3)如图3,在平行四边形ABCD中，ZB=120°,AB=5,AD=8,点E,尸分别在边AB和对角线AC上，

ZED尸=60。，AF=2CF,试求AE的长.

AGD

BCBC

图1图2

24.（2024•广东广州,二模）如图1,已知正方形ABCZ）的边长为1,点P是AD边上的一个动点，点A关于直

线的对称点是点。，连接PQ、DQ、C0、BQ,设AP=x.

⑴8Q+DQ的最小值是；此时x的值是.

（2）如图2,若尸。的延长线交C。边于点E,并且NCQD=90。.

①求证：点E是8的中点；

②求x的值.

⑶如图2,若PQ的延长线交C。边于点E,求线段PE的最小值.

25.（2024•广东深圳•三模）（1）【问题发现】如图1,矩形AEFG与矩形A3CD相似，且矩形AEFG的两边分

别在矩形A5C。的边A8和AD上BC：AB=1：百，连接

①线段CF与DG的数量关系为；②直线CP与DG所夹锐角的度数为；

（2）【类比探究】如图2,将矩形的'G绕点A逆时针旋转，其它条件不变.在旋转的过程中，（1）中的结

论是否仍然成立，请利用图2进行说理.

（3）【知识迁移】如图3,当矩形ABCD的边=时，点E为线段CD上异于。，C的一点，以AE为

边作正方形AEFG,点H为正方形AEFG的中心，连接DH,若AD=4,DE=2,直接写出DH的长

（4）【拓展应用】如图4,在矩形ABCD中，AD^a,AB=b,点P时直线BC上一动点，连接己4、PD,

直接写出gPD的取值范围__________.（用含有〃、人的代数式表示，可以不化简）

PA

F

图1图2图3图4

26.（2024•广东清远•三模）综合与实践课上，老师让同学们以"正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位

同学操作过程如下：

操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在AD上选一点尸，沿3尸折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接尸加、BM,

延长交C。于点。，连接8Q.

（1）如图1,当点M在所上时，ZEMB=度;

（2）如图2,改变点P在凡D上的位置（点尸不与点A,D重合）.

①判断与NC8。的数量关系，并说明理由；

②若AB=8,FQ=1（点。在所下方），则AP的长为.

27.（2024•广东佛山•三模）如图1,正方形ABCE（中，A5=4,点E,尸分别是边AB,AD的中点，连接斯,

点G是线段所上的一个动点，连接AG,将线段AG绕点A逆时针方向旋转90。，得到AH，连接HD,GB.

图1

⑴求证：GB=HD；

⑵如图2,若EG=FG,连接尸〃，试判断四边形AGEfZ的形状，并说明理由;

⑶若直线3G与直线。归交于点当AA/TO为直角三角形时，求四边形AGMH的面积.

28.（2024•广东佛山•三模）综合探究

如图1,在学习了平行四边形相关知识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在正方形ABCD中，过点

C作射线CF_LAC,垂足为C,点P在射线DC上.

（1）如图2,若点P是线段DC中点时，连接心，并将出绕点尸逆时针旋转90。与CP交于点E,根据题

意在图中画出图形，并判断线段PA与PE的数量关系为.

【问题探究】

（2）若点P在线段DC上时，连接上4,并将上4绕点尸逆时针旋转90。与CP交于点E,则（1）中的结论

是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展延伸】

（3）如图3,若点尸在射线DC上移动，将射线出绕点尸逆时针旋转90。与CP交于点如果尸C=2,

AC=546,求CE的长.

29.(2024•广东深圳•三模)【探究发现】

(1)如图(a),正方形ABC。的边长为6,E为边48的中点，尸是边BC上的一点，将△3EF沿所对折,

点8的对应点为点G,当点G恰好落在。尸上时，求防的长.

(2)如图(6),E,尸分别是矩形ABCZ)的边A3,8C上的点，AB=6,BC=8,F为BC的中点，将△3EF

沿E尸对折，点8的对应点为点G.连接DG,当m=2时，求四边形DGFC的面积.

(3)菱形ABC。的边长为6,ZABC=60°,E是边43上一点，F是边BC上一点，将沿所对折,

点8的对应点为点G.当点G落在菱形的一条边或一条对角线上，且AG=2时，直接写出BE的长度.

30.(2024•广东深圳•三模)如图，在平行四边形ABCD中，过点。作。E，BC的延长线于点E,垂足为点E,

AB=AC=10cm,BC=Ucm,CE=6cm,点尸从点C出发，沿C4方向匀速向点A运动，速度为lcm/s；

同时，点。从点O出发，沿DC方向匀速向点C运动，速度为2cm/s；过点。作交DE于点M.当

点尸、。中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段也停止运动，连接尸。(。</<5).解答下列问题：

(1)当7=时，点。为C。的中点.

(2)sin.

⑶设五边形CPQME的面积为y(cm2),求y与I之间的函数关系式.

⑷是否存在某一时刻，使得点C、尸、。为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出f的值；若不存在,

请说明理由.

31.(2024•广东惠州,二模)综合探究

【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题，往往

需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法.

【初步探究】

(1)如图1,将VABC绕点A逆时针旋转90。得到VADE,连接CE,DB,根据条件填空：

①NACE的度数为；

②若CE=2,则C4的长为；

【类比探究】

(2)如图2,在正方形中，点E在边上，点尸在边8上，且满足ZE4F=45。，BE=1,DF=2,

求正方形ABC。的边长；

【拓展延伸】

3

(3)如图3,在四边形中，CD=CB,NBAD+NBCD=90°,AC,为对角线，且满足AC=58,

若AD=3,AB=4,请求出的长.

图1图2图3

32.（2024•广东深圳•三模）如图1,在矩形ABCD中，AD=2M，点尸是对角线8£＞上的一动点.

【初步探究】

（1）下表是某探究小组得出的正确结果：（部分数据被遮挡）

【探究运用】

（2）当tana+tan£=56时，求五的值.

【拓展延伸】

GF1

（3）如图2,/XAF®的外接圆交AD于点E,交BC于点F,EF交AP于点、G,若AD=6,当时,

GF3

直接写出此时的长.

33.(2024•广东云浮•一模)如图1,在RtAADC中，ZADC=9Q°,ZDAC=3T,AC=10,点。在边上，

由点。向点A运动，当点。与点A重合时，停止运动.以点。为圆心，OD为半径，在AD的下方作半圆

O,半圆。与AD交于点M.(sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75)

(1)如图1,当0£>=26时，/OCD=_。，点C至U半圆。的最短距离=_；

(2)半圆。与AC相切时，求的长？

(3)如图2,半圆。与AC交于点E、F,当EF=6.4时，求扇形EO/的面积？

⑷以AD,0c为边矩形ABCZ),当半圆。与VABC有两个公共点时，则OD的取值范围是一.

34.(2024•广东深圳•三模)己知正方形ABC。，将边A3绕点A顺时针旋转a至线段AE,/D4E的角平分线

所在直线与直线砥相交于点F.

E

备用图

【探索发现】

(1)如图1,当a