2025年新高考数学专项复习：二次函数定（动）轴与定（动）区间六大题型（解析版）

专题3-3二次函数定(动)轴与定(动)区间六大题型汇总

。常考题型目录

题型1定轴定区间问题...............................................................2

题型2定轴动区间问题...............................................................9

题型3动轴定区间..................................................................14

题型4动轴动区间问题..............................................................19

题型5求参数问题..................................................................25

题型6含有绝对值的二次函数最值问题...............................................32

Q知识梳理

知识点一.二次函数的三种形式

1、一般式:f(x)=ax2+bx+c(a/0)

2、顶点式：若二次函数的顶点为(h,k)厕其解析式为f(x)=a(x-h)2+k(a，0)

3、两根式：若相应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为XiM,则其解析式为

f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a/0)

知识点二.二次函数最值问题

求二次函数/(%)=ax2+bx+c［a>0)在区间［%上的最值分为以下三种情况；

h

(1)对称轴在区间的左侧：若%=-二〈根，则/(X)在区间［九向上是增函数，最大值

2a

为/⑻,最小值为了(根)；

2

(2)对称轴在区间内：若根S-丁b少，则/(%)的最小值为/(-=b=\Act:e-Z?，最大

2a\2a)4〃

b

值为/(m)、f(n)中的较大者(或区间端点m,n中与直线x=—-的距离较大的那一个端

2。

点所对应的函数值)；即最小值为小白=4知*,最大值为

I2a)4a

/(x)1mx=max{/(7«),/(n)}.

b

(3)对称轴在区间的右侧：若x=----->n,则/(X)在区间［加,向上是减函数，最大值为

2a

于(m),最小值为了(").

但题型分类

题型1定轴定区间问题

【方法总结】

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定

二次函数在定区间上的最值"。

【例题II2023春・广东清远•高一阳山县南阳中学校考阶段练习周数/(%)=-/+2%-3

在区间［0,+8)上()

A.有最大值-2B.有最大值-3

C.有最小值-2D.有最小值-3

【答案】A

【分析】作出函数的图象，结合图象可得函数在［0,+8)上的单调性，从而即可得函数在

［0,+8)上的最值.

【详解】解:因为/(%)=-x2+2x-3,

所以函娄好(久)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为久=1,如图所示：

由此可得函数y=f(x)在［0,1)上单调递增，在［1,+8)上单调递减，

所以/'(X)max=/(I)=-1+2-3=-2,无最小值.

故选：A.

【变式1-1】1.(2022秋•江西赣州•高一兴国中学校考阶段练习)已知二次函数

y=-4x2+8x-3.

(1)写出这个函数图像的对称轴方程和顶点坐标；

(2)该函数的图像可以由函数y=-4%2的图像经过怎样的平移得到？

(3)求函数在xW卜2,2］上的最大值和最小值

【答案】⑴,顶点坐标为(L1);

(2)答案见解析

⑶最大值1,最小值-35.

【分析】(1)将二次函数化成顶点式分析即可；

(2)描点法作图，再根据顶点的平移位置分析即可；

(3)根据对称轴与区间xW［-2,2］的位置关系求解即可；

【详解】(1)y=-4x2+8x-3=-4(x-l)2+l,对称轴为直线x=l，顶点坐标为(LD；

(2)用描点法作图，图像经过(1,1),(［0),(|,0),(0,-3),(2,-3),

图像如图所示：

其图像由y=-4壮的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到；

(3)由丫=-4/+8/3的图像可得，当％曰-2,2］,函数在x=l时取得最大值y=-4x12+8x

1-3=1,在x=-2时取得最小值y=-4x(-2)2+8x(-2)-3=-35.

故最大值为1,最小值为-35.

【变式1-1］2.(2021秋・海南三亚•高一校考期中)已知函数f(x)=仁—1,久e［2,6］,

(1)求函数单调性；

(2)求函数最大值和最小值.

【答案】(1)函数/(久)在区间［2,6］上为增函数；

(2)最大值为35,最小值为3.

【分析】(1)利用二次函数的性质可判断函数的单调性；

(2)利用函数在区间［2,6］上为增函数，由此求得函数的最值.

(1)

二次函娄妤O)=/_1,对称轴为y轴，开口向上，

函数在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故函数/(久)在区间［2,6］上为增函数,

⑵

由函数八支)在区间［2,6］上为增函数，

/COmax=/(6)=35,/(X)min=/(2)=3.

因此，函娄好(X)=/-1在区间［2,6］上的最大值为35,最小值为3.

