2025年中考数学复习：面积的存在性问题

面积的存在性问题

1.如图1,已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线1是经过点P的

一条直线，把AABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B.

⑴如图2,当PB=4时，若点B”恰好在AC边上，则AB的长度为:

⑵如图3,当PB=5时,若直线"/AC厕BB的长度为;

⑶如图4,点P在AB边上运动的过程中，若直线1始终垂直于ACZACB，的面积是否变化？若变化，说明理

由；若不变化，求出面积；

(4)当PB=6时，在直线1变化的过程中，求AACB，面积的最大值.

2.如图1,在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形

顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.

(1)当LOAD=30。时，求点C的坐标；

(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为争寸，求OA的长；

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点。的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos/OAD的值.

3.面积的存在性问题

在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴点A,与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A,B.

⑴求a,b满足的关系式及c的值；

(2)当x<0时，若.y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；

⑶如图，当a=-l时，在抛物线上是否存在点P,使APAB的面积为1,若存在，请求出符合条件的所有点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

4如图1,已知锐角三角形ABC内接于。OQD±BC于点D,连接OA.

A

⑴若NBAC=60。，

①求证：00=104

②当OA=1时，求AABC面积的最大值.

图1

(2)点E在线段OA上,OE=OD,连接DE,设/ABC=m/ODE./ACB=n/OED(m,n是正数).若NABC</ACB,求

证m-n+2=0.

5如图1.等边AABC中,AB=6点D在BC上,BD=4点E为边AC上一动点（不与点C重合）,ACDE关于DE的

轴对称图形为AFDE.

⑴当点F在AC上时,求证:DF〃AB;

⑵设AACD的面积为Si,AABF的面积为S2,记S=Si-S2,S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；

若不存在，请说明理由；

⑶当B、F、E三点共线时，求AE的长.

6.如图1,已知平面直角坐标系xOy，抛物线.y=aK2+版+2与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0).

(1)求这条抛物线的表达式和对称轴；

⑵点C在线段OB上，过点C作CD±x轴，垂足为点C，交抛物线于点D,E是BD的中点，联结CE并延长,

与y轴交于点F.

①当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；

②联结BF,当ADBC的面积是ABCF面积的|时，求点C的坐标.

7直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(l,0),且a<b.

(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示)；

(2)试说明抛物线与直线有两个交点；

(3)设抛物线与直线的另一个交点为N.

①若一1WaW-胡寸，求MN的取值范围；

②求AQMN的面积最小值.

8已知RtAEFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合)，点F、B(P)、C在同一直线

上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,NEFP=90。.如图2,AEFP从图1位置出发，沿BC方向匀速运动,速度为lcm/s,EP与

AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为lcm/s.过点Q作QMLBD,垂足为H,交AD

于点M,连结AF、PQ.当点Q停止运动时,AEFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题：

(1)当t为何值时,PQ〃BD?

(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使=9:8?若存在，求出t的值；若不存在,

五边形AFPQM矩形ABCD

请说明理由；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存

在，请说明理由.

图2

9.如图1,二次函数y^x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OB=OC点D在函数图

象上，CD〃x轴，且CD=2,直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.

⑴求b、c的值；

(2)如图1,连结BE,线段0C上点F关于直线1的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；

(3攻口图2,动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问：抛

物线上是否存在点Q,使得APQN与AAPM的面积相等，目线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，说明理由.

10如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,AB=位,AC=2,,过点B作直线m〃AC,将AABC绕点C顺时针旋

转得到AAEC(点A、B的对应点分别为A；8｝射线©可、CB，分别交直线m于点P、Q.

(1)如图1,当P与A重合时，求NACA，的度数；

(2攻口图2,设AB与BC的交点为M,当M为AB的中点时,求线段PQ的长；

(3)在旋转过程中，当P、Q分别在CA；CB，的延长线上时，试探究四边形PA'B'Q的面积是否存在最小值.若

存在，求出四边形PA'B'Q的最小面积；若不存在,请说明理由.

mA'(P)BQmPBQmB

ACAC4C

图1图2备用图

11.面积的存在性问题

如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-l与抛物线.y=r*+b%+c交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4,n).

