2025年新高考数学重难点专项复习：指数函数常考题型十五大题型（解析版）

重难点12指数函数常考题型十五大题型汇总

题型解读

满分技巧

技巧一.指数函数比较大小

指数幕比较大小

①同底幕比较，构造指数函数，用单调性比较;

②同指数幕比较，构造幕函数，用单调性比较;

③不同底也不同指幕比较，借助媒介“1".

技巧二指数函数图像性质

y=ax

0<a<1a>1

\斗叫1/

a

图象

<：

1卜Q。)1

1%Q1X

①定义域R，值域(。，+8)

②a。=1,即时％=0fy=1,图象都经过(0,1)点

③a*=a,即％=1时，y等于底数a

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤％<0时，a%>1；%>0时，0<a%V1x<0时，0Va%V1；%>。时，#>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

技巧三.指数函数与参数

数函数常用技巧：

(1)当底数大小不定时，必须分"a>1"和"0<a<1"两种情形讨论.

(2)当0<a<1时，久T+8,y0;a的值越小,图象越靠近y轴，递减的速度越快.

当a>1时x-+8,y-0;a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

(3)指数函数y=户与y=《尸的图象关于y轴对称.

技巧四.单调性问题

1.单调性的运算关系：

①一般认为，-/（久）和六均与函数f⑺的单调性d1反;②同区间,T+t=_t_,!+!=.!_,t-l=_t_,l-T=

L;

2.单调性的定义的等价形式：设Xi,xzW［a，句，那么有：

①迎Z3>0Q［M是［a,句上的增函数；②/―日出）<0。大M是［a,6］上的—减函数—;

%1一X?%］一工2

3.复合函数单调性结论：同增异减.

技巧五.指数型复合函数的值域

求解形如/（久）=心⑴①>0,a力1）的指数型函数值域的思路：

1.分析g（x）的单调性以及值域；

2.分析y=谈的单调性；

3.根据复合函数单调性的判断方法，分析出外支）=心⑺的单调性并计算出值域.

技巧六.一元二次函数与指数函数的复合问题

2

求解形如/㈤=m（ax）+n（a*）+t（a〉0,a力1）的指数型函数值域的思路：

L换元法，令谈=乙构造关于1的一元二次函数,分类讨论求值域。

2

2.直接配方法。配凑为/（©=（谟+p）+q,结合定义域用"包装法"求值域。

技巧七.指数函数与反比例型函数的复合问题

1.指数函数一次反比例型，可以通过分离常数求值域

2.指数型反比例函数，可以通过指数换元后，转化为反比例函数求解值域，反比例函数图像性质。

形如：、=竺1。对称中为。（久。~。），其中

CX—CL

（1）cx0—d=0；

(3)-三或者二、四象限，通过x=0,1计算判断

技巧八.高斯函数

取整函数y=团,团表示不超过%的最大整数，又叫做"高斯函数"

取小数函数

/(X)=[X+1]-X,,

可画出函数图像，如图：

指数型取整函数，多可以通过分离变量，分离出整数后讨论底数与定义域，进行"取整”运算

技巧九.复杂函数图像的选取

判断函数图像1.定义域判断。

2.函数奇偶性判断。

3.函数简单性判断。

4.函数值正负判断

5利用极限，判断无穷远处的值与"比值"

6利用"断点处判断，如0+与0-

A3*题型提分练

题型1指数函数定点问题

【例题1](2022上•安徽宿州•高一校联考期末)函数y=a*-3(a>0,且a力1)的图象过定点A,

则点A的坐标是

【答案】(-2,-2)

【分析】利用指数函数的性质即可得解.

【详解】因为y=产+2—3(a>0,且a羊1)的图象过定点A,

令％+2=0,贝!]x=-2,y=a0—3=-2,

所以点A的坐标为(-2,-2).

故答案为：(-2,-2).

【变式1-1]1.(2023下•江西南昌•高二南昌二中校考期末)已知函数/(%)=谟+5+4(a>0,a力1)

恒过定点M0,71),则函数。(久)=771+n*的图像不经过第象限.

【答案】二

【分析】由指数函数的性质可知/(%)恒过定点(-5,5),再由指数函数的性质可知g(x)不过第二象限.

【详解】由已知条件得当比=-5时,f(-5)=5,则函数f。)恒过点(―5,5),

即？ri=-5,n=5,此时g(无)=-5+5X,

由于g(Y)由y=5》向下平移五个单位得到，且过点(0,-4),

由此可知9(无)不过第二象限，

故答案为：二.

