2025年新高考数学复习突破讲义：函数与方程（含解析）

专题13函数与方程

【考点预测】

一、函数的零点

对于函数y=〃x）,我们把使〃x）=0的实数x叫做函数、=的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程〃力=0有实数根o函数y=〃力的图像与x轴有公共点o函数y=/（x）有零点.

三、零点存在性定理

如果函数y=〃x）在区间［a,可上的图像是连续不断的一条曲线，并且有〃a）"S）＜0

,那么函数y=在区间（a㈤内有零点，即存在ce（a力）,使得〃c）=O,c也就是方程〃尤）=0的

根.

四、二分法

对于区间［。回上连续不断且＜0的函数/（%）,通过不断地把函数〃x）的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求

方程〃x）=0的近似解就是求函数人力零点的近似值.

五、用二分法求函数/（x）零点近似值的步骤

⑴确定区间［a,可，验证〃a）"（6）＜0,给定精度£.

（2）求区间（a,b）的中点马.

（3）计算"xj.若/（占）=0,则占就是函数〃无）的零点；若贝lj令6=玉（此时零点

Xge（a,%1））.若/（6）./&）＜0,则令”=尤［（此时零点升€（%,6））

（4）判断是否达到精确度£,即若卜-4＜£,则函数零点的近似值为。（或6）；否则重复第（2）

—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【方法技巧与总结】

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数f（无）在定义域上是单调函数，则/（x）至多有一个零点.

②连续不断的函数/Xx）,其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数/Xx）通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/Xx）在闭区间［a,b］上有零点，不一定能推出＜0.

【典例例题】

例1.（2024・高三•全国・专题练习）函数/（x）=2尤+x—2的零点个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】解析：f（x）=2xln2+l>0,所以/G）在R上单调递增，/（0）=—1,/（I）=1,故函数的

零点个数为1.故选B.

例2.（2024.江苏.一模）函数/OsinpY]在区间（0,2兀）内的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析]令〃x)=sin[2x+1=0,得2x+1=丘，则尤=_^+g，旌Z；

兀5411

k—x—;k=2,x—兀，k—3,X—兀;k—4,x—TL,

3636

所以“X）在（0,2兀）共有4个零点,

故选：C.

1,1〉0

例3.（2024.高三.北京海淀•阶段练习）已知符号函数sgn（尤）=<0,x=0,则函数

一1,x<0

/(%)=sgn(21nx)—ln(2x—1)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】令f(x)=。，则Sgn(21nx)=ln(2x-1)

l,x>1

y=sgn(2Inx)=<0,x=1,

-1,0<X<1

当l>1时，若ln（2x—1）=1,得工=、一，符合；

当x=l时，若ln（2%-1）=0,得九=1,符合；

当0<尤<1时，若ln（2x-l）=-l,得x=]+],符合;

2e2

故函数f（元）=sgn（2Inx）-ln（2x-1）的零点个数为3.

故选：C.

例4.（2024.湖南岳阳.模拟预测）已知函数/（x）=ln（x-2）,则下列结论错误的是（）

A./(3)=0B.的零点为3

C.“X）在（0,+8）上为增函数D.f⑶的定义域为（2,+8）

【答案】C

【解析】，⑶=ln（3_2）=lnl=o,可知函数〃尤）的零点为3,可知A,B正确；

y（x）=ln（x-2）中，由％-2>0,解得：x>2,

故函数的定义域为（2,+8）,且函数在（2,+8）为增函数，故C错误，D正确.

故选：C

例5.（2024・四川成都.二模）已知函数〃切='',若存在，"使得关于x的方程/（%）=根有两不同的

X9X>t

根，贝”的取值范围为（）

A.（-1,O）U（O,1）B.（-l,O）u（l,^）

C.（^»,-l）u（O,l）D.（^»,-l）u（l,+oo）

【答案】B

%3Y<；/

【解析】由函数=J'>（,可得函数y=f（x）在L+oo）上为增函数，

当x</时,蠹x（x）—乙当力时,源（x）=f,

若存在m使得关于x的方程/（力=m有两不同的根，只需r>/,

解得-i<f<o或/>i,所以/的取值范围为（T,O）5L+8）.