【变式1-1］3.(2022春・陕西咸阳•高二校考期末)已知二次函数y=-4%2+8x-3.

(1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；

(2)画出它的图像，并说明其图像在y=-4/的图像经过怎样的平移得来；

(3)求函数在xe［-2,2］上的最大值和最小值；

(4)分析函数的单调性,

【答案】⑴开口向下，对称轴为直线久=1，顶点坐标为(1,1)

(2)作图见解析；说明见解析

(3)最大值为1,最小值为-35

(4)函数在(-8,1)上是单调递增的，在(1,+8)上是单调递减的

【分析】(1)将二次函数化成顶点式分析即可；

(2)描点法作图，再根据顶点的平移位置分析即可；

(3)根据对称轴与区间xe［-2,2］的位置关系求解即可；

(4)根据对称轴分析函数的单调性即可

【详解】(1)y=—+8%-3=-4(x-I)2+1,故二次函数图象开口向下，对称轴为

直线x=1,顶点坐标为(1,1)；

(2)用描点法作图，图象经过(1,1),(|,0),(|,0),(0,-3),(2,-3),

图象如图所示，其图像由y=-4/的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长

度得到；

(3)由丫=-4x2+8x-3的图象可得，当x6［-2,2］,函数在比=1时取得最大值y=-4x

12+8乂1一3=1,在％=-2时取得最小值y=-4x(-2)2+8x(-2)-3=-35；

(4)由丫=-4/+8%-3的图象可得，函数在(-叫1)上是单调递增的，在(1,+8)上是单

调递减的.

【变式1-U4.(2022•全国•高一专题练习)已知函数"x)=ax2-2ax+b(a>0)的定义

域为R,且在区间［0,3］上有最大值5,最小值1.

(1)求实数a,b的值；

(2)若函数式久)=/(x)-mx+2m-2,求gQ)>0的解集.

【答案】(l)a=l,b=2

(2)答案见解析

【分析】(1)由二次函数的性质可知函数在［0,1］上单调递减，在［1,3］上单调递增，则

｛隽二5从而可求出a,b的值,

(2)由(1)得9(“)—x2—(2+m)x+2m-(x—2)(%—m)，然后分m-2,m>2和m<2

三种情况解不等式

(1)

=ax2-2ax+b=a(x-I)2+b-a(a>0),在［0,1］上单调递减，在［1,3］上单调递

增，

-1⑴=1，即！a-2a+b=1,解得fa=1,

,1/(3)=5,即19a-6a+b=5,蝌守5=2.

(2)

由(1)知g(x)—x2—(2+m)x+2m—(x—2)(尤—m),

①m=2时,g(x)>0的解集为｛x|x丰2｝；

②m>2时，g(x)>0,贝！］x>m或m<2,

故m>2时，g(x)>。的解集为｛x|久>ni或久<2｝；

③m<2时，g(x')>0,贝！］x>2或久<m,

故m<2时,g(x)>0的解集为｛x|x>2或久<m］.

综上,当爪=2时,解集为｛x|x丰2｝；当m>2时，解集为>爪或x<2｝；当m<2时，

解集为｛幻刀>2或x<m］.

【变式1-1］5.(2023春・安徽蚌埠•高二统考期末)已知函娄妤O)=ax2-2ax+1+b(a>

0,bGR)在区间［2,4］上的最小值为1,最大值为9.

(1)求a,6的值；

(2)设g(x)=号,求g(x)的值域.

【答案】(l)a=1,b=0

(2)(—oo,—4］u［0,+oo)

【分析】(1)根据二次函数的性质判断函数在［2,4］上单调递增，即可得到函数的最值，从

而求出参数的取值范围；

(2)首先求出gO)的解析式，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的值域.

【详解】(1)因为/(%)=ax2-2ax+l+b(a>O,bER)图象开口向上，对称轴x=1,

故函数久久)在［2,4］上单调递增，

所以当x=2时，函数取最小值/(2)=1+b=1,

当％=4时，函数取最大值/(4)=16a—8a+l+b=9,

所以a=1,6=0.

(2)由(1)得/(%)=%2—2%4-1,则g(X)=%+：—2(%W0),

易知9口)=1-弓=(x+l"f,

当x<-1或x>1,g(x)>0,当—1<x<0或0<x<1,g'(x)<0,

即g(x)在(―8,-1),(1,+8)单调递增,在(—1,0),(0,1)单调递减.

又。(一1)=-4,g(l)=0,且当x<。时g(x)<0,当x>0时g(x)>0,

故g(x)的值域为(-8,-4］u［0,+8).