【变式1-1J2.(2022下•北京•高二汇文中学校考期末)已知对不同的a值，函数〃久)=2+>0,a4

1)的图象恒过定点P,贝!JP点的坐标是

【答案】(1,3)

【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax(a>0,a41)的图象恒过(0,1)点，再根据函数图

象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点P的坐标

【详解】由指数函数y=ax(a>0,a41)的图象恒过(0,1)点

而要得到函数y=2+ax-r{a>0,aH1)的图象，

可将指数函数y=a\a>0,aH1)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.

则(0,1)点平移后得到(1,3)点.

则P点的坐标是(1,3)

故答案为：(1,3)

【变式1-1]3.(2022上•黑龙江大兴安岭地•高一校考期末)已知函数f(久)=loga(x+3)-式a>0,a41)

的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=3X+b的图象上，则g(log32)=.

【答案】1

【分析】先求出定点的坐标，代入g(x)=3,+b求出b,即可得出答案.

【详解】令x+3=1n*=-2,所以/(—2)=log/—”—]所以定点4,

代入9。)=3X+b,所以g(-2)=3~2+b=,解得b=-1,所以g(x)=3X-1,

,1032

5(log32)=3§-1=2-1=1,

故答案为：1.

【变式1-1]4.(2023上•云南昭通•高一校联考阶段练习)已知函数y=2a^3-l(a>0,Ha*1)恒过

定点4(*0,yo),且满足Hix。+ny0=l,其中是正实数，则'+:的最小值是()

A.16B.6C.2V3D.V3

【答案】A

【分析】通过X-3=0可得定点4，代入等式得3nl+n=l,然后通过展开、+；=(\+；)(3m+九)可求

最小值.

【详解】令％-3=0,得％=3,此时y=1,••-4(&,yo)为(3,1)

・•・3m4-n=1.

当且仅当*等，即爪=”=泄，等号成立，

故选：A.

题型2指数函数比较大小问题

21

【例题2】2023上•四川凉山•高一校联考期末诏a==(|)\C=log|j贝b,6,c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】根据对数运算整理指数式，结合对数函数与指数函数的单调性，利用中间值法，可得答案.

【详解】由题意可得：logaa=|,logib=|logi|=|logi2+|,

3§3333s3§

由log工a-logib=|-f|10gi2+3=^(1+log32)>0,则log”>logib,

333\333/333

根据函数y=log了在(0,+8)上单调递减，所以a<b,

3

根据函数y=6)”在R上单调递减，由(IF<G)°=1,则1>b>a,

根据函数y=log2^在(0,+8)上单调递增，由C=logii=log23>log22=1,则c>6>a.

2§

故选：A.

【变式2-1]1.(2022上•北京东城•高一校考期中)已知a=312,b=1.2°,c=(|),贝必b,c的大小关

系是()

.a<c<bQ.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.

©-0.9

=3。-9,

又因为y=3工在R上单调递增，1.2>0.9>0,

所以31，2>309>3。=1,即a>c>b.

故选：D.

【变式2-1]2.(2023上•吉林・高一吉林一中校考期末)设/是定义域为R的偶函数，且在(-8,0)单调

递减,设a=303,b=(如°']=log卷，则()

A./(c)>f(a)>f(b)B./(h)>/(a)>/(c)

C./(c)>f(b)>/(a)D.f(a)>f(b)>/(c)

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数性质，得出b>a>1>c>0,结合偶函数以及单调性即可得出结论.

【详解】"c=log4me(0,1),a=30,3>l,b=304>303>1,

即b>a>l>c>0,由于函数y=f(x)是偶函数，

在区间(-8,0)上单调递减，所以在(0,+8)上单调递增，

则f(b)>/(a)>/(c),

故选：B

2

【变式2-1]3.(2022上•黑龙江鸡西•高一校考期末)若a=2。"b=log0,32,c=0.3，则a,b,c的大

小关系为()

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数单调性以及中间量即可比较大小.

032

【详解】a=2->2°=1,b=log032<log0,3l=0,c=0.3=0.09G(0,1),

所以b<c<a,

故选：B.

【变式2-1]4.（2022上•吉林四平•高一校考期末）若小>n,则（）

mn

A.0.2<0.2B.log0,3m>logo,3n

C.2m<2nD.m2>n2

【答案】A

【分析】根据指数函数、幕函数、对数函数的单调性逐一判断即可.