故选：B.

例6.（2024・高三・全国・竞赛）方程1。8,（尤+2024）=2的实数解的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】依题意，

原方程等价于无2=尤+2024（x>0,尤片1）

即尤2-X-2024=0,显然只有一个正实根.

故选：B.

3尤2-12x+12,x>l,

例7.（2024•高三・陕西西安•期末）已知函数〃尤）=।।若

—l|,x<1,

1

/（芯）=/（尤2）=/（鼻）=/（尤4）=乙且无1*尤22%*无4，贝的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（1,3）

【答案】A

【解析】由题意，作出y=〃x）的大致图象，如图所示，

要使得/（%）=/（4）=/（玉）=/（%）=/，

即函数丁=，（0与'=/的图象有4个不同交点，则0<t<l,

所以实数f的取值范围是（0,1）.

故选：A.

例8.（2024・高三,全国・专题练习）函数/（x）=lnx-J的零点所在的大致区间是（）

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】/（》）=1叱—的定义域为（0,+8）,

又y=lnx与y=-g在（0,+力）上单调递增，

所以/（x）=lnx-：在（0,+s）上单调递增，

又/（1）=-1<0,〃2）=山2-g>0,

所以〃1）"⑵<0,

根据函数零点存在性定理可得函数〃x）=lnx-L的零点所在的大致区间为（1,2）,

X

故选：B.

2,x>m

例9.（2024・高三・全国・专题练习）已知函数/（%）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则

x2+4x+2,x<m

实数m的取值范围是

【答案】［T,2）

【解析】令N+4X+2=X,解得x=—1或％=—2,所以三个解必须为一1,—2和2,所以有一lSn<2.

l,x<0

例10.（2024・高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=1八则使得方程％+/（%）=根有解的实数机的取

—,x>0

、x

值范围是.

【答案】（-«,1卜［2,+«>）

【解析】当尤WO时，x+f(^x)-m,即x+l=%有解，则加W1；

当x>0时，x+f(x)=加，即％+,=加有解，则7〃32,

即实数机的取值范围是(F,1]32，+S).

故答案为：(-oo,l]u[2,+oo)

例11.(2024.辽宁•二模)已知函数/(无)的定义域为R,满足〃x+l)—2〃x)=0,且当xe(0,l]时,

f(x)=1x-1x2,则的值为________.

42&=iI//

【答案】宇255

4

【解析】:函数〃x)的定义域为R,满足f(x+l)-2〃x)=0,

31

且当xe(0,l]时，/(%)=-%—%2,

-42

3111

/(-)=/(-+1)=2/(-)=-,

533

/(-)=/(-+1)=2/(-)=1,

755

/(-)=/(-+!)=2/(-)=2,

977

/(-)=/(-+!)=2/(-)=4,

/(y)=/(|+D=2/(1)=8

/(y)=/(y+D=2/(y)=16

151313

/(y)=/(y+D=2/(y)=32

/2k-1、11..__255

>/(-----)=一+—+1+2+4+o8+16+32=——.

白2424

故答案为：字255.

4

例12.(2024.高三.重庆.阶段练习)已知函数〃k=(/+皿+》，，若函数“可有两个不同零点，则

/(无)极值点的个数为.

【答案】2

【解析】令〃x)=0,则/+如+〃=0,由题意知4>。，即解-4〃>0；

（x）=（x23+2x+mx+m+zz）eY,令/'（x）=0,IDx2+2x+»ix+m+n=0.

即A?=〃/-4〃+4>0,贝lj/'（x）=（/+2x+mx+«i+"）e”有两个变号零点，

所以函数/（无）有2个极值点.

