2025年中考数学分类复习：解直角三角形（58题）（解析版）

专题28解直角三角形（58题）

一、单选题

1.（2024・吉林长春•中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在

黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为。千米，仰角

为，，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

C.次os。千米D.T千米

cos6*

【答案】A

【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可

求解

【详解】解：由题意得：5缶。=不=——

ARa

AL=asin〃千米

故选：A

2.（2024・天津・中考真题）os45。-1的值等于（）

A.0B.1C.亚一1D.V2-1

2

【答案】A

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据cos45。=正代入即

2

可求解.

【详解】V2cos450-l=>/2x—-1=0,

2

故选：A.

4

3.（2024.甘肃临夏.中考真题）如图，在AABC中，AB=AC=5fsinB=-,则3C的长是（）

A

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理.正确作出辅助线是解题关键.过点A作

AD13C于点D由等腰三角形三线合一的性质得出2。=CD=23C.根据sinB=当=。，可求出AD=4,

2AB5

最后根据勾股定理可求出BD=3,即得出BC=2BD=6.

【详解】解：如图，过点A作AD13C于点D

BD=CD=-BC.

2

An4

在RtAABD中，sinB=——=-,

AB5

44

AD=-AB=-x5=4

55f

；•BD=y/AB2-AD2=J52-42=3，

BC=2.BD=6.

故选B.

4.（2024.四川自贡.中考真题）如图，等边AASC钢架的立柱CDLAB于点D,A3长12m.现将钢架立柱

缩短成OE,NBED=60。.则新钢架减少用钢（）

A.（24-12港）mB.（24-8/）mC.（24-6百）mD.（24-4宕）m

2

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得DE=2一,

BE=4s/3=AE,CD=6^3,利用新钢架减少用钢=47+8。+8-钻一助—£）£,代入数据计算即可求

解.

【详解】解：：等边AABC,CDJ_A3于点，48长12m,

•*.AD=BD=—AB=6m,

2

'：ZBED=60°,

tan60°==A/3,

DE

•*.DE=2A/3,

BE=^DE2+BDr=4-73=AE，

"30=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=y/3BD=6V3m,8C=AC=AB=12m,

新钢架减少用

=24+6君-8石-2-=（24-4@111,

故选：D.

5.（2024.四川德阳・中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一

高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底3处测得C处的仰角为60。,在小楼房楼顶A处测得C处

的仰角为30。.CAB.CD在同一平面内，AD在同一水平面上），则建筑物8的高为（）米

A.20B.15C.12D.10+55/3

【答案】B

【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过A作AELCD于E,则四边形ARDE为矩形,

设CE=x,而NC4£=30。，可得AE=-^J=®c=BD,CD=x+10,结合1皿60。=1|=^^=百，

tan30°BD，3x

再解方程即可.

【详解】解：如图，过A作AE_LCD于E,

依题意，AB1BD,CD1BD

二四边形A&DE为矩形，

AAB=DE=10,AE=BD,

设CE=x,而/G4E=3O°,

AE=CE=B=BD,

tan30°

"?CD=x+W,

CD%+10/r

...tan60=----=—T=—=<3,

BD瓜

解得：x=5,

经检验尤=5是原方程的解，且符合题意;

CD=x+10=15(m),

故选B

6.（2024・广东深圳•中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高L8m的测量仪所测得的仰角为

45。，小军在小明的前面5m处用高L5m的测量仪CD测得的仰角为53。，则电子厂的高度为（）（参

434

考数据：sin53°«-,cos53。e],tan53°«-)

3

A

E二r.M

c「N

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EfDG、跖BA/、

表示EM=(x+5)m,然后在RtAAEM,tan/AEM=电1以及

CD3N是矩形，再设GM=mi,

EM

4

RtAACN,tan/ACN=4^，运用线段和差关系，MN=AN-AM=-x-(x+5]=0.3,再求出x=15.9m,

CN3

即可作答.

