2025年中考数学复习：动点在二次函数中的综合（一）提升训练 （含解析）

动点在二次函数中的综合（1）

1.如图，抛物线>=。尤2+桁+6与x轴交于点A（-2,0）,B（6,0）,与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点。（4,〃力在抛物线上，连接8C、BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足

NPBC=NDBC?如果存在，请求出尸点的坐标；如果不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+l与抛物线y=N+bx+c交于A,B（4,5）两点，点A在x轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段上一动点（点A,8除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点R当线-段的

长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P,使/尸跖=90。？若存在，求出点尸的坐标；若不存

3.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=a（x+1）（x-3）交x轴于A、B两点，交y

轴于点C,ZABC=45°,

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2,P为第一象限内抛物线上一点，ABCP的面积为3时，且/BCP>45。，求尸点坐标；

（3）如图3,在（2）的条件下，D、E为抛物线上的点，且两点关于抛物线对称轴对称，过。作无轴垂

线交过点尸且平行于x轴的直线于Q,交抛物线于R,延长。。至H,连接RH,tan/ERH=学，

92

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=椅炉-3^-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.

-84

（1）请直接写出A、B、C三点的坐标：

ABC

（2）点P从点A出发,在线段上以每秒3个单位长度的速度向点8运动，同时点。从点8出发，

在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设

运动的时间为t（秒），

①当/为何值时，BP=BQ?

②是否存在某一时刻使ABP。是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的f的值，若不存在，请

说明理由.

备用图

5

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=5x+机(机为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),

4

与y轴交于点C,以直线尤=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(°、b、c为常数，且(#0)经过A、。两

点，并与x轴的正半轴交于点8

(1)求机的值及抛物线的函数表达式；

(2)是否存在抛物线上一动点。使得AAC。是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点。的横

坐标；若存在，请说明理由；

(3)若尸是抛物线对称轴上一动点，且使AACP周长最小，过点尸任意作一条与y轴不平行的直线交抛

MiP-MoP

物线于Ml(xi,竺)，MT.(X2,y2)两点，试问-是否为定值,如果是，请求出结果，如果不是

请说明理由.

(参考公式：在平面直角坐标之中，若A(xi,yi),B(尤2,”)，则A,8两点间的距离为AB=

22

(x!-x2)+(y1-y2))

6.如图，在平面直角坐标系中，直线>=依-7与y轴交于点C,与x轴交于点8,抛物线y=oy2+bx+l4a

经过8、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A,且OA：0c=2：7.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。在线段上，点尸在对称轴的左侧抛物线上，PD=PB,当tan/POB=2,求点尸的坐标;

（3）在（2）的条件下，点。（7,«）在第四象限，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、。、

R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标.

C

7

/

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=or2+bx+c（a<0）与x轴交于A（-2,0）、8（4,0）两点,

与y轴交于点C,且OC=2OA.

（1）试求抛物线的解析式;

（2）直线y=fcc+l（4>0）与y轴交于点。，与抛物线交于点尸，与直线BC交于点记相=瞿，试

DM

求m的最大值及此时点尸的坐标;

（3）在（2）的条件下，点Q是无轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点0、

N,使得以P、D、。、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说

明理由.

8.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a%2+b尤-5与x轴交于A（-1,0）,B（5,0）两点，与

y轴交于点C.

（1）求抛物线的函数表达式;

(2)如图2,CE〃x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平

行的直线与BC,CE分别相交于点RG,试探究当点X运动到何处时，四边形CHE尸的面积最大，求

点H的坐标；

(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4,”2)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q,使

9.如图，已知抛物线y=N+2x的顶点为A,直线y=x+2与抛物线交-于8,C两点.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)作CO_Lx轴于点。，求证：AODCS^ABC；

(3)若点尸为抛物线上的一个动点，过点P作尸轴于点则是否还存在除C点外的其他位置的

点，使以。，P,M为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出这样的尸点坐标；若不存在，请说

明理由.