故答案为：2.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024.山西.模拟预测）方程41cos"-〃=0的实数根的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】设%=4|cosf|,y2=y[t.在同一直角坐标系内画出X=4|cost|与%=〃的大致图象，

当/'=5兀时，*=4>\[5n=y2；当r=6兀时，m=4<A/6TT=y2.

根据图象可得两个函数共有11个交点.

故选：C.

（J兀2兀3兀4兀5兀6TI

2.（2024.高三.浙江绍兴.期末）已知命题P：函数=在（1,2]内有零点，则命题。成立的一个

必要不充分条件是（）

A.3<avl8B.3<«<18C.々<18D.a>3

【答案】D

【解析】函数/（刈=2/+》一。在R上单调递增，由函数/（刈=2/+》”在0,2]内有零点，

f/（l）=3-a<0

得，二八，解得3<。418,即命题。成立的充要条件是3<aW18,

/(2)=18-a>0

显然3<a«18成立，不等式3Kavl8、3vavl8、〃<18都不一定成立，

而3<a«18成立，不等式恒成立，反之，当时，3v，K18不一定成立,

所以命题。成立的一个必要不充分条件是，23.

故选：D

3.（2024・高三•重庆•开学考试）函数“力=3+/一2的零点有（

A.4个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【解析】令〃x）=e*+f-2=0,即ex=2—-

可知函数〃x）的零点个数即为产^与y=2-f的交点个数，

结合函数的图像，可知y=e，与y=2-x2的函数图像有两个交点,

所以函数有两个零点，即函数〃司=d+/-2的零点有2个.

故选：C.

4.（2024高三.浙江宁波•期末）函数/（%）=2*+三—9的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由已知，可知析刈为增函数,

且/（1）=2+1-9=-6<0,

〃2）=4+8-9=3>0,

根据零点存在定理，函数在（L2）有零点，且零点是唯一的.

故选：B

5.（2024•高三•山东烟台•期末）已知〃尤）为定义在R上的奇函数，当xe（O,y）时,

/、flnx+l,0<x<l/、

〃X）=,则方程〃x）-l=0实数根的个数为（）

12—x,x>1

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为/（力为定义在R上的奇函数，所以/（。）=0,

当一1K犬<0时，0<—f（x）=—f（—^）——ln（—%）—1,

当x<_]时，_%>],/(x)=-/(-x)=-2-x,

2-x,x>1

lnx+l,0<x<l

综上〃"0,x=0

-In(-x)-l,-l<x<0

—2—x,x—1

当x＞l时，令〃尤）=1无解；当0＜xWl时，令〃x）=l解得x=l；

当x=0时，令/'（0=1无解；当-LWx＜0时，令/（x）=l解得x=-e-2；

当尤＜一1时，令=解得尤=一3,

综上〃x）-1=0实数根的个数为3个，

故选：C

6.（2024•全国•模拟预测）设Ax）是定义在R上的奇函数，且当无＞0时，/（x）=ln.r-%2+2x,则/（x）的零

点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】依题意，作出函数y=ln尤与y=f-2x的图象，如图，

可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时/（X）有两个零点；

又函数/（尤）是定义域为R的奇函数，故当无＜0时，"X）也有两个零点，

函数/⑺是定义域为R的奇函数，所以/（。）=0,即尤=0也是函数了3的1个零点，

综上所述，/（x）共有5个零点.

故选：D.

7.（2024.高三.浙江宁波・期末）将函数〃尤）=5《2计1的图象向右平移巳个单位后得到函数g（x）的图

象.若V=g（x）在（-机〃?）上恰有三个不同的零点，则实数加的取值范围为（）

B・（—7n13/

（57111兀

D.五一

【答案】A

【解析】g（x）=sin[=sin^2x-^,

兀（7L7L।

由题意得相＞0,故当xe（T”,〃z）时，2x--e-2m--,2m--,

显然当2X-F=°，即尤==为y=g（x）的一个零点，

o12

要想y=g（%）在（ft,m）上恰有三个不同的零点，

,无解,

2m--e(2兀,3兀］

,无解.