该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.

(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；

⑵如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合)，分别以AP、DP为斜边,在直线AD的同侧作

等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN,连接MN,试确定AMPN面积最大时点P的坐标；

(3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与AABD相似，若

存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线.y=-1x2+bx+c经过A(-1,O)和点B(0,|),1顶点为C.点D在

其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向转90。，点C落在抛物线上的点P处.

(1)求这条物线的表达式；

⑵求线段CD的长;

(3)将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、

D、E、M为顶点的四边形面积为8,求M的坐标.

13.如图1,将二次函数y=x2+2x+1的图像沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，

得到二次函数.y=ax2+bx+c的图像.函数y=x2+2x+1的图像的顶点为A,函数y=ax2+bx+c的图像的

顶点为B,和x轴的交点为C、D(点D位于点C的左侧).

(1)求二次函数y=ax2+bx+。的解析式；

(2)从点A、C、D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

⑶若点M是线段BC上的动点，点N是AABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的R3AMN,使AAMN

1.满分解答

⑴4;

(2)573;

⑶AACB的面积保持不变理由如下：

如图5,联结BB：作BEXAC于E那么BE=4A/3.

由点B和点B，关于直线1对称，可知BB」L

图5

又因为AC_LL得BB/AC.

所以AACB与AACB是同底等高的两个三角形.所以SAACB'=SACB=16A/3.

(4)如图6,作B'GXAC于G.

由PB=PB'=6,得点B，的运动轨迹是以点P为圆心，半径为6的圆.

在直线1运动的过程中，AC保持不变,所以当B'G最大时，SAACB，)最大.

如图7,作PHLAC于H.连接BH

在RtAAPH中,AP=2,NA=60。,所以.PH=在.如图8,在RtAB'GH和AB'PH中,.B'G<B'H<B'P+PH=

6+旧.当G、H两点重合时，B'G取得最大值6+旧(如图9所示).所以SAACB，的最大值=(4。•"G=[x8x

(6+V3)=24+4V3.

考点伸展

第⑴题的思路是这样的：如图9,因为PB,=PB=PA=4,,所以AAPB是等腰三角形.又因为/A=60。,所以

△APB，;是等边三角形.所以AB'=XP=4.

第⑵题的思路是这样的:如图10,因为直线1〃AC,所以ABPDszXBAC.所以ABPD也是等边三角形，四边形

PBCE是菱形.所以BB与PD互相垂直平分在RtAPBO中,PB=5,/BPD=60。,所以BO=竽所以.BB'=2BO=

5V3.

2.满分解答

⑴如图2,因为四边形ABCD是矩形，所以NCDA=90。.所以Nl+N2=90。.

因为NDOA=90。,所以/2+/3=90。根据同角的余角相等，得Nl=/3=30。.

在RtAAOD中,CD=AB=4,N1=3O。,所以CH=2,DH=2V3

在RtACHD中,AD=BC=6,N3=30。,所以OD=3.

所以OH=。。+DH=+3.所以C(2,2V3+3).

(2)如图3,在AAOD中,AD=6,设OA=m,所以0D=VXD2-OA2=V36-m2.

因为点M为AD的中点，所以以岫=为皿。=+X6X4=6,SAO0M=#△««=/X

-~x.OA-OD=-mV36—m2.

24

所以-mV36—m2+6=2.整理，得(——18)2=0.

42

解得Hi】=3vxm2=-3&(舍去负值).

(3)如图5,当0、M、C三点共线时,OC最大值=8.

由(1)狷ACHDs^DOA.所以震=*=[=|.

因为M为RtAAOD斜边上的中线，所以MD=M0.

所以/2=/4.所以△CHOS^AOD.所以詈=*W

所以HD-.HC=|:|=1:2.所以tan/3=tan/l=2.

所以C0SZ3=y.