19

10.如图，已知抛物线y=-5工2+灰+。经过点4(5,不)、点8(9,-10),与y轴交于点C,点P是直

OO

线AC上方抛物线上的一个动点；

(1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线I与直线BC交于点E,当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;

(3)当/尸。3=90。时，作/PC8的角平分线，交抛物线于点R

①求点P和点F的坐标；

②在直线CF上是否存在点。使得以RP、。为顶点的三角形与△8CF相似，若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

1.解：(1)当％=0时，y=6,

・••点。的坐标为(0,6).

设抛物一线的解析式为(%+2)(%-6),将C(0,6)代入得：-12。=6,解得〃=-*.

；・抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-6),整理得：y=--^-x2+2x+6.

(2)将％=4代入得：y=6.

：.D(4,6).

如图所示：作点。£〃x轴，过点8作3E〃丁轴，作点。关于8c的对称点则过点。作

ZXFLx轴，垂足为H

♦；B(6,0),C(0,6),

：.OB=OC.

，NOBC=45。.

：.ZOBC=ZEBC.

又〈ZDrBC=/DBC,

：.ZDBE=/DBF.

2D，FB=ZDEB

在△。瓶和△zxra中，ZDBE=ZDyBF，

BD=BDy

・•・△DEB^ADFB.

：.DrF=ED=2,BF=BE=6.

・・・点。的坐标为(0,2).

设5。的解析式为y=kx+2,将点B的坐标代入得：6k+2=0,解得k=-

O

.•.8。的解析式为y=-gx+2.

o

==22

将y--^-x+2代入y--^-x+2x+6得：--^-x+2—--^-x+2x+6f整理得：3N-14x-24=0,解得：x—

O乙O

A

6（舍去）或x=--.

o

将%=-言代入得：y=--^-x（-言）+2=/+2=（"

33399

4.99

・,•点尸的坐标为（-方，.

39

2.解：（1）把y=0代入y=x+l得：x+l=0,解得：x=-1,

・••点A（-1,0）.

l-b+c=0冷刀汨

将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得:，解得：b—-2,c=-3.

16+4b+c=5

・•・抛物线的解析式为产N-2%-3.

(2)如图1所示:

设点E的坐标为(x,x+1)则点歹的坐标为尸(工,N-2x-3).

395

设EF=(x+1)-(x2-2x-3)=-N+3x+4=-(x-----)2+-----.

24

.•.当彳得时，口有最大值.

将X=-|■代入y=x+l得：

：.E.

22

R

(3)如图2所示：过点E作尸£，七区交抛物线与点尸或点P,则加=]■.

将尸堤代入抛物线的解析式得：N-2x-3=^,解得：彳=1+华，尤=1-举.

2222

点P的坐标为（1-运，号）或（1+运，导）.

2222

3.解：（1）对于抛物线（x+1）（x-3）,令y=0,得到〃（%+1）（%-3）=0,解得力=-1或3,

AA(-1,0),B(3,0),

・•・05=3,

ZABC=45°,

・•・OC=OB=3,

C(0,3),把(0,3)代入(x+1)(x-3)得至Ua--1,

・•・抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)如图2中，作尸H_LA8于"，交BC于T.，作CE_LP”于E,设尸(加，-m2+2m+3).

VB(3,0)，C(0,3)，

・,・直线BC的解析式为y=-x+3,

:・T(m,-m+3)，

•：SAPBC=SAPTC+SAPTB*・PT，CE+/PT.BH=^PT.(CE+BH)=^"PT'0B=^x(一症+3m)x3=3,

整理得m2-3m+2=0,

/.m=l或2,

VZPCB>45°,

•・fTl^—11

：.P(1,4).

(3)如图3中，作于M,连接EM.DH交AB于N.设。(n,-n2+2n+3).