【详解】对于A,根据指数函数y=00为单调递减函数，且加>n,所以0.2血<0.2",故A正确；

对于B,根据对数函数y=logo,3久为单调递减函数，且6>n>OB^log03m<logo,3n,故B错误；

对于C,根据指数函数y=2,是单调递增函数，且小>九，所以2m>2几，故C错误；

对于D,若n<巾<0,则九2>巾2,所以口选项不一定成立，即D错误.

故选：A

【变式2-1】5.（2022上・贵州黔东南高二校考期末）已知。=1.1。2,6=109]]0.2,。=0.211,则（）

/\.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别判定a,b,c与0、1的大小关系，即可得出结论.

【详解】a=1,102>1.1°=1,

b=logi,i0.2<logi,il=0,0<c=0.211<0.2°=1,

/.a>c>b,

故选：B.

题型3指数不等式问题

【例题3](2023上•四川凉山•高一校联考期末)不等式Q)2"T4331的解集为

[答案](-8,+8)

【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.

©2x2—1

7<33A4,即3-2/<33A4,

由于y=3,在R上单调递增，所以1-2/43x-4,

2/+3%—5=(%—1)(2%+5)>0z

解得久W-海X21,所以不等式的解集为(-8,-当u[1,+8).

故答案为:(一8,-||U[1,+00)

【变式3-1]1.(2022上•上海徐汇・高一上海市第二中学校考期末)不等式<6广-3的与不等式

x2+ax+b<0是同解不等式，贝(]a=,b=.

【答案】1-6

【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合二元一次不等式解法进而得到答案.

【详解】因为y=2史在口上单调递增，

则2--2X-3<住广3=23-3"即-2x-3<3-3%,

即/+%—6<0,解得一3<%<2,

因为—3<x<2也是%2+Q%+力<。的解,

所以Cl；=，解得｛J二'

此时/+ax+b<0,即/+%—6<0，解得一3<x<2,满足题意.

故答案为：1；—6

【变式3-1J2.(2022上•青海玉树•高一校联考期末)已知函数/(*)=ax-\a>0且a丰1)的图象过点(3,4).

⑴求实数a的值；

(2)求关于x的不等式“X)>的解集.

【答案】(Da=2

⑵(4,+8)

【分析】(1)利用代入法进行求解即可；

(2)利用指数函数的单调性进行求解即可.

【详解】(1)因为函数f(x)=ax-\a>0,且a41)的图象过点(3,4),

所以有4=a2=>a=2,或a=-2舍去，

即a—2

(2)由(1)可知：/(%)=,该函数是实数集上的增函数，

因此由/(x)>a3=>2X_1>23=>X-1>3=>%>4,

所以不等式f(x)>的解集为(4,+8).

【变式3-1】3(2020上•山东临沂•高一统考期末圮知/0)是定义在R上的奇函数，当x>。时,/(x)=1-2\

(1)求当x<。时，时，/X%)的解析式；

(2)求不等式/(X)<1的解集.

【答案】(l)f(x)=2~x-l

(2)(-1,+oo)

【分析】(1)根据题意，结合函数y=/⑺是R上的奇函数，利用f⑺=-/(-%),即可求解；

(2)根据函数的解析式，分x>0、x=0和久<0,三种情况讨论，结合指数函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：由题意知，当％>0时，/(%)=1—2"

当久<0时，-x>0,可得/'(-x)=1-2~x,

因为函数y=f0)是R上的奇函数，所以/(-x)=,

所以/'(x)=-/(-x)=-(1-2-x)=2T-1,即久<0时，f(x)=2~x-1.

(2)解：当x>0时，不等式f(x)<1,可化为1-2方<1,所以2*>0,显然成立；

当久=0时，y=/'(%)是奇函数，此时/'(0)=0<1成立；

当工<。时，不等式可化为2——1<1,所以2T<2,解得—久<1,所以—1<x<0,

综上可知，不等式“X)<1的解集为(-1,+8).

【变式3-1]4.(2023下•辽宁铁岭•高二昌图县第一高级中学校考期末)已知函娄好(%)=2,-2r.

(1)求f(2)的值,判断八支)的奇偶性并证明；

(2)求不等式1/(初>|的解集.

【答案】(圾⑵=%久)为奇函数,证明见解析

(2)(-00,-l)U(l,+oo)

【分析】(1)直接代入求出f(2),再根据奇偶性的定义判断即可；

(2)解法一：依题意可得f(x)>|或f(%)<-|,再根据函数的单调性计算可得；

解法二：设t=2,>0,则问题转化为卜—三>|,即t_5>弓或t-9<—|,求出珀勺取值范围，再求出久的

取值范围.