【详解】解:如图：延长。C交于一点G,

E二宓__s-.M

『I里

FDB

•.・ZMEF=ZEFB=ZCDF=90°

・•・四边形EFDG是矩形

ZMEF=ZEFB=ZB=90°

・•・四边形是矩形

同理得四边形CDBN是矩形

依题意，得EF=Affi=L8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°

：.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=MN=03m

・•・设GM=xm,则EM=(x+5)m

在Rt△A£M,tanZAEM=州,

EM

・•・EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt^ACN,tanZACN=—,

CN

4

••・CNtan530=—%=AN

3

4

即AN=—xm

4

:・MN=AN-AM=jX-(x+5)=0.3

x=15.9m

=15.9+5=20.9(m)

Z.AB^AM+EF^AM+MB^20.9+1.8=22,1(m)

故选：A

7.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，在矩形ABCD中，瓦厂是边2C上两点，且BE=EF=FC,连接

尸,OE与.相交于点G,连接3G.若AB=4,BC=6,贝Usin/GB尸的值为（）

101033

【答案】A

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G作GHL5C,证明

FGFF1

△AGD^FGE,得至IJ端=,=再证明△GHFsj®/,分别求出的长，进而求出5H的长,

AGAD3

勾股定理求出3G的长，再利用正弦的定义，求解即可.

【详解】解：・・,矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

：.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2f

：.AAGD^"GE,BF=4,

.FGEF_1

**AG-AD-3?

・FG-1

**AF-4

.FHGHFG_1

**BF-AB-AF-4?

AFH=-BF=1,GH=-AB=lf

44

:・BH=BF—FH=3,

3G=jF+32;回,

6

.•.sin/G*%=3=回；

BGVw10

故选A.

8.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）如图，菱形ABCD中，点。是50的中点，AMLBC,垂足为M,

AM交BD于点、N,OM=2,BD=8,则MN的长为（）

「3A/5D

5-f

【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半.

先由菱形性质可得对角线AC与交于点。，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得

OA=OC=OM=2,进而由菱形对角线求出边长，由sin/MAC=sin解三角形即可求出

5

4J53J5

MC=ACsinZMAC=,MN=BMtanZOBC=

55

・・,菱形A3CD中，AC与50互相垂直平分,

又・・•点。是的中点,

・・・A、0、。三点在同一直线上,

：.OA=OC,

VOM=2,AMA.BC,

：.OA=OC=OM=2f

;BD=8,

OB=OD=-BD=4,

2

______________0(221

,BCNOB?+OC?=%+2?=2石，tanZOBC=—=-=-

,/ZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZOBC=90°,

・•・ZMAC=ZOBC

sinNMAC=sinZOBC=—=3=—，

BC5

4J5

・•・MC=ACsinZMAC=,

5

/.BM=BC-MC=2^--=—,

55

/.MN=BMtanZOBC=-x-=—

525

故选：C.

9.（2024・四川乐山・中考真题）如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,钙=1,点P是BC边上一个动点，

在3C延长线上找一点。，使得点尸和点Q关于点C对称，连接。尸、42交于点M.当点尸从3点运动到

C点时，点M的运动路径长为（）

【答案】B

【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解

题的关键是掌握以上点M的运动路径.

过点C作交AD于点“，根据NABC=60。，四边形ABCD是菱形，AB=1,算出。〃=1,得出

AH=DH,CH垂直平分AO,再证明VPCAf也VQCM,得出证明CM垂直平分尸。，点M

在CH上运动，根据解直角三角形CM'=BC-tan30°=^.即可求解.

3

【详解】解：过点C作CHLAD交AD于点H,

'：ZABC=60°,四边形ABCO是菱形，AB=1,

ZADC=60°,CD=BC=AB=1,

：.ZDCH=30°,

：.DH^-CD=1,

2

/.AH=AD-DH=A,

：.AH=DH,

：.CH垂直平分AD,

8

:点P和点。关于点C对称，

PC=QC,

,/ZPCM=ZQCM=90°,CM=CM,

：.^PCM^QCM（SAS）,

：.PM=MQ,

：.CM垂直平分PQ,

.,.点M在CH上运动，

当点P与点8重合时，点M位于点AT,

此时，；NABC=60。，四边形ABCD是菱形，AB=l,

：.ZM'BC=-ZABC=30°,BC=1

2

/.CM'=BCtan30°=—.

3

故点M的运动路径长为CM'=^~.

3

故选：B.

10.（2024.山东泰安・中考真题）如图，菱形ABCD中，ZB=60°,点E是A3边上的点，AE=4,BE=8,

点尸是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，/EFG为30。角的直角三角形，连结AG.当点F在

直线8c上运动时，线段AG的最小值是（）

A.2B.4A/3-2C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】如图：过E作EM,8c于点作MHLAB于点H,作A7_LGM于点/,则点&M、F、G四

点共圆，从而得到4=因为AGAGb,所以求出的值即可解答.