考点伸展

第⑶题的求OC的最大值可以这样考虑：

如图4,在AOCM中，根据两边之和大于第三边，可得OC<OM+MC.

所以当0、M、C三点共线时QC最大值=OM+MC.

如图5,因为M为RtAAOD斜边上的中线，所以0M=^AD=3.

在RtACDM中，CD=4,DM=^AD=3,所以MC=5.

所以OC最大值=3+5=8.

3.满分解答

⑴由y=x+2得A(-2,0),B(0,2).

将A(-2,0)、B(0,2)两点分别代入y=ax2+bx+c,得产~2b+c=0,

解得c=2,b=2a+l.

(2)抛物线的开口向下，在y轴左侧，y随x的增大而增大,所以抛物线的对称轴在y轴或y轴右侧.所以%=

b2a+l、八

—2a=--2--a---->0.

因为-2a>0,所以2a+G0.所以a>

所以a的取值范围是-|wa<0.a=-超寸如图2所示，a=-号时如图3所示.

(3)当a=-l时,y=—x2—x+2.设P(xf—x2—%+2).

如图4,在y轴上取M(0,l)、N(0,3)两点那么MB=NB=10B.

因为S0AB=\OAxOB=|x2x2=NAB与AOAB可以看作是同高三角形，所以SAMAB=SANAB

=1.

过点M、N分别作AB的平行线，与抛物线的交点，就是点P.

(y-—x2-x+2,彳曰(x--1+V2,X=-1-42,

①解方程组y=X+l,行

IIy=&,.y=-V2,1

所以P(-i+9企),或(-1-鱼，-鱼).这条直线与抛物线有两个交点.

②解方程组[二:：二：2得

所以P(-l,2).这条直线与抛物线相切于点P.

考点伸展

第⑶题也可以这样思考：

如图5,因为"AB与AOAB是同底三角形,SAPAB=1,SAOAB=2,可得点P至UAB的距离PH等于点0到AB

的距离0G的一半.

过点P作y轴的平行线交AB于点D,那么PD==1.

设P(x,-x2-x+2),D(x,x+2).

当点D在点P的上方时，(X+2)—(―必—»+2)=1.

当点D在点P的下方时，(―Y—x+2)—(%+2)=1.

4.满分解答

(1)①如图2,连接OB、0C,那么NBOC=2NBAC=120。.

在R3B0D中,NBOD=60。,所以/OBD=30。.

所以0D=[OB.等量代换，得OD=|0A

②如图3,设BC边上的高为AH.

因为AHSADWOA+OD,所以当A、0、D三点共线时,AH取得最大值.

此时D、H重合,A"BC,AABC是等边三角形，高力。=会如图4所示).

所以BD=^AD=孚所以AABC的最大面积为号

324

AAA

图2图4

(2攻口图5,由OA=OB=OC,设N0AB=N0BA=a,/0AC=N0CA=[3,/0BC=/0CB.

由OD=OE,设NODE=/OED=r

设点M在AO的延长线上.

由ZBOD=ZBOM+ZDOM=2a+2y,ZBAC=a+p,ZBOD=ZBAC,

得2a+2y=a+|3.所以2y=P-a.

又因为NABC=m/ODE=a+/OBC,NACB=n/OED=p+NOCB,所以(m-n)尸af

所以(m-n)y=-2y.所以m-n=-2.所以m-n+2=0.

考点伸展

本题情景中的△力BC,就是网友们常说的定弦对定角问题.这个问题中，当A/IBC是等边三角形时，面积最大，

周长也最大.

如图6,延长BA至1]F,使AF=4a那么ZF=AACF=30°.

于是AFBC也是定弦对定角.△F8C的外接圆的圆心G在哪里呢？

如图7,△GBC是等边三角形.根据直径是圆中最长的弦，可知BF是直径时最大.

止匕时AB=AF=AC,AABC是等边三角形.

F

图6图7

5.满分解答

（1）如图2,因为ACDE与AFDE关于DE对称，所以DF=DC.

又因为NC=60。,所以ACDF是等边三角形.