【详解】(1)因为/⑺=2-2-x,所以/⑵=22-2-=4-%

因为/(%)的定义域为R,

且V%GR,/(—%)=2r—2X=—(2X—2-x)=一/(%),

所以/(%)为奇函数.

(2)解法一：由If(久)|>|,得f(x)>|或f(x)<-|.

因为(一1)=一|,

所以"%)>"D或f。)</(-I).

易知f(%)在R上单调递增，贝我>1或久<一1.

故不等式If0)1>|的解集为(-8,-1)U(1,+8).

解法二：设t=2、>0,则丫=t一L=t一色>0).

由题意得卜—II>I,即t—I>I或t—I<—I,

去分母化简得2t2-3t-2>0或2t2+3t-2<0,

解得t<-]或t>2或-2<t<|.

因为t>0,所以t>2或0<t<i,

即2工>2或0<2,<J解得x>1或x<-1.

故不等式1/0)1>|的解集为(一8,-1)U(1,+8).

【变式3-1]5.(2022上•新疆乌鲁木齐•高一新疆农业大学附属中学校考期末)已知函数“切=a/+%+

l(a>0).

Q)若关于X的不等式“X)<。的解集为(-4,6),求a,6的值；

(2)已知g(x)=4>1-2,+2,当久6[-1,1]时，心)<g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】(l)a=1，b=—g

loJ

⑵93]

【分析】(1)根据题意结合一元二次不等式对应一元二次方程及二次函数可知-4和6都是方程a/+久+1=

。的根，列出方程组即可解出a,6的值；

(2)先根据题干条件将八2，)Wg(x)整理得(a-4)(2%)2+2x2工—1W0,令t=2、，转化为a<@丫一

7+4,再根据题意令h(t)=6)2-1+4,贝[]aWh(t)min，求出h(t)的最小值即可.

【详解】(1)根据题意可得-4和匕都是方程a/+X+1=0的根且6>-4,

d=—(_3

x(—4)2+(—4)+1=0解得言或°=G(舍去)，

ax/+b+l=Ob=--vb=—4

\3

所以a的值为方"的值为-*

163

(2)因为f(%)=ax2+%+1,所以/(2工)=a(2x)2+2X+1,

所以f(2%)<所%)即a(2%)2+2X+1<所+1—2%+2,

整理得(a-4)(2X)2+2x2x-l<0,

令t=2X,则上式可化为(a—4)t2+2t—1<0i即。<(3)—|+4,

又因为当％e［—1,1］时，f(因)wg(%)恒成立,

所以当te卜2］时，a<Q)2-1+4恒成立，

令九(t)=G)—|+4,则a</l(t)min'

因为/I(t)=Q)2-;+4=g-l)2+3,

所以当｝=1,即1=1时，/i(t)min=3,所以a<3,

又因为a>0,所以0<aW3.

所以实数a的取值范围为(0,3].

【变式3-1]6.(2022上•江西上饶•高三校考期末)设函数f(%)=/-(k-Da-(a>0且a41)，是

定义域为R的奇函数.

(1)求k的值；

(2)若/(I)<0，试判断函数单调性，并求使不等式八产+垃)+/(4-x)<。恒成立的珀勺取值范围.

【答案】⑴2;

(2)/(x)在R上单调递减，—3<t<5.

【分析】(1)根据奇函数的性质可得/(0)=0,由此求得k的值；

(2)由f(1)<0,可求出a的范围，利用函数的奇偶性将不等式化为f(/+tx)<f(x-4),再利用函数的

单调性转化为/+加>x-4,利用△<0即可求解.

【详解】(1)•"(%)是定义域为R的奇函数，

"(0)=a0_(k_l)a0=1_(k_1)=0,

-k=2,此时f(无)=ax-a-x,满足f(-x)=-/(%),

综上，k=2.

(2)由(1)知/(x)—ax-a~x(a>0,且a丰1),1/(I)<0,：.a-^<0,

又a>0,且a力1,.,.0<a<l,

y=〃在R上单调递减，y=a-，在R上单调递增，

故/(X)=合-er，在R上单调递减，

不等式尤2+tx)+f(4—%)<0化为/'(/+t%)<—/(4—x),

・"(比)是定义域为R的奇函数，

-x)=/(x-4),即,(久2+tx)<f(x-4),

:.x2+tx>x—4,:.x2+(t—l)x+4>0恒成立，

=(t-1)2-16<0,解得一3<t<5.

「•一3<tV5.