PQ//DE,PQLDQ,DH_LAB,

Q(m4),

DE=2(n-1),DQ=4-(-/+2几+3)=(n-1)2,

DQ_(n-l)2_n-lDE_2(n-l)_n-l

DE-2(n-l)一"寸DH4~一"T'

DQ=DE

DE-DH，

NEDQ=NEDH=9。。,

△EDQsAHDE,

ZDEQ=ZEHD,

NDEQ+NEQD=9。。,

ZEHD+ZEQD=90°,

NHEQ=9。。,

/REH+NRMH=18U。,

E、H、M、夫四点共圆，

・•・ZERH=/EMH,

/.tanZERH—tanZEMD—=,

9DM

Q

：.DM=—(n-1),

8

Q

：.QM=(n-1)2--^-(n-1),

o

U：RM//DE,

.RM=QM

，，DE-QD，

17

：.RM=2n-

4

17Q

：.R[-n+—4-(n-1)2+—(n-1)],

4f8

q1717

把点R坐标代入y=-N+2x+3得到，4-(n-1)2+—(n-1)=-(-n+——)2+2(-n+--)+3,

844

解得三全

:.D4)■

24

22,,2297

4.解：(1)由x2-—x-3得至U：(x-4)(x-2)或_y=—(x-1)2-,

84888

所以A(-2,0),B(4,0),

令x=0,则y=-3,

所以C(0,-3)；

综上所述，A(-2,0),B(4,0),C(0,-3)；

故答案是：(-2,0),(4,0),(0,-3)；

(2)①;A(-2,0),B(4,0),

：.AB^6,

由BP=BQ得到:6-3t=t,

解得u*

②(4,0),C(0,-3),

：.OB=4,0C=3,

225

BC=7OB-K)C=-

i)如图1,当N8PQ=90。时，ABPQsABOC,则塔=整，即殳*=「，

OBBC45

30

解得t

19

泊如图2,当N2。尸=90。时，ABPQs/\BCO,则黑=黑，即殳衿=],

BCUB54

解得r=券

综上所述，/的值是：弱或善•

1917

5.解：(1);一次函数y=：x+根(根为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),

4

R1R

.'.0=—x(-3)+m,解得根=一^,

44

R1R

，一次函数解析式为y=3■尤+3，

44

1R

・・・C点坐标为(0,4).

4

1R

•.,以直线x=l为对称轴的抛物线y=0+6x+c(a、b、c为常数，且存0)经过A(-3,0)、C(0,4)，

4

1

上=1a=-7

2a

9a~3b+c=0,解得《

2

15

C^T

••・抛物线的函数表达式为尸一%+»冬

1115

(2)存在.设。(x,——x2+—XH---).

424

①当点C为直角顶点时，如图，作CQLAC交抛物线于点。,QE±y轴于E.

在AAC。与ACQE中，

(ZACO=ZCQE=900-ZQCE

IZAOC=ZCEQ

AACO^ACQE,

嚼常,即亭=基金曳里,

TCO

解得xi=5.2,X2=0（不合题意舍去）；

②当点A为直角顶点时，如图，作AQ'LAC交抛物线于点2,QE_Lx轴于E.

在"CO与△。幺E中，

(Z0AC=ZEyQ'A=90°-Z0AQ7

lZA0C=ZQyE'A

Z.AACO^AQ'AE',

x+312115

.AE'_Q'E----Y--------Y-----------

，即义=424,

COA0T

解得xi=8.2,X2=-3（不合题意舍去）.

综上所述：。点的横坐标为5.2或8.2；

111R

(3)：y=-7/+二^+1-与x轴交于A(-3,0)、8两点,对称轴为直线K1,

424

.•.B点坐标为（5,0）,

1R

VC(0,耳)，

4

3"5

直线BC的解析式为y-----x+---,

44

2@=3

当x=l时，y=---xl+.3，

44

：.P(1,3).