【详解】解：如图，过E作EN_LBC于点跖作于点作于点/,

AD

•「NEMF+NEG尸=180。，

・••点E、M、F、G四点共圆，

：.ZEMG=ZEFG=30°f

•・・/二60。，

ZBEM=300=ZEMG,

:.MG〃AB,

・•・四边形MH"是矩形，

：.MH=AI,

VBE=8,

EM=B£COS30°=4A/3,

MH=-EM=273=AI,

2

・•・AGNAI=26,

**•AG最小值是2g.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟

练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键.

11.（2024•四川泸州・中考真题）宽与长的比是赵人的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称

2

的美感.如图，把黄金矩形ABC。沿对角线AC翻折，点3落在点?处，AB，交CD于点E,贝Ijsin/DAE的

值为（）

10

【答案】A

【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点,

利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键.

设宽，根据比例表示长，证明AWE/在中，利用勾股定理即可求得结果.

【详解】解：设宽为x,

•••宽与长的比是史二1,

2

x>/5+1

..•长为：-^=~X,

2

由折叠的性质可知，AD=BC=B'C=x,

在VADE和ACB'E中，

ZAED=ZAEB'

<ZD=ZB',

AD=B'C

：.AADE丝ACBE(AAS),

AE=CE,

：.AE+DE=DC=^^x,

2

设=

在中,

变形得：2=

x2

AO=2y,AE=Jy。+(2y)~=>/5y,

sinNDAE=.y=旧

AE好y5

故选A.

12.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）如图，在正方形A3CD中，点”在AD边上（不与点A、。重合），

ZBHF=90°,“F交正方形外角的平分线。尸于点E连接AC交3”于点M,连接所交AC于点G,交

CD干点N,连接8D.则下列结论：①NHBF=45。；②点G是的中点；③若点H是AQ的中点，则

sinZ.NBC=;@BN=J2BM;⑤若A"=，则黑M。=?S△谢，其中正确的结论是（）

1022

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】A

【分析】连接。G,可得丝=血，AC垂直平分先证明点8、H、。、尸四点共圆，即可判断①；

根据AC垂直平分8。，结合互余可证明OG=AG,即有OG=PG=3G,则可判断②正确；证明

△ABMSADBN,即有黑=当=0,可判断④；根据相似有黑也=（理］=L，根据可得

BMABS©BNVBD）22

SHM1

3AH=AD,再证明△s«CBM,可得节A典HM=五彳=£,即可判断⑤;根据点〃是AD的中点，设">=2,

^^ABM8M3

即求出34=JAH2+AB2=岔,同理可证明AA/TMSACBM,=jBH=175,即可得

BN=42BM=^s/10,进而可判断③.

【详解】连接DG,如图，

P

:四边形ABCD是正方形，

ZBDC=ABAC=ZADB=45°,—=41,ZBAD=ZADC=90°,AC垂直平分8D,

AB

：./COP=90。，

,/DF平分NCDP,

：.ZCDF=-NCDP=45°=NCDB,

2

NBDF=ZCDF+Z.CDB=90°,

,/ZBHF=90°=ZBDF,

；.点B、H、D、/四点共圆，

ZHFB=ZHDB=45°,ZDHF=NDBF,

ZHBF=1SO°-ZHFB-ZFHB=45°,故①正确，

12

•・・AC垂直平分BQ,

:.BG=DG,

:./BDG=/DBG,

・.•NBDF=90。,

・•・ZBDG+ZGDF=90°=NDBG+NDFG,

:.ZGDF=ZDFG,

：.DG=FG,

：,DG=FG=BG,

・••点G是防的中点，故②正确，

•.*ZBHF=90°=ZBAH,

ZAHB+NDHF=90°=ZAHB+ZABH,

：・ZDHF=ZABH,

ZDHF=ZDBF,

:.ZABH=/DBF,

又ABAC=NDBC=45°,

:・AABMSQBN,

:，吧=6,

BMAB

：・BN=6BM,故④正确，

.S叩町2j

.・S.DBN〔而2，

iii

若AH.HD,则=

/.3AH=AD,

.AH1用AHAH1

••=—,Bp==一,

AD3BCAD3

AD〃BC,

：,AAHMSQM,

.HM_AH_1

**BA7­BC"3?

.s4AHM=HM=1

••S^ABM~BM~3

•Q—QQ

••ABM~）乙4"”，

qi

.."AABM—

*v-2，

□ADBN4

**,S^BND=2s4ABM-65^^,故⑤错误,

如图，③若点X是AD的中点，设AT>=2,即AB=3C=AD=2,

,,BH=AH2+AB2=y[5,

同理可证明△AHMs4CBM,

.HMAH_1

**-BC-2?

.HM+BM3BH

・・BM--2-BM，

22/-

BM=—BH=—也，

33

*.*BN=CBM，

BN=42BM=-y/io,

3

BC=2,

_________Q

在RSNC中，NC=yJBN2-BC2=j,

smANBC=—^—,故③正确，

BN10

则正确的有：①②③④，

故选：A.