题型4指数函数图像性质

【例题4】2023上浙江台州•高一统考期末圮知指数函数y=©)"的图象如图所示，则一次函数y=ax+b

的图象可能是()

【答案】C

【分析】根据指数函数的图象与性质讨论a,6的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.

【详解】由指数函数的图象和性质可知：0<<1,

a

若a,b均为正数，则a>b>0,根据一次函数的图象和性质得此时函数y=ax+6图象过一、二三象限,

即C正确；

若a,6均为负数，贝！Ja<b<0,此时函数y=ax+b过二、三、四象限，

由选项A、D可知a,6异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则b=0也不符合题意，排除.

故选：C

【变式4-l】L（2023上•四川凉山•高一统考期末周数f（x）=x2-ax+1有两个不同的零点，则y=ax-a

（a>0且a力1）的图象可能为（）

【答案】B

【分析】根据函数f(x)=x2-ax+1有两个不同的零点，求出a的范围,再根据函数y=a，-a的图象是由

函数y=产的图象向下平移a个单位得到的，作出函数y=谟-a的大致图象，即可得解.

【详解】因为函数/(X)=/-ax+1有两个不同的零点，

所以△=a?_4>0,解得a>2或a<一2,

则在函数y=ax-a中a>2,

函数y=ax-a的图象是由函数y=a*的图象向下平移a个单位得到的，

作出函数y=谟-a的大致图象，如图所示，

所以y=ax-a(a>。且a丰1)的图象可能为B选项.

故选：B.

【变式4-1]2.(2022上•四川宜宾•高一统考阶段练习)已知函数f0)=(%-a)(%-6)满足f(1)<0(其

中。<a<6),则函数gO)=ax+b-1的图象可能为()

【答案】C

【分析】方法1:由图象求得0<a<1且6>1,再由a、b的范围确定g。)的单调性及它与y轴的交点的

大概位置即可得结果；方法2：由不等式的性质得0<a<1且b>1,逐个分析每个选项的图象确定其a、

b的范围，看与已知是否一致

【详解】方法1:'"0)=(%-a)(x-b),如图所示,

又"⑴<0,

.,.0<a<lS.b>1,

・2(%)=a%+b—1,

.,.令X=0得：g(O)=b,即：g(x)与y轴的交点为(o,b),

又0<a<1且6>1,

，g(x)在R上单调递减，且g(x)与V轴的交点为(0,6),(b>1),只有C选项满足.

方法2:■./(%)=(x-a)(x-b),/(I)<0

..(1一0)(1—b)<0,①

又「O<a<b,

..1-a>1-b,②

.二由①②得：1—a>0H1—b<QH0<aVb,

/.0<a<lS.b>1,

・；g(x)=a*+b-1,.•.令x=。得：g(O)=b,即：g(x)与y轴的交点为(0,b),

对于A项，由图知，g(x)在R上单调递减,.-.0<a<1,g(x)与y轴的交点为(0,b),.".0<b<l,这与已

知。<a<1且6>1相矛盾，错误；

对于B项，由图知,。(久)在R上单调递增r-.a>1,g(%)与y轴的交点为(0,6)/.0<b<l这与已知0<a<1

且b>1相矛盾，错误；

对于C项，由图知，g(x)在R上单调递减,/.0<a<1,g(x)与y轴的交点为(0,b)，:.b>1，,0<a<1且

b>l,正确；

对于D项，由图知，g(x)在R上单调递增，>1,g(x)与y轴的交点为(0,6),：.b>1，这与已知0<a<l

且b>1相矛盾，错误；

故选：C.

【变式4-1]3.(2021上•陕西榆林・高一陕西省神木中学校考阶段练习)函数f。)=3'-3的图像不经过

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据指数函数的图象，再平移后得到/(%),直接判断选项.

【详解】函数y=3,经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数/(x)=3,-3,则经过一、三、四

象限，不经过第二象限.

故选：B

【变式4-1]4.（多选）（2022上广西百色•高一统考期末）函数/（%）=|必一1|（a>0,且a#1）与g（x）=

【答案】BD

【分析】根据指数函数图像性质直接判断.

【详解】由题意得,/(x)=\ax-1|中若xt4-00,/(%)t4-00,则a>1,

若x-»—co,/(x)->+oo,贝[]0<a<1;

g(x)=a-x中a表示纵截距.