故选：A

8.（2024・高三.内蒙古鄂尔多斯•期末）已知函数/（力=2$山18+。|（0>0）,若方程〃x）=l在区间（0,2兀）

上恰有3个实根，则。的取值范围是（）

A.gB.同C.存2）D.与2一

【答案】D

'JIJI

【解析】因为0<%<2兀，所以一<s+—<2师+—,

666

由〃x）=l,即sin/x+W=；,在区间（0,2兀）上恰有3个实根，

则U17<兀207i+7^1V2三5兀，解得4？<oV2.

6663

故选：D

9.（2024.高二•河南焦作・期末）设西,々，了3分别是方程1%工+》=3,Iog3（x+2）=W^,e*=lnx+4的实

根，贝U（）

A.x1<x2<x3B.x2<x3<Xj

C.x2<xx<x3D.x3<x2<xx

【答案】B

【解析】4/W=log3x+x-3,可得在（0,+s）上单调递增，

又由〃2）=log32—l<0,〃3）=log33=l>0,所以2<益<3；

再令g（无）=logs（尤+2）-Q,可得g（尤）在（-2,0）上单调递增，

且g(-l)=-l<O,g(O)>O,所以一1〈无2<。；

对于eX=lnx+4,即e，-4=lnx，则方程的根为y=e*-4与y=lnx的图象交点的横坐标,

在同一平面直角坐标系中作出两个函数图象，如图所示，

由图可知，凡?0,1)或％；w(l,2),综上，x2<x3<xt.

10.(2024・高三•全国・专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函

数/5)在闭区间加上连续，在开区间(。,6)内可导，则在区间(6人)内至少存在一个点无oe(a,6),使得

/■(/?)一/(4)=/(*0)(/?-4),了=不称为函数丁=/(%)在闭区间出,加上的中值点，若关于函数/(x)=sinx在区

间［0,兀］上的“中值点”的个数为机，函数g(x)=e'在区间［0,1］上的“中值点”的个数为“则有力?+“=()

(参考数据：7i«3.14,e®2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

【答案】B

【解析】设函数/(x)=sin尤在区间［0,兀］上的“中值点”为%,由/(无)=sinx,得解(x)=cosx,

,

则由拉格朗日中值定理得，/(7t)-/(O)=/(xo)(7r-O),即71cos尤。=0,而无。e(0,兀)，

JT

则毛=5,即函数〃M=sinx在区间［0,兀］上的“中值点”的个数为1,因此加=1,

设函数g(x)=e*在区间［0,1］上的“中值点”为X］,由g(x)=",求导得g，(x)=e"

由拉格朗日中值定理得，g⑴-g(0)=g'a)(l-0),即e-1=9，

令函数/7(x)=e、-e+l,xe(0,l),函数〃(x)在(0,1)上单调递增，/z(0)=2-e<0,/i(l)=1>0,

则函数h(x)在(0,1)上有唯一零点，即方程e-l=e*在区间(0,1)上有1个解，

因此函数g(x)=e*在区间［0,1］上的“中值点”的个数为1,即〃=1,

所以;",+”=2.

故选:B

11.(2024・高三•河南•阶段练习)已知”尤)为偶函数，对任意xeR有〃x+2)=〃x)-/⑴，当xe［(M)时，

/(x)=4x-2,则方程y(x)=log2k-l|的所有实根之和为()

A.3B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】由〃x+2)=/(x)_y⑴得〃T+2)=〃-l)_〃l),

又为偶函数，所以=

故"1)=0，/(%+2)=/(x),因此为周期为2的周期函数且为偶函数,

由xe[0,l)时，/(x)=4x-2,

作出y=〃x)和g(x)=log2|x-1的图象，又〃X+2)=〃一尤)，

由于y=/(x)和g(x)=log』xT|均关于x=l对称，

由图象可知y=/(x)和g(x)=log?卜一1|的图象有6个交点，

根据对称可知：方程所有实根之和为6.