所以NDCF=NA=60。,所以DF〃AB.

⑵第一步，求AACD的面积Sr

如图3,因为AB=6,BD=4,所以DC=2.所以SACD=~SABC=

因为Si=3次是定值，所以当S2取得最小值时，S取得最大值.

第二步，求AABF面积S2的最小值.

如图4,作FG_LAB于G,DH_LAB于H,FM±DH于NL得矩形FGHM.

在RtADBH中,BD=4,NHBD=60。,所以DH=2百.

在RtADFM中,DM<DF.当点F落在DH上时,DM最大=DF=2,此时GF最小=DH-DF=2百一2.

所以S2最小值=\AB-GF=|x6x（2V3-2）=6V3-6.

第三步，求S最大值.

S最大值：=Si-52最小值=3V3-（6V3-6）=6-3V3.

⑶如图5,因为NCED=/FED,所以点D到CE和BE的距离相等.所以沔=第

又因为*=筹=2,所以差=2所以BE=2CE.

SECDCDCE

如图6,作EN_LBC于N.

在RtAENC中,NC=60。,设NC=m，所以EC=2m,EN=V3m.

在RtAEBN中,BE=2CE=4m,BN=6-m,由勾股定理彳导BE2=BN2+EN2.

所以（4m）2=（6—m）2+（百6）2.整理，得m2+m—3—0.

解得m1=若亘,m1=二#舍去负值）.

所以EC=2zn=-1+辰.所以，4E=AC-EC=6-（-1+V13）=7-V13.

考点伸展

第⑶题证明.BE=2CE的过程，其实就是证明角平分线性质定理.如果ED是AEBC的角平分线，那么=

CE

BD

CD,

6满分解答

(1)设抛物线的表达式为y=a(%+2)(%-4)=ax2-2ax-8a.已知y=ax2+bx+2,根据常数项相等，得

-8a=2.解得(a=.所以抛物线的表达式为y=-；%2+|x+2=-；(%-+：.所以顶点坐标为(1,%对称轴

44Z444

为直线X=l.

(2)①如图2,作EHLx轴于H,所以EH〃DC〃y轴.

当点D是抛物线的顶点时，DC=l，OC=1,CB=3

因为E是BD中点，所以EH=1DC=l，CH=1CB=1

ZoZZ

yy

由黑导。?=鹃"/所以F(°'V)

②如图3,设D(2m,2n),那么C(2m,0),E(m+2,n).

所以EH=n,OC=2m,CH=OH-OC=m+2-2m=2-m.

由翳=需得为=密解得尸。=15

因为ADBC和ABCF是同底三角形，所以泮=躇=|.所以2DC=3OF.

SBCFFO2

所以4n=誓.解得m=撕以C但，0).

2-m5\5/

考点伸展

从第(2)②题的解题过程可以看到，求点C的坐标没有依赖抛物线的解析式.

7.满分解答

⑴将点M(l,0)代入y=ax2+a%+b,得2a+b=0.所以b=-2a.

所以y=ax2+ax-2a=a(x2+%-2)=+|)一支.顶点Q的坐标为(一|一词•

⑵将点M(l,0)代入y=2x+m,得2+m=0.解得m=-2.

联立y=2x-2和.y=ax2+ax—2a,消去y,整理，得ax2+(a-2)x-2(a-1)=0.

所以△=(a—2)2+8a(a—1)—9a?—12a+4=(3a—2)2.

已知a<b,b=-2a,所以a<0.所以△=(3a—2)2>0.

所以抛物线与直线有两个交点.

(3)①当a=-l时，解方程组『二;二:之得：插二女

由M(l,0)xN(-4,-10)得.MN=5V5.

,J=―/12—yx4-1,

当a=3时，解方程组b=2z-2,得或I；二匕

由M(l,0)、N(-6,-14)得MN=7V5.

所以MN的取值范围是5V5<M?V<7A/5.

②方程ax2+(a-2)%-2(a-1)=。的两根就是M、N两点的横坐标，已知xm=l.

2(：D

由XM-xN=2彳导%N=(_2.