【变式1-1］6.(2023•全国•高一专题练习)已知函数/'(%)=ax2-4ax+b(a>0)在［0,3］上

的最大值为3,最小值为-1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若三久e(1,+8),使得/"(久)<mx,求实数m的取值范围.

【答案】(l)f(x)=x2-4x+3

(2)m>2V3-4

【分析】(1)根据/(%)的最值列方程组，解方程组求得a,b,进而求得/(%).

(2)利用分离常数法，结合基本不等式求得m的取值范围.

【详解】(1)的开口向上,对称轴为x=2,

所以在区间［0,3］上有：/(x)min=/(2),/0)max=/(。)，

即8f+g=T

Ib=33=3

所以/(汽)=%2-4%+3.

(2)依题意G(1,+oo)，使得/(%)<mx,

即/—4%+3<mx,m>%+1—4,

由于x>l,x+-X-4>2ylX-X--4^2V3-4,

当且仅当％=X-=>%=时等号成立.

所以m>2A/3-4.

题型2定轴动区间问题

【方法总结】

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情

况是"定函数在动区间上的最值"。

【例题2］(2022秋・山西阳泉•高三统考期末)已知函数"%)=-#+%在区间［a,加上的

最小值为3a,最大值为3b,贝！］a+b=()

A.-4B.iC.2D.-

66

【答案】A

【分析】首先求出函数的最大值及单调区间，依题意可得“X)在区间［a,切上单调递增，即

可得到匕黑=::,从而得到a、b为方程/+2x=0的两根，再利用韦达定理计算可得.

【详解】解：因为/(X)=—［/+X=-4久一1)2+Tw］对称轴为X=1,开口向下，

函数在(-8,1］上单调递增，在［1,+8)上单调递减，

依题意3b<I,所以b<i,所以/(#)在区间［a,切上单调递增，

Zo

J_12I_Q

所以朦广;〉即「针2”所以a、b为方程#+2x=0的两根，

(f(b)=3b_/2+匕=3》2

v2

所以a+b=-y=-4.

2

故选：A

【变式(2022秋•上海宝山•高一上海交大附中校考阶段练习)已知二次函数y=/-

2x+4,xe［0,词的最小值是3,最大值是4，则实数机的取值范围是

【答案】[1,2]

【分析】结合二次函数y=/-2x+4(x>0)的图象求得正确答案.

【详解】二次函数y=x2-2x+4=(x-I)2+3>3,

由/-2x+4=4解得久=0或x=2,

画出二次函数y=/-2x+4(x>0)的图象如下图所示，

由图可知，山的取值范围是口2].

故答案为：[1,2]

【变式2-1]2.(2022秋・上海青浦•高一上海市朱家角中学校考阶段练习)已知函数/(x)=

x2+2x+3,x6[m,0]的最大值为3,最小值为2,则实数小的取值范围是.

【答案】[-2,-1]

【分析】画出函数的图像，对称轴为x=-1,函数在对称轴的位置取得最小值2,令/(*)=

%2+2%+3=3,可求得久=0,或x=—2,进而得到参数范围.

函数f0)=/+2比+3的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称的抛物线,

当X=-1时，函数取最小值2,

令f(%)=/+2x+3=3,贝！］x=0,或无=-2,

若函数/⑶=/+2x+3在［m,0］上的最大值为3,最小值为2,

则7716［-2,-1］,

故答案为:［—2,—1］.

【变式2-1］3.(2023秋•高一课时练习)已知函娄好0)为二次函数，不等式“乃〉。的解

集是(1,5),且/'(%)在区间上的最小值为-12.

⑴求“X)的解析式；

(2)设函数/(*)在［t,t+1］上的最大值为g(t),求g(t)的表达式.

【答案】(1)/0)=-/+6X-5

'-t2+4t,t<2

⑵g⑴={4,2<t<3

、—力2+6t—5,t23

【分析】(1)根据题意,设/(")=a(x-1)(%-5),可得函数的对称轴x=3,再根据函数

在［-1,4］上的最小值，求出a,可得函数八%)数的表达式；

(2)分t+1<3时、t>3时和2<t<3时三种情况,分别讨论函数的单调性,可得相应情

况下函数的最大值，最后综合可得g(t)的表达式.