故选：B

12.(2024.高一.贵州•阶段练习)函数/(x)=2*+x-17的零点所在的区间为()

A.(5,6)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】C

【解析】因为“X)在R上单调递增，

5./(3)=23+3-17=-6<0,/(4)=24+4-17=3>0,

所以/⑺的零点所在的区间为(3,4).

故选：C

13.(2024・高一•全国•课时练习)下列关于二分法的叙述中，正确的是()

A.用二分法可求所有函数零点的近似值

B.用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位

C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成

D.只能用二分法求函数的零点

【答案】B

【解析】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错

误；

B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，

可精确到小数点后任一位，B正确；

C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，

因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；

D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误.

故选：B.

二、多选题

14.（2024・高三•云南•阶段练习）已知函数/（x）=x-g,则（）

A.“X）为奇函数B.“X）在定义域内单调递增

C.有2个零点D.〃尤）的最小值为0

【答案】AC

【解析】对于A中，由函数/（》）=尤可得定义域为（f,。）（0,+s）关于原点对称,

又由〃-尤）=-》+（=-（》-2）=-小），所以函数〃元）为奇函数，所以A正确；

对于B中，由尸（无）=1+壶＞0,所以〃力为单调递增函数，

所以函数“X）在（-吗0）,（0,+8）单调递增，所以B错误；

对于C中，令〃x）=0,即解得x=±1,所以C正确；

72尤2

对于D中，例如：当x时，/（；）=g—l=-;〈夜，所以D不正确.

故选：AC.

15.（2024・高一・云南玉溪•期末）已知函数/（'）=sin"-1g的所有零点从小到大依次记为

Xi，马，…，当，则（）

A.n=20B.〃=18

C.再+工2++%〃=10D.玉+々+…+兀〃=9

【答案】AC

1

【解析】令f(x)=sin7ix—1gX—;=0nsinm=lgx——

2

在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示:

由图可知共有20个父点，故”=20,则A正确，B错误；

又函数y=sinm,y=lgx-〈的图象都关于x对称，则%三9=&詈==百口=!，

222222

故%+%++xn=xl+x2++x20=10,则C正确，D错误，

故选：AC

12

_Y।2v-।2丫＜

16.（2024.高一.山西吕梁.阶段练习）设函数/（%）=5'",若关于x的方程〃％）二。有四个

|lnx|,x＞0

不同的解％1，工2，%3，X4，且玉＜兀2＜兀3＜工4，则（）

A.x{x2＞4B.0＜a＜2

2

C.X3+X4＞2D.^-＜x4＜e

e

【答案】BC

_1Y2।2Y।2Y＜

【解析】由函数〃尤）=5'-，作出函数y=的图象，如图所示，

|lnx|,尤＞0

因为关于x的方程〃x）=a有四个不同的解占，马，鼻,匕，且再＜%＜退＜匕，

结合图象，可得一4W玉＜一2＜%2«°＜兀3＜1＜%4，且玉+%=-4,

2

则x1x2=玉（-4—%）=—%；-4%=_&+2）+4,其中一4«司＜_2,

所以石马＜4,所以A不正确.

根据图象，要使得方程=a有四个不同的解，可得0＜。=2,所以B正确；

因为0＜鼻＜1（尤4,且|lnw|〈Inxj，可得Tnx3=lnx4，

所以In无3+ln.%=lngr4=0,可得阳%4=1，

又由毛+七22dx3X2=2,当且仅当£=匕=1时，等号成立，

显然退片匕，所以鼻+匕＞2,所以C正确；

令。=ln%=2,可得匕=62,结合图象，可得所以D不正确.

故选：BC.