对于A,f(x)=\ax-1|图像中a>1,g(x)-a-x图像中0<a<1,故A错误；

对于B,/(x)=\ax-1|图像中a>1,g(x)-a-x图像中a>1,故B正确；

对于C,/(x)=\ax-1|图像中0<a<1,g(x)=a-x图像中a>1,故C错误；

对于D,/(%)=\ax-1|图像中0<a<1,g(x)=a-x图像中0<a<1,故D正确；

故选:BD

题型5指数函数求参数问题

【例题5]（2021上•浙江温州・高一乐清市知临中学校考期中）函数/（无）=M-b的图象如图所示，其中a,

b为常数，则下列结论正确的是()

A.a>1,/><0B.a>l,b>0

C.O<a<l,h>0D.O<a<l,fa<0

【答案】D

【分析】由函数单调性判断a与1的大小，再由图象与y轴的交点位置判断6的正负.

【详解】由图象可知，函数f(x)为减函数，

从而有。<a<1；

法一：由f0)=产-〃图象，函数与y轴的交点纵坐标ye(0,1),

令x=0,得丫=(Tb,

由0<af<1,即0<a-b<a0,解得b<0.

法二：函数/'(>)图象可看作是由y=ax(0<a<1)向左平移得到的，

则一6>0,即b<0.

故选：D.

【变式5-1]1.(多选)(2023•全国•高三专题练习)(多选)已知函数y=/-6(a>0且a71)的图

象如图所示，则下列结论正确的是()

A.a6>15.a+b>lC.ba>lD.2b~a<1

【答案】ABD

【分析】根据函数图象可得出a、渊取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的

基本性质可判断B选项.

【详解】由图象可知，函数y=炉-b(a>0且a41)在R上单调递增，贝!]a>1,

且当尤=。时，y=1-6e(0,1),可得0<b<1.

对于A选项，/>a。=1,A对；

对于B选项,a+b>a>1,B对；

对于C选项，於<b。=1,C错；

对于D选项，由题意可知，0<b<1<a,贝心一a<0,所以，2匹。<2。=1,D对.

故选：ABD.

【变式5-1]2.(2023上•陕西安康•高一校联考期末)指数函数y=〃与y=厅的图象如图所示，则()

A.a<0,b>0B.0<a<l,0<fo<l

C.0<a<l,b>lD.a>1,0<Z?<1

【答案】C

【分析】直接利用指数函数的性质判断选项即可.

【详解】当a>1时，指数函数y=谟是增函数；当0<a<1时，指数函数y=〃是减函数,

所以根据函数的图象可知0<a<1,b>1.

故选：C.

【变式5-1]3.(多选)(2023上•安徽•高一安徽省颍上第一中学校联考期末)若函数f(久)=〃-b(a>0

且a丰1)的图像经过第一、二、三象限，则()

A.0<ab<1B.0<ba<1C.ab>1D.ba>1

【答案】BC

【分析】根据函数f(x)=-b(a>。且a*1)的图像经过第一、二、三象限，判断a,b的范围，再由指

数函数的单调性比较大小即可.

【详解】解：因为函数f(x)=ax-b(a>0且a丰1)的图像经过第一、二、三象限，

所以a>1,/(0)=1一6C(0,1)今0<6<1,

所以y=〃是增函数，y=厅是减函数，

贝!]a">a°=1,0<ba<b1<1,

故选：BC.

【变式5-l]4.(2021上•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数“切=|3尢-l|,a<b<c

且f(a)>/(c)>f(b),则下列结论中，一定成立的是()

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b=—c,c>0D.38+3c>2

【答案】D

【分析】作出函数图象，结合图象判断AB,再由f(c)>f(b)讨论b去掉绝对值号化简可判断CD.

【详解】由图示可知a<0,b的符号不确定，c>0,故A、B错；

/(fo)=|3b-l|,f(c)=|3c-l|,

如上图,a<b<0<c满足/'(a)>/(c)>/(b),故C不一定成立,

当b<0时，由f(c)>f⑻得|3C-1|>13b-1|,则3c-1>1一3J所以3b+3。>2,故D正确.

故选：D

题型6指数型复合函数的定义域

【例题6](2021上•广西河池•高一校联考阶段练习)设函数〃久)=后寺，则函数f(；)的定义域为()

A.(—oo,4]B.(—00,1]C,(0,4]D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求出f(x)的定义域，再令满足了⑺的定义域范围求出x的范围即可得的定义域.

【详解】由9一3*20即3*<9可得久<2

所以/0)的定义域为｛x|x<2｝,

令彳W2,可得x<4,所以函数f停)的定义域为(-8,4],

故选：A.