【详解】(1)解：因为不等式/0)>0的解集是(L5),所以/(%)=。的两根为1和5,且函

数开口向下,故可设f0)=a(x-1)(%-5)(a<0),所以函数的对称轴为x=*=3,所

以当%G时f(x)min=/(-I)=12a=-12解得a=-1，故/(%)=-(%一1)(%一5),

即/(%)=+6%—5

(2)解：因为/(%)=—X2+6%—5=—(%—3尸+4,

当t+1工3时，即t<2时，/(%)在匕t+1］上单调递增，所以

g(t)=/(t+1)=-t2+4t,

当t<3<t+1时，即2<t<3时，/⑺在比3］上单调递增,在(3,t+1］上单调递减,所以

g(t)=/⑶=4；

当t>3时，/(%)在［t,t+1］上单调递减，所以g(t)=/(t)=—/+6t—5;

—产+4t,tW2

综合以上得g(t)=,4,2<t<3

t2+6t-5,t>3

【变式2-1J4.(2021秋・浙江金华•高一校考期中)已知“乃是定义域为R的奇函数，当x>0

时,/W=-X2+2x.

(1)求函娄妤0)的解析式；

⑵求函娄好0)在区间［0,3］上的最大值和最小值；

(3)若函数/O)在［-1,a-2］上单调递增，求实数a的取值范围.

—X2+2x,x>0

【答案】(1)/0)=,0,%=0

、x2+2x,x<0

(2)最大值1；最小值-3；

(3)1<a<3

【分析】(1)令“<0,则有-刀>0，代入给定的解析式求出f(-璜，根据奇函数的性质求

出x<。时;'(>)的解析式，从而求出定义域为R的解析式；

(2)利用x>。的解析式，结合二次函数区间与对称轴的关系求出最大值和最小值；

(3)由第一问求出的解析式，分析函数的单调性，使［-l,a-2］在单调增区间内，列出不

等式求解.

(1)

解：令久<0,贝！］有一x>0，代入可得：y(-x)=-(-%)2+2(-x)=-x2-2x--/(x),

所以/(%)=产+2x.又/⑺是定义域为R的奇函数，所以有/(0)=0.所以函数/0)的解析式

—x2+2x,x>0

为/(x)=-0,x=0.

、x2+2x,x<0

⑵

解：由(1)可知，当X>。时，/(X)=-X2+2x.对称轴为x=1,所以当x=1时，/(久)有

最大值/⑴=1；当"=3时，距离轴最远，/(x)有最小值八3)=-3；

⑶

解：由(1)可知，,0)在［-1,1］上单调递增，所以若函数f0)在［-l,a-2］上单调递增,则

有a—2<1,且a-2>—1,解得：1<aW3.

【变式2-1］5.(2021秋•广东梅州•高一大埔县虎山中学校考阶段练习)若二次函娄好(吗=

ax2+bx+c满足/'(2)=/(-I)=-1,且函数fO)的最大值为8.

(1)求函数/(%)的解析式

(2)当xe［2,m］时，函娄好(X)的最小值为-8,求实数m的值.

【答案】(l)/(x)=—4/+4x+7

(2)m=|

【分析】(1)根据题意，设二次函数的顶点式，结合对称轴与最值，以及"2)=-1,即可

求解；

(2)根据题意，易得函数/在［2,刈上单调递减，结合函数/(©的最小值为-8,即可求

解.

(1)

由"2)=/(—1),得尤=与1=3为二次函数的对称轴,

因函数f(x)的最大值为8,所以可设f(x)=a-()2+8,

又因/(2)=+8=—1,所以a=—4,因此/(久)=—4x2+4x+7.

⑵

由(1)可知，函数人乃在［2,爪］上单调递减，

因此f(x)min=f(.m)=~4m2+4m+7=-8,解得m=-1或m=|,

又因血>2,所以爪=|.

题型3动轴定区间

【方法总结】

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固

定的，我们称这种情况是"动二次函数在定区间上的最值"。

【例题3］(2022•全国•高三专题练习)若函数f(x)=/-2bx+3a在区间［0,1］上的最大值

是M,最小值m,则M-m()

A.与a无关，且与b有关B.与a有关，且与b无关

C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关

【答案】A

【分析】讨论b>Kb<0.0<b<l利用二次函数的性质求［0,1］的最值结合已知求M-m,

即可判断与参数a、b是否有关.