如图1,设抛物线的对称轴%=-｝与直线MN交于点E,那么E(-g-3)

所以S=SQMN=SQME+SQNE=-QF(XM-%N)

1一久+3)(3-：273---2-7-CL.

24a8

由于a<0,运算起来不方便，代入b=-2a，于是S=?+：+

4D16

2

6.9V2.27

配方，得s=—+2+KH----------1------.

24

6马解得殍.所以2V2

所以S的最小值是竽+*此时6=0.6=a=­

1633,

考点伸展

第⑶题②求S最小值的方法：

将S=2—三—弓a整理为关于a的一元二次方程，得27a2+(8S-54)a+24=0.

因为方程有解,所以因0.因此((8S-54)2-4X27X2420.

所以8S-54>36/.所以S>—+

24

S随a变化的函数图象如图2所示.

8满分解答

⑴如果PQ〃BD,那么*==*所以白=*解得t=争

rt,DCO4o—L4/

⑵如图3,在RtAMDQ中,DQ=6—t,tanZMQD=|所以DM=|(6-t).

所以SMDQ•OM=|(6-t)2.

2

而SpC(3=jPC-QC=|(8-t)t=-jt+4t,

S四边形s/=+FG・”=*8+16-t)X6=72-3t,

所以y=S梯形AFCD—SAMDQ—SAPCQ

=(72-3t)-|(6-t)2-(-if2+4t)=it2-jt+^.

⑶如果S-/:Se=9:8,那么80/—1+更)=9*48.

五边形AFPQM矩形ABCD\8227

整理，得产_20t+36=0.解得t=2,或t=18(舍去).

(4)如图4,如果点M在线段PG的垂直平分线上，那么MP=MG.

作MN_LBC于N,那么PN=BC-BP-DM=8-t一|(6-t)=(―%.

所以在RtAMPN中，MP2=62+(|-if)2.

在RtAGBP中，BP=t,tanz£PF=三，所以BG=-BP=-t.

444

在RtAMGA中，MG2=AG2+AM2=(6-|t)2+18-|(6-t)].

由MP2=MG2,^62+Q-it)2=(6-|t)2+[8-1(6-t)]=l2.

整理，得17t2-32t=0.解得t=或t=0(舍去).

图3

考点伸展

第(4)题也可以这样思考：如图5,当点M落在PG的垂直平分线上时，设PG的中点为K，那么在RtAEKM中,

cosAMEK=—4

51

在R3EFP中，EK=EP-KP=EP--GP=10--t.

28

而EM=ED_£)M=16_q(6_t)=^_丸所以10_白=箕弓_汨.

解得t=p

9.满分解答

(1)由y^x2+bx+c,得C(O,c).由OB=OC得B(-c,O).

由CD〃x轴，且CD=2得D(2,c).

将B(-c,O)、D(2,c)代入y=x2+bx+G得c=0,

解得b=-2,c=-3.

⑵如图3,抛物线的对称轴是直线x=l，点E的坐标是(1,-4).

连结FD.因为C、D关于直线1对称，F、F关于直线1对称，所以四边形FCDF是矩形.所以FF=2.所以点F1

的横坐标为2.所以点F是BE的中点.

所以点F的纵坐标是-2.所以点F的坐标是(0,-2).

(3)直线BC的解析式为y=x-3.抛物线的解析式为y=%2-2%-3=(%+1)(%-3)如图4,设

P(m,0),M(m,m-3),N(m,m2-2m-3).

所以PPM=—(m—3),PN=—(m2—2m—3)=—(m+l)(m—3\PA=m+3)1.

如果SPQN=SAPM，，设PN边上的高为QH,那么PMPA=PNQH.

所以-(m-3)(m+l)=-(m+l)(m-3>QH.所以QH=1.

在RtANQH中,直角边QH=1为定值,NQ为斜边.

当斜边NQ与直角边QH重合时，NQ取得最小值.

止匕时NQ=1,NQ//x轴,N、Q关于对称轴x=l对称(如图5所示).