【变式6-1]1.(2021上•山东枣庄•高一枣庄市第三中学校联考期中)已知函数y=/O)的定义域为(0,1),

则函数F(x)=fQ2x-1|)的定义域为()

A.(—co,1)B.(-co,0)u(0,1)C.(0,+oo)D.[0,1)

【答案】B

【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值

范围一致.

【详解】y="X)的定义域为(0,1),0<|2^-1|<1,即｛T'(二!1<1，

解得：x<1且万丰0,

F(x)=-1|)的定义域为(—8,0)u(0,1).

故选：B.

【变式6-1]2.(2021下•陕西渭南•高二统考期末)函数f(x)=J(I)X-1++的定义域为.

【答案】{%|%<。且％工-2}

【分析】求得使函数式有意义的自变量的范围.

【详解】由题意[G)[1[°，即，所以定义域为口仅W0且万*-2}.

故答案为：{x|无<。且X*-2}.

【变式6-1]3.(2021下•江苏•高二阶段练习)函数f⑺=732——1的定义域是()

A.[l,+oo)B.E，+8)C.(-00,-1)D.(-00,-2)

【答案】B

【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可.

【详解】解：由题意得：32-1-1>0,

故32Al>1=3°,故2x-1>0,

解得：x>|,

故函数/■(%)的定义域是|1,+8),

故选：B.

【变式6-1]4.(2018上•江西宜春•高一期末)已知集合4=[x\y=斤下,xeN},则集合2的子集个数

为()

A.8B.16C.4D.7

【答案】A

【分析】先化简集合4,确定集合中元素个数，再由公式，即可求出其子集个数.

【详解】因为力={x\y=V4-2\x€N}={x|4-2X>0,xEN]={x\2x<4,x&N}

={x\x<2,xEN}={0,1,2),

所以集合4的子集个数为23=8.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求集合的子集个数，属于基础题型.

题型7指数型复合函数的单调性

【例题7]（2022上•福建莆田•高一校考期末）已知函数f⑺=2T""则单调递增区间为

【答案】（一8,1]/（_8,1）

【分析】根据二次函数以及指数函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可求解.

【详解】由于y=-x2+2x=-（x-l）2+1在（1,+8）单调递减,在（一8,1]单调递增，

而函数y=2,为R上的单调递增函数，

所以“X）=2-/+2,的单调递增区间为,

故答案为：（-8,1]

【变式7-1]1.（2023上•高一课时练习）函数/⑶=2".+钗-3的单调递增区间为（）

A.（—8,2]B.[1,2]

C.[2,3]D.[2,+oo）

【答案】B

【分析】先求函数人光）的定义域，在结合复合函数单调性分析求解.

【详解】令一一+4%_320,解得1<%<3,

所以函数八乃=2八*+轨-3的定义域为口3],

因为t=-%2+4x-3开口向下，对称轴为x=-J=2,

2X1一0

可知t=-x2+4x-3在[1,2]上单调递增，在（2,3]上单调递减，

且a=位在定义域内单调递增，

所以u=7—x2+以-3在[1,2]上单调递增,在（2,3]上单调递减,

又因为y=2"在定义域内单调递增，

所以"X)=2"/+轨-3在口2]上单调递增,在(2,3]上单调递减，

即函数”X)的单调递增区间为[1,2].

故选：B.

【变式7-1]2.(2023上•高一课时练习)已知函数〃乃=内+轨丑。>。且0牛D，若/⑴〉1，则/⑺的

单调递减区间是()

A.(-oo,0)B.(0,4-oo)

C.(—oo,—2)D.(-2,+8)

【答案】D

【分析】由f(1)>1求得0<a<1,然后根据同增异减法则求出函数的单调区间.

【详解】--7(I)=a-1>1,二。<a<l,

，函数y=〃在R上单调递减，

又；函数y=/+4x-6的图象开口向上，对称轴为x=-2,

从而函数y=X2+4X-6在(一2,+8)上是增函数，

."(x)的单调递减区间是(—2,+8).

故选：D.

【变式7-1]3.(2022上•重庆•高一校联考阶段练习)已知函数"％+1)=2工+1-2—-,则/(久)()

A.是偶函数，且在R是单调递增

B.是奇函数，且在R是单调递增

C.是偶函数，且在R是单调递减

D.是奇函数，且在R是单调递减

【答案】B

【分析】根据f(久+1)的解析式得到〃久)解析式，判断单调性奇偶性即可得出选项.