【详解】函数/(x)=/—2bx+3a的图象开口朝上，且对称轴为直线％=b,

①当b>1时,在［0,1］上单调递减,则M=/(0)=3a,m=/(I)=l-2b+3a,

此时"-m=2b-1,故M-7n的值与a无关，与b有关,

②当b<0时②⑶在［0,1］上单调递增,则M=/(I)=l-2b+3a,m=/(0)=3a,

此时M-m=l-2b,故M-m的值与a无关，与b有关,

③当0<b<1时，m=f(b)=3a-b2,

若046W次寸，/(l)>/(O),有M=/(I)=1-26+3a,

M-m=b2-2b+1,故M-TH的值与a无关，与b有关，

若b>|时，/"⑴<f(0),有M=f(0)=3a,

：.M-m^b2,故M-m的值与a无关，与b有关，

综上：M-爪的值与a无关，与b有关.

故选：A.

【变式3-1］1.(多选)(2022秋・广东广州•高一广州六中校考阶段练习)已知函娄好。)=

%2-2ax+a在区间(-8,1)上有最小值，则函数g(x)=竽在区间［1,+8)上一定()

A.是奇函数B.是增函数C.有最小值D.有最大值

【答案】BC

【分析】由已知求出a的取值范围，应用a的范围对g(£)的单调性、最值作出判断

【详解】函数〃久)=/-2ax+a在区间(-8,1)上有最小值，二函数图像抛物线的对称轴应

当位于区间(—8,1)内，，有a<l,

g(©=竽=刀+?-2a,

在区间［1,+8)上,定义域不关于原点对称，g。)不是奇函数.

1

任取1<久1<犯,g(久1)一g(%2)=-I+.X—「一£x=勺一万2+“7：)=a】一

12xlx2

X)%%2-a)

2Xi%2'

xxxxx

由a<1r1W%］<%2，有(%i—2)<0i2>0，i2—a>o,贝!Jg(%i)—g(%2)<0/

即g%)<g(x2),

所以g(x)=x+7-2a在区间［1,+8)上为增函数，g⑴=1-a为函数最小值.

故选：BC

【变式3-112.(多选)(2022秋浙江•高一校联考期中)已知二次函数f(x)=x2+bx+c

(6,ceR),N分别是函数在区间［-1,1］上的最大值和最小值，则M-N的可能取值是()

A.2B.1C.4D.-

2

【答案】ABC

【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值

与最小值，分别求出M-N的范围，综合四种情况可得结果.

【详解】当—-1,即b22时，M-N=/(l)—1)=2624；

当—g>1,即6<—2时,M—N=/(—1)—f(1)=—2b>4；

当一1<一即0Wb<2时，M—N=f(1)—f(一§=1+6+彳21；

当0<——<1,即—2<b<0时，M—N—f(—1)—f(———1—£>+—>1,

综上所述，M-N21

故选：ABC

【变式3-1］3.(2022秋•宁夏石嘴山・高一石嘴山市第三中学校考期中)已知函数f。)=

x2—2ax+3(aeR).

Q)若函数/(x)在(-8,2］上是减函数，求a的取值范围；

(2)当久e［-1,1］时，设函娄好(无)的最小值为g(a),最大值为h(a),求函数g(a)与h(a)的表达

式.

【答案】(l)a>2

4+2a,a<-1

(4—2a,aW0,

(2)g(a)=3-a2,-l<a<1h(a)=

14+2a,a>0

、4—2.ci,CL>1

【分析】(1)根据单调区间与对称轴的关系求解;

(2)分对称轴与区间的关系求函数最小值，根据对称轴与0的大小关系分类求最大值即可.

【详解】(1)因为函数f(x)在(-叫2］上是减函数，且其对称轴为x=a,

所以a>2.

(2)①当a<一1时，函数单调递增，g(a)=/(x)min=/(-I)=4+2a；

2

②当一1<a<1时,函数先减后增g(a)=/(x)max=/(a)=3-a；

③当a>1时,函数单调递减g(a)=/(x)min=/(I)=4-2a.

4+2a,a<-1

故g(a)=3-a2,-l<a<1；

、4—2a,a>1

当a<。时，/i(a)=/(l)=4—2a；当a>。时，/i(a)=/(—I)=4+2a

故八⑷={:;宵梵

【变式3-1］4.(2021春・陕西榆林•高二陕西省神木中学校考阶段练习)已知函娄好(x)=

x2—(2m+l)x+m2+m,mGR.

(1)若m=1,求f(x)在区间［-1,3］上的最大值与最小值；

(2)若/(x)在区间［-2,1］上是单调函数，求m的取值范围.

【答案】(l)/(X)max=6，/'(X)min=-：

(2)(-oo,-|］u［i,+oo)

【分析】(1)确定f(%)=(久-|)2-1根据二次函数性质得到最值.