17.(2024・高一・江苏.专题练习)关于函数F(x)=siHX+|sinx|有下述四个结论，其中结论错误的是()

A./(x)是偶函数B./*)在区间■，兀)单调递增

C./⑺在［-私兀I有4个零点D./*)的最大值为2

【答案】BC

【解析】因为/(x)=sin国+|sinx|的定义域为R,

又/(T)=sin|-x|+kin(T)|=sinW+binx|=/(x),\尤)为偶函数，故A正确.

当］。<兀时，/(^)=2sinx,它在区间单调递减，故B错误.

当OWxV兀时，/(x)=2sinx,它有两个零点：0,兀；

当一7iWx<0时，/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,

它有一个零点：-兀，故〃x)在［-1,句有3个零点：-兀,0,兀，故C错误.

当兀,2左兀+兀］(左eN*)时，/(x)=2sinx；

当尤旺［2kit+n,2kn+2兀］(左eN*)时，/(x)=sin%-sinx=O,

又/(x)为偶函数，'"X)的最大值为2,故D正确.

故选：BC.

x2-2x,0<x<2

18.(2024•高三•广东揭阳•阶段练习)已知函数〃尤)=17r,则下列结论正确的有()

sin—x,2<x<4

A./(|)=-乎B.函数图像关于直线x=2对称

C.函数的值域为D.若函数y=/(x)r"有四个零点，则实数小的取值范围是

(TO)

【答案】ACD

【解析】A选项，/®=sin—=-sin-=-^,A正确；

\2)442

B选项，/(0.5)=0.52-1=-0.75,/(3.5)=siny=-sin^=,

由于/(0.5)力7(3.5),故函数图像不关于直线x=2对称，B错误;

C选项，画出的图象，如下：

数形结合可知函数的值域为［-1,0］,C正确；

D选项，若函数y=/(x)-m有四个零点，则/。)与丁=机有4个交点,

故实数加的取值范围是(-1,0),D正确.

故选：ACD

三、填空题

19.(2024・高三•全国・专题练习)函数〃x)=2sinx-sin2x在。2兀］所有零点之和为

【答案】31t

【解析】由/(%)=2sin%-sin2%=2sin%-2sinxcosx=2sinx(l-cosx),

令〃x)=0,即2sin尤(l-cosx)=0,解得sinx=0或cosx=l,

因为尤e［0,2兀］,所以X=TI或尤=。或彳=2兀，所以零点之和为3九

故答案为：3K.

20.(2024・高三•内蒙古赤峰•期中)设函数〃x)=3数-2a+1,。为常数.若存在与式0,1),使得〃/)=0,

则实数。的取值范围是.

【答案】(-s,T)u［；,+s］

【解析】因为存在题«0,1),使得/■(5)=(),

所以函数〃x)在(0,1)上有零点.

当4=0时，〃x)=l不存在零点，

当awO时，/(》)=3以-2°+1为一次函数形式，具有单调性，

由函数零点存在性定理知/(0)"⑴<0,BP(l-2a)(«+l)<0,

解得av-1或a>；.

故答案为：(-8,-1)口［；,+°°1.

21.(2024高三.广东中山•阶段练习)函数y=lgN|-sinx的零点个数为

【答案】6

【解析】lgN|-sinx=O,故lg|X=sinx,

画出/(x)=lg区和g(x)=sinx,两函数交点个数即为y=lgN-sinx的零点个数,

由图象可得，共6个交点，所以y=lg|x|-sinx的零点个数为6.

故答案为：6

22.(2024・高一・江苏•专题练习)设函数〃同=卜：-2：",；,关于尤的方程〃x)=。有三个不等实根

—lx+6,x>2

尤1,尤2,W，则占+尤2+W的取值范围是.

【答案】［5,y)

【解析】画出函数图象，结合图形可知，仅当-l<aWO时，方程/(x)=。有三个不等实根，

分别对应直线'与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，

不妨设玉<工2<%，

显然占关于x=l对称，故占+%=2,

另一个交点位于一次函数图象上，