【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定

理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，AABMSADBN,是解答本题的关键.

二、填空题

13.（2024.黑龙江绥化•中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼

顶部点C的仰角为60。，测得底部点8的俯角为45。，点A与楼3C的水平距离AT>=50m,则这栋楼的高度

为m（结果保留根号）.

14

c

B

【答案】（50+50V3）/（50A/3+50）

【分析】本题考查解直角三角形一仰角俯角问题.注意准确构造直角三角形是解答此题的关键.根据题意

得/&W=45。，NC4D=60。，AD=50m,然后利用三角函数求解即可.

【详解】解：依题意，NBAD=45。,ZCAD=60°,AD=50m.

在RtAAB。中，=ADtan45°=50xl=50m,

在Rt^ACD中，CD=AD-tan6（）o=50x百=50gm,

3c=BO+CD=（50+50@m.

故答案为：（50+504）.

14.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度.如图，点C处

与古树底部A处在同一水平面上，且AC=10米，无人机从C处竖直上升到达。处，测得古树顶部8的俯

角为45。，古树底部A的俯角为65。，则古树A8的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：

sin65°«0.906,cos65°«0.423,tan65°它2.145）.

钵一

I\\

:\\

;\\、

:\邛

I\

I\

C'----------U

【答案】11.5

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.过点。作DM2由题意知河=AC=10米，ZBDM=45。，

ZADM=65°,推出ABDM是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出AM的值，根据

AB=AM-BM计算求解可得AB的值.

【详解】解：如图，过点。作交48的延长线于点

.,•四边形ACDM是矩形，

：.DM=AC=W^i,

VZBDAf=45°,ZADM=65°,NA/=90°,

•••ABDM是等腰直角三角形，

BM=DM=10米，

在中，AM=DM-tanZADM=10-tan65°®10x2_145»21.45（米），

46=^-5^=21.45-10=11.45«11.5（米），

古树A3的高度约为11.5米.

故答案为：11.5.

15.（2024・湖北武汉•中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次

综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45。，底端B的俯角为63。，则测得黄鹤楼的高度

是m.（参考数据：tan63°®2）

【答案】51

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键.延长及1交距水平地面

102m的水平线于点。，根据匕1163。22,求出。C=ADQ51m,即可求解.

【详解】解：延长网交距水平地面102m的水平线于点如图，

16

由题可知，BD=102m,

设AD—x,

•••ZDG4=45°

OC=AD=x

DC=AD«51m

：.=AD=102—51。51m

故答案为：51.

16.（2024.四川内江•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在。C上，将矩形ABC。沿

AE折叠，点3恰好落在3C边上的点尸处，那么tan/EFC=.

【分析】先根据矩形的性质得BC=AD=5,CD=AS=3,再根据折叠的性质得AF=AD=5,EF=DE,

在RJA防中，利用勾股定理计算出3尸=4,则C/=3。一3/=1,设CE=x,则DE=防=3-x,然后

在口以后（安中根据勾股定理得到尤2+12=（3-尤）2,解方程即可得到无，进一步得到所的长，再根据正切数

的定义即可求解.

【详解】解：：四边形A3CD为矩形，

BC=AD—5,CD—AB-3,ZB=Z.C=90°,

•••矩形ABQ）沿直线AE折叠，顶点。恰好落在BC边上的尸处，

AAF=AD=5,EF=DE,

.,.在RtAABb中，BF=VAF2-AB2=4>

CF=BC-BF=5-4=l,

设CE=x,贝|防=£>E=C£>_CE=3T

在Rt^ECF中，CE2+FC2=EF2,

4

.•.尤2+F=（3-尤）02,解得x

CF4

tanZEFC=——=-

FC3

4

故答案为：—

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义.