(2)函数对称轴为x=等，根据单调性得到等<-2或等>1,解得答案.

【详解】(1)当巾=1时，f0)=*2一3x+2=(x-|),-1<%<3,

函数在卜1,|)上单调递减，在［|,3］上单调递增，

fCOmax=/(-I)=1+3+2=6,/(X)min=/(|)=

(2)/(x)=x2-(2m+l)x+m2+zn图像的对称轴方程为x=2聂,

/0)在区间［-2,1］上是单调函数,

故誓<-2或等21,得小4一|或小>

m的取值范围是(一8,—3u+8).

【变式3-1］5.(2022秋・重庆・高一校联考期中)已知f0)=x2-4ax+2.

(1)若函数gO)=/(%)-2x在(-8,3)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)VxeR,用M(久)表示/(x),g(x)中的最小者，记为M(x)=min{/(x),g(x)}.若xG[0,2],

记f0)的最小值八(a),M(a)=min{a2,/i(a)},求M(a)的最大值.

【答案】⑴[1,+8)

⑵2

【分析】(1)根据已知得出g。)解析式，根据已知结合二次函数单调性列出不等式，得出

答案；

-2,a<0

(2日艮据已知函数新定义结合二次函数最值得出h(a)=2-4a2,0<a<1,即可根据h(a)

6—Set,a21

与y=a?的草图得出答案.

【详解】(1)g(x)=/(x)—2x=x2—4ax+2—2x=x2—(4a+2)x+2在(—8,3)上单调

递减，

则对称轴x=等23,解得a>1,

故实数a的取值范围为[1,+8);

2

(2)/(x)=x-4ax+2的对称轴为％=y=2ar

当2a>2,即a>1时，h(a)=/⑵=6-8a,

当2a<0,即。<。时，/i(a)=/(O)=2,

当0V2aV2,即0VaV1时，/i(a)=/(2a)=2—4a2,

2,a<0

故/i(a)=2—4a2,0<a<1,

、6—SCL,1

2

而M(a)=min{a//i(a)},

令h(a)=a2,

当a<。时,a2-2,解得a=—V2,a=&(舍)，

当0<a<1时，2—4a2=a2,解得a=,a——(舍)，

当a>1时，6—8a=a?,解得a=-4±V22(舍)，

即/i(a)=a?解得：a=一夜或a=~,

当a<—夜时，M(a)=h(a)-2,

当一衣<a<0时，M(a)=a2,

当0<aW誓时,M(a)=a2,

当W<a<2时，M(a)=h(a)—2—4a2,

当a>2时，M(a)=h(a)=6—8a,

故M(a)的最大值为2.

【点睛】方法点睛：在研究含参二次函数最值问题上，一般分为：

定轴定区间：根据二次函数在区间上的单调性直接得出答案；

动轴定区间：分对称轴在区间左边，中间，右边三种情况讨论，得出其在区间上的单调性,

再求最大最小值，注意对于中间情形，又可具体分为偏左，偏右讨论；

定轴动区间：分区间在对称轴左边，对称轴在区间中间，区间在对称轴右边三种情况进行讨

论，得出其在区间上的单调性，再求最大最小值；

动轴动区间：分对称轴在区间左边，中间，右边三种情况讨论，一般会通过范围约掉部分进

行讨论；

对于函数的新定义，根据定义将其解析式转化出来，再根据具体情况分类讨论即可.

题型4动轴动区间问题

【方法总结】

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是

"动二次函数在动区间上的最值"。

【例题4】(2021秋•江苏淮安•高一校联考期中)已知函数/=/-2ax(a>0)

(1)当a=2时，解关于x的不等式-3</(%)<5

(2)函数y=/(%)在［t,t+2］的最大值为0,最小值是-4,求实数a和珀勺值.

【答案】⑴(-1,1)u(3,5)；

(2)t=0,a=2或t=2,a=2.

【分析】(1)当a=2时，分别求解两个一元二次不等式，再求交集即可；

(2)根据二次函数的最值，以t=0或t+2=2a进行分类讨论，即可求得结果.

(1)

不等式为-3<%2-4x<5,即£一底］,

xz—4%+3>0

由％2—4%—5<0可得—1<久V5；由%2—4%+3>0可得％<1或%>3,

故原不等式解集为(-1,1)U(3,5).