【详解】解:由题知/(X+1)=2，+1-2-1T,则X6R,

将久-1代替x代入可得：

/(x)=2X-2T(xGR),

f(-x)=2-x-2X,

/(x)+/(-%)=0,

故f(x)为奇函数，

,•"(x)=2,-卜，

y=2工单调递增，

y=-热单调递增，

故f(x)在R上单调递增.

故选:B

【变式7-1]4.(多选)(2023下•重庆北暗•高二西南大学附中校考期末)已知f(乃=W，则()

A./(久)为奇函数

B./(久)在(-8,0)u(0,+8)上单调递减

C./O)值域为(一8,-1)U(1,+8)

D./(/(久))的定义域为｛刈久丰0｝

【答案】ACD

【分析】对于A,利用奇函数的定义即可判断；对于B,可以利用减函数的定义进行判断；对于C,可利用分离常

数法进行求解；对于D,可利用定义域的性质进行求解.

【详解】对于A,由e，-170,得x不0,所以函数的定义域为｛洲久丰0),

x

i+ex

又/(—X)=言=晨^=言7=-/'(X),所以/0)为奇函数,故A正确；

对于B,设Xi<x2,x1,x2E(-00,o)U(0,+oo),

、ff、一e%1+1eX2+i_(eX1+1)(eX2-1)-(eX2+1)(eX1-1)_2(eX2-eX1)

人J/—J-铲1-1-ex2-i-(exi-i)(ex2-i)-(exi-i)(ex2-i)z

因为X[<X2,xr,x2e(-00,0)U(0,+oo),所以当X]<0,x2>0时,

e'2—ez>0,e'z_1>o,—1<0,所以f(/)-/(%)=<o,

2(£e1一；i：)£(e/一)1)

则f(%)<，(久2)，不符合单调递减函数的定义，故B错误；

对于C,因为/(乃=含=1+含，

又e%—1>-lSex-1^0,所以G(-00,-1)U(0,4-00),

则f0)=1+3三e(-00,-1)u(1,+oo),故C正确;

对于D,由以上项分析函数f(久)的定义域为｛x|x丰0｝且f(%)*0,,故f(外久))的定义域为｛"1%丰0｝,故D正确；

故选：ACD.

题型8指数函数单调性求参数问题

【例题8](2021•浙江•高一期末)已知p:3xe[|,ll，ax-l>0,q:函数/⑶=(a—2尸为增函数，则p

是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】分别求得命题p,q为真时a的取值范围，结合充分，必要条件的定义进行判断即可.

【详解】p-3xe[|,l],ax-1>0为真，即a久-1>0在xe[1,1]有解，

..a>(-)mjn,xG卜1]

由yW在％€体,1]上单调递减，

y=(-)min=1i

•••a>1

q：函数/(x)=(a-2尸为增函数时，a-2>1,解得a>3

•■.P是q的必要不充分条件

故选：B

【变式8-1J1.（2021上•上海虹口•高一统考期末）已知函数f（久）=2吐可（a为常数），若f（x）在区间［1,+«）

上是增函数，则a的取值范围是

【答案】（一合1］

【分析】首先根据题意得到f（x）=2吐可=Jn■从而得到当比2。时，函数八%）为增函数，再根

据题意即可得到答案.

【详解】因为函数f（X）=21-1=谎；：!

当x>a时，函数f（x）为增函数，

而已知函数/（x）在区间［1,+8）上是增函数，所以a<1,即a的取值范围为（-8,1］.

故答案为：（-8,1］

/^\X2+2mx-l

【变式8-1］2.（2022上・安徽•高一统考期末）若函数y=6）在区间［-1,1］上为增函数，则实数m

的取值范围为

【答案】m<-1

【分析】由复合函数的同增异减性质判断得y=x2+2mx-1在上单调递减，再结合对称轴和区间边

界值建立不等式即可求解.

【详解】由复合函数的同增异减性质可得，y=/+-1在［-1,1］上严格单调递减，

二次函数开口向上，对称轴为x=-m

所以一zn>1,即m<-1

故答案为：mW-1

【变式8-1］3.（2023下•浙江嘉兴•高二统考期末）设函数f。）=2HQeR）,则"a<0"是"f⑺在

（1,+8）上单调递增"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.

【详解】因为〃久)=2囚臼在(1,+8)上单调递增，

所以由复合函数的单调性可知，aW1,

所以"a<0"是"a<1”的充分不必要条件，

故选：A.

【变式8-1]4.(2023上•四川成都•高一校考阶段练习)已知函娄好0)=f(2-a)”+|，”<1,是R上的

(ax,x>1

增函数，则实数a的取值范围是()