17.（2024•江苏盐城•中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的

点尸处，测得教学楼底端点A的俯角为37。，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点。处，测得教

学楼顶端点8的俯角为45。，则教学楼48的高度约为m.（精确到1m,参考数据：sin37°®0.60,

cos37°«0.80,tan37°®0.75）

PQ

;、、、、

•、、\

''、、''、B

【答案】17

【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长A8交直线尸。于点H,先用三角函数解求

出PH,进而求出。“，再证=最后根据AB=AH-皿即可求解.

【详解】解：如图，延长交直线尸。于点“，则/尸〃4=90。，

由题意知AH=30m,

在RtzXPHA中，tanZPHA=---,即tan37。=----六0.75,

PHPH

解得PH=40m,

/.QH=PH-PQ=40-26.6=13.4（m）,

18

ZPHA=90°,NQHB=45°,

NQBH=ZQHB=45°,

.­.QH=BH=13Am,

AB=AH-BH=30-13.4=16.6«17（m）,

故答案为：17.

18.（2024・北京・中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在A3上，AFLDE于点尸，。6，。后于点6.若

A£>=5,CG=4,则△AEF的面积为.

【分析】根据正方形的性质，^AD=5=DC,CD//AB,得至ljNCDG=ZA£F,结合CG=4,得到

,_________CG4CG4.,一

DG=7DC2-CG2=3,sin^CDG=sinZAEF=——=-,tanZCDG=tanZAEF=,^c^AE,AF,EF的长,

CD5DG3

解答即可.

本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.

【详解】解:根据正方形的性质，得AD=5=DC,CD//AB,

：.ZCDG=ZAEF,

,/CG=4,

DG=VDC2-CG2=3,

sinZCDG=sinZAEF=-=—=

AECD5

CGAD4

tanZCDG=tanZAEF=——=——=-,

DGAE3

：.AE=—,

4

.__415__

54

：.EF=~9,

4

197

AAEF的面积为看EF.A尸=—；

2o

27

故答案为：—.

o

19.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD,为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,尸两点，则厮的长度为（结果保留兀）.

【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方

形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键.

由对折可知，ZEOM=AFOM,过点E作。W的垂线，进而可求出NEOM的度数，则可得出NEO歹的度

数，最后根据弧长公式即可解决问题.

【详解】解：：折叠，且四边形A3CD是正方形

四边形AOMD是矩形，AEOM=ZFOM,

贝1JOM=AD=2,DM=-CD=l.

2

过点E作于P,

贝UEP=£>M=Jc£>=l,

•;OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在PX^EOP中，sin/EOP=——=—,

OE2

.\ZEOP=30°,

贝IJNEO产=30。><2=60。，

60•22万

：,EF的长度为:

180T

20

故答案为：行--

20.(2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花

朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形02C置于平面直角坐标系中，点。的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,0),

点C在第一象限，ZOBC=120°.将△O8C沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与无轴重合，第

一次滚动后，点。的对应点为点c的对应点为C"OC与O'C'的交点为A，称点A为第一个“花朵”

的花心，点A为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△O8C滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花

【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索.连接48,求得AB=岑,

OD泻,OC=0分别得到4,日1,百,“5+2"#],L,推导得到

41+(〃-1乂2+⑹，ZXOBC滚动一次得到A，△O3C滚动四次得到&,△OBC滚动七次得到&，

由此得到△03C滚动2024次后停止滚动，贝ij〃=(2024+1)+3=675,据此求解即可.

【详解】解：连接

AB±OC,

AAB=OBtan30°=—,BD=\oB=\,OD=y]OB2-BD2=—,

3222

/.OC=C'E=y/3

A

△03C滚动一次得到A,△03C滚动四次得到4,△03C滚动七次得到人，

...△08C滚动2024次后停止滚动，贝^”=（2024+1）+3=675时，%1349+6744,

故答案为：1349+67473,^.

21.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）矩形ABCO中，AB=3,BC=4,将43沿过点A的一条直线折

叠，折痕交直线于点尸（点P不与点2重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则尸C长

为.

【答案】|5•或7;或10

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点8的对称点落在矩形对角线所在的直线上

的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC即可.