设过点尸的直线为：y=kx+3-k,

1115

tEy—kx+3-左代入y=--x2+—x+—,

424

111R

得fcv+3-k----X2H—x~\---,

424

整理得，N+（公-2）x-4左-3=0,

,\XI+X2=2-4k,x\X2=-4左-3,y\-yz=k(xi-xi)，

/.(xi-X2)2=(xi+%2)2-4xiX2=(2-4k)2-4(-4左-3)=16R+16,

2+2=2X-x2=4

/.MYM2=(xj-x2)(yjVl+kV^12^(1+R)，

2

同理：MiP=yj(x1-l)+(kxj+3-k-3)»=J]+k2j(x「])2,

M2P=N1+k2d(32-1)2'

M\P*M2P=yjl+k2^^X12>Vl+k2^^x2-^2=।(»-1)(X2-1)|*(1+F)=4(1+N)，

6.解：(1)•・•直线丁=辰-7与y轴的负半轴交于点。

：.C(0,-7),

・•・OC=7,

,抛物线y=〃N+云+14〃经过点C,

,14〃=-7,

,_1

..a--亍

/.y=——x2+Z?x-7

29

VOA：OC=2：7.

；・OA=2,

AA(2,0)

•抛物线y=-^x2+bx-7经过点A,

・•・抛物线的解析式为y=-yx2+-1x-7,

令＞=0解得％=7或冗=2(舍去)，

：.B(7,0),

・・.03=7,

・•・OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=45°

过点尸作尸尸工工轴于点G,交C8延长线于点R则尸尸〃y轴,

：.ZCFG=ZOCB=45°,

:・BF=yf^GF,

过尸作PE,3c于点

■:PD=PB,

：.ZPBD=ZPDB,

tanZPBD=tanZPDB=2,

：.PE=2BE,

•；EF=PE,

：・BF=BE,

：.PF=y/2PE=2^[2BE=2yf^F=4GF,

：.PG=3GF,

*.*直线y=kx-7过3点，

；・k=1,

•\y=x-7,

设尸(加，m-7),则尸(如-3(m-7)),

丁点P在抛物线y=--1x2+1-x-7上，

1Q

-3(%-7)=m2+—m-7,

22

解得％=7(舍去)或/"=8,

:.P(8,-3)；

(3)如图2,当D尸〃QR时，即四边形。QRP是平行四边形,

,:B(7,0),Q(7,m)

.•.8Q〃y轴

过P作PN//BQ,过。作DNLBQ交PN于点N,

过火作RMLBQ于点M.

设P。交3。于点T,DN交BM于点I,

/DTB=ZDPN,ZPTQ=ZRQM,

•：/DTB=/PT。,

：.ZDPN=ZRQM,

,/四边形DPRQ是平行四边形，

：.DP=RQ,

在△RMQ和AONP中，

，ZRQM=ZDPN

-ZRMQ=ZDNP.

RQ=DP

：./\RMQ^/\DNP(A4S),

：.RM=DN,MQ=PN,

由(2)可求b(8,1),GF=\,BD=2BE=2BF=2次G/=2

VZ2BC=45°,:.BI=DI=2,

：.D(5,-2),

设R点的横坐标为3

•:RM=DN,

Ar-7=8-5,

解得r=10,

•・•点R在抛物线y=--^-x2+-1x-7±,

1Q

・・・当/=10时，-yX102+-|xl0-7=-12,

：.R(10,-12),

•:MQ=PN,

3-2--12-几，

:・〃=-11,

:.R(10,-12),Q(7,-11),

如图3,当DR〃。尸时，即四边形。QPR是平行四边形

同理可求得R(6,2),。(7,-7).

7.解：(1)因为抛物线y=o%2+bx+c经过A(-2,0)、2(4,0)两点,

所以可以假设y=a(x+2)(x-4),

•：OC=2OA,OA=2,

：.C(0,4),代入抛物线的解析式得到。=",

111Q

・“=-—(x+2)(x-4)或y=--x2+x+4或y=-—(x-1)2+—.

(2)如图1中，由题意，点尸在y轴的右侧，作尸£，入轴于交BC于F.

JCD//PE,

•,ACMDs^FMP,

•・•直线》=辰+1(左＞0)与y轴交于点。，则。(0,1),

・・,8。的解析式为y=-x+4,

设尸(n,--^-n2+n+4),贝!J/(n,-n+4),

/.PF=--n2+n+4-(-n+4)=-—(n-2)2+2,

22

9

••当〃=2时，机有最大值，最大值为亲止匕时尸(2,4).