⑵

因为/(x)=X2—2ax=(x—a)2—a2

由于/(0)=/(2a)=0,由题意t=。或t+2=2a,

若t=0时,则a2t+1,fi/(x)min=f(a)=-4aE/(x)min=/(2)=-4,

当/'(a)=-a2=-4时，a=±2,a=-2不满足题意，舍去；

当/'(2)=4—4a=—4时,a=2；

若t+2=2a,则aWt+1,且/'(x)min=f(a)=-4或/'(x)min=/(2a-2)=-4

当/'(a)=—a2--4时，a=±2,

当a=2,t=2,符合题意；

当a=-2,与题设矛盾，故舍去；

当/(2a—2)=(2a-2)2-2a(2a—2)=—4时，a=2,t=2；

综上所述：a=2,t=0或a-2,t-2,符合题意.

【变式4-1】1.(2023・全国•高三专题练习)已知函豺(x)=/—2ax(a>0).

(1)当a=3时，解关于X的不等式—5</(%)<7；

(2)函数y=/(比)在［t,t+2］上的最大值为0,最小值是-4,求实数a和t的值.

【答案】⑴U(5,7)

(2)t—0,a—2或t=2,a=2

【分析】(1)代入a=3解不等式组卜;一6：可得答案；

1—5<xz—6x

(2)由题意/(0)=/(2a)=0,结合最大值为0最小值是-4分t=0、t+2=2a数形结合

可得答案.

【详解】(1)当a=3时,不等式-5<f(x)<7,

即为一5<x2—6x<7,

即官丈〉所以｛二;

所以-1<x<1或5<x<7,

所以原不等式的解集为(-1,1)U(5,7).

(2)/(0)=/(2a)=0,

由题意t=。或t+2-2a,这时一a?<一4解得a>2,

若t=0,则t+2Wa,所以/(t+2)=/(2)=-4今a=2；

若t+2=2a,即t=2a—2>a,

所以/(t)=-4=f(2a-2),则a=2,

综上，t=0,a=2或t=2,a=2.

【变式4-1】2.(2020•浙江•高一期末)若函数/(%)=/+-+租在[Q㈤上的值域为

[n,n+1],贝!Ja-b()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值但无最小值

C.无最大值但有最小值D.既无最大值，也无最小值

【答案】C

【分析】取/(%)=X2,判断b-a无最小值；由于"=/(a)+-2fdl与，故结合

题意得b—ci<2,进而得答案.

【详解】解：取k=m=0,贝(J/O)=x2,

不妨设0<a<b,则f(%)=工在设句上的值域为[。2*2],

由于函数/(%)=%2+々％+TH在口句上的值域为[弭71+1]

所以匕2-a?=1,故b-a=白无最小值；

a+b

因为f(a)=a2+ka+m,f(b)=b2+kb+m,+m,

由于抛物线开口向上，

故f(a)<n+1/(6)Wn+1,f(等)>n

所以=f(a)+/⑸-2/(等)<n+l+n+l-2n=2,

所以b-a<2,当且仅当b=三,a=-等时取得最大值2.

所以a-b有最小值，无最大值.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图象与最值.解题的关键在于"函数/(%)在口加上的值域为

[n,n+ir可以理解为"函数/(©在[a,6]上的图象夹在两条距离为1的水平线之间"，此

外还需要注意到关系式厘=/(a)+汽b)—2/(等).

【变式4-1]3.(2023春・湖北十堰•高一校联考阶段练习)函数/(久)=a/-2020%+

2021(a>0),在区间[t-1,t+l](teR)上函数〃久)的最大值为M,最小值为N.当t取任

意实数时，M-N的最小值为2,则a=

【答案】2

【解析】求得对称轴，要使M-N最小,t-1与t+1必关于对称轴对称从而最大值为/(t+1),

最小值为/(t),由/'«+1)-/(t)=2及对称轴可求得a.

【详解】f(x)=ax2-2020x+2021(a>0)

对称轴x=

a

要使M-N最小，t-1与t+1必关于对称轴对称

所以1=等①

/(t+l)-/(t)=2

a(t+l)2-2020(t+1)+2021-at2+2020t-2021

=2at+a—2020=2②

联立①②得2x1010+。-2020=2

/.a=2.

故答案为：2.

【变式4-114.(2022秋福建福州•高一校考期中)已知函数f(%)=/—4mx+3m20n>

0)的图象与久轴交于4B两点，与y轴交于C点,且△力8c的面积为3.

(1)求机的值；

(2)若/(X)在［a,a+l］上的最大值与最小值之差为g(a),求g(a)的最小值.

【答案】(1)1

⑵］

【分析】(1)求出48,C三点的坐标，通过ANBC的面积即可求出山的值.