【详解】解：①点B的对称点落在矩形对角线8。上，如图I,

图1

;在矩形ABC。中，AB=CD=3,BC=AD=4,

由折叠性质可知：BB'YAP,

NBAP+ZBPA=ZBPA+ZCBD

：.ZBAP=ZCBD

CD3

tanZBAP=tanZCBD=—=一，

BC4

9

3

BP=ABtanNBAP=6x-2-

4

22

97

，PC=BC-BP=8——=-

22

②点5的对称点夕落在矩形对角线AC上，如图2,

图2

,在矩形ABCD中，AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,

；•AC=yjAB2+BC2=A/32+42=5，

BC4

cosZACB=——=一，

AC5

由折叠性质可知：ZABP=ZABfP=90o,AB=AB=3^

：.BfC=AC-ABf=5-3=2

.•.PChBJ2,3

cosZACB52

③点8的对称点3'落在矩形对角线C4延长线上，如图3,

图3

,在矩形A5CD中，AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,

；•AC=y/AB2+BC2=A/32+42=5,

BC4

cosZACB=——=一，

AC5

由折叠性质可知：ZABP=ZABfP=90°,AB=AB=3^

：.?C=AC+AB'=5+3=8

B'C4

・•・PC=------------=8—=10；

cosZACB5

57

综上所述：则PC长为|■或;或10.

22

57

故答案为：;或一或10.

22

22.（2024.山东泰安.中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度,

他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台

正对岸A处的俯角为50。，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6。，已知瞭望台3C高12米（图中点A,B,

39

C,P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽A3为米.（参考数据：sin40。2不，sin63.6°«—,

tan50°a：,tan63.6。a2）

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用一仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关

键.

根据题意可得NNPC=NP=63.6。，ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,贝Ij

PF=PE-EF=48m,再通过解直角三角形求得AE和盛，最后根据线段的和差即可解答.

【详解】解：由题知NNPC=NPC尸=63.6。，ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,

.・・PF=PE-EF=48m,

PF

在Rt△尸/C,tan63.6°=—=2,

CF

：.CF=24m,

***BE=24m,

PE6

在Rt/kAP尸中，tan50°=----=—,

AE5

AE=50m,

：.AB=AE^-BE=14m.

故答案为：74.

23.（2024・四川达州・中考真题）如图，在区心筋。中，NC=90。.点。在线段BC上，NR4D=45。.若AC=4,

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理.过。作。石于£,设=则。5=尤+1,利用

24

ArDF

sin?BIT而列出等式即可.

【详解】解：过。作。石工钻于£,

A

AC=4,CD=1,

\AD="2+/=后

•.•Zfl4Z>=45°

.•.VAOE是等腰直角三角形

\DE=—AD=典

22

设DB=x,贝l|CB=x+1

\AB=M+(x+I)?

.fACDE

sin?B----=-----

ABDB

\:4」

M+(X+1)2X

1717

解得(舍去)或X

经检验％=与是原分式方程的解，

\SAyUjC=lBBAC=1?(1y)?4

故答案为：号40.

24.(2024・贵州・中考真题)如图，在菱形ABCQ中，点尸分别是3C,8的中点，连接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,则A5的长为.

【答案】2屈/马叵

33

【分析】延长BC,AF交于点M,根据菱形的性质和中点性质证明AABE义44D尸，AADF，MCF,过E

点作ENLAR交N点，根据三角函数求出EN,AN,NF,MN,在中利用勾股定理求出EM,

根据菱形的性质即可得出答案.

【详解】延长3C,AF交于点

在菱形ABCD中，点区尸分别是3C,8的中点，

：.AB=BC=CD=AD,BE=EC=CF=DF,AD\\BC,ZD=AFCM,ZB=ZD

在△ABE1和△的)尸中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

△ABE^AADF(SAS),

AE=AF,

在△AD厂和AMCF中

ND=ZFCM

<DF=CF,

ZAFD=/MFC

△AZ)F^AMCF(ASA),

・•.CM=AD,AF=MF,

\-AE=5,

,\AE=AF=MF=5,

过E点作ENLA尸于N点，

/.ZANE=90°

4

vsinZEAF=-fAE=5f

:.EN=4,AN=3,

ANF=AF-AN=2,

.•.A/7V=5+2=7,

在Rt△硒M中

EM虱EN'MN?="2+72=底,

26

EM=EC+CM=^BC+BC=>/65,

-,AB=BC=CD=AD,

AB=BC=-y[65,

3

故答案为：—^65.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等,

正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键.

25.（2024•广东深圳・中考真题）如图，在AASC中，AB=BC,tanN8=』，。为上一点，且满足些=§,

12CD5

CE

过。作OE1AD交AC延长线于点E,则大=.

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理,平行线分线段成比例，先设AB=3C=13x,根据tan1,

AH±CB,得出AH=5x,3〃=12x,再分别用勾股定理求出"L,AC=y/26x,故

cosZADC=—=^,再运用解直角三角形得出。M