O

(3)存在这样的点。、N,使得以尸、。、。、N四点组成的四边形是矩形.

①当。尸是矩形的边时，有两种情形,

。、如图2-1中，四边形。QVP是矩形时,

2

有(2)可知P(2,4),代入y=h+l中，得到％=彳，

・・・直线。尸的解析式为尸米+1,可得。(0,1),E(0),

由4D0ES△QOD可得兴=端，

uyuu

：.OD2^OE-OQ,

•••1号2・o。，

O

3

・・・。。=5，

3

Q（彳，0）.

根据矩形的性质，将点P向右平移看个单位，向下平移1个单位得到点N,

27

:・N(2+—,4-1),即N(5，3)

•・,直线尸。的解析式为y=£x+l,PQLPD,

：,直线PQ的解析式为y=-■|x+¥，

oo

：.Q(8,0),

根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N,

：.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

②当OP是对角线时，设。(/0),贝|。。2=/+1,。尸2=(x-2)2+42,PD2=13,

是直角顶点，

：.QD2+QP2=PD2,

x2+1+(x-2)2+16=13,

整理得N-2x+4=0,方程无解，此种情形不存在，

综上所述，满足条件的点N坐标为(彳，3)或(6,-3).

8.解：(1)•・,点A(-1,0),B(5,0)在抛物线丁=以2+法一5上，

.(a-b_5=0

125a+5b-5=0

解得卜=1,

lb=-4

抛物线的表达式为y=x2-4尤-5,

(2)设H(3?-4-5),

；CE〃x轴，

.•.点E的纵坐标为-5,

在抛物线上，

.'.X2-4x-5=-5,

.,.x=0(舍)或x=4,

：.E(4,-5),

：.CE=4,

•：B(5,0),C(0,-5),

直线BC的解析式为y=x-5,

:"F5/-5),

：.HF=t-5-(r2-4z-5)=-(z--5)2+—25,

24

TCE〃冗轴，HF〃y轴,

:・CE上HF,

159S

；・S四边形jCE・HF=-2(Z-y)2+号,

：.H(得，-华)；

(3)如图2,：K为抛物线的顶点，

：.K(2,-9),

；.K关于y轴的对称点K(-2,-9),

,：M(4,m)在抛物线上，

：.M(4,-5),

二点M关于x轴的对称点M(4,5),

・,・直线的解析式为y=-7^x-募12，

OO

9.(1)解：y=x2+2x=(x+1)2-1,

；・顶点A(-1,-1)；

由卜=x?+2x,解得:‘二2或卜=：

y=x+2y=0Iy=3

：.B(-2,0),C(1,3)；

(2)证明：VA(-1,-1),B(-2,0),C(1,3),

；•A8=yj(-2+1)2+(O+l)2=V2'

BC=V(-2-1)2+(0-3)2=3V2>

AC=V(-1-1)2+(-1-3)2=2V5>

„+叱=叱，罂=_^=春,

BC3723

ZABC=9Q°,

"：OD=1,CD=3,

•OD1

,,而一=石，

.•.期■典，ZABC^ZODC=90°,

BCCD

/.△ODC^AABC；

(3)存在这样的P点，

设M(尤，0),则P(x,x2+2x),

：.OM=\x\,PM=\x2+2x\,

当以O,P,M为顶点的三角形与AABC相似时，

后PMABPMCB

有--------或----=----,

0MCB0MAB

由（2）知：AB=M，CB=3®

①当工览=2且时，则Ix?+2x|=工

0MCB|x|3

当P在第二象限时，x<0,x2+2x>0,

K+2x.=[,解得：xi=o（舍），尤2=-1，

-x33

当尸在第三象限时，x<0,N+2x<0,

2

.・.-X-,X=],解得：》=0（舍），]2=-二，

-x33

②当粤=嗝时，则用半L=3,

0MABIxI

同理代入可得：％=-5或%=1（舍），

综上所述，存在这样的点P,坐标为（-£,-三）