(2)结合(1)的结论得到函数/(切的解析式与对称轴，通过讨论对称轴与给定区间的关

系得到函数久比)的最值，进而可求9(a)的最小值.

22

【详角军】(1)令/(%)=x—4mx+3m=(%—3m)(%—m)=0z

得％=TH或％=3m,又/(0)=3m2,

所以SAABC=I(3m-m)-3m2=3m3=3,

故：m=1.

(2)由(1)得/(x)=/—4尤+3,/(无)图象的对称轴为直线x=2.

当a+1<2，即a<1时,/0)在［<1,61+1］上单调递减，所以/(x)max=/(«)=a2-4a+3,

/Wmin=/(a+1)=a2—2a,所以g(a)=/(a)—/(a+1)=—2a+3>1.

2

当I-f>f+1-2,即14a<用寸，f(%)max=/(a)=a-4a+3,/(x)min=/'⑵=-1,

所以g(a)=f(a)-/■⑵=a?-4a+4=(a-2>>(I-2)=［.

a2

当1-f<f+1-2,--2时/O)max=+1)=a-2a,/(x)min=/⑵=-1,

所以g(a)=f(a+1)-f(2)=a?-2a+1=(a-2(|-1)=i

当a>2时,/(x)在[a,a+1]上单调递增,所以f(x)max=f3+1)=a2-2a,=

/(a)=M_4Q+3,所以g(a)=/(a+1)—/(a)=2a—3>1.

综上：g(a)的最小值为今

故：g(a)的最小值为土

题型5求参数问题

【方法总结】

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

【例题5](2023秋•江苏镇江•高一统考阶段练习)已知函数f(%)=-x2+2mx+l-m2,

其中meR.

(1)若不等式f(x)W爪2+22对于一切实数比均成立，求实数小的取值范围；

(2)当久6[1,3]时，若函数f(x)的最大值为-8,求实数小的值.

【答案】(1)(-8,-3]U[1,+8)

(2)m=—2或m=6

【分析】(1)将不等式“X)<m2+2m-2化简为一一+2mx-2m2-2m+3<0,再结

合一元二次不等式在R恒成立问题，可联系一元二次函数图象，即可解决.

(2)讨论给定区间与对称轴的关系，找出在不同情况下f(x)的最大值，再与题干最大值为

-8建立等式，解出符合题意的小即可.

【详解】(1)•.不等式/(x)W/+2m-2对于一切实数x均成立，

.1.—%2+2mx+1—m2<m2+2m—2§P—x2+2mx—2m2—2m+3<0对于一切实数x

均成立,

<。即(2m)2-4x(-l)(-2m2-2m+3)<0,

m2—2m+3<。解得m<—3或m>1,

.F的取值范围为(一8,-3］U［1,+oo).

2

(2)y=—x+2mx+1—zn?对称轴为％—m,

①当山<1时，/(x)在［1,3］单调递减，

•'•/Wmax=/(I)=-m2+2m,

又•.当XG［1,3］时，函数;'(x)的最大值为—8,

m2+2m——8解得m=4或m=-2,

「.771=—2；

②当1<TH<3时，f(X)在(1,爪)单调递增，在(犯3)单调递减，

222

.'./(x)max-/(m)=—m+2m+1—m—1,

显然，不符合题意；

③当巾>3时，/(%)在［1,3］单调递增，

・"(x)max—/(3)=-9+6m+1—m2——m2+6m-8,

又•当”e［1,3］时，函数/'(x)的最大值为—8,

.'.—m2+6m—8——8,解得m=6或zn=0,

.'.m—6；

综上所述，m=-2或m=6.

【变式5-1］1.(2023秋•江西•高一江西师大附中校考阶段练习)已知二次函数的图像经

过点(0,-5)和(6,-5),且函数在xeR上的最大值为4.

(1)求函数的解析式；

(2)当t<x<t+2时，函数的最大值为m,最小值为几,且血-n=2,求珀勺值.

【答案】(1)/0)=—O—3)2+4

(2)t=3-&或t=1+V2

【分析】(1)首先得到函数的对称轴，从而得到顶点坐标，设y=/(%)=a(x-3尸+4(a<

0)，代入点的坐标，求出a的值，即可得解；

(2)首先得到函数的单调性，再分t+2W3、｛；署三、『；号3、123四种情况讨

论，分别得到函数在区间［t,t+2］上的最大值与最小值，从而得到关于珀勺方程，解得即可.

【详解】(1)因为二次函数的图像经过点(0,-5)和(6,-5),所以函数