所以点Q的横坐标为(或j.

所以点Q的坐标为&一向)(如图6),或(|，-154)(如图5).

第⑵题一般可以这样解：先求直线BE的解析式为y=2x-6.设F(O,n),那么F，(2，n).将点F(2,n)代入y=2x£得

n=4-6=-2.

10.满分解答

(1)如图3,RtAABC中,AB=b,AC=2,所以.BC=V3,tanZTl=亨.

当P与A，重合时在RtAPBC中,BC=V3,PC=2,所以PB=l,/PCB=30。.此时乙4cA=60°.

图3图4

(2)如图4,当M为AE的中点时,CM是RtAA'B'C斜边上的中线，所以1MA'=MC.所以/1=N2.

又因为N1=NA,NQ=N2,所以tan/Q=tanz2=tanzX=

在RtAPBC中，PB=BC-tanz2=V3Xy=|.

在RSQBC中，QB=1百*=2,

所以PQ=PB+QB=歼2=(

(3)如图5,因为AABC的大小是确定的，面积为所以当APQC的面积最小时，四边形PAEQ的面积也

最小.

如图6,在APQC中,PQ边上的高BC为定值.所以当PQ最小时,APQC的面积最小.

设CD为RtAPQC斜边上的中线，那么PQ=2CD.因此当CD最小时,PQ也最小.如图7,根据垂线段最短,当CD

与CB重合时，CD最小.所以PQ的最小值为2遍.所以APQC的最小面积为3.所以四边形PA'B'Q的最小面积为

3-V3.

考点伸展

第(3)题中，蕴含了一个经典结论：高为定值的直角三角形，当其为等腰直角三角形时，面积最小.

而斜边为定值的直角三角形，当其为等腰直角三角形时，面积最大.

如图8,点C在以AB为直径的半圆0上，那么AABC为直角三角形.

设CD为斜边AB上的高，那么CD总是小于等于CO的，当CD=CO时,CD取得最大值，此时CD1AB,AABC

是等腰直角三角形，面积最大(如图9所示).

11.满分解答

(1)将点A(m,0)代入y=x--l,得m=L

将点B(4,n)代入y=x--l,得n=3.

因为抛物线y=-X2+b久+c与X轴交于A(l,0)、D两点设y=-(x-l)(x-xD).

代入点B(4,3),得3=-3(4-xD).解得xD=5.

所以抛物线的解析式为yy=-(x-l)(x-5)=-%2+6%-5

⑵如图4.设点P的坐标为(x,0),那么AP=x-l,DP=5-x.

所以MP=^-AP=Y(x—1),NP-~DP=-y(5—x).

-NP=-1-Xy(x-l)Xy(5-x)=--y(x2-6x+5).

所以

当x=3时,AMPN的面积最大，最大值为1.此时P(3,0).

⑶Q(2,-3),或

考点伸展

第⑶题的解题过程是这样的:由A(1,0)、B(43)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离都是3,所以/BAD=45。,

AB=3V2

由C(0,-5)、D(5,0),可知/ADC=45。.所以/ADQ=NBAD.

作QH±x轴于H.分两种情况讨论ADAQ与AABD相似：

①如图5,当需=案时，DQ=AB=3V2.

止匕时DH=QH=3.所以OH=OD-DH=2.所以Q(2,-3).

②如图6,当震一时，牛=矗解得以=竽.

止匕时DH=QH=*所以。"=。。一=5*=(所以Q&一

12.满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于点A(-1,0),设.y=_/久+1)(%-%2).

代入点B(0,|),得g=—[(—久2).解得Xz=5.

所以抛物线的解析式为y--|(x+l)(x-5)=-|x2+2x+|.

(2)如图2,由y=—1/+2x+1=—-2>+]导顶点C(2,9

设DC=m,那么D@三一,P(2+—m).

将点P(2+m-1-m)代入y=-|x2+2x+1得

—1(2+m)2+2(2+m)+1=|—m.

整理，得瓶2-2爪=0.解得